(Luận văn thạc sĩ) một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm muckenhoupt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên : Toán Giải tích ngành Mã số :60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan là luận văn tốt nghiệp chính thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo TP.HCM, tháng năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS Trần Trí Dũng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tận tình từng bước để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành đề tài quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè, đồng nghiệp công ty đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi thời gian và công việc cho tác giả thời gian học tập và thực hiện luận văn của mình Trân trọng TP.HCM, tháng năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm phân bố và các chuẩn 1.2 Bất đẳng thức Jensen 1.3 Bổ đề phủ 1.4 Nội suy 1.5 Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu 1.6 Bất đẳng thức Kolmogorov Chương TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood .8 2.2 Bất đẳng thức Fefferman – Stein 11 2.3 Các hàm trọng Muckenhoupt: 13 2.4 Toán tử cực đại trung tâm 20 2.5 Các hàm trọng và bất đẳng thức dạng mạnh .21 2.6 Toán tử cực đại các sở 23 2.6.1 Cơ sở các hình lập phương nhị nguyên 23 2.6.2 Cơ sở các hình chữ nhật .25 2.6.3 Cơ sở các hình chữ nhật tất cả các hướng 26 26 2.6.4 Cơ sở các khoảng , 2.6.5 Cơ sở các hình lập phương Carleson 26 2.7 Những tính chất đầu tiên của các lớp hàm trọng 27 2.8 Xây dựng các lớp hàm trọng .32 2.8.1 Cách xây dựng của Coifman 32 2.8.2 Thuật toán Rubio de Francia: .34 2.9 Phân tích nhân tử 36 Chương LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG ∞ 42 3.1 Bất đẳng thức Hölder ngược cho các lớp hàm trọng 42 3.2 Bổ đề Gehring .48 3.3 Đặc trưng của các lớp hàm trọng 49 51 3.4 Lớp hàm trọng ∞ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ( )là không gian các hàm lũy thừa bậc khả tích ứng với ; ‖∙‖  , là chuẩn; ( ) là độ đo của ứng với ( )={ ∶ ∫ℝ | | }) Để chứng minh kết quả này, cần lưu ý vế trái tương đương với: | ( )| ′ ∫∫ () và sau đó thay đổi thứ tự lấy tích phân Trong trường hợp đặc biệt, với ()= > 0, ta có: ∞ ∫| ( )| = ∫ −1 ({ ∈ ∶ | ( )|> }) (1.1) Bất đẳng thức Chebyshev: ({ ∶|()|>})≤ |()| ∫ () { : | ( )|> } 1.2 Bất đẳng thức Jensen Bổ đề 1.2: (xem [ ]) Cho là một độ đo xác suất (nghĩa là ( ) = 1) và là một hàm dương, khả tích Khi đó hàm: ℎ( ) = (∫ ) 1/