Bài viết trình bày chứng minh chi tiết về chặn trên của chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford của iđêan cạnh với đồ thị đơn G cho trước theo kích thước nhỏ nhất ứng với ghép cặp cực đại của G.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNOUVO-MUMFORD CỦA IĐÊAN CẠNH VÀ KÍCH THƢỚC NHỎ NHẤT CỦA GHÉP CẶP CỰC ĐẠI CỦA ĐỒ THỊ ĐƠN Lê Quang Huy1 TÓM TẮT Bài báo trình bày chứng minh chi tiết chặn số quy Castelnouvo-Mumford iđêan cạnh với đồ thị đơn G cho trước theo kích thước nhỏ ứng với ghép cặp cực đại G Từ khóa: Chỉ số quy, iđêan cạnh, ghép cặp, đồ thị đơn ĐẶT VẤN ĐỀ Cho G đồ thị đơn iđêan I (G) xi x j x , x E G gọi iđêan cạnh i j G Nhƣ với đồ thị đơn G ta xác định đƣợc iđêan đơn thức tƣơng ứng Việc đánh giá mối liên hệ tƣơng tác G I(G) nhƣ vấn đề đƣợc nhiều ngƣời quan tâm Có hai hƣớng thơng dụng tiếp cận vấn đề cấu trúc đồ thị G ảnh hƣởng nhƣ đến tính chất iđêan I(G) bất biến đồ thị G có tác động nhƣ đến bất biến iđêan I(G) Trong báo này, tác giả tiếp cận theo hƣớng thứ hai chặn bất biến số quy iđêan I(G) ứng với đồ thị G kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại đồ thị G Bài báo trình bày chi tiết chứng minh cho chặn số quy I(G) theo kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại đồ thị G Các kết đƣợc trình bày sơ lƣợc [4,5] dƣới dạng nhận xét gợi ý Ngoài phần giới thiệu, báo chia thành hai mục Mục giới thiệu số kiến thức đồ thị, iđêan cạnh, số quy Mục đƣa kết chặn số quy I(G) theo kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại đồ thị G, trƣờng hợp G đồ thị hình (Định lý 3.5), G đồ thị chứa cạnh ghép cặp cực đại kích thƣớc G (Định lý 3.8) cuối đồ thị G tổng quát (Định lý 3.9) IĐÊAN C NH CỦA ĐỒ THỊ Trong mục này, giả thiết R K x1 , x2 , , xn vành đa thức n biến x1 , x2 , , xn trƣờng K vô hạn, m iđêan cực đại R A môđun phân bậc hữu hạn sinh R Các kiến thức đƣợc trình bày [1,2] kiến thúc đồ thị đƣợc trình bày [3,4,5] Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 119 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Định nghĩa 2.1 [1, Section 1] Chỉ số quy Casteluovo-Mumford (chính quy) A số reg( A) : max ai A i | i 0, i i max n | H m An 0 H m A 0, Trong đó: A H mi A Với cách tiếp cận sử dụng dãy tự tối tiểu, số quy đƣợc xây dựng nhƣ sau: Định nghĩa 2.2 [1, Proposition 1.1 Theorem 1.2] Cho dãy tự tối tiểu E đƣợc xác định nhƣ sau: R j pj A j R j j A A j Khi số quy đƣợc xác định là: reg(A) : max j i | ij A 0 Từ định nghĩa thứ hai số quy ta nhận đƣợc kết sau: Bổ đề 2.3 [2] Cho I iđêan R, ta có: reg( R / I ) reg( I ) 1 Bổ đề 2.4 [2] Cho u phần tử bậc d R, i) reg( R / (u)) d 1 ii) reg((u)) d Bổ đề 2.5 [1, Corollary 20.19] Cho dãy khớp: P M N Rmôđun hữu hạn sinh đồng cấu Khi i) reg(M ) max reg( P), reg( N ) ii) reg( N ) max reg( P) 1, reg( M ) Từ dãy khớp M M N N 0, kết hợp với kết i) bổ đề ta nhận đƣơc kết sau: Hệ 2.6 Cho M, N R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó, ta có reg(M N ) max reg(M ), reg( N ) Định nghĩa 2.7 [3,4,5] Đồ thị đơn hữu hạn G cặp V (G), E(G) V , E , V x1 , x2 , , xn gọi tập đỉnh E tập cạnh bao gồm tập có phần tử V có dạng xi , x j i j Đồ thị G ' V (G '), E (G') gọi đồ thị cảm sinh G V G ' V G E G ' E G Trong báo này, ta giả sử đồ thị G đồ thị đơn Định nghĩa 2.8 [3,4,5] Cho đồ thị G = (V, E) i) xi gọi đỉnh lập G khơng thuộc cạnh G 120 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 