Cơ sở groebner và chứng minh định lý hình học bằng máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI ĐỨC THẮNG CƠ SỞ GROEBNER VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI ĐỨC THẮNG CƠ SỞ GROEBNER VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam THÁI NGUYÊN - 2015 Công trình hồn thành Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Việt Hải Phản biện 2: PGS.TS Trịnh Thanh Hải Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày 31 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu tại: Thư viện Trường Đại học Khoa học Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ GROEBNER 1.1 Thứ tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu sở Groebner 1.3 Định lý Hilbert không điểm 10 CHƯƠNG 2: PHẦN MỀM MAPLE VÀ GÓI LỆNH GEOPROVER 12 2.1 Phần mềm Maple 12 2.2 Gói câu lệnh GeoProver 13 CHƯƠNG 3: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH 16 3.1 Đại số hóa giả thiết kết luận định lý 16 3.2 Quy trình chứng minh định lý hình học máy tính 20 3.3 Chứng minh số định lý hình học 25 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Với phát triển nhanh chóng công nghệ thông tin truyền thông, phương tiện - thiết bị dạy học đại sử dụng cách có hiệu giáo dục Phần mềm dạy học phương tiện dạy học hỗ trợ giáo viên thực phần ý tưởng sư phạm Maple phần mềm toán học tạo cách tiếp cận sinh động sáng tạo Ngoài câu lệnh có chức kiểm tra, tính tốn, minh hoạ hình ảnh,…nó cịn cho phép giáo viên sử dụng ngơn ngữ lập trình Maple để tạo cơng cụ mới, gói câu lệnh Vì thế, Maple có khả đầy đủ để giảng dạy học tập từ bậc phổ thơng (các gói chức đại số, số học, giải tích, hình học,…) lên đại học (đại số tuyến tính, phương trình vi phân, hình học cao cấp, đại số đại,…) Xuất phát từ ý tưởng có nhiều định lý hình học hồn tồn mơ tả khái niệm đại số cách biểu diễn hình hình học toạ độ Đề-các vng góc Khi đó, hầu hết hình hình học biên xem tập khơng điểm đa thức, quan hệ chúng mơ tả phương trình đa thức tập không điểm phải xét trường số thực Như vậy, để kiểm tra tính - sai giả thuyết hay định lý hình học hồn tồn thực nhờ kết quan trọng liên quan đến khái niệm sở Groebner nhà toán học Bruno Buchberger đưa năm 1965 luận án phó tiến sĩ Tính tốn hình thức hay cịn gọi Đại số máy tính, xuất khoảng ba chục năm gần trở thành chuyên ngành độc lập Đây chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học khoa học máy tính Nó đời ảnh hưởng phát triển phổ cập máy tính cá nhân Một mặt, phát triển đòi hỏi phải xây dựng lý thuyết toán học làm sở cho việc thiết lập thuật toán phần mềm tốn học Mặt khác, khả tính tốn ngày tăng máy tính giúp triển khai tính toán thực nhiều thuật toán Sự phát triển Đại số máy tính có tác dụng tích cực trở lại nghiên cứu toán học lý thuyết Nhiều kết lý thuyết phán đoán có phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính Hầu hết vấn đề mà lý thuyết sở Groebner cho lời giải thuật toán biết trước đó, tính giải Tuy nhiên việc chứng minh tính giải thực tính toán thực tế khoảng cách lớn Hơn nữa, nhiều đối tượng ngành trừu tượng Đại số giao hốn Hình học đại số tính tốn thơng qua sở Groebner chứng tỏ có tầm quan trọng lý thuyết Mục đích luận văn giới thiệu thuật tốn tính sở Groebner cho Iđêan đa thức, để trình bày số ứng dụng lý thuyết sở Groebner tính tốn hình thức máy tính Đại số giao hốn Hình học đại số Hiện nay, có nhiều phần mềm xử lý tốn học Maple, Macaulay, CoCoA để phục vụ cho việc tính toán Nhưng luận văn chọn phần mềm Maple để trình bày cách đại số hóa tốn hình học chứng minh định lý hình học máy tính Tuy nhiên, đơn sử dụng gói cơng cụ Groebner Maple giáo viên nhiều khó thực kịch sư phạm Giải pháp cho vấn đề giáo viên sử dụng ngơn ngữ lập trình Maple để xây dựng gói cơng cụ phù hợp Do đó, chúng tơi xây dựng gói GeoProver để hỗ trợ chứng minh số định lý hình học sơ cấp Chương CƠ SỞ GROEBNER Khái niệm sở Groebner đời năm 1970 để giải toán chia đa thức Sau 20 năm khái niệm có ứng dụng to lớn nhiều chuyên ngành tốn học khác từ Đại số đến Hình học, Tô pô, Tổ hợp Tối ưu [9] Việc sử dụng hệ đa thức giống sở Groebner xuất từ đầu kỉ với cơng trình Gordan, Macaulay, Hilbert Người thấy tầm quan trọng thuật toán chia nhà tốn học người Áo Broebner Ơng đặt vấn đề tính sở Groebner làm đề tài luận án phó tiến sĩ cho học trị ơng Buchberger Năm 1970, Buchberger tìm thấy thuật tốn hữu hiệu để tính sở Groebner Sau người ta phát Groebner biết nét thuật toán từ năm 50 Cùng thời gian xuất kĩ thuật tương tự giống thuật tốn chia cơng trình Hironaka giải kì dị, Grauert Giải tích phức Cohn Lý thuyết vành khơng giao hoán [9] Cơ sở Groebner nghiên cứu thời kì máy tính cá nhân đời bắt đầu trở nên phổ cập Ngay người ta thấy lập trình thuật tốn chia để giải toán với biến số mà ngày gọi tính tốn hình thức (symbol computation) Bản thân thuật toán chia chứa đựng thuận lợi cho việc lập trình như: (1) Việc xếp thứ tự hạng tử đa thức cho phép ta biểu diễn đa thức véc-tơ hệ số ta đưa liệu đa thức vào máy tính cách dễ dàng (2) Việc xét hạng tử lớn đa thức cho phép máy tính cần thử tọa độ véc-tơ tương ứng Về mặt lý thuyết khái niệm sở Groebner đưa phương pháp vấn đề nghiên cứu Trước tiên, người ta thấy nhiều cần xét tập hợp hạng tử đầu sở Groebner đủ để có thông tin cần thiết hệ đa thức ban đầu Có thể thay hạng tử đơn thức nên thực chất ta phải xét số hữu hạn số tự nhiên ứng với số mũ biến đơn thức Ta coi số tự nhiên điểm nguyên điểm có tọa độ số ngun Vì vậy, nhiều tốn Hình học Đại số quy việc xét tính chất tổ hợp hay tơ pơ tập hợp hữu hạn điểm nguyên Sau luận văn trình bày số kiến thức sở Groebner trước đưa thuật toán để chứng minh định lý hình học 1.1 THỨ TỰ TỪ 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Thứ tự từ  thứ tự toàn phần tập M tất đơn thức vành K[x] thoả mãn tính chất sau: i) Với m  M,  m ii) Nếu m1, m2, m  M mà m1  m2 mm1  mm2 1.1.2 Một số thứ tự từ Định nghĩa 1.2 Thứ tự từ điển thứ tự lex xác định sau: x11 xn n lex x11 xnn thành