Tài liệu Cơ sở GROEBNER và chứng minh định lý hình học bằng máy tính

tai lieu, luan van1 of 98 Đ I H C THÁI NGUYÊN TR NG Đ I H C KHOA H C BỐI Đ C THẮNG C S GROEBNER VĨ CH NG MINH Đ NH Lụ HỊNH H C B NG MÁY TệNH LU N VĂN TH C Sƾ TOÁN H C THÁI NGUYÊN, 2015 document, khoa luan1 of 98 tai lieu, luan van2 of 98 Đ I H C THÁI NGUYÊN TR NG Đ I H C KHOA H C BỐI Đ C THẮNG C S GROEBNER VĨ CH NG MINH Đ NH Lụ HỊNH H C B NG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Ph Mƣ s : 60.46.40 ng pháp Toán s c p LU N VĂN TH C Sƾ TOÁN H C Ng ih ng d n khoa h c: TS Nguy n Danh Nam THÁI NGUYÊN, 2015 document, khoa luan2 of 98 tai lieu, luan van3 of 98 Cơng trình đ Tr Ng c hoƠn thƠnh t i ng Đ i h c Khoa h c – Đ i h c Thái Nguyên ih ng d n khoa h c: TS Nguy n Danh Nam Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Việt Hải Phản biện 2: PGS.TS Tr nh Thanh Hải Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn h p t i: Tr ng Đ i h c Khoa h c – Đ i h c Thái Nguyên Ngày 31 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu t i: Th vi n Tr ng Đ i h c Khoa h c vƠ Trung tơm H c li u - Đ i h c Thái Nguyên document, khoa luan3 of 98 tai lieu, luan van4 of 98 M CL C Trang M C L C M Đ U CH NG 1: C S GROEBNER 1.1 Th tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu vƠ c sở Groebner 1.3 Đ nh lý Hilbert không điểm 10 CH NG 2: PH N M M MAPLE VĨ GịI L NH GEOPROVER 12 2.1 Phần mềm Maple 12 2.2 Gói cơu lệnh GeoProver 13 CH NG 3: CH NG MINH Đ NH Lụ HỊNH H C B NG MÁY TệNH 16 3.1 Đ i số hóa giả thiết vƠ kết luận c a đ nh lý 16 3.2 Quy trình ch ng minh đ nh lý hình h c máy tính 20 3.3 Ch ng minh số đ nh lý hình h c 25 K T LU N 56 TĨI LI U THAM KH O 57 document, khoa luan4 of 98 tai lieu, luan van5 of 98 M Đ U Với phát triển nhanh chóng c a cơng nghệ thơng tin vƠ truyền thông, phư ng tiện - thiết b d y h c đ i vƠ sử dụng cách có hiệu giáo dục Phần mềm d y h c lƠ phư ng tiện d y h c hỗ trợ giáo viên thực phần nƠo ý tưởng sư ph m c a Maple lƠ phần mềm tốn h c t o cách tiếp cận sinh động vƠ sáng t o NgoƠi cơu lệnh có ch c kiểm tra, tính tốn, minh ho hình ảnh,…nó cịn cho phép giáo viên sử dụng ngơn ngữ lập trình c a Maple để t o cơng cụ mới, gói cơu lệnh Vì thế, Maple có khả đầy đ để giảng d y vƠ h c tập từ bậc phổ thơng (các gói ch c đ i số, số h c, giải tích, hình h c,…) lên đ i h c (đ i số tuyến tính, phư ng trình vi phơn, hình h c cao cấp, đ i số đ i,…) Xuất phát từ ý tưởng có nhiều đ nh lý hình h c hoƠn toƠn mô tả khái niệm đ i số cách biểu diễn hình hình h c to độ Đề-các vng góc Khi đó, hầu hết hình hình h c vƠ biên c a xem lƠ tập khơng điểm c a đa th c, vƠ quan hệ chúng mơ tả phư ng trình đa th c tập không điểm phải xét trường số thực Như vậy, để kiểm tra tính - sai c a giả thuyết hay đ nh lý hình h c nƠo hoƠn toƠn thực nhờ kết quan tr ng liên quan đến khái niệm c sở Groebner nhƠ toán h c Bruno Buchberger đưa năm 1965 luận án phó tiến sĩ c a Tính tốn hình th c hay cịn g i lƠ Đ i số máy tính, xuất khoảng ba chục năm vƠ gần đơy trở thƠnh chuyên ngƠnh độc lập Đơy lƠ chuyên ngƠnh kết hợp chặt chẽ tốn h c vƠ khoa h c máy tính Nó đời ảnh hưởng c a phát triển vƠ phổ cập máy tính cá nhơn Một mặt, phát triển nƠy đòi hỏi phải xơy dựng lý thuyết toán h c lƠm c sở cho việc thiết lập thuật toán vƠ phần mềm toán h c Mặt khác, khả tính tốn ngƠy tăng c a máy tính giúp triển khai tính tốn thực nhiều thuật toán Sự phát triển c a Đ i số máy tính có tác dụng tích cực trở l i nghiên c u toán h c lý thuyết document, khoa luan5 of 98 tai lieu, luan van6 of 98 Nhiều kết lý thuyết phán đốn có phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính Hầu hết vấn đề mƠ lý thuyết c sở Groebner cho lời giải thuật tốn biết trước đó, lƠ tính giải Tuy nhiên việc ch ng minh tính giải vƠ thực tính tốn thực tế lƠ khoảng cách lớn H n nữa, nhiều đối tượng ngƠnh trừu tượng Đ i số giao hốn vƠ Hình h c đ i số tính tốn thơng qua c sở Groebner ch ng tỏ có tầm quan tr ng c a lý thuyết nƠy Mục đích c a luận văn lƠ giới thiệu thuật tốn tính c sở Groebner cho Iđêan đa th c, để trình bƠy số ng dụng c a lý thuyết c sở Groebner tính tốn hình th c máy tính lƠ Đ i số giao hốn vƠ Hình h c đ i số Hiện nay, có nhiều phần mềm xử lý tốn h c Maple, Macaulay, CoCoA để phục vụ cho việc tính tốn Nhưng luận văn nƠy ch n phần mềm Maple để trình bƠy cách đ i số hóa bƠi tốn hình h c ch ng minh đ nh lý hình h c máy tính Tuy nhiên, đ n sử dụng gói cơng cụ Groebner c a Maple giáo viên nhiều khó thực k ch sư ph m c a Giải pháp cho vấn đề giáo viên sử dụng ngơn ngữ lập trình c a Maple để xơy dựng gói cơng cụ phù hợp Do đó, chúng tơi xơy dựng gói GeoProver để hỗ trợ ch ng minh số đ nh lý hình h c s cấp document, khoa luan6 of 98 tai lieu, luan van7 of 98 Ch C S ng GROEBNER Khái niệm c sở Groebner đời năm 1970 để giải bƠi toán chia đa th c Sau h n 20 năm khái niệm nƠy có ng dụng to lớn nhiều chuyên ngƠnh toán h c khác từ Đ i số đến Hình h c, Tơ pơ, Tổ hợp vƠ Tối ưu [9] Việc sử dụng hệ đa th c giống c sở Groebner xuất từ đầu kỉ nƠy với cơng trình c a Gordan, Macaulay, Hilbert Người thấy tầm quan tr ng c a thuật toán chia lƠ nhƠ toán h c người Áo Broebner Ọng đặt vấn đề tính c sở Groebner lƠm đề tƠi luận án phó tiến sĩ cho h c trị c a ơng lƠ Buchberger Năm 1970, Buchberger tìm thấy thuật tốn hữu hiệu để tính c sở Groebner Sau nƠy người ta phát Groebner biết nét c c a thuật toán nƠy từ năm 50 Cùng thời gian nƠy xuất kĩ thuật tư ng tự giống thuật toán chia cơng trình c a Hironaka giải kì d , c a Grauert Giải tích ph c vƠ c a Cohn Lý thuyết vƠnh không giao hoán [9] C sở Groebner nghiên c u thời kì máy tính cá nhơn đời vƠ bắt đầu trở nên phổ cập Ngay lập t c người ta thấy lập trình thuật tốn chia để giải bƠi toán với biến số mƠ ngƠy g i lƠ tính tốn hình th c (symbol computation) Bản thơn thuật toán chia ch a đựng thuận lợi c cho việc lập trình như: (1) Việc xếp th tự h ng tử c a đa th c cho phép ta biểu diễn đa th c véc-t hệ số vƠ ta đưa liệu đa th c vƠo máy tính cách dễ dƠng (2) Việc xét h ng tử lớn c a đa th c cho phép máy tính cần thử t a độ c a véc-t tư ng ng Về mặt lý thuyết khái niệm c sở Groebner đưa phư ng pháp vƠ vấn đề nghiên c u Trước tiên, người ta thấy nhiều cần xét tập hợp h ng tử đầu c a c sở Groebner lƠ đ để có thông tin cần thiết hệ đa document, khoa luan7 of 98 tai lieu, luan van8 of 98 th c ban đầu Có thể thay h ng tử nƠy đ n th c nên thực chất lƠ ta phải xét số hữu h n số tự nhiên ng với số mũ c a biến đ n th c Ta coi số tự nhiên nƠy điểm nguyên lƠ điểm có t a độ lƠ số ngun Vì vậy, nhiều bƠi tốn Hình h c vƠ Đ i số quy việc xét tính chất tổ hợp hay tơ pơ c a tập hợp hữu h n điểm nguyên Sau đơy luận văn trình bƠy số kiến th c c c sở Groebner trước đưa thuật toán để ch ng minh đ nh lý hình h c 1.1 TH T T 1.1.1 Đ nh nghƿa Đ nh nghƿa 1.1 Th tự từ  lƠ th tự toƠn phần tập M tất đ n th c c a vành K[x] thoả mãn tính chất sau: i) Với m i m  M,  m ii) Nếu m1, m2, m  M mà m1  m2 mm1  mm2 1.1.2 M t s th t t Đ nh nghƿa 1.2 Th x1 x n n  le x x1 x n n         , ,  n  n  tự từ điển lƠ th xác đ nh sau: thƠnh phần khác không kể từ bên trái c a véct lƠ số ơm Nói cách khác, tồn t i  i  n cho  i     , ,  n   n ,  le x tự   i 1 Th tự từ điển tư ng tự cách xếp từ từ điển, vƠ có tên g i Đ nh nghƿa 1.3 Th tự từ điển phân bậc lƠ th tự  g le x xác đ nh sau: x 1 x n n  g le x x 1 x n n     d eg ( x1 x n n )  d eg ( x1 x n n ) d eg ( x1 x n n )  d eg ( x1 x n n )       vƠ thƠnh phần khác không kể từ bên trái c a véct     , ,  n số ơm Nói cách khác, x1 x n  g le x x 1 x n n     n      n Đ nh nghƿa 1.4 Th x1 x n n  r le x x1 x n n     nếu n d e g ( x1 x n n )  d e g ( x1 x n n )    n  n tự từ điển ngược lƠ th       n      n x1 x n  le x x1 x n document, khoa luan8 of 98 n   tự  r le x xác đ nh sau: d eg ( x1 x n n )  d eg ( x1 x n n )     tai lieu, luan van9 of 98 vƠ thƠnh phần khác không kể từ bên phải c a véct     , ,  n   n  số dư ng Nói cách khác, x1 x n  r le x x1 x n     n n      i  i n      n n vƠ vƠ tồn t i  i  n cho  n      n   n , ,  i    i  Th tự từ điển ngược đ nh nghĩa theo s đồ c a th tự từ điển phơn bậc, ch c a th tự từ điển - điều tưởng chừng không tự nhiên Thực việc so sánh bậc tổng thể trước trường hợp nƠy lƠ bắt buộc để đảm bảo đ n th c lƠ nhỏ M nh đ 1.1 Ba th tự kể th tự từ 1.2 IĐÊAN KH I Đ U VĨ C S GROEBNER 1.2.1 T kh i đ u, đ n th c kh i đ u Đ nh nghƿa 1.5 Cho  lƠ th tự từ vƠ f  R  K  x1 , , x n  Từ khởi đầu c a f , kí hiệu lƠ in   f  , lƠ từ lớn c a đa th c f th tự từ  Nếu in   f    x a ,    K , lc   f    g i lƠ hệ số đầu lm  lm f x a đ n th c đầu c a f th tự từ  Nếu th tự từ  ngầm hiểu, ta viết in  f  (tư ng ng lc  f  ,  f  ) thay cho in   f  (tư ng ng lc   f , lm   f  ) Từ khởi đầu c a đa th c xem lƠ không xác đ nh (có thể nhận giá tr tuỳ ý) Từ khởi đầu g i lƠ từ đầu hay từ Như biểu diễn tắc c a đa th c f ta viết từ theo th tự giảm dần, in  f  xuất Đư ng nhiên cách viết nƠy từ khởi đầu c a tự từ ch n document, khoa luan9 of 98 f phụ thuộc vƠo th tai lieu, luan van10 of 98 1.2.2 Iđêan kh i đ u vƠ c s Groebner Đ nh nghƿa 1.6 Cho I lƠ iđêan c a R  lƠ th tự từ, Iđêan khởi đầu c a I, kí hiệu lƠ in   I  , lƠ iđêan c a R sinh từ khởi đầu c a phần tử c a I, nghĩa lƠ: in  I in   I    in  f f  I  Cũng ta viết in  I  thay in   I   rõ Rõ rƠng có   Im  f  f  I  nên in  I  lƠ iđêan đ n th c Vấn đề đặt lƠ lƠm nƠo để xác đ nh iđêan khởi đầu in  I  c a iđêan I cho trước Cách tốt lƠ tìm hệ sinh tối tiểu c a Tuy nhiên, m i iđêan đ n th c có tập sinh đ n th c vƠ tập hữu h n Do ta đưa vƠo khái niệm quan tr ng sau đơy: Đ nh nghƿa 1.7 Cho  lƠ th tự từ vƠ I lƠ iđêan c a R Tập hữu h n đa th c khác không tự từ  , nếu: Tập g , , g s  I g , , g s  I in   I g i lƠ c sở Groebner c a I th    in   g  , , in   g s   g i lƠ c sở Groebner, lƠ c sở Groebner c a iđêan sinh phần tử nƠy M nh đ 1.2 Cho I iđêan tuỳ ý c a R Nếu Groebner c a I th tự từ đó, g , , g s g , , g s  I c sở c sở c a I Đ nh nghƿa 1.8 C sở Groebner rút gọn c a iđêan I th tự từ cho lƠ c sở Groebner G c a I thoả mãn tính chất sau: i) lc  g   với m i ii) Với m i in  g '  | m g G g G vƠ m i từ m c a g không tồn t i g '  G \  g  để M nh đ 1.3 Cho I  Khi th tự từ, I có c sở Groebner rút gọn Mọi c sở Groebner rút gọn c sở Groebner tối tiểu document, khoa luan10 of 98 tai lieu, luan van46 of 98 [> A:=Point(0, 0): B:=Point(1, 0): C:=Point(u5, u6): A’:=Point(u7, u8): B’:=Point(u9, u1); C’:=Point(u2, x1); Đa th c điều kiện xác đ nh cơu lệnh sau: [> con1:=is_collinear(intersection_point(pp_line(A’, B’), pp_line(A, B)), intersection_point(pp_line(B’, C’), pp_line(B, C)), intersection_point(pp_line(A’, C’), pp_line(A, C))); con1:= u6(–u8u9u7x12u5 – u8u9u1u6u7u2 + u8u9u1u6u7u6 + u8u9u1u22u6 + u8u9x1u2u6 + u8u9u1x1u5 – u8u9u1u2x1u5 – u8u92x1u2u6 + u82u9u2x1u5 + 2u8u9u7x1u1u5 + u8u9u7x1u2u6 – u8u9u7x1u1 + u1u7u8u22u6 + 2u1u7u8u2x1 – u1u7u9x12u5 – 2u1u7x1u8u5 + u12u7u2x1u5 + u9u1u8u2u1 – u9u1u7u6u1 – u7x1u2u6u8 + u5u8u2x1u1 – u1u72x12 – u12u72u6 + u12u72x1 + u12u22u8 + u82u22u6 – u82u9u22u6 – u82u9u1 u5 + u8u92x12u5 – u82u9x1u5 – u8u9x12u5 – u82u92x1u5 + u82u92u2u6 + u82u9u2u1 + u1u72x12u5 + u12u7u8u5 + u12u72u6u2 + u12u7u6u2 – u12u7u22u6 + u1u72x1u6 – u8u22u6u1 – u5u82u2x1 – u5u8u2u12 + u5u82u2u1 + u5u7x12u8)/((–u1 + u8)( –x1 + x1u5 + u1 – u1u5 + u6u9 – u2u6)(x1u5 – u8u5 + u7u6 – u2u6)) [> con2:=is_concurrent(pp_line(A, A’), pp_line(B, B’), pp_line(C, C’)); con2:= u8u2u6 – x1u8u5 – u8u2u6u9 + u9x1u5u8 + u8u1u5 – u8u2u1 + u1u6u7u2 – u7x1u1u5 + u7x1u1 – u1u7u6 Đa th c con2 có d ng tuyến tính với ẩn x1 hàm phơn th c hữu tỉ con1 với tử số lƠ hàm bậc hai với ẩn x1 vƠ nhơn tử lƠ: [> normal(numer(con1) - u6*con2*is_collinear(A’, B’, C’)); Kết trả l i ch ng tỏ đ nh lý lƠ Ch ng minh Ta g i A1 lƠ giao điểm c a BC với B’C’, B1 lƠ giao điểm c a AC với A’C’, C1 lƠ giao điểm c a AB với A’B’ Ta cần ch ng minh AA’, BB’ CC’ đồng quy t i O vƠ A1, B1 C1 thẳng hƠng Thật vậy, áp dụng đ nh lý Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC, OAC, OAB với cát tuyến tư ng ng A1C’B’, B1C’A’, C1A’B’ ta có: 43 document, khoa luan46 of 98 tai lieu, luan van47 of 98 A1C B ' B C 'O B 'O C 'C A1 B C1B =1 A ' A B 'O C1 A A ' O B ' B B1 A C ' C A ' O B 1C C ' C A ' A (1) =1 (2) =1 (3) C1 A’ A B O B’ C A1 C’ B1 Hình 3.14 Từ (1), (2), (3) ta có A1C C B B A A1 B C A B 1C = hay ba điểm A1, B1, C1 thẳng hƠng Trường hợp A’, B’, C’ nằm c nh c a ABC vƠ điểm O nằm bên ABC, phư ng pháp ch ng minh hoƠn toƠn tư ng tự Đ nh lý (Đường thẳng Sims n) Cho P điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC X, Y, Z chân đường vng góc từ điểm P đến cạnh c a tam giác Khi đó, điểm X, Y, Z thẳng hàng Trong hệ trục t a độ Đề-các vng góc, ch n tâm O c a đường trịn ngo i tiếp lƠm gốc t a độ vƠ điểm A thuộc đường trịn nằm trục hồnh Đ nh lý đ i số hóa sau: [> O_:=Point(0, 0): A:=Point(r, 0): B:=circle_slider(O_, A, u2); C:=circle_slider(O_, A, u3); P:=circle_slider(O_, A, u4); ≔ 2 −1 2 +1 44 document, khoa luan47 of 98 ,− 2 2 +1 tai lieu, luan van48 of 98 ≔ ≔ −1 +1 −1 +1 [> X:=pedalpoint(P, pp_line(A, B)); ,− ,− 3 +1 4 +1 [> Y:=pedalpoint(P, pp_line(B, C)); [> Z:=pedalpoint(P, pp_line(A, C)); X := [ (−2 + 42 − + 22 2 +1+ + 4+ 2 2) − 2(1 + ) 2 2] 4+ 2 +1+ Y := [r(–2u4u22u3 – 2u4u2u32 + 2u2u4 + 2u4u3 + u22u42 + 2u2u3u42 – u22 – 2u2u3 + u32u42 + u32 + u22u32u42 + u22u32– u42 – 1)/( u22u42 + u22 + u32u42 + u32 + u22u32u42 + u22u32 + u42 + 1), − := (−2 ( 42 + 22 + 42 + 2 2 2 2 4+ 2+ 4+ 3+ 2 + −1+ 2 +1+ + [> is_collinear(X, Y, Z); + 3) 2 + 4− + 2 2 2 + + +1 ,− (1 + 2 +1+ 4) ] 3) 2 + Kết trả l i có nghĩa lƠ đ nh lý Ch ng minh Ta sử dụng khái niệm góc đ nh hướng để ch ng minh toán Để ba điểm X, Y, Z thẳng hàng, ta cần (ZX, ZY) = + kπ ( ∈ ℤ) Ta có: (ZX, ZY) = (ZX, ZP) + (ZP, ZY) + kπ = (AX, AP) + (CY, CP) + kπ = (BX, AP) + (CB, CP) + kπ = + kπ với ( ∈ ℤ) Điều nƠy có nghĩa lƠ ba điểm X, Y, Z thẳng hƠng 45 document, khoa luan48 of 98 tai lieu, luan van49 of 98 X A P Z C B Y Hình 3.15 Đ nh lý 10 (Định lý bướm) Cho A, B, C, D bốn điểm đường tròn với tâm O, P giao điểm c a đường thẳng AC BD F tư ng ng, G giao điểm c a đường thẳng qua P vng góc với OP với AB, tư ng ng CD Khi đó, điểm P trung điểm c a FG Trong ví dụ 3.2 ta suy đa th c điều kiện để điểm P lƠ trung điểm c a đo n thẳng FG là: [> con:=numer(sqrdist(P, midpoint(F, G))); con:= (x7 + x6)2 Kết trường hợp suy biến c a đ nh lý mƠ A  C B  D Ta sử dụng điều kiện rƠng buộc sau đơy để lo i bỏ trường hợp nƠy: [> vars:=[x6, x7, x3, x5, x1, x2, x4]; vars:=[x6, x7, x3, x5, x1, x2, x4] [> sol:=gsolve(polys, vars, {sqrdist(A, C), sqrdist(B, D_)}); sol:= {[[2x4u1u4 – 2x4u1u2 + u22x4 + x4u32 – 2u1u2u4 + u22u4 + u4u32, u22x2 + u32x2 – 2u1u22 + u2u32 + u23, u42 + x12 – 2u1u4 + 2u1u2 – u22 – u32, x3u22 + x3u32 – 2u1u2u3 + u33 + u3u22, 2u4x5u1 – 2x5u1u2 + u22x5 + x5u32 – 2x1u1u2 + u22x1 + u32x1, u4x6u32 – u4u22u3 + 2u1u2u3u4 + u4x6u22 – 2u1u22x6 + u2u32x1 + u23x1 – 2u1u22x1 + u2x6u32 + u23x6, –x7u22u1 + x7u23 + x7u2u32 + x7u22u4 + x7u4u32 + 2u1u22x1 – u23x1 – u2u32x1 – 2u4u3u2u1 + u4u33 + u4u22u3], plex(x7, x6, x5, x4, x3, x2, x1),{ }]} [> map(x->normalf(con, x[1], x[2]), sol); {0} 46 document, khoa luan49 of 98 tai lieu, luan van50 of 98 Như vậy, đ nh lý lƠ Ta tiếp tục khai thác thêm bƠi toán bước sau: Cho đường tròn (O) dây cung AB Gọi C trung điểm c a AB, qua C kẻ hai cát tuyến tuỳ ý HI KJ Gọi M, N giao c a AB với IJ, KH Khi C trung điểm c a MN Ch ng minh Ta ý OM  AB để ch ng minh CN = CM, ta cần ch ng minh hai góc CON COM K A N I C M B P Q O H J Hình 3.16 Ta có hai tam giác HCK ICJ đồng d ng (có góc tư ng ng nhau, tính chất c a hai góc nội tiếp chắn cung) Từ suy g i P, Q lƠ trung điểm c a HK IJ hai tam giác PCK QCI đồng d ng nên CPN = CQM Ngoài OP  AB nên t giác OCNP OCMQ lƠ t giác nội tiếp Suy CPN = CON, CQM = COM Vậy CON = COM Nếu dùng phép biến đổi afin mặt phẳng đường trịn biến thƠnh đường elíp, cịn khái niệm trung điểm c a đo n thẳng giữ nguyên Bởi vậy, bƠi tốn nói thay từ “đường trịn” từ “đường elíp” Tư ng tự ta sử dụng gói GeoProver để kiểm tra tính đắn c a nhận xét Đ nh lý 11 (Định lý Phây-Bách) Trong tam giác ABC, đường tròn Phây-Bách (hay gọi đường tròn le) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp đường bàng tiếp c a tam giác Trong hệ t a độ Đề-các vng góc, ta xác đ nh điểm A, B, C tâm N c a đường tròn Phơy-Bách c1: 47 document, khoa luan50 of 98 tai lieu, luan van51 of 98 [> A:=Point(0, 0): B:=Point(2, 0): C:=Point(u1, u2): [> M:=intersection_point(p_bisector(A, B), p_bisector(B, C)); [> H:=intersection_point(altitude(A, B, C), altitude(B, C, A)); [> N:=midpoint(M, H); ≔ 1, ≔ 1, 2 −2 ≔ + ,− 2 −2 + −2 + 1 + 2 − 2 [> c1:=pc_circle(N, midpoint(A, B)); c1:= [2u2, –2(u1 + 1)u2, –2u1 + u12 – u22, 2u1u2] T a độ tơm P(x1, x2) đường tròn bƠng tiếp c a tam giác ABC b rƠng buộc điều kiện sau đơy: [> polys:={on_bisector(P, A, B, C), on_bisector(P, B, C, A)}; polys:= {–2u1x2u22 – 2u23 – 2u2u12 + 4u22x2 + 4x2u12 – 2u2x22 – 2u13x2 + 2u23x1 + 2u2x12 + 2u1x22u2 – 2u2x1u12 – 2u13x1x2 – 4x2u1x1 + 2u12x2x1, –16x2 + 8u1x2 + 8x2x1 – 4x2u1x1 – 2u2x12u1 – 2u22x1x2 – 4x2u1x1 + 2u12x2x1, –16x2 + 8u1x2 + 8x2x1 – 4x2u1x1 – 2u2x22 + 8u2 – 8u2x1 + 2u2x12} Hình 3.17 Kết luận c a đ nh lý biểu diễn đa th c điều kiện sau: 48 document, khoa luan51 of 98 tai lieu, luan van52 of 98 [> Q:=pedalpoint(P, pp_line(A, B)): [> con:=is_cc_tangent(pc_circle(P, Q), c1); con:= 64u1u22x12 – 32u12u22x1 + 32u22x22u1 – 16u22x22u12 + 16u23x1x2 + 16x12u12u22 + 16u12x1u2x2 – 16u23x12x2 – 32u22x13u1 – 16u1u23x2 + 16u13u2x2 + 16 u23x1x2u1 – 32u2x12u1x2 + 16u22x14 – 32 u22x13 + 16x12u22 – 16u22 – 32u12u2x2 – 32u1u22x1 + 16u12u22 Đa th c điều kiện polys có nghiệm tổng quát lƠ t a độ tơm c a bốn đường tròn tiếp xúc Ta xác đ nh c sở Groebner cơu lệnh sau: [> TO:=plex(x1, x2): [> gb:=gbasis(polys, TO); gb := [u2x24 + 4x23u1 – 2x23u22 – 2x23u12 – 4u2x22 – 2u1x22u2 + u2x22u12– u23 + 4u22x2 + u23x22, –u22x1 + x23u2 + 4x22u1 – u2x2 + 2u2x2u1 – u22x22 + 2u22 –2u12x22 – u12u2x2 + u1u22x1 – u1u22] [> normalf(con, gb, TO); Kết trả l i ch ng tỏ đ nh lý Đặc biệt, đường tròn PhơyBách c a tam giác ABC đường tròn Phơy-Bách c a tam giác ABH, ACH BCH Do đó, ta có 12 đường trịn tiếp xúc với đường tròn c1 Ch ng minh Ta ch ng minh cho bƠi toán sau đơy: Gọi I, O9, Oa tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn Phây-Bách tâm đường trịn bàng tiếp góc A c a ABC Khi ta có: = − = + , R, r, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp bàng tiếp góc A c a ABC Từ 2 đó, suy đường trịn nội tiếp đường trịn Phây-Bách tiếp xúc với Đồng thời, đường tròn Phây-Bách tiếp xúc với đường tròn bàng tiếp Thật vậy, áp dụng đ nh lý Sti-oa vào IOO9 ta có: O O IG    O G IO  O G IO  O G O O G O O G IG 2 IG 2   IO 2 O G IO 2  O9O   O G I O  O G O G OG 49 document, khoa luan52 of 98 tai lieu, luan van53 of 98  IO  1  OG 22  IG 2   OI   (1) Hình 3.18 Ta có: GO = 2GO9; OI  R OG  R  Rr ;  a  b  c 2 ; IG  5r  p  16 Rr a  b  c  p  2r  8Rr 2 2 ; Thay vƠo (1), ta được: IO      2  3  a  b  c  2 5r  p  16 Rr  R  Rr  r     2     IO  R  r G i R9 lƠ bán kính đường trịn Phây-Bách, ta có: 2R9 = R  IO9 = R9 - r suy đường trịn Phây-Bách ln tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Hai đường tròn nƠy trùng vƠ ABC lƠ tam giác (R = 2R9 = 2r) Tiếp theo, áp dụng đ nh lý Sti-oa vào OaOO9, vai trò c a Oa đơy tư ng tự vai trò c a điểm I Rút g n ta được: OaO9  50 document, khoa luan53 of 98 OG 2  3OaG  O Oa (2) tai lieu, luan van54 of 98 Mặt khác, ta l i có: 3OaG  3ra  2 OG a  R  b  c 2 a  b  c  2 2   p  a ; 2 ; O a O  R  R ; a  b  c  p  2r  8Rr 2 2 Rr  R 2 Thay tất vƠo (2) ta được: OaO9  R 2  p  r  R r     p  r  R r  2 R p  r   R  p a  a 2 16  Rr  p  a  R  2    R      r  R r  R  a  b  c       hay 2 OaO9 Trong (3), ta cần ch ng minh: vậy, thay a  b  c    r  4R  r  R r  R  a  b  c    r   (3) (4) Thật vào (4) ta có:  r  R r  R  R r  r  r  R  r  r  2 2 Ta có (4) tư ng đư ng với đẳng th c sau: OaO9  Vì ta có R9  R R  R  R  R       O a O      R   O a O Vậy ta có đường tròn Phây-Bách tiếp xúc với đường tròn bƠng tiếp Đ nh lý 12 (Điểm Brôca) Cho tam giác ABC Ch ng minh đường tròn (c1) qua A, B tiếp xúc với cạnh AC; đường tròn (c2) qua B, C tiếp xúc với cạnh AB; đường tròn (c3) qua A, C tiếp xúc với cạnh BC đồng quy điểm Điểm gọi điểm Brôca Xác đ nh t a độ điểm vƠ đường tròn đ nh lý sau: [> A:=Point(0, 0): B:=Point(1, 0): C:=Point(u1, u2): M1:=Point(x1, x2): M2:=Point(x3, x4): M3:=Point(x5, x6): c1:=pc_circle(M1, A); c2:=pc_circle(M2, B); c3:=pc_circle(M3, C); c1:= [1, –2x1, –2x2, 0] c2:= [1, –2x3, –2x4, 2x3 – 1] 51 document, khoa luan54 of 98 tai lieu, luan van55 of 98 c3:= [1, –2x5, –2x6, 2u1x5 – u12 + 2u2x6 – u22] Tiếp theo ta xác đ nh t a độ tơm đường tròn rƠng buộc đa th c điều kiện sau đơy: [> polys:={is_c1_tangent(c1, pp_line(A, C)), on_circle(B, c1), is_c1_tangent(c2, pp_line(A, B)), on_circle(C, c2), is_c1_tangent(c3, pp_line(B, C)), on_circle(A, c3)}; polys := {2u1x5 – u12 + 2u2x6 – u22, u22 + u12 – 2u1x3 – 2u2x4 + 2x3 – , – 2x1, 4x52 – 8u1x5 – 8u1u22 + 8u2u1x6 – u2x6u12 – 8x5u2x6 + 8u22x5 + 4u14 + 4u24 + 4u22x62 + 8u1x5u2x6 + 16u12x5 – 8u13x5 + 8u12u22 – 8u23x6 – 8u1x52 + 4u12x52 – 8u1x5u22 – 8u13, – 8x3 + x32, 4(u1x1 + u2x2)2} Các đa th c điều kiện lƠ tuyến tính với biến phụ thuộc T a độ tơm đường tròn nhận giá tr hữu tỉ Bơy ta ch ng tỏ giao điểm c a hai số chúng nằm đường tròn th ba: [> vars:={x1, x2, x3, x4, x5, x6}: [> sol:=solve(polys, vars); := = 2 − =− 1 + , = 1, = 1−2 = 2 + 2 , 2 + 2 − 2 2 2 + + , 1, = [> P:=other_cc_point(B, subs(sol, c1), subs(sol, c2)); := + 1− + − + 12 − 2 2 + + −2 + +2 (1 − + 12 + 22 ) 22 + − + 12 − 13 − 22 + [> on_circle(P, subs(sol, c3)); 52 document, khoa luan55 of 98 2 + +2 , 2 + tai lieu, luan van56 of 98 C P B A Hình 3.19 Kết trả l i ch ng tỏ đ nh lý ch ng minh Tóm l i, sử dụng phần mềm Maple để tìm c sở Groebner c a hệ đa th c Từ ch ng minh đ nh lý hình h c máy tính Trên c sở kiểm ch ng đ nh lý hình h c, ch ng minh tốn h c khai thác bƠi toán sơu h n xơy dựng chư ng trình máy tính để kiểm tra tính sai c a mệnh đề tốn h c đ i số hóa Kết c a chư ng lƠ số ví dụ điển hình việc ch ng minh đ nh lý máy tính Theo cách hoƠn toƠn tư ng tự, ta ch ng minh bƠi tốn hình h c đơy theo bước nêu luận văn, việc đ i số hóa đ nh lý đóng vai trị quan tr ng việc kiểm tra kết luận c a đ nh lý phần mềm toán h c Maple: Cho hình vng ABCD P điểm nằm đường thẳng song song với BD qua C cho BD = BP G i Q lƠ giao điểm c a BF CD Ch ng minh DP = DQ G i P, Q, R lƠ chơn đường cao c a tam giác ABC Ch ng minh đường cao qua điểm Q chia đơi góc PQR 53 document, khoa luan56 of 98 tai lieu, luan van57 of 98 Cho tam giác ABC Xét chơn đường cao c a tam giác hình chiếu vng góc c a điểm c nh đối diện c a tam giác Ch ng minh điểm nằm đường tròn, g i đường trịn Taylor Ch ng minh cơng th c F ( ABC )  a b c R với F(ABC) diện tích tam giác ABC, a, b, c lƠ độ dài c nh c a tam giác R bán kính c a đường trịn ngo i tiếp tam giác Cho k đường tròn, A tiếp điểm c a tiếp tuyến từ điểm B đến k, M lƠ trung điểm c a AB D điểm k G i C lƠ giao điểm th hai c a DM với k, E lƠ giao điểm th hai c a BD với k F lƠ giao điểm th hai c a BC với k Ch ng tỏ EF song song với AB Cho A, B, C, D bốn điểm phân biệt đường thẳng theo th tự Các đường trịn với đường kính AC BD giao t i điểm X Y Đường thẳng XY gặp BC t i điểm Z Cho P điểm đường thẳng XY khác điểm Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC t i điểm C M, vƠ đường thẳng BP cắt đường trịn đường kính BD t i điểm B N Ch ng minh đường thẳng AM, DN XY đồng quy Cho tam giác cân ABC với AB = AC Giả sử rằng: (i) M lƠ trung điểm c a BC O lƠ điểm đường thẳng AM cho OB vng góc với AB; (ii) Q lƠ điểm tùy ý đo n thẳng BC khác điểm B C; (iii) E nằm đường thẳng AB F nằm đường thẳng AC cho E, Q F phân biệt thẳng hàng Ch ng minh OQ vng góc với EF QE = QF Ch ng minh khoảng cách d tâm c a đường tròn nội tiếp đường tròn ngo i tiếp tam giác ABC thỏa mãn d  r  r  2 r lƠ bán kính đường trịn ngo i tiếp  bán kính c a đường tròn nội tiếp 54 document, khoa luan57 of 98 tai lieu, luan van58 of 98 Cho M điểm đường thẳng AB, AMCD