ii) Cho F G1 , G , , G s họ đồ thị G F gọi phủ s cạnh G E Gi E G i 1 iii) Một ghép cặp M đồ thị G đồ thị G cho E M E G cặp cạnh M đôi rời Kích thƣớc ghép cặp M đƣợc kí hiệu m M số cạnh M Một ghép cặp M gọi cực đại bổ sung thêm cạnh khác đồ thị G để tạo thành ghép cạnh G Kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại đồ thị G đƣợc kí hiệu G min{m M | M ghép cặp cực đại đồ thị G} Định nghĩa 2.9 [4,5] Cho đồ thị G = (V, E) Gọi e cạnh G i) N e x V | y e cho {x, y} E G gọi lân cận mở (gọi tắt lân cận) e ii) N e N e {e} gọi lân cận đóng e Định nghĩa 2.10 [4,5] Cho đồ thị G = (V, E) Gọi e cạnh G i) G \ e đồ thị nhận đƣợc từ G cách xoá cạnh e, nghĩa G \ e V G , E G \ e E G \ e ii) Ge đồ thị G có tập đỉnh V Ge G \ N e Định nghĩa 2.11 [3,4,5] Cho đồ thị G, I (G) xi x j x , x E G gọi i j iđêan cạnh đồ thị G Kí hiệu reg G : reg I (G) Bồ đề 2.12 [4, Theorem 3.5] Cho đồ thị G e cạnh G Khi ta có reg(G) max 2, reg G \ e , reg Ge 1 Chứng minh Giả sử e xi x j Xét dãy khớp 0 R R R R xi x j I G \ e xi x j I G \ e xi x j I G \ e Ta có xi x j I G \ e I G từ Hệ 2.6 ta nhận đƣợc R R R R reg max reg , reg xi x j I G \ e I G \ e xi x j Kết hợp với Bổ đề 2.3 Bổ đề 2.5 ii) ta có R R R R reg 1, reg , reg max reg xi x j I(G) I G \ e xi x j I G \ e 121 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Ta có : xi x j I G \ e xi x j y | y N e I Ge R R reg Suy : reg I G xi x j I G \ e e R R R R , reg Do đó, ta có : reg 2, reg max reg xi x j I Ge I(G) I G \ e Vậy : reg(G) max 2, reg G \ e , reg Ge 1 Bổ đề 2.13 [4, Corollary 3.7] [6, Theorem 2]) Giả sử G G1 , G2 , , Gs đồ thị đơn tập đỉnh V cho E G s i 1 E Gi Khi ta có : s reg R/ I G reg R/ I Gi i 1 CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA IĐÊAN C NH Bài tốn chặn số quy theo kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại G lần lƣợt đƣợc chứng minh cho lớp đồ thị hình sao, đồ thị chứa ghép cặp cực đại có kích thƣớc từ ta khái qt hố chứng minh cho trƣờng hợp đồ thị G tổng quát (Xem [4] [5]) Trƣớc hết ta cần đến khái niệm đồ thị rút gọn Định nghĩa 3.1 Cho G đồ thị Đồ thị nhận đƣợc từ G cách bỏ tập điểm cô lập G gọi đồ thị rút gọn G Kí hiệu G red Bổ đề 3.2 Cho đồ thị G Ta có reg(G) reg(G red ) Do đó, mục khơng tính tổng qt, ta ln giả sử đồ thị G khơng có điểm lập Bồ đề 3.3 Cho đồ thị G có cạnh Khi reg(G) Chứng minh Giả sử G có cạnh e x1 , x2 Khi G x1 , x2 ,{e} Suy I G x1 x2 Áp dụng: Bổ đề 2.4 ii), ta nhận đƣợc reg(G) Định nghĩa 3.4 Đồ thị G có tất cạnh chung đỉnh gọi đồ thị hình Hình Đồ thị hình cạnh 122 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Định lý 3.5 Cho G đồ thị hình Khi reg(G) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số cạnh G Giả sử G có m cạnh Với m = 1, theo Bổ đề 3.3, ta có reg(G) Giả sử đến m-1 cạnh, ta cần chứng minh đến m cạnh Theo Bổ đề 2.12, reg(G) max 2, reg G \ e , reg Ge 1 Từ giả thiết quy nạp, ta nhận đƣợc reg G \ e Mặt khác, Ge đồ thị rỗng, nên reg Ge Vậy reg( G) max 2,2,1 2 Đồ thị hình đồ thị có cạnh ghép cặp cực đại có kích thƣớc Trong phần tiếp theo, ta quan tâm đến đồ thị tổng quát so với đồ thị hình sao, đồ thị chứa cạnh ghép cặp cực đại có kích thƣớc Mệnh đề 3.6 Giả sử cạnh e a, b ghép cặp cực đại có kích thƣớc đồ thị G Khi đó, cạnh đồ thị G chứa đỉnh a đỉnh b, nghĩa G có dạng Hình Chứng minh Giả sử G có cạnh e’ khơng chứa đỉnh a đỉnh b, {e, e’} lập