phần khác không kể từ bên trái véctơ 1  1, ,  n  n  số âm Nói cách khác, tồn  i  n cho 1  1, ,n  n , i1  i1 Thứ tự từ điển tương tự cách xếp từ từ điển, có tên gọi Định nghĩa 1.3 Thứ tự từ điển phân bậc thứ tự  glex xác định sau: x11 xnn  glex x11 xnn deg( x1 xn )  deg( x1 xn ) deg( x11 xnn )  deg( x11 xnn ) n n thành phần khác không kể từ bên trái véctơ 1  1, ,  n  n      số âm Nói cách khác, x1 xn n  glex x1 xn n 1    n  1    n   1    n  1    n x11 xn n lex x11 xn n Định nghĩa 1.4 Thứ tự từ điển ngược thứ tự  rlex xác định sau: x11 xn n rlex x11 xnn deg( x11 xn n )  deg( x11 xnn ) deg( x11 xnn )  deg( x11 xnn ) thành phần khác không kể từ bên phải véctơ 1  1, ,  n  n    số dương Nói cách khác, x11 xn n  rlex x11 xn n 1    n  1    n 1    n  1    n và tồn  i  n cho n  n , ,i1  i1  i   i Thứ tự từ điển ngược định nghĩa theo sơ đồ thứ tự từ điển phân bậc, thứ tự từ điển - điều tưởng chừng không tự nhiên Thực việc so sánh bậc tổng thể trước trường hợp bắt buộc để đảm bảo đơn thức nhỏ Mệnh đề 1.1 Ba thứ tự kể thứ tự từ 1.2 IĐÊAN KHỞI ĐẦU VÀ CƠ SỞ GROEBNER 1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức khởi đầu Định nghĩa 1.5 Cho  thứ tự từ f  R  K  x1 , , xn  Từ khởi đầu f , kí hiệu in  f  , từ lớn đa thức f thứ tự từ  a Nếu in  f    x ,0    K , lc  f    gọi hệ số đầu lm  f   xa đơn thức đầu f thứ tự từ  Nếu thứ tự từ  ngầm hiểu, ta viết in  f  (tương ứng lc  f  , lm  f  ) thay cho in  f  (tương ứng lc  f  , lm  f  ) Từ khởi đầu đa thức xem khơng xác định (có thể nhận giá trị tuỳ ý) Từ khởi đầu gọi từ đầu hay từ Như biểu diễn tắc đa thức f ta viết từ theo thứ tự giảm dần, in  f  xuất Đương nhiên cách viết từ khởi đầu f phụ thuộc vào thứ tự từ chọn 1.2.2 Iđêan khởi đầu sở Groebner Định nghĩa 1.6 Cho I iđêan R  thứ tự từ, Iđêan khởi đầu I, kí hiệu in  I  , iđêan R sinh từ khởi đầu phần tử I, nghĩa là:  in  I   in  f  f  I  Cũng ta viết in  I  thay in  I   rõ Rõ ràng có   in  I   Im  f  f  I nên in  I  iđêan đơn thức Vấn đề đặt làm để xác định iđêan khởi đầu in  I  iđêan I cho trước Cách tốt tìm hệ sinh tối tiểu Tuy nhiên, iđêan đơn thức có tập sinh đơn thức tập hữu hạn Do ta đưa vào khái niệm quan trọng sau đây: Định nghĩa 1.7 Cho  thứ tự từ I iđêan R Tập hữu hạn đa thức khác không g1 , , g s  I gọi sở Groebner I thứ tự từ  , nếu: in  I    in  g1  , , in  g s   Tập g1 , , g s  I gọi sở Groebner, sở Groebner iđêan sinh phần tử Mệnh đề 1.2 Cho I iđêan tuỳ ý R Nếu g1 , , g s  I sở Groebner I thứ tự từ đó, g1, , g s sở I Định nghĩa 1.8 Cơ sở Groebner rút gọn iđêan I thứ tự từ cho sở Groebner G I thoả mãn tính chất sau: i) lc  g   với g  G ii) Với g  G từ m g không tồn g '  G \  g để in  g ' | m Mệnh đề 1.3 Cho I  Khi thứ tự từ, I có sở Groebner rút gọn Mọi sở Groebner rút gọn sở Groebner tối tiểu A1C B ' B C ' O =1 A1B B ' O C ' C (1) C1B A ' A B ' O =1 C1 A A ' O B ' B (2) B1 A C ' C A ' O =1 B1C C ' C A ' A (3) C1 A’ A B O B’ C A1 C’ B1 Hình 3.14 Từ (1), (2), (3) ta có A1C C1B B1 A = hay ba điểm A1, B1, C1 thẳng hàng A1B C1 A B1C Trường hợp A’, B’, C’ nằm cạnh ABC điểm O nằm bên ABC, phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý (Đường thẳng Simsơn) Cho P điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC X, Y, Z chân đường vng góc từ điểm P đến cạnh tam giác Khi đó, điểm X, Y, Z thẳng hàng Trong hệ trục tọa độ Đề-các vng góc, chọn tâm O đường tròn ngoại tiếp làm gốc tọa độ điểm A thuộc đường tròn nằm trục hồnh Định lý đại số hóa sau: [> O_:=Point(0, 0): A:=Point(r, 0): B:=circle_slider(O_, A, u2); C:=circle_slider(O_, A, u3); P:=circle_slider(O_, A, u4); 𝑟(𝑢22 − 1) 2𝑟𝑢2 ] 𝐵≔[ ,− 𝑢2 + 𝑢2 + 44 𝐶≔[ 𝑟(𝑢32 − 1) 2𝑟𝑢3 ] ,− 2 𝑢3 + 𝑢3 + 𝑟(𝑢42 − 1) 2𝑟𝑢4 ] 𝑃≔[ ,− 𝑢4 + 𝑢4 + [> X:=pedalpoint(P, pp_line(A, B)); [> Y:=pedalpoint(P, pp_line(B, C)); [> Z:=pedalpoint(P, pp_line(A, C)); X := [ 𝑟(−2𝑢2 𝑢4 + 𝑢42 − + 𝑢22 𝑢42 + 𝑢22 ) 𝑢42 + + 𝑢22 𝑢42 + 𝑢22 − 2𝑟𝑢2(1 + 𝑢2 𝑢4 ) 𝑢4 + + 𝑢22 𝑢42 + 𝑢22 ] Y := [r(–2u4u22u3 – 2u4u2u32 + 2u2u4 + 2u4u3 + u22u42 + 2u2u3u42 – u22 – 2u2u3 + u32u42 + u32 + u22u32u42 + u22u32– u42 – 1)/( u22u42 + u22 + u32u42 + u32 + u22u32u42 + u22u32 + u42 + 1), − 2𝑟(𝑢2 𝑢42 + 𝑢3 𝑢22 + 𝑢3 𝑢42 + 𝑢2 𝑢32 + 𝑢22 𝑢32 𝑢4 − 2𝑢4 𝑢3 𝑢2 + 𝑢4 ) 𝑢22 𝑢42 + 𝑢22 + 𝑢32 𝑢42 + 𝑢32 + 𝑢22 𝑢32 𝑢42 + 𝑢22 𝑢32 + 𝑢42 + ] 𝑟(−2𝑢4 𝑢3 + 𝑢42 − + 𝑢32 𝑢42 + 𝑢32 ) 2𝑟𝑢3 (1 + 𝑢4 𝑢3 ) ] 𝑍: = [ , − 𝑢42 + + 𝑢32 𝑢42 + 𝑢32 𝑢42 + + 𝑢32 𝑢42 + 𝑢32 [> is_collinear(X, Y, Z); Kết trả lại có nghĩa định lý Chứng minh Ta sử dụng khái niệm góc định hướng để chứng minh tốn Để ba điểm X, Y, Z thẳng hàng, ta cần (ZX, ZY) = + kπ (𝑘 ∈ ℤ) Ta có: (ZX, ZY) = (ZX, ZP) + (ZP, ZY) + kπ = (AX, AP) + (CY, CP) + kπ = (BX, AP) + (CB, CP) + kπ = + kπ với (𝑘 ∈ ℤ) Điều có nghĩa ba điểm X, Y, Z thẳng hàng 45 X A P Z C B Y Hình 3.15 Định lý 10 (Định lý bướm) Cho A, B, C, D bốn điểm đường tròn với tâm O, P giao điểm đường thẳng AC BD F tương ứng, G giao điểm đường thẳng qua P vuông góc với OP với AB, tương ứng CD Khi đó, điểm P trung điểm FG Trong ví dụ 3.2 ta suy đa thức điều kiện để điểm P trung điểm đoạn thẳng FG là: [> con:=numer(sqrdist(P, midpoint(F, G))); con:= (x7 + x6)2 Kết trường hợp suy biến định lý mà A  C B  D Ta sử dụng điều kiện ràng buộc sau để loại bỏ trường hợp này: [> vars:=[x6, x7, x3, x5, x1, x2, x4]; vars:=[x6, x7, x3, x5, x1, x2, x4] [> sol:=gsolve(polys, vars, {sqrdist(A, C), sqrdist(B, D_)}); sol:= {[[2x4u1u4 – 2x4u1u2 + u22x4 + x4u32 – 2u1u2u4 + u22u4 + u4u32, u22x2 + u32x2 – 2u1u22 + u2u32 + u23, u42 + x12 – 2u1u4 + 2u1u2 – u22 – u32, x3u22 + x3u32 – 2u1u2u3 + u33 + u3u22, 2u4x5u1 – 2x5u1u2 + u22x5 + x5u32 – 2x1u1u2 + u22x1 + u32x1, u4x6u32 – u4u22u3 + 2u1u2u3u4 + u4x6u22 – 2u1u22x6 + u2u32x1 + u23x1 – 2u1u22x1 + u2x6u32 + u23x6, –x7u22u1 + x7u23 + x7u2u32 + x7u22u4 + x7u4u32 + 2u1u22x1 – u23x1 – u2u32x1 – 2u4u3u2u1 + u4u33 + u4u22u3], plex(x7, x6, x5, x4, x3, x2, x1),{ }]} [> map(x->normalf(con, x[1], x[2]), sol); {0} 46 Như vậy, định lý Ta tiếp tục khai thác thêm toán bước sau: Cho đường tròn (O) dây cung AB Gọi C trung điểm AB, qua C kẻ hai cát tuyến tuỳ ý HI KJ Gọi M, N giao AB với IJ, KH Khi C trung điểm MN Chứng minh Ta ý OM  AB để chứng minh CN = CM, ta cần chứng minh hai góc CON COM K A N I C M B P Q O H J Hình 3.16 Ta có hai tam giác HCK ICJ đồng dạng (có góc tương ứng nhau, tính chất hai góc nội tiếp chắn cung) Từ suy gọi P, Q trung điểm HK IJ hai tam giác PCK QCI đồng dạng nên CPN = CQM Ngồi OP  AB nên tứ giác OCNP OCMQ tứ giác nội tiếp Suy CPN = CON, CQM = COM Vậy CON = COM Nếu dùng phép biến đổi afin mặt phẳng đường trịn biến thành đường elíp, cịn khái niệm trung điểm đoạn thẳng giữ ngun Bởi vậy, tốn nói thay từ “đường trịn” từ “đường elíp” Tương tự ta sử dụng gói GeoProver để kiểm tra tính đắn nhận xét Định lý 11 (Định lý Phây-Bách) Trong tam giác ABC, đường tròn Phây-Bách (hay gọi đường tròn Ơle) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp đường bàng tiếp tam giác Trong hệ tọa độ Đề-các vng góc, ta xác định điểm A, B, C tâm N đường tròn Phây-Bách c1: 47 [> A:=Point(0, 0): B:=Point(2, 0): C:=Point(u1, u2): [> M:=intersection_point(p_bisector(A, B), p_bisector(B, C)); [> H:=intersection_point(altitude(A, B, C), altitude(B, C, A)); [> N:=midpoint(M, H); 𝑢22 + 𝑢12 − 2𝑢1 ] 𝑀 ≔ [1, 2𝑢2 𝐻 ≔ [𝑢1 , (−2 + 𝑢1 )𝑢1 ] 𝑢2 𝑢1 −2𝑢1 + 𝑢12 − 𝑢22 ] 𝑁 ≔ [ + ,− 2 4𝑢2 [> c1:=pc_circle(N, midpoint(A, B)); c1:= [2u2, –2(u1 + 1)u2, –2u1 + u12 – u22, 2u1u2] Tọa độ tâm P(x1, x2) đường tròn bàng tiếp tam giác ABC bị ràng buộc điều kiện sau đây: [> polys:={on_bisector(P, A, B, C), on_bisector(P, B, C, A)}; polys:= {–2u1x2u22 – 2u23 – 2u2u12 + 4u22x2 + 4x2u12 – 2u2x22 – 2u13x2 + 2u23x1 + 2u2x12 + 2u1x22u2 – 2u2x1u12 – 2u13x1x2 – 4x2u1x1 + 2u12x2x1, –16x2 + 8u1x2 + 8x2x1 – 4x2u1x1 – 2u2x12u1 – 2u22x1x2 – 4x2u1x1 + 2u12x2x1, –16x2 + 8u1x2 + 8x2x1 – 4x2u1x1 – 2u2x22 + 8u2 – 8u2x1 + 2u2x12} Hình 3.17 Kết luận định lý biểu diễn đa thức điều kiện sau: 48 [> Q:=pedalpoint(P, pp_line(A, B)): [> con:=is_cc_tangent(pc_circle(P, Q), c1); con:= 64u1u22x12 – 32u12u22x1 + 32u22x22u1 – 16u22x22u12 + 16u23x1x2 + 16x12u12u22 + 16u12x1u2x2 – 16u23x12x2 – 32u22x13u1 – 16u1u23x2 + 16u13u2x2 + 16 u23x1x2u1 – 32u2x12u1x2 + 16u22x14 – 32 u22x13 + 16x12u22 – 16u22 – 32u12u2x2 – 32u1u22x1 + 16u12u22 Đa thức điều kiện polys có nghiệm tổng quát tọa độ tâm bốn đường tròn tiếp xúc Ta xác định sở Groebner câu lệnh sau: [> TO:=plex(x1, x2): [> gb:=gbasis(polys, TO); gb := [u2x24 + 4x23u1 – 2x23u22 – 2x23u12 – 4u2x22 – 2u1x22u2 + u2x22u12– u23 + 4u22x2 + u23x22, –u22x1 + x23u2 + 4x22u1 – u2x2 + 2u2x2u1 – u22x22 + 2u22 –2u12x22 – u12u2x2 + u1u22x1 – u1u22] [> normalf(con, gb, TO); Kết trả lại chứng tỏ định lý Đặc biệt, đường tròn PhâyBách tam giác ABC đường tròn Phây-Bách tam giác ABH, ACH BCH Do đó, ta có 12 đường trịn tiếp xúc với đường trịn c1 Chứng minh Ta chứng minh cho tốn sau đây: Gọi I, O9, Oa tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn Phây-Bách tâm đường trịn bàng tiếp 𝑅 𝑅 2 góc A