Cơ sở groebner và hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ THANH VÂN CƠ SỞ GROEBNER VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chánh Tú ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân Mọi số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Thanh Vân LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn này, trước tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú tận tâm hướng dẫn, bảo truyền dạy kinh nghiệm cho tác giả suốt trình thực Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình hướng dẫn truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Đại số Lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Nguyễn Thị Thanh Vân MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Lý thuyết sở Groebner 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Các khái niệm vành đa thức 1.1.2 Iđêan đơn thức 1.1.3 Định lí Hilbert 1.1.4 Tập đại số 1.2 Cơ sở Groebner 1.2.1 Thứ tự đơn thức 1.2.2 Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu 1.2.3 Định nghĩa sở Groebner 1.2.4 Tiêu chuẩn Buchberger, Thuật toán Buchberger 10 CHƯƠNG Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple 16 2.1 Hệ phương trình đa thức 16 2.2 Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức 16 2.3 Tìm sở Groebner với hỗ trợ phần mềm Maple 19 2.4 Giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple 23 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, giải hệ phương trình đa thức biến ta thường sử dụng phép chia có dư thuật tốn Euclide Vậy hệ phương trình đa thức nhiều biến ta cịn sử dụng phép chia có dư thuật tốn Euclide không hay sử dụng phép chia thuật toán tương tự ? Cách chia thuật toán có đặc biệt có ứng dụng rộng rãi không ? Khi học môn đại số giao hoán, ta giải đáp câu hỏi dựa vào lý thuyết sở Groebner với phần ứng dụng Cơ sở Groebner nhà tốn học Bruno Buchberger giới thiệu luận án tiến sĩ vào năm 1965 hướng dẫn giáo sư Wolfgang Groebner Sử dụng thuật tốn Buchberger giúp ta tìm sở Groebner cho đa thức nhiều biến Và từ giúp ta hình thành phương pháp giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Ngồi lý thuyết sở Groebner mở ứng dụng khác thực phong phú từ Với lý hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú, chọn nghiên cứu đề tài: Cơ sở Groebner hệ phương trình đa thức Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sở Groebner, tiêu chuẩn Bucheberger, thuật toán Buchberger ứng dụng sở Groebner vào việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nắm khái niệm đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger Sử dụng thuật toán Buchberger tìm sở Groebner đa thức nhiều biến ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cơ sở Groebner ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: thu thập, đọc nghiên cứu tài liệu, báo, giáo trình vấn đề: đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger, số toán ứng dụng Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn giảng viên khác thuộc khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn giúp thân hiểu rõ lý thuyết sở Groebner, nắm ứng dụng nghiên cứu toán học đặc biệt việc ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến biết số loại hệ phương trình đa thức nhiều biến giải thơng qua việc tìm sở Groebner Ngồi luận văn cịn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày theo cấu trúc gồm 02 chương: Chương I Lý