Ứng dụng cơ s— grobner vào ¨ chứng minh định lý hình h¯c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN Lấ NGC SN ă NG DNG C S GROBNER VÀO CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ NGC SN ă NG DNG C S GROBNER VO CHNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: TS NGƠ LÂM XUÂN CHÂU Bình Định - Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn không trùng lặp với đề tài khác hoàn thành hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Bình Định, ngày tháng năm 2022 Học viên Lê Ngọc Sơn Mục lục Danh mục hình vẽ Danh mục bảng MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Thứ tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu v c s Grăobner 1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức khởi đầu 1.2.2 Iđêan khởi đầu s Grăobner 1.2.3 Mt s tớnh cht ca c s Grăobner Định lý Hilbert không điểm 10 1.3 ă PHNG PHÁP CƠ SỞ GROBNER TRONG CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC 12 2.1 Đại số hố tốn hình học 12 2.2 Chứng minh định lý hỡnh hc bng phng phỏp c s Grăobner 19 2.3 Vấn đề tìm điều kiện phụ 27 CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC 34 3.1 Chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng 34 3.2 Chứng minh tập điểm thuộc đường tròn 47 3.3 Chứng minh số đẳng thức hình học 53 Tài liệu tham khảo 64 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Lâm Xuân Châu người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn-Thống Kê, Phịng sau Đại học trường Đại học Quy Nhơn dạy bảo tơi tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Tốn K23 giúp đỡ tơi suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn BẢNG CÁC KÝ HIỆU N : tập số tự nhiên R : tập số thực C : tập số phức Danh mục hình vẽ Trang Hình 2.1 Định lý đường trung tuyến 16 Hình 2.2 Định lý đường trung tuyến 17 Hình 2.3 Định lý hình thoi 22 Hình 2.4 Định lý đường cao 28 Hình 3.1 Định lí Simson 35 Hình 3.2 Định lí Centroid 37 Hình 3.3 Định lí Pascal 39 Hình 3.4 Định lý Pappus 41 Hình 3.5 Định lý Gauss 42 Hình 3.6 Đường thẳng Euler 44 Hình 3.7 Đường trung bình tam giác 46 Hình 3.8 Đường trịn Apollonius 47 Hình 3.9 Đường trịn Taylor 49 Trang Hình 3.10 Đường trịn Euler 51 Hình 3.11 Định lý Stewart 53 Hình 3.12 Định lý Butterfly 56 Hình 3.13 57 Hình 3.14 59 Hình 3.15 Định lý đường phân giác 60 Danh mục bảng Trang Bảng 2.1 Biểu diễn ngơn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ 14 Bảng 2.2 Thời gian chứng minh định lý 62 51 Hình 3.10: Đường trịn Euler Đặt C = (0, 0), B = (u1 , 0), A = (u2 , u3 ), F = (x1 , x2 ), E = (x3 , x4 ), D = (x5 , 0), K = (x6 , x7 ), L = (x8 , x9 ), Q = (x10 , x11 ), P = (x12 , x13 ), R = (x14 , x15 ), H = (x20 , x16 ), M = (x17 , x18 ), G = (x19 , 0) Giả thiết tốn tương đương với phương trình DB = DC f1 := 2x5 − u1 = EA = EB f2 := u1 + u2 − 2x3 = f3 := 2x4 − u3 = FA = FC f4 := 2x1 − u2 = f5 := 2x2 − u3 = AG ⊥ BC f6 := x19 − u2 = BK ⊥ AC f7 := u3 x7 − u2 (u1 − x6 ) = K ∈ AC f8 := u3 x6 − u2 x7 = CL ⊥ AB f9 := x9 u3 − x8 (u1 − u2 ) = L ∈ AB f10 := −u3 x8 + u3 u1 − x9 (u1 − u2 ) = H ∈ AG f11 := x20 − u2 = H ∈ CL f12 := x9 x20 − x16 x8 = 52 PA = PH f13 := x12 − u2 = f14 := x16 + u3 − 2x13 = QC = QH f15 := 2x10 − x20 = f16 := 2x11 − x16 = RB = RH f17 := u1 + x20 − 2x14 = f18 := 2x15 − x16 = MD = ME f19 := (x17 − x5 )2 + x218 − (x17 − x3 )2 − (x18 − x4 )2 = MD = MR f20 := (x17 − x5 )2 + x218 − (x17 − x14 )2 − (x18 − x15 )2 = MD = ML f21 := (x17 − x5 )2 + x218 − (x17 − x8 )2 − (x18 − x9 )2 = MD = MP f22 := (x17 − x5 )2 + x218 − (x17 − x12 )2 − (x18 − x13 )2 = MD = MK f23 := (x17 − x5 )2 + x218 − (x17 − x6 )2 − (x18 − x7 )2 = MD = MQ f24 := (x17 − x5 )2 + x218 − (x17 − x10 )2 − (x18 − x11 )2 = MD = MG f25 := (x17 − x5 )2 − (x17 − x19 )2 = Kết luận chứng minh chín điểm K, F, Q, G, D, R, E, L, P thuộc đường tròn, tức M D = M F tương đương với phương trình f26 := (x17 − x5 )2 + x218 − (x17 − x1 )2 − (x18 − x2 )2 = Bây để kiểm định kết luận, sử dụng phần mềm MAPLE iđêan I = f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 , f8 , f9 , f10 , f11 , f12 , f13 , f14 , f15 , f16 , f17 , f18 , f19 , f20 , f21 , f22 , f23 , f24 , f25 , gz − ⊂ R(u1 , u2 , u3 )[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 , x11 , x12 , x13 , x14 , x15 , x16 , x17 , x18 , x19 , x20 , z] theo thứ tự từ điển với x1 > x2 > x3 > x4 > x5 > x6 > x7 > x8 > x9 > x10 > x11 > x12 > x13 > x14 > x15 > x16 > x17 > x18 > x19 > x20 > z, ta c c s Grăobner [1] Vì định lý chứng minh xong 53 3.3 Chứng minh số đẳng thức hình học Trong phần luận văn, chúng tơi trình by ng dng c s Grăobner thit lp v chứng minh đẳng thức hình học Định lý 3.3.1 (Định lý Stewart) Gọi a, b c độ dài cạnh tam giác Gọi d độ dài đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác với điểm nằm cạnh (ở cạnh có độ dài a) đối diện với đỉnh Đoạn thẳng chia cạnh a thành hai đoạn có độ dài m n, định lý Stewart nói rằng: b2 m + c2 n = a(d2 + mn) Hình 3.11: Định lý Stewart Chứng minh Trong hệ trục toạ độ Descartes, đại số hố định lý hình học sau: Đặt A = (x1 , x2 ), B = (x3 , x4 ), C = (x5 , x6 ), D = (x7 , x8 ) Giả thiết độ dài cạnh tam giác đương đương với phương trình sau: BC = a f1 : = (x3 − x5 )2 + (x4 − x6 )2 = a2 = (x3 − x5 )2 + (x4 − x6 )2 − a2 = AC = b f2 : = (x1 − x5 )2 + (x2 − x6 )2 = b2 = (x1 − x5 )2 + (x2 − x6 )2 − b2 = AB = c f3 : = (x1 − x3 )2 + (x2 − x4 )2 = c2 54 = (x1 − x3 )2 + (x2 − x4 )2 − c2 = f4 : = (x1 − x7 )2 + (x2 − x8 )2 = d2 AD = d = (x1 − x7 )2 + (x2 − x8 )2 − d2 = f5 : = (x3 − x7 )2 + (x4 − x8 )2 = m2 BD = m = (x3 − x7 )2 + (x4 − x8 )2 − m2 = f6 : = (x5 − x7 )2 + (x6 − x8 )2 = n2 CD = n = (x5 − x7 )2 + (x6 − x8 )2 − n2 = D ∈ BC f7 : = (x7 − x3 )(x6 − x4 ) − (x8 − x4 )(x5 − x3 ) = f8 : = m + n − a = BC = BD + DC Kết luận đẳng thức b2 m + c2 n = a(d2 + mn) hay tương đương g := b2 m + c2 n − a(d2 + mn) = Bây để kiểm định kết luận, sử dụng phần mềm MAPLE iđêan f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 , f8 , gz − ⊂ R[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , a, b, c, d, m, n, z] theo thứ tự từ điển, ta c c s Grăobner [1] Vỡ vy nh lý Stewart chứng minh xong Bây giờ, ta minh hoạ toán thiết lập đẳng thức Stewart phần mềm MAPLE sau > with(Groebner): > f1:=(x3-x5)^2+(x4-x6)^2-a^2; f1 := (x3 − x5 )2 + (x4 − x6 )2 − a > f2:=(x1-x5)^2+(x2-x6)^2-b^2; f2 := (x1 − x5 )2 + (x2 − x6 )2 − b > f3:=(x1-x3)^2+(x2-x4)^2-c^2; f3 := (x1 − x3 )2 + (x2 − x4 )2 − c 55 > f4:=(x1-x7)^2+(x2-x8)^2-d^2; f4 := (x1 − x7 )2 + (x2 − x8 )2 − d > f5:=(x3-x7)^2+(x4-x8)^2-m^2; f5 := (x3 − x7 )2 + (x4 − x8 )2 − m > f6:=(x5-x7)^2+(x6-x8)^2-n^2; f6 := (x5 − x7 )2 + (x6 − x8 )2 − n > f7:=(x7-x3)*(x6-x4)-(x8-x4)*(x5-x3); f7 := (x7 − x3 ) (x6 − x4 ) − (x8 − x4 ) (x5 − x3 ) > f8:=m+n-a; f8 := m + n − a > g:=b^2*m+c^2*n-a*(d^2+m*n); > g := b m + c n − a(d + mn) Basis([f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,g*z-1],plex(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8, > m,n,a,b,c,d,z)); > factor(G[1]); −a(a n − ab + ad − an + b n − c n) > collect(-a*n^2+a^2*n-c^2*n+a*d^2+b^2*n-a*b^2,d); a n − ab + ad − an + b n − c n Từ kết nhận phép a = m + n ta thu đa thức kết luận g Định lý 3.3.2 (Định lý Butterfly) Các điểm A, B, C D thuộc đường tròn tâm O Gọi E giao điểm AC BD Gọi F, G tương ứng giao điểm đường thẳng qua E vng góc với OE cắt AD, BC Chứng minh F E = GE Chứng minh Trong hệ trục toạ độ Descartes vng góc, chọn điểm E làm gốc toạ độ, cạnh EG nằm trục tung cạnh EO nằm trục hồnh Đại số hố định lý hình học sau Cho E = (0, 0), O = (u1 , 0), A = (u2 , u3 ), B = (u4 , x1 ), C = (x2 , x3 ), D = (x4 , x5 ), F = (x6 , x7 ), G = (x8 , x9 ) Giả thiết điểm A, B, C D nằm đường tròn tâm O, tương đương với phương trình sau 56 Hình 3.12: Định lý Butterfly    OA = OB    OA = OC      OA = OD f1 := −x21 − u24 + 2u1 u4 + u23 + u22 − 2u1 u2 = f2 := −x23 − x22 + 2u1 x2 + u23 + u22 − 2u1 u2 = f3 := −x25 − x24 + 2u1 x4 + u23 + u22 − 2u1 u2 = Vì E giao điểm AC BD nên ta có phương trình   C ∈ AE f4 := u2 x3 − u3 x2 =  D ∈ BE f5 := u4 x5 − x1 x4 = Giả thiết F ∈ AD F nằm trục tung nên ta có phương trình   f6 := (u2 − x6 )(x5 − x7 ) − (u3 − x7 )(x4 − x6 ) =  f7 := x6 = Giả thiết G ∈ BC G nằm trục tung nên ta có phương trình   f8 := (u4 − x8 )(x3 − x9 ) − (x1 − x9 )(x2 − x8 ) =  f9 := x8 = Kết luận EF = EG tương đương với g := x26 + x27 − x28 − x29 = 57 Bây để kiểm định kết luận, sử dụng phần mềm MAPLE iđêan f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 f7 , f8 , f9 , gz − ⊂ R(u1 , u2 , u3 , u4 )[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , z] theo thứ tự từ điển với x1 > x2 > x3 > x4 > x5 > x6 > x7 > x8 > x9 > z ta c s Grăobner [1] Vỡ vy nh lý c chng minh xong Định lý 3.3.3 Cho tam giác ABC cân C Lấy điểm D thuộc tia AC E thuộc tia đối BC cho AD = BE Gọi G giao điểm DE AB Chứng minh DG = EG Chứng minh Trong hệ trục toạ độ Descartes vng góc, chọn điểm A làm gốc toạ độ cạnh AB nằm trục hoành Đại số hố định lý hình học sau: Hình 3.13: Đặt A = (0, 0), B = (u1 , 0), C = (x1 , u2 ), D = (u3 , x2 ), E = (x3 , x4 ), G = (x5 , x6 ) Ta −→ −−→ có AC = (x1 , u2 ), BC = (x1 − u1 , u2 ) Giả thiết ABC cân C, tức CA = CB 58 tương đương với phương trình sau f1 := 2u1 x1 − u21 = Theo đề D ∈ AC, E ∈ BC nên ta có hệ phương trình   f2 := −x1 x2 + u2 u3 =  f3 := (−x1 + u1 )x4 + u2 x3 − u1 u2 = −−→ −−→ Ta có AD = (u3 , x2 ), BE = (x3 − u1 , x4 ) Giả thiết AD = BE tương đương với phương trình sau f4 := x24 + x23 − 2u1 x3 − x22 − u23 + u21 = Vì G giao điểm DE AB nên ta có phương trình   f5 := (u3 − x5 )x4 − u3 x6 + x2 x5 − (x2 − x6 )x3 =  f6 := x6 = −−→ −−→ Kết luận DG = EG, ta có DG = (x5 − u3 , x6 − x2 ), EG = (x5 − x3 , x6 − x4 ) suy phương trình g := (x5 − u3 )2 + (x6 − x2 )2 − (x5 − x3 )2 − (x6 − x4 )2 = Bây để kiểm định kết luận, sử dụng phần mềm MAPLE iđêan I = f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , gz − ⊂ R(u1 , u2 , u3 )[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , z] theo thứ tự từ điển với x1 > x2 > x3 > x4 > x5 > x6 > z, ta c c s Grăobner [1] Vỡ định lý chứng minh xong Định lý 3.3.4 Cho A, B, C D bốn điểm đường tròn với tâm O cho AC ⊥ BD, E giao điểm đường thẳng AC BD, đường thẳng qua E vng góc với AB cắt DC F Chứng minh F D = F C Chứng minh Trong hệ trục toạ độ Descartes vng góc, chọn điểm A làm gốc toạ độ cạnh AC nằm trục hồnh, đại số hố định lý hình học sau: 59 Hình 3.14: Đặt A = (0, 0), C = (u1 , 0), B = (u2 , u3 ), = (x1 , x2 ), D = (u2 , x3 ), E = (u2 , 0), F = (x4 , x5 ) Giả thiết bốn điểm A, B, C D nằm đường tròn tâm O, tương đương với phương trình sau     OA = OC f1 := 2u1 x1 − u21 =    OA = OB f2 := 2u3 x2 + 2u2 x1 − u23 − u22 =      OA = OD f3 := −x23 + 2x2 x3 + 2u2 x1 − u22 = −→ −→ Giả thiết EF ⊥ AB, tức EF AB = tương đương với phương trình sau f4 := u3 x5 + u2 x4 − u22 = Giả thiết F ∈ DC tương đương với phương trình sau f5 := (u2 − u1 )x5 − x3 x4 + u1 x3 = Kết luận F D = F C có nghĩa g := −2x4 + u2 + u1 = Bây để kiểm định kết luận, sử dụng phần mềm MAPLE iđêan I = f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , gz − ⊂ R(u1 , u2 , u3 , u4 )[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , z] theo thứ tự từ điển với x1 > x2 > x3 > x4 > x5 > z, ta s Grăobner [1] 60 Vỡ vy nh lý c chng minh xong Định lý 3.3.5 (Định lý đường phân giác) Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai cạnh DB AB = AC DC Hình 3.15: Định lý đường phân giác Chứng minh Trong hệ trục toạ độ Descartes, đại số hố định lý hình học sau: Đặt A = (x1 , x2 ), B = (x3 , x4 ), C = (x5 , x6 ), D = (x7 , x8 ) Giả thiết độ dài cạnh định lý đương đương với phương trình sau: AC = b f1 : = (x1 − x5 )2 + (x2 − x6 )2 = b2 = (x1 − x5 )2 + (x2 − x6 )2 − b2 = AB = c f2 : = (x1 − x3 )2 + (x2 − x4 )2 = c2 = (x1 − x3 )2 + (x2 − x4 )2 − c2 = AD = d f3 : = (x1 − x7 )2 + (x2 − x8 )2 = d2 = (x1 − x7 )2 + (x2 − x8 )2 − d2 = BD = m f4 : = (x3 − x7 )2 + (x4 − x8 )2 = m2 = (x3 − x7 )2 + (x4 − x8 )2 − m2 = CD = n f5 : = (x5 − x7 )2 + (x6 − x8 )2 = n2 61 = (x5 − x7 )2 + (x6 − x8 )2 − n2 = D ∈ BC f6 : = (x7 − x3 )(x6 − x4 ) − (x8 − x4 )(x5 − x3 ) = Áp dụng cơng thức tính góc (hệ định lý Cơsin) cho  2  cosBAD = c + d − m 2cd 2  cosCAD = b + d − n 2bd BAD CAD , ta có Giả thiết AD đường phân giác góc A nên ta có BAD = CAD, tương đương với phương trình f7 := −b(c2 + d2 − m2 ) + c(b2 + d2 − n2 ) = Kết luận c m = tương đương với phương trình b n g := cn − bm = Bây để kiểm định kết luận, sử dụng phần mềm MAPLE iđêan I = f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 , gz − ⊂ R[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , m, n, b, c, z] theo thứ tự từ điển, ta c c s Grăobner [1] Vỡ vy nh lý chứng minh xong Cuối cùng, lập bảng thống kê để tính tốn thời gian kiểm tra kết luận định lý phần mềm MAPLE Qua đó, so sánh thời gian kiểm tra kết luận định lý hình học nhanh hay chậm phụ thuộc vào độ phức tạp toán đại số hoá 62 Bảng 2.2 Thời gian chứng minh định lý Định lý Thời gian(s) Simson 1.09 Centroid 1.20 Pascal 1.09 Pappus 1.46 Đường tròn Apollonius 1.37 Đường tròn Euler 2.39 Gauss 1.04 Định lý Stewart 1.85 Butterfly 0.90 Đường thẳng Euler 0.89 Theorem 3.3.3 1.03 Theorem 3.3.4 1.17 Tóm lại, sử dụng phần mềm MAPLE tỡm c s Grăobner ca h a thc T chứng minh định lý hình học máy tính Kết chương số ví dụ điển hình việc chứng minh định lý hình học dựa phương pháp sở Grăobner Theo cỏch hon ton tng t, ta cng cú thể chứng minh tốn hình học khác theo bước nêu luận văn, đại số hóa định lý đóng vai trị quan trọng việc kiểm tra kết luận định lý phần mềm toán học MAPLE 63 Kết luận Luận văn thu số kết sau đây: Tìm hiểu, trình bày chi tiết kiến thức v iờan u, c s Grăobner v nh lý khơng điểm Hilber Trình bày cách đại số hố tốn hình học, quy trình chứng minh định lý hình học tìm trường hợp suy biến định lý dựa phương pháp sở Grăobner Trỡnh by chng minh chi tit, rừ rng số định lý hình học sơ cấp kinh điển minh ng dng phng phỏp c s Grăobner 64 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Tuấn Hoa (2003), i s mỏy tớnh C s Grăobner, HQG H Ni Ting Anh [2] Buchberger (1985), "Grăobner Bases: An Algorithmic Method in Polynomial Ideal Theory", in: Multidimensional Systems Theory, N.K Bose, ed., 184232, D Reidel Publ Comp [3] B Kutzler, S Stifter (1986), On the application of Buchberger’s algorithm to automated geometry theorem proving, Journal of Symbolic Computation 2/4, 389-397 [4] D Cox, J Little, and D O’Shea (2007), Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer [5] F Winkler(1990), Grăobner bases in geometry theorem proving and simplest degeneracy conditions, Mathematica Pannonica, 1/1, 15-32 [6] F Mari´c, I Petrovi´c, D Petrovi´c, P Janiˇci´c (2012), Formalization and implementation of algebraic methods in geometry, P Quaresma and R.-J Back (Eds.), THedu’11 EPTCS 79, 63–81 [7] J Ritt (1950), Differential Algebra, American Mathematical Society [8] Kapur (1986), "Using Grăobner Bases to Reason About Geometry Problems", J of Symbolic Computation 2/4, 399-408 65 [9] S.C Chou (1986), W.F Schelter, Proving geometry theorems with rewrite rules, Journal of Automated Reasoning, 2, 253273 [10] Wu Wen-Tsă un (1978), On the decision problem and the mechanization of theorem proving in elementary geometry, Scientia Sinica, 21, 157-179 [11] Wu Wen-Tsă un (1986), Basic principles of mechanical theorem proving in elementary geometries, Journal of Automated Reasoning, 2, 221-252 ... mục hình vẽ Trang Hình 2.1 Định lý đường trung tuyến 16 Hình 2.2 Định lý đường trung tuyến 17 Hình 2.3 Định lý hình thoi 22 Hình 2.4 Định lý đường cao 28 Hình 3.1 Định lí Simson 35 Hình 3.2 Định. .. Trình bày quy trình chứng minh định lý hình hc da vo phng phỏp c s Grăobner, sau ú ứng dụng để chứng minh số định lý hình học sơ cấp kinh điển tìm trường hợp suy biến định lý hình học Luận văn... luận toán hình học Sau đưa quy trình chứng minh định lý hình học phương pháp sở Grăobner Da vo ú, chỳng tụi tỡm c cỏc iu kiện phụ cho định lý hình học Chương - Chứng minh số định lý hình học Trong