ABC Khi ta có: 𝐼𝑂9 = − 𝑟 𝑂𝑎 𝑂9 = 𝑟𝑎 + , R, r, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp bàng tiếp góc A ABC Từ đó, suy đường trịn nội tiếp đường tròn Phây-Bách tiếp xúc với Đồng thời, đường tròn Phây-Bách tiếp xúc với đường tròn bàng tiếp Thật vậy, áp dụng định lý Sti-oa vào IOO9 ta có: OO9 IG  O9 G.IO2  OG IO92  OG.OO9 GO9 3  OG.IG  OG.IO2  OG.IO92  OG.OG 2 3  IG  IO2  O9O2  OG 2 49 1   IO92   OG  IG  OI  22  (1) Hình 3.18 Ta có: GO = 2GO9; OG  R  a2  b2  c ; IG  5r  p  16 Rr ; 9   OI  R  Rr ; a2  b2  c2  p  2r  8Rr Thay vào (1), ta được:  3  a2  b2  c  2 IO92    r    5r  p  16 Rr  R  Rr  2      IO9     R r Gọi R9 bán kính đường trịn Phây-Bách, ta có: 2R9 = R  IO9 = R9 - r suy đường tròn Phây-Bách ln tiếp xúc với đường trịn nội tiếp Hai đường tròn trùng ABC tam giác (R = 2R9 = 2r) Tiếp theo, áp dụng định lý Sti-oa vào OaOO9, vai trò Oa tương tự vai trò điểm I Rút gọn ta được: 2OaO92  OG  3Oa G  OOa2 50 (2) Mặt khác, ta lại có: OG  R  3Oa G  3ra2   a2  b2  c ; OaO2  R  Rra ;  2 a  b2  c   p  a  ; a2  b2  c2  p  2r  8Rr Thay tất vào (2) ta được: p2 r 4 16 2OaO  R    Rr  3ra2  p  r  Rr  R  Rr   p  a  3 3 3 R  3ra2  p  r  Rr   Rra  pa  a2 2  R2  hay 2OaO92    Rra  2ra2    ra2  r  Rr  Rra  a  b  c     (3) Trong (3), ta cần chứng minh: ra2  r  Rr  Rra  a  b  c   (4) Thật vậy, thay a  b  c    r   R  r   vào (4) ta có: ra2  r  Rr  Rra  Rr  r  rra  Rra  rra  r  Ta có (4) tương đương với đẳng thức sau: R2 R R  OaO   Rra  ra2      OaO9   2  Vì ta có R9  R  R9   OaO9 Vậy ta có đường trịn Phây-Bách tiếp xúc với đường trịn bàng tiếp Định lý 12 (Điểm Brơca) Cho tam giác ABC Chứng minh đường tròn (c1) qua A, B tiếp xúc với cạnh AC; đường tròn (c2) qua B, C tiếp xúc với cạnh AB; đường tròn (c3) qua A, C tiếp xúc với cạnh BC đồng quy điểm Điểm gọi điểm Brôca Xác định tọa độ điểm đường tròn định lý sau: [> A:=Point(0, 0): B:=Point(1, 0): C:=Point(u1, u2): M1:=Point(x1, x2): M2:=Point(x3, x4): M3:=Point(x5, x6): c1:=pc_circle(M1, A); c2:=pc_circle(M2, B); c3:=pc_circle(M3, C); c1:= [1, –2x1, –2x2, 0] c2:= [1, –2x3, –2x4, 2x3 – 1] 51 c3:= [1, –2x5, –2x6, 2u1x5 – u12 + 2u2x6 – u22] Tiếp theo ta xác định tọa độ tâm đường tròn ràng buộc đa thức điều kiện sau đây: [> polys:={is_c1_tangent(c1, pp_line(A, C)), on_circle(B, c1), is_c1_tangent(c2, pp_line(A, B)), on_circle(C, c2), is_c1_tangent(c3, pp_line(B, C)), on_circle(A, c3)}; polys := {2u1x5 – u12 + 2u2x6 – u22, u22 + u12 – 2u1x3 – 2u2x4 + 2x3 – , – 2x1, 4x52 – 8u1x5 – 8u1u22 + 8u2u1x6 – u2x6u12 – 8x5u2x6 + 8u22x5 + 4u14 + 4u24 + 4u22x62 + 8u1x5u2x6 + 16u12x5 – 8u13x5 + 8u12u22 – 8u23x6 – 8u1x52 + 4u12x52 – 8u1x5u22 – 8u13, – 8x3 + x32, 4(u1x1 + u2x2)2} Các đa thức điều kiện tuyến tính với biến phụ thuộc Tọa độ tâm đường tròn nhận giá trị hữu tỉ Bây ta chứng tỏ giao điểm hai số chúng nằm đường tròn thứ ba: [> vars:={x1, x2, x3, x4, x5, x6}: [> sol:=solve(polys, vars); 𝑠𝑜𝑙: = {𝑥2 = − 𝑢1 − 2𝑢1 + 𝑢12 + 𝑢22 , 𝑥3 = 1, 𝑥4 = , 2𝑢2 2𝑢2 𝑢22 − 𝑢12 + 