thuyết sở Groebner Trong chương này, khái niệm, tính chất rõ ràng kèm chứng minh ví dụ thể nội dung liên quan đến sở Groebner Chương II Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple Nội dung chương nêu số phương trình đa thức giải có dùng sở Groebner kèm ví dụ minh họa Đồng thời luận văn nhược điểm sở Groebner ứng dụng để giải hệ phương trình đa thức nhiều biến CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ CƠ SỞ GROEBNER Trong chương này, chúng tơi nêu khái niệm, tính chất iđêan đơn thức, thứ tự đơn thức, hạng tử dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger Tất khái niệm, kết chương này, lấy từ tài liệu tham khảo [1], [4], [5] 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Các khái niệm vành đa thức Cho k vành x biến số Ta gọi biểu thức f có dạng c0 + c1 x + + cα xα với c0 , c1 , , cα ∈ k đa thức biến x với hệ số k Nếu cα 6= α gọi bậc, ký hiệu degf , cα hệ số đầu f Nếu f = ta quy ước degf = −∞ Vành đa thức k[x] biến x k tập hợp tất đa thức, phép cộng phép nhân thực thông thường Vành đa thức n biến k định nghĩa quy nạp sau: k[x1 , , xn ] := k[x1 , , xn−1 ][xn ], có nghĩa k[x1 , , xn ] vành đa thức biến xn vành k[x1 , , xn−1 ] Sau ta ln kí hiệu k[X] = k[x1 , , xn ] Các phần tử k[X] gọi đa thức n biến f Vành k[X] không phụ thuộc vào thứ tự biến đa thức n biến f có dạng X f (X) = cα1 , ,αn xα1 xαnn α1 + +αn ≤α với α số tự nhiên cα1 , ,αn ∈ k Các phần tử cα1 , ,αn gọi hệ số, c0, ,0 hệ số tự f Các biểu thức xα1 xαnn gọi đơn thức Bậc đơn thức xα1 xαnn tổng α1 + + αn số mũ Bậc đa thức f 6= bậc lớn bậc đơn thức với hệ số khác khơng f Ta kí hiệu bậc f degf Ví dụ: f = x2 + 2y z − y + đa thức vành Q[x, y, z] có degf = 1.1.2 Iđêan đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Iđêan I ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan đơn thức có tập A ⊂ Zn≥0 mà I bao gồm tất đa thức tổng hữu P hạn dạng α∈A hα xα , hα ∈ k[x1 , , xn ] Trong trường hợp này, ta viết I = hxα : α ∈ Ai Ví dụ 1.1.2 Trong vành k[x, y], iđêan I = x3 , xy , x iđêan đơn thức Bổ đề 1.1.3 Cho iđêan I = hxα : α ∈ Ai iđêan đơn thức Một đơn thức xβ ∈ I xβ chia hết cho xα với α ∈ A Bổ đề 1.1.4 Cho I iđêan đơn thức đa thức f ∈ k[x1 , , xn ] Các điều kiện sau tương đương: (i) f ∈ I (ii) Mọi hạng tử f thuộc I (iii) f tổ hợp tuyến tính k đơn thức I Chứng minh Hiển nhiên ta có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Ta cần chứng minh (i) ⇒ (iii) Ta có f ∈ I Vì I iđêan đơn thức nên theo Định nghĩa 1.1.1 P α ta có I = hxα : α ∈ Ai ,với hα ∈ k[x1 , , xn ] để f = α∈A hα x Theo Bổ đề 1.1.3, hạng tử f chia hết cho xα(i) Sau P giản ước hai vế ta f = hα(j) xα(j) với hα(j) ∈ k Suy f tổ hợp tuyến tính đơn thức xα(j) với hệ số k Hệ 1.1.5 Hai iđêan đơn thức gọi tập đơn thức chúng Định lí 1.1.6 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I viết dạng I = xα(1) , , xα(s) , α(1), , α(s) ∈ A Đặc biệt, iđêan I có hệ sinh hữu hạn 1.1.3 Định lí Hilbert Định nghĩa 1.1.7 Vành k gọi vành Noether iđêan k hữu hạn sinh Bổ đề 1.1.8 Các điều kiện sau tương đương: (i) Vành k vành Noether, (ii) Mọi dãy tăng iđêan k : I1 ⊆ I2 ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ dừng, tức tồn j ≥ để Ij = Ij+1 = (iii) Mọi hệ khác rỗng iđêan k có phần tử cực đại (khơng nằm iđêan khác hệ) Định lí 1.1.9 Nếu k vành Noether vành đa thức k[x] Noether Áp dụng định lí nhiều lần ta kết sau: Hệ 1.1.10 (Định lí Hilbert sở) Vành đa thức nhiều biến k[X] vành Noether 1.1.4 Tập đại số Trong phần quan tâm đến tập đại số, tức tập nghiệm họ đa thức vành đa thức k[x1 , , xn ] trường k Định lý sở Hilbert cho phép quy tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức, nhờ việc nghiên cứu tập đại số bớt phức tạp Kí hiệu k n = {(a1 , , an )|ai ∈ k, ∀i = 1, , n} Ta gọi k n không gian affin n chiều Đặc biệt k = k gọi đường thẳng affin, k gọi mặt phẳng affin Với tập S k[x1 , , xn ], kí hiệu: Z(S) = {(a1 , , an ) ∈ k n |f (a1 , , an ) = 0, ∀f ∈ S} tập nghiệm (hay tập không điểm chung) S Định nghĩa 1.1.11 Một tập A k n gọi tập đại số (hay đa tạp affin) tồn S ⊆ k[x1 , , xn ] cho A = Z(S) Khi ta nói A tập đại số định nghĩa S Cho A = Z(S) tập đại số k n Nếu S = {f } ta viết A = Z(f ) Nếu f khác Z(f ) gọi siêu mặt k n Nếu S = {f1 , , fl } tập hữu hạn ta viết A = Z(f1 , , fl ) Chú ý tập đại số (khác ∅ khác k n ) giao họ siêu mặt, ta có A = Z(S) = ∩f ∈S Z(f ) Ví dụ 1.1.12 Trong mặt phẳng affin R2 , tập đại số Z(x2 + y − 1) đường tròn bán kính tâm gốc tọa độ Mệnh đề 1.1.13 Mỗi tập đại số k n tập nghiệm iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] Chứng minh Cho tập A ⊆ k n tập đại số Khi tồn họ đa thức S ⊆ k[x1 , , xn ] cho A = Z(S) Đặt I = hSi iđêan k[x1 , , xn ] sinh S Chú ý S ⊆ hSi phần tử hSi có dạng f1 h1 + + ft ht với f1 , , ft ∈ S h1 , , ht ∈ k[x1 , , xn ] Suy phần tử k n nghiệm họ S nghiệm iđêan hSi Do A tập nghiệm iđêan hSi Mệnh đề 1.1.14 Mỗi tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức Chứng minh Cho A ⊆ k n tập đại số Khi tồn họ đa thức S ⊆ k[x1 , , xn ] cho A = Z(S) Suy A tập nghiệm iđêan hSi Theo Định lí sở Hilbert, hSi iđêan hữu hạn sinh, tức tồn f1 , , ft ∈ hSi cho hSi = hf1 , , ft i Khi A tập nghiệm họ hữu hạn đa thức f1 , , ft Chú ý 1.1.15 Việc quy tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức vô quan trọng Nó cho phép thực thuật tốn Buchberger để tìm sở Groebner iđêan xuất phát từ hệ sinh hữu hạn 1.2 Cơ sở Groebner Để tìm hiểu định nghĩa sở Groebner, trước hết ta cần tìm hiểu thứ tự đơn thức khái niệm liên quan 21 Để tìm sở Groebner theo thứ tự từ điển ngược, ta dùng câu lệnh: Basis([x2 − yz − 3, −xz + y − 4, −xy + z − 5], tdeg(x, y, z)) Và ta thu sở là: (Hình 2.2) g1 = −z + 13y; g2 = 11z + 13x; g3 = 36z − 169 Nếu muốn tìm sở Groebner iđêan I theo thứ tự từ điển, ta lại thay đổi câu lệnh thành câu lệnh sau: Basis([x2 − yz − 3, −xz + y − 4, −xy + z − 5], plex(x, y, z)) Hình 2.2: Tìm sở Groebner Một số lệnh khác gói Groebner Tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu đơn thức dẫn đầu Trong Maple 17, để tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu, đơn thức dẫn đầu đa thức ta sử dụng câu lệnh tương ứng là: LeadingTerm, LeadingCoefficient, LeadingMonomial ... 2.1 Hệ phương trình đa thức Định nghĩa 2.1.1 Hệ phương trình đa thức P tập gồm phương trình fi (x1 , , xn ) = fi (x1 , , xn ) với i = 1, , m đa thức vành k[x1 , , xn ] Cho hệ phương trình đa thức. .. Buchberger tìm sở Groebner đa thức nhiều biến ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cơ sở Groebner ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Phương. .. = Z(I) Theo Hệ 1.2.13, sở Groebner G hệ sinh I nên ta có Z(I) = Z(G) 2.2 Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức Trước ứng dụng sở Groebner vào giải hệ phương trình đa thức nào, ta