thành ghép cặp có kích thƣớc 2, mâu thuẫn với {e} ghép cặp cực đại G Định lý 3.7 Cho đồ thị G Giả sử cạnh e a, b ghép cặp cực đại có độ lớn đồ thị G Khi reg(G) 123 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Chứng minh Ta quy nạp theo số cạnh tập cạnh E G \{e} Giả sử G có cạnh, theo Bổ đề 3.3 ta có reg(G) Giả sử G có nhiều cạnh đồ thị có dạng nhƣ Hình Ta chia tập cạnh G thành hai phần E G E1 E2 , đó, E1 tập cạnh mà cạnh chứa đỉnh a E2 tập cạnh mà cạnh chứa đỉnh b Gọi u cạnh G Khơng tính tổng qt, ta giả sử u thuộc tập cạnh E1 u a, a1 Khi G \ u có dạng nhƣ sau: Hình Theo giả thiết quy nạp ta có reg(G \ u) Đồ thị Gu đồ thị gồm đỉnh độc lập nhƣ sau Hình Áp dụng Bổ đề 3.2 ta có reg(Ge ) Theo Bổ đề 2.12, ta có reg(G) max 2, reg G \ u , reg Gu 1 124 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Vậy định lý đƣợc chứng minh xong Vận dụng kết trên, ta chứng minh đƣợc kết báo nhƣ sau: Định lý 3.8 Giả sử G đồ thị đơn Khi ta có reg(G) G Chứng minh Đặt : G Giả sử e1 , e2 , , e ghép cặp cực đại G Gọi Gi đồ thị cảm sinh G, cạnh Gi gồm ei cạnh G có đỉnh đỉnh thuộc cạnh ei Khi ta có E Gi E G Áp dụng Bổ đề 2.13, ta có i 1 reg R/ I G reg R/ I Gi i 1 Theo Định lý 3.7, ta có reg(Gi ) , kết hợp với Bổ đề 2.3 suy reg R/ I Gi Do reg R/ I G reg R/ I Gi i 1 Áp dụng Bổ đề 2.3, ta nhận đƣợc reg(G) G KẾT LUẬN Bài tốn chặn số quy theo kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại G lần lƣợt đƣợc chứng minh cho lớp đồ thị hình sao, đồ thị chứa ghép cặp cực đại có kích thƣớc từ ta khái quát hoá chứng minh cho trƣờng hợp đồ thị G tổng quát TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D Eisenbud (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag [2] D Eisenbud), S Goto (1984), Linear free resolutions and minimal multi-plicity, J Algebra, 88, 89-133 [3] Herzog, Jürgen, Hibi, Takayuki (2011), Monomial ideals, Springer Press, New York [4] H.H Tai (2014), Connections Between Algebra, Combinatorics, and Geometry, Springer Press, New York , 76, 251-276 [5] R Woodroofe (2014), Matchings, Coverings, and Castelnouvo-Mumford regularity, Joural of Commutative Algera, (2), 287-303 125 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 CASTELNOUVEO-MUMFORD REGULARITY OF EDGE IDEAL AND THE MINIMUM SIZE OF A MAXIMAL MATCHING OF SIMPLE GRAPHS Le Quang Huy ABSTRACT This paper gives a detail proof of the upper bound of regularity of edge ideal of simple graphs in term of the minimum size of a maximal matching of simple graphs Key words: Regularity, edge ideal, matching, simple graph * Ngày nộp bài: 7/10/2020; Ngày gửi phản biện: 21/10/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 * Bài báo kết nghiên cứu từ đề tài cấp sở mã số ĐT-2019- Trường Đại học Hồng Đức 126 ... tâm đến đồ thị tổng quát so với đồ thị hình sao, đồ thị chứa cạnh ghép cặp cực đại có kích thƣớc Mệnh đề 3.6 Giả sử cạnh e a, b ghép cặp cực đại có kích thƣớc đồ thị G Khi đó, cạnh đồ thị G... M đơi rời Kích thƣớc ghép cặp M đƣợc kí hiệu m M số cạnh M Một ghép cặp M gọi cực đại bổ sung thêm cạnh khác đồ thị G để tạo thành ghép cạnh G Kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại đồ thị G đƣợc... chặn số quy theo kích thƣớc nhỏ ghép cặp cực đại G lần lƣợt đƣợc chứng minh cho lớp đồ thị hình sao, đồ thị chứa ghép cặp cực đại có kích thƣớc từ ta khái quát hoá chứng minh cho trƣờng hợp đồ thị