𝑢13 + 𝑢1 𝑢22 1 𝑢6 = , 𝑥5 = 𝑢12 − 𝑢22 + 𝑢1 , 𝑥1 = } 2𝑢2 2 [> P:=other_cc_point(B, subs(sol, c1), subs(sol, c2)); 𝑃: = [ 𝑢22 + 𝑢1 − 𝑢12 + 𝑢13 + 𝑢1 𝑢22 , 3𝑢22 + − 2𝑢1 + 3𝑢12 − 2𝑢13 − 2𝑢1 𝑢22 + 𝑢14 + 2𝑢12 𝑢22 + 𝑢24 (1 − 2𝑢1 + 𝑢12 + 𝑢22 )𝑢2 ] 3𝑢22 + − 2𝑢1 + 3𝑢12 − 2𝑢13 − 2𝑢1 𝑢22 + 𝑢14 + 2𝑢12 𝑢22 + 𝑢24 [> on_circle(P, subs(sol, c3)); 52 C P B A Hình 3.19 Kết trả lại chứng tỏ định lý chứng minh Tóm lại, sử dụng phần mềm Maple để tìm sở Groebner hệ đa thức Từ chứng minh định lý hình học máy tính Trên sở kiểm chứng định lý hình học, chứng minh tốn học khai thác toán sâu xây dựng chương trình máy tính để kiểm tra tính sai mệnh đề toán học đại số hóa Kết chương số ví dụ điển hình việc chứng minh định lý máy tính Theo cách hồn tồn tương tự, ta chứng minh tốn hình học theo bước nêu luận văn, việc đại số hóa định lý đóng vai trị quan trọng việc kiểm tra kết luận định lý phần mềm toán học Maple: Cho hình vng ABCD P điểm nằm đường thẳng song song với BD qua C cho BD = BP Gọi Q giao điểm BF CD Chứng minh DP = DQ Gọi P, Q, R chân đường cao tam giác ABC Chứng minh đường cao qua điểm Q chia đơi góc PQR 53 Cho tam giác ABC Xét chân đường cao tam giác hình chiếu vng góc điểm cạnh đối diện tam giác Chứng minh điểm nằm đường tròn, gọi đường tròn Taylor Chứng minh công thức F( ABC ) abc 4R với F(ABC) diện tích tam giác ABC, a, b, c độ dài cạnh tam giác R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Cho k đường tròn, A tiếp điểm tiếp tuyến từ điểm B đến k, M trung điểm AB D điểm k Gọi C giao điểm thứ hai DM với k, E giao điểm thứ hai BD với k F giao điểm thứ hai BC với k Chứng tỏ EF song song với AB Cho A, B, C, D bốn điểm phân biệt đường thẳng theo thứ tự Các đường trịn với đường kính AC BD giao điểm X Y Đường thẳng XY gặp BC điểm Z Cho P điểm đường thẳng XY khác điểm Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC điểm C M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD điểm B N Chứng minh đường thẳng AM, DN XY đồng quy Cho tam giác cân ABC với AB = AC Giả sử rằng: (i) M trung điểm BC O điểm đường thẳng AM cho OB vng góc với AB; (ii) Q điểm tùy ý đoạn thẳng BC khác điểm B C; (iii) E nằm đường thẳng AB F nằm đường thẳng AC cho E, Q F phân biệt thẳng hàng Chứng minh OQ vng góc với EF QE = QF Chứng minh khoảng cách d tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn d2 r 2 r  r bán kính đường trịn ngoại tiếp  bán kính đường tròn nội tiếp 54 Cho M điểm đường thẳng AB, AMCD MBEF hình vng dựng cạnh AB N giao điểm đường tròn ngoại tiếp, khác với điểm M (i) Chứng minh AF BC cắt điểm N (ii) Chứng minh tất đường thẳng MN với giá trị khác M cắt điểm 55 KẾT LUẬN Luận văn thu số kết sau đây: Nêu ứng dụng sở Groebner việc chứng minh định lý hình học máy tính Xây dựng gói GeoProver để kiểm tra tính đắn định lý hình học dựa ngơn ngữ lập trình phần mềm Maple Phương pháp đề xuất luận văn địi hỏi tính tốn cồng kềnh so với chứng minh hình học, phương pháp có lợi thực máy tính khơng địi hỏi lắt léo (như vẽ thêm đường, chọn thêm điểm) Khi đại số hố tốn thời gian chạy máy tính khơng đáng kể Bằng phương pháp xây dựng giả thuyết hình học Sau đại số hố tìm trường hợp suy biến (chú ý ta cần đại số hố cho tốn nhận có số lượng biến độc lập nhất) Từ đó, khẳng định nhìn chung giả thuyết có hay khơng ? Điều đem lại lợi khác: tìm phản ví dụ dựa trường hợp suy biến cho số tốn hình học Đề xuất quy trình chứng minh định lý hình học minh họa việc chứng minh số định lý hình học sơ cấp Từ đề xuất định hướng cho việc khai thác tốn hình học (đại số hóa, kiểm tra giả thuyết, mở rộng định lý, tổng quát hóa, đặc biệt hóa nghiên cứu sâu lời giải tốn, sáng tạo toán mới, ) với hỗ trợ máy tính điện tử 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đức Bình (2000) Chứng minh định lý hình học máy tính Luận văn Thạc sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2013) Giáo trình hình học sơ cấp NXB Giáo dục Việt Nam [3] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2015) Bài tập hình học sơ cấp NXB Giáo dục Việt Nam [4] Phạm Huy Điển (2002) Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple NXB Khoa học Kĩ thuật [5] Nguyễn Thị Thúy Hằng (2009) Vài ứng dụng lý thuyết sở Groebner Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [6] Lê Tuấn Hoa (2003) Đại số máy tính - Cơ sở Groebner NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Danh Nam (2009) Ứng dụng sở Groebner chứng minh định lý hình học với hỗ trợ phần mềm Maple Tạp chí Dạy Học ngày nay, 08, 38-44 [8] Trần Trung, Đặng Xuân Cương, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam (2011) Ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào dạy học mơn Tốn trường phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [9] Ngô Việt Trung (1999) Cơ sở Groebner hình học đại số Thơng tin Tốn học, 3(1), 2-7 [10] Winkler.F (1990) "Groebner bases in geometry theorem proving and simplest degeneracy conditions" Mathematica Pannonica, 1(1), 15-32 [11] Xia.S, Xia.G (2009) "An application of Groebner bases" The Montana Mathematics Enthusiast, 6(3), 381-394 57 Tôi cam đoan sửa chữa luận văn theo tất yêu cầu Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2015 Xác nhận người hướng dẫn Học viên TS Nguyễn Danh Nam Bùi Đức Thắng Xác nhận sở đào tạo 58 ... biến định lý (hay trường hợp mà định lý khơng cịn đúng) 3.2 QUY TRÌNH CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ BẰNG MÁY TÍNH 3.2.1 Các bước chứng minh định lý hình học máy tính Để chứng minh định lý hình học sở Groebner. .. 3: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH 16 3.1 Đại số hóa giả thiết kết luận định lý 16 3.2 Quy trình chứng minh định lý hình học máy tính 20 3.3 Chứng minh số định lý hình học. .. hóa hầu hết tốn hình học mặt phẳng kiểm nghiệm tính sai 15 Chương CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH 3.1 ĐẠI SỐ HĨA ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC 3.1.1 Các bước đại số hóa định lý hình học Người ta nhận