MBEF hình vng dựng c nh AB N lƠ giao điểm c a đường tròn ngo i tiếp, khác với điểm M (i) Ch ng minh AF BC cắt t i điểm N (ii) Ch ng minh tất đường thẳng MN với giá tr khác c a M cắt t i điểm 55 document, khoa luan58 of 98 tai lieu, luan van59 of 98 K T LU N Luận văn thu số kết sau đơy: Nêu ng dụng c a c sở Groebner việc ch ng minh đ nh lý hình h c máy tính Xơy dựng gói GeoProver để kiểm tra tính đắn c a đ nh lý hình h c dựa ngơn ngữ lập trình c a phần mềm Maple Phư ng pháp đề xuất luận văn địi hỏi tính tốn cồng kềnh so với ch ng minh hình h c, phư ng pháp nƠy có lợi lƠ thực máy tính vƠ khơng địi hỏi lắt léo nƠo (như vẽ thêm đường, chọn thêm điểm) Khi đ i số hoá bƠi tốn thời gian ch y máy tính không đáng kể Bằng phư ng pháp nƠy xơy dựng giả thuyết hình h c Sau đ i số hố vƠ tìm trường hợp suy biến (chú ý ta cần đ i số hoá cho bƠi toán nhận có số lượng biến độc lập lƠ nhất) Từ đó, khẳng đ nh nhìn chung giả thuyết có hay khơng ? Điều nƠy đem l i lợi khác: tìm phản ví dụ dựa trường hợp suy biến cho số tốn hình học Đề xuất quy trình ch ng minh đ nh lý hình h c vƠ minh h a việc ch ng minh số đ nh lý hình h c s cấp Từ đề xuất đ nh hướng cho việc khai thác bƠi tốn hình h c (đ i số hóa, kiểm tra giả thuyết, mở rộng đ nh lý, tổng quát hóa, đặc biệt hóa nghiên c u sơu lời giải bƠi toán, sáng t o bƠi toán mới, ) với hỗ trợ c a máy tính điện tử 56 document, khoa luan59 of 98 tai lieu, luan van60 of 98 TÀI LI U THAM KH O [1] Đỗ Đ c Bình (2000) Ch ng minh định lý hình học máy tính Luận văn Th c sĩ Toán h c, Viện Toán h c, HƠ Nội [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2013) Giáo trình hình học s cấp NXB Giáo dục Việt Nam [3] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2015) Bài tập hình học s cấp NXB Giáo dục Việt Nam [4] Ph m Huy Điển (2002) Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple NXB Khoa h c vƠ Kĩ thuật [5] Nguyễn Th Thúy Hằng (2009) Vài ng dụng c a lý thuyết c sở Groebner Luận văn Th c sĩ Toán h c, Trường Đ i h c Vinh [6] Lê Tuấn Hoa (2003) Đại số máy tính - C sở Groebner NXB Đ i h c Quốc gia HƠ Nội [7] Nguyễn Danh Nam (2009) ng dụng c sở Groebner ch ng minh đ nh lý hình h c với hỗ trợ c a phần mềm Maple Tạp chí Dạy Học ngày nay, 08, 38-44 [8] Trần Trung, Đặng Xuơn Cư ng, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam (2011) ng dụng cơng nghệ thơng tin vào dạy học mơn Tốn trường phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [9] Ngô Việt Trung (1999) C sở Groebner hình h c vƠ đ i số Thơng tin Tốn học, 3(1), 2-7 [10] Franz Winkler (1990) Groebner bases in geometry theorem proving and simplest degeneracy conditions Mathematica Pannonica, 1(1), 15-32 [11] Shengxiang Xia, Gaoxiang Xia (2009) An application of Groebner bases The Montana Mathematics Enthusiast, 6(3), 381-394 57 document, khoa luan60 of 98 ... nh lý (hay trường hợp mà định lý khơng cịn đúng) 3.2 QUY TRỊNH CH NG MINH Đ NH Lụ B NG MÁY TÍNH 3.2.1 Các b c ch ng minh đ nh lý hình h c b ng máy tính Để ch ng minh đ nh lý hình h c c sở Groebner. .. phư ng pháp ch ng minh số đ nh lý hình h c s cấp máy tính Phần mềm Maple đưa kết luận tính sai c a đ nh lý hình h c Sau có kết từ máy tính, chúng tơi ch ng minh đ nh lý tốn h c vƠ phát triển thêm... dụng c a lý thuyết c sở Groebner tính tốn hình th c máy tính lƠ Đ i số giao hốn vƠ Hình h c đ i số Hiện nay, có nhiều phần mềm xử lý toán h c Maple, Macaulay, CoCoA để phục vụ cho việc tính tốn