Cơ sở grobner và giải hệ phương trình đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGC THY ă C S GROBNER V GII H PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TỐN HỌC Thái Ngun - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ NGỌC THY ă C S GROBNER V GII H PHNG TRèNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Tạ Duy Phượng Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương C s Grăobner 1.1 Cấu trúc đại số 1.1.1 Vành 1.1.2 Ideal 1.1.3 Trường 1.2 Vành đa thức 1.2.1 Đa thức bậc đa thức 1.2.2 Định lý Hilber sở 10 1.2.3 Đa thức biến 11 1.2.4 Iđêan đơn thức 13 1.3 C s Grăobner 1.3.1 Thứ tự từ 1.3.2 Một số thứ tự từ 1.3.3 Từ khởi đầu, đơn thức đầu 1.3.4 Ideal khởi đầu 1.3.5 nh ngha c s Grăobner 1.3.6 Thuật toán chia 1.3.7 Tiêu chuẩn Buchberger 1.3.8 Thuật toán Buchberger 14 14 16 18 20 21 26 28 35 Chương Hệ phương trình đa thức 38 2.1 Nghiệm hệ phương trình đa thức 38 2.2 Cách giải hệ phương trình đa thức 40 2.3 Cỏc hm liờn quan ti Grăobner ca Maple 49 Chương Giải hệ phương trình đa thức 56 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Phụ lục 75 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết c s Grăobner c nghiờn cu ln u tiờn vo khoảng thập kỉ 60 kỉ 20, nhanh chóng trở thành hạt nhân ngành Đại số máy tính (Computer Algebra) cơng cụ hữu hiệu nhiều toán Đại số giao hốn, Hình học đại số Dưới hướng dẫn ca Giỏo s Wolfgang Grăobner, nm 1965, Bruno Buchberger ó đưa thuật toán Buchberger luận án tiến sĩ Điểm mấu chốt khởi đầu cho hình thành lý thuyết Buchberger việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức biến sang trường hp cỏc a thc nhiu bin C s Grăobner v phương diện lý thuyết khẳng định việc cung cấp chứng minh cho ba định lý Hilbert: Định lý Hilbert sở, Định lý Hilbert xoắn Định lý Hilbert không điểm Trong ứng dụng gần gũi lý thuyết sở Grăobner, chỳng tụi quan tõm ti vic gii h phng trỡnh a thc Thc cht vic tỡm c s Grăobner hệ phương trình đa thức đưa hệ phương trình ban đầu hệ phương trình có dạng tam giác Từ ta tìm nghiệm hệ Dưới góc độ giáo viên phổ thông, hy vọng đề tài đem đến cho hội học hỏi thêm nhiều cơng cụ tốn học đại, góp phần soi sáng cho nội dung liên quan chương trình toỏn ph thụng ã Lun C s Grăobner v giải hệ phương trình đa thức có mục đích cung cấp cho giáo viên phổ thông, em học sinh người yêu toán hướng tiếp cận mới, cơng cụ giải hệ phương trình đa thức, phương pháp chung cho hầu hết toán dạng Luận văn cung cấp cho người sử dụng số hàm quan trọng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Maple liờn quan ti c s Grăobner ã Lun gồm ba Chương • Chương 1: Trình bày tổng quan lý thuyt c s Grăobner ã Chng 2: Trỡnh by điều kiện có nghiệm cách giải tổng quát hệ phương trình đa thức • Chương 3: Trình bày số hệ phương trình đa thức giải dựa vào c s Grăobner v cỏc hm liờn quan ti c s Grăobner Maple Lun c hon thnh di hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn thầy hướng dẫn tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình tập dượt nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học khoa học - Đại học Thái Ngun thầy giáo Viện Tốn học tận tâm giảng dạy giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường THPT Bạch Đằng Hải Phòng, nơi tác giả công tác, đồng nghiệp, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng C s Groă bner 1.1 Cu trỳc đại số 1.1.1 Vành Định nghĩa 1.1.1 Vành tập hợp R = 0/ trang bị phép toán cộng “+”: (a, b) → a + b phép toán nhân “.”: (a, b) → a.b thỏa mãn tính chất sau: (i) Đối với phép cộng, R nhóm giao hốn (ii) Phép nhân có tính kết hợp, tức với a, b, c ∈ R: a (b.c) = (a.b) c (iii) Phép nhân có tính chất phân phối phép cộng, tức a, b, c ∈ R: a (b + c) = a.b + a.c (b + c) a = b.a + c.a Phần tử "khơng" vành kí hiệu Để cho tiện, thông thường ta viết ab thay cho tích a.b R gọi vành có đơn vị chứa phần tử thỏa mãn a1 = 1a = a với a ∈ R Khi cần nhấn mạnh vành R ta dùng kí hiệu 0R , 1R để phần tử không đơn vị R Vành R gọi vành giao hoán với a, b ∈ R, ab = ba Trong luận văn ta xét đến vành giao hốn, có đơn vị Do vành ln hiểu theo nghĩa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ : Tập số nguyên Z, số thực R, số phức C, với phép cộng phép nhân thông thường lập thành vành Tuy nhiên tập N vành Tập R [x] đa thức biến x với hệ số thực lập thành vành Định nghĩa 1.1.2 Cho R vành a ∈ R Phần tử a gọi là: (i) ước không a = tồn = b ∈ R cho ab = (ii) khả nghịch (hoặc đơn vị) tồn c ∈ R cho ac = Vành R không chứa ước gọi miền nguyên Ví dụ : Vành Z miền nguyên với hai phần tử đơn vị −1 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử R vành, A phận ổn định R hai phép toán R nghĩa x + y ∈ A xy ∈ A với x, y ∈ A A vành vành R A với hai phép toán cảm sinh A vành Định lý 1.1.4 Giả sử A phận khác rỗng vành R Các điều kiện sau tương đương: (i) A vành vành R (ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A (iii) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Ideal Định nghĩa 1.1.5 Cho R vành Tập I = 0/ R gọi iđêan hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với a, b ∈ I, a + b ∈ I (ii) Với a ∈ I r ∈ R, ∈ I Ví dụ : Mọi vành R chứa iđêan tầm thường I = I = R Tập nZ iđêan vành Z Định nghĩa 1.1.6 Ta gọi đêan trái (iđêan phải) vành R, vành A R thỏa mãn điều kiện xa ∈ A (ax ∈ A) với a ∈ A với x ∈ R Một vành A vành R gọi iđêan R A vừa iđêan trái, vừa iđêan phải R Định lý 1.1.7 Một tập A khác rỗng vành R iđêan R điều kiện sau thỏa mãn: (i) a − b ∈ A với a, b ∈ A (ii) xa ∈ A, ax ∈ A với a ∈ A x ∈ X Ví dụ : Tập {0} X hai iđêan vành X Tập mZ gồm số nguyên bội số nguyên m cho trước Định lý 1.1.8 Giao họ iđêan vành R iđêan R Định lý 1.1.9 Giả sử X vành giao hốn có đơn vị a1 , a2 , , an ∈ X Bộ phận A X gồm phần tử có dạng x1 a1 + x2 a2 + + xn an với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x1 , x2 , , xn ∈ X iđêan X sinh a1 , a2 , , an 1.1.3 Trường Định nghĩa 1.1.10 Ta gọi trường miền nguyên R phần tử khác có nghịch đảo vị nhóm nhân R Vậy vành R giao hốn, có đơn vị, có nhiều phần tử trường R\ {0} nhóm phép nhân R Ví dụ : Tập hợp Q số hữu tỉ với phép cộng phép nhân số trường Ta có trường số thực R trường số phức C Định nghĩa 1.1.11 Giả sử X trường, A phận X ổn định hai phép toán X A gọi trường trường X A với hai phép toán cảm sinh A trường Định lý 1.1.12 Giả sử A phận có nhiều phần tử trường X Các điều kiện sau tương đương: (i) A trường trường X (ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A, x−1 ∈ A x = (iii) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy−1 ∈ A y = Ví dụ : X trường trường X Bộ phận {0} khơng phải trường X, theo định nghĩa trường có hai phần tử Trường số hữu tỉ Q trường trường số thực R, thân R lại trường trường số phức C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Vành đa thức 1.2.1 Đa thức bậc đa thức Cho R vành x1 , x2 , , xn (n 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng x1a1 xnan ∈ N, i = 1, , n gọi số mũ đơn thức Nếu a1 = = an = đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau x1a1 xnan x1b1 xnbn = x1a1 +b1 xnan +bn Từ biểu thức có dạng αx1a1 xnan , α ∈ R gọi hệ số từ Hai từ khác không αx1a1 xnan β x1a1 xnan đồng dạng với Để cho tiện ta kí hiệu x = (x1 , xn ) , a = (a1 , , an ) ∈ N n xa = x1a1 xnan Đa thức n biến x1 , , xn vành R tổng hình thức từ: f (x) = ∑ αa xa , có hữu hạn hệ số αa = Từ αa xa với αa = gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) Hai đa thức f (x) = ∑a∈N n αa xa g (x) = ∑a∈N n βa xa xem αa = βa với a ∈ N n Phép cộng đa thức định nghĩa sau: ∑n αaxa a∈N + ∑n βaxa a∈N = ∑n (αa + βa)xa a∈N Vì αa + βa = hai hệ số αa βa 0, nên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Xét iđêan I = xy − xz + y2 , yz − x2 + x2 y, x − xy + y Theo thứ tự từ điển ta cú c s Grăobner : g1 = yz + z2 y + z3 y g2 = y2 + z2 y g3 = yz + x + y Xét g1 = suy  yz + z + z2 y=0   z=0  √ =0⇔  z = −1 + i  √2 z = − 21 − i 23 +) Với y = 0, thay vào g3 = suy x = 0, thay vào g2 = suy z +) Với z = suy y = x = √ +) Với z = − + i 23 , √ suy x = − i 23 √ +) Với z = − − i 23 , √ suy x = + i 23 thay vào g2 = suy y = √ +i , thay vào g3 = thay vào g2 = suy y = √ −i , thay vào g3 = Vậy hệ phương trình có nghiệm   √ √ √  (0, 0, 0) , − i , + i , − + i ,  2 2 2 √ √ √ (x, y, z) =   + i 3, − i 3, −1 − i 2 2 2 Bài 11 Giải hệ phương trình sau:  2    x + yz + yz = y2 − zx + x =    xy + z2 − = Giải Xét iđêan I = x2 + yz2 + yz, y2 − zx + x, xy + z2 − 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo th t t in ta cú c s Grăobner : g1 = −1 + 2z2 − 2z3 + z − z4 + z5 g2 = y − yz2 − yz + yz3 g3 = −y2 + y2 z2 g4 = − z − z2 + z3 + y3 g5 = −y2 + xz − x g6 = xy + z2 − g7 = x2 + yz2 + yz Xét g1 = suy (z − 1) z2 − =0⇔ z=1 z = −1 +) Với z = 1, thay vào g4 = suy y = 0, thay z = 1, y = vào g5 = suy x = +) Với z = −1, thay vào g4 = suy y = 0, thay z = 1, y = vào g5 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = {(0, 0, 1) , (0, 0, −1)} Bài 12 Giải hệ phương trình sau: xy + x + − 7y = x2 y2 + xy + − 13y2 = Giải Xét iđêan xy + x + − 7y, x2 y2 + xy + − 13y2 Theo thứ tự từ điển ta có c s Grăobner : g1 = + y 5y2 − 33y3 + 36y4 g2 = −36y3 + + 69y2 + 8x − 64y 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét g1 = suy  (1 − y) (1 − 3y) + 5y + 12y2 y=1  =0⇔  y= √ y = − 24 ± 2423 i +) Với y = 1, thay vào g2 = suy x = +) Với y = 31 , thay vào g2 = suy x = +) Với y +) Với y √ = − 24 + 2423 i, √ = − 24 − 2423 i, thay vào g2 = suy x thay vào g2 = suy x √ = − + 223 i √ = − − 223 i Vậy hệ phương trình có nghiệm   √ √  (3, 1) , 1, , − + 23 i, − + 23 i ,  2 24 24 √ √ (x, y) =   − − 23 i, − − 23 i 2 24 24 Bài 13 Giải hệ phương trình sau:  2    x +y +z = x2 + y2 + z2 = 2x    2x − 3y − z = Giải Xét iđêan I = x2 + y2 + z2 − 1, x2 + y2 + z2 − 2x, 2x − 3y − z Theo thứ tự từ điển ta cú c s Grăobner : g1 = 2x g2 = 3y + z − g3 = 40z2 − 8z − 23 Xét g1 = suy x = 21 Xét g3 = suy z= z= √ 26 10 + √ 20 26 10 − 20 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn +) Với z = +) Với z = √ 26 + 10 20 , √ 26 10 − 20 , thay vào g2 = suy y = thay vào g2 = suy y = √ 26 − 10 √20 26 10 + 20 Vậy hệ phương trình có nghiệm √ √ √ √ 26 26 26 26 (x, y, z) = , − , + , , + , − 10 20 10 20 10 20 10 20 Bài 14 Giải hệ phương trình sau:     xy + x − 3y = yz + z − 5y =    xz − 5x − 3z = −6 Giải Xét iđêan I = (xy + x − 3y − 4, yz + z − 5y − 9, xz − 5x − 3z + 6) Theo thứ tự từ điển ta có s Grăobner : g1 = 11 10z + z2 g2 = 14 − z + 9y g3 = −z − + 4x Xét g1 = suy z = −1 z = 11 +) Với z = −1, thay vào g2 = suy y = − 53 , thay z = −1, y = − 35 vào g3 = suy x = 32 +) Với z = 11, thay vào g2 = suy y = − 31 , thay z = 11, y = − 31 vào g3 = suy x = 92 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = , − , −1 , , − , 11 3 66 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài 15 Giải hệ phương trình sau:     x+y+z = x2 + y2 + z2 =    x3 + y3 + z3 = Giải Xét iđêan I = x + y + z − 1, x2 + y2 + z2 − 1, x3 + y3 + z3 − Theo thứ tự từ điển ta cú c s Grăobner : g1 = x + y + z − g2 = y2 + yz − y + z2 − z g3 = z3 − z2 Xét g3 = suy z3 − z2 = ⇔ z2 (z − 1) = ⇔ z=0 z=1 Với z = 0, thay vào g2 = suy y=0 y=1 +) y = 1, thay vào g1 = suy x = +) y = 0, thay vào g1 = suy x = Với z = 1, thay vào g2 = suy y = 0, thay y = 0, z = vào g1 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = {(0, 1, 0) , (1, 0, 0) , (0, 0, 1)} Bài 16 Giải hệ phương trình sau:     x +y+z = x + y2 + z =    x + y + z2 = 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Xét iđêan I = x2 + y + z − 1, x + y2 + z − 1, x + y + z2 − Theo thứ t t in ta cú c s Grăobner : g1 = x + y + z2 − g2 = y2 − y − z2 + z g3 = 2yz2 + z4 − z2 g4 = z6 − 4z4 + 4z3 − z2 = z2 (z − 1)2 z2 + 2z − Xét g4 = suy  z=0   z=1  2 z (z − 1) z + 2z − ⇔  √  z = −1 +  √ z = −1 − Với z = 0, thay vào g2 = suy y=0 y=1 +)y = 0, thay vào g1 = suy x = +)y = 1, thay vào g1 = suy x = Với z = 1, thay vào g3 = suy y = 0, thay vào g1 = suy x = √ √ Với z = −1 + 2, thay vào g3 = suy y = −1 + 2, thay vào g1 = √ suy x = −1 + √ √ Với z = −1 − 2, thay vào g3 = suy y = −1 − 2, thay vào g1 = √ suy x = −1 − Vậy hệ phương trình có nghiệm √ √ √ (x, y, z) = (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) −1 ± 2, −1 ± − ± 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài 17 Giải hệ phương trình sau:  2    x + xz + y = x3 − 11x2 + 23x + y2 =    x+z+1 = Giải Xét iđêan I = x2 + xz + y2 − 1, x3 − 11x2 + 23x + y2 − 1, x + z + Theo thứ tự từ điển ta có s Grăobner : g1 = 36 + 49z + 14z2 + z3 = (z + 1) (z + 4) (z + 9) g2 = z + y2 g3 = x + z + Xét g1 = suy  z = −1   z = −4  z = −9 +) Với z = −1, thay vào g2 = suy y = ±1, thay vào g3 = suy x = +) Với z = −4, thay vào g2 = suy y = ±2, thay vào g3 = suy x = +) Với z = −9, thay vào g2 = suy y = ±3, thay vào g3 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = {(0; ±1; −1) , (3, ±2, −4) , (8, ±3; −9)} Bài 18 Giải hệ phương trình sau:  2    x + 2xz + 2y + 3y = xy + 2x + z =    xz + y2 + 2y = 69 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Xét iđêan I = x2 + 2xz + 2y2 + 3y, xy + 2x + z, xz + y2 + 2y − Theo thứ tự t in ta cú c s Grăobner : g1 = + 8z2 g2 = 2y + g3 = 2z + x Xét g2 = suy y = − 32 Xét g1 = suy z +) Với z +) Với z √ = ±i 414 √ √ 14 = i , thay vào g3 = suy x = −i 214 √ √ 14 = −i , thay vào g3 = suy x = i 214 Vậy hệ phương trình có nghiệm √ √ √ √ 14 14 14 14 , − , −i , −i ,− ,i (x, y, z) = i 2 2 Bài 19 Giải hệ phương trình sau:  2    x +y +z = x3 + y3 + z3 − xyz = −4    xy + xz + yz = −3 Giải Xét iđêan I = x2 + y2 + z2 − 6, x3 + y3 + z3 − xyz + 4, xy + xz + yz + Theo thứ tự từ điển ta có s Grăobner : g1 (z) = z6 6z4 + 4z3 + 9z2 − 12z + g2 (y, z) = 49y2 + 12yz5 − 16yz4 − 18yz3 + 72yz2 − 37yz + 36y −16z5 + 54z4 + 24z3 − 145z2 + 180z − 195 g3 (x, y, z) = 49x + 49y + 12z5 − 16z4 − 18z3 + 72z2 − 37z + 36 Xét g1 (z) = suy (z − 1)4 (z + 2)2 = ⇔ z=1 z = −2 70 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với z = 1, thay vào g2 = suy 49y2 + 49y − 98 = ⇔ y=1 y = −2 +) Với y = 1, thay vào g3 = suy x = −2 +) Với y = −2, thay vào g3 = suy x = Với z = −2, thay vào g2 = suy y = 1, thay vào g3 = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = {(1, 1, −2) , (1, −2, 1) , (−2, 1, 1)} 71 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KT LUN Lun C s Grăobner v gii hệ phương trình đa thức trình bày tổng quan lý thuyt C s Grăobner cng nh iu kin hệ phương trình đa thức có nghiệm, vơ nghiệm theo lý thuyt c s Grăobner ng thi vi mc đích cung cấp cho giáo viên, học sinh người u tốn cơng cụ giải hệ phương đa thức nên luận văn trình bày chi tiết cách tỡm c s Grăobner v cỏch gii mt bi h phng trỡnh a thc da vo c s Grăobner (cú hỗ trợ Maple) Tuy đưa cách giải quán, đơn giản cho tốn Giải hệ phương trình đa thức luận văn hạn chế nó, việc phụ thuộc vào Maple việc tìm c s Grăobner 72 S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham kho [1] Phm ng Hi (2010), C s Grăobner v số ứng dụng, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hùng Vương [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tớnh: C s Grăobner, NXB HQG H Ni [3] Hong Xuân Sính (2005), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [4] B Buchberger and F Winkler (1998), Grăobner Bases and Applications (Proceedings of the International Conference "33 Years of Grăobner Bases", 1998, RISC, Austria) London Math Soc Lecture Note Series, 251, Cambridge University Press [5] B Buchberger (1983), Miscellaneous Results on Grăobner Bases for Polynomial Ideals II.Technical Report 83-1, Dept of Computer and Information Sciences, Univ of Delaware, Newark, Delaware [6] B Buchberger (1998), Introduction to Grăobner Bases In: [12], pp.321 [7] D Kapur, T Saxena (2008), An Algorithm for Converting a Degree Grăobner basis to a Lexicographic Grăobner basis, preprint [8] David Cox, Jonh Little, Donal O’she (1997), Ideals, varieties and Algorithms, Second Edition, Springer-Verlag 73 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [9] H Melenk (1991), Practical applications of Grăobner basis for the solution of polynomial equation systems In: Computer algebra in physical research (ed Shirkov, Rostovtsev, Gerdt), World Scientific, Singapore [10] J Farr, S Gao (2008), Computing Grăobner bases for Vanishing ideals of finite sets of points, preprint [11] J Faugère, P Gianni, D Lazard, T Mora (1993), Efficient change of ordering for Grăobner bases of zero-dimensional ideals, J Symbolic Comput 16, 329-344 74 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn PHỤ LỤC Giải hệ phương trình sau:     xy − 2yz − z + 13 = Bài y2 − x2 z + xz2 + =    xz2 − x2 y2 + xy + y3 + 12 =     3xz + 4x − 2y − z − 4z = Bài −2x + 3yz − 2y + 2z2 − z =    −3xy + 5x + 3y2 − y − 2z2 − 2z =     yz + x + z = Bài xyz + xz − y3 =    xz + y2 =  2    xz − xy − 4x − = Bài y2 z + 2x + 21 =    x2 z + y2 + x =  2    x y + z − 4xy z − 2y z = Bài x2 + 2xy2 + y4 =    −x3 + yz = 75 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn    x y − z3 =     2xy − 4z − = Bài  y2 − z =      x3 − 4yz =     xy + z = Bài x2 z + 2yz =    xy + y2 + yz − xz =     x + yz + x = Bài z2 + xy + z =    y2 + zx + y =  2    xy − z − z = Bài x2 y − y =    y2 − z2 =     x yz − xz = Bài 10 xy2 z − xyz =    x2 y2 − z = Bài 11 Bài 12     x − x + 2x y = y5 − y4 + 2y2 z =    z5 − z4 + 2z2 x = x4 + y2 = 697 81 x2 + y2 + xy − 3x − 4y + = 76 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài 13 Bài 14 Bài 15 x2 + y2 + z2 + 2xy − zx − zy = x2 + y2 + yz − zx − 2xy = −1 21x3 y + 6x3 = xy3 − 6x = 21 x3 − 5x = y3 − 5y x8 + y4 =     x + y = 3x + Bài 16 2y3 + z = 6y +    3z3 + x = 9z + 77 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 28 35 Chương Hệ phương trình đa thức 38 2.1 Nghiệm hệ phương trình đa thức 38 2.2 Cách giải hệ phương trình đa thức ... Chương 1: Trình bày tổng quan lý thuyt c s Grăobner ã Chng 2: Trỡnh bày điều kiện có nghiệm cách giải tổng quát hệ phương trình đa thức • Chương 3: Trình bày số hệ phương trình đa thức giải dựa... quan tõm ti vic gii h phương trình đa thức Thực chất việc tìm sở Grăobner ca mt h phng trỡnh a thc l a hệ phương trình ban đầu hệ phương trình có dạng tam giác Từ ta tìm nghiệm hệ Dưới góc độ giáo