Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI N[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG THÁI NGUYÊN - 2019 ✶ ▼ö❝ ❧ö❝ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✺ ✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ▼ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ sè ❤å❝ ✈➔ ỵ tt số q số ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ✈➲ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✹✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ▲æ❣✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✺✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈ỵ✐ ✣↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✻✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈ỵ✐ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✾ ✶✶ ✷✶ ✷✷ ✷✸ ✸✸ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❙Û ❉Ư◆● ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ▼❐❚ ❙➮ ❈❍❯❨➊◆ ✣➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮✱ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✹✵ ✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✶✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❞↕♥❣ 1000 01 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✷✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❞↕♥❣ 2p − ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✸✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ❞↕♥❣ 22n + ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✹✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❞↕♥❣ An = p2p3 pn − r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✹✵ ✺✶ ✺✺ ✺✼ ✻✵ ✷ ỗ t số ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼ ✷✳✹✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✷✳✹✳✶✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸ ✷✳✹✳✷✳ ❱➲ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✾✾ ✸ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❉♦ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ✈÷đt trë✐ ✭♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ❝â ❝➔✐ ✤➦t t✐➳♥❣ ❱✐➺t✱ ♣❤õ ❤➛✉ ❤➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t❤➙♥ t❤✐➺♥✱✳✳✳✮✱ ●❡♦❣❡✲ ❜r❛ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙② ✤➣ ✤÷đ❝ ♣❤ê ❜✐➳♥ t↕✐ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ◆❤✐➲✉ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ ✈✐➳t ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔♦ ✈✐➳t ✈➲ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➯♥ ♠↕♥❣ t❤÷í♥❣ t➟♣ tr✉♥❣ ữợ sỷ r ữ õ ✈✐➳t ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤✉②➯♥ s➙✉✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ t❤✉②➳t ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t ỗ ữỡ ữỡ t ủ ♠ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ♥❤➡♠ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼➦❝ ❞ị ❝❤÷❛ ❧✐➺t ❦➯ ✤➛② ✤õ ❝→❝ ❧➺♥❤ ✈➔ ❝❤÷❛ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❤➳t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ❤✐ ✈å♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ➼❝❤ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❛✐ ♠ỵ✐ ❜➢t ✤➛✉ ❧➔♠ q✉❡♥ ợ r ữỡ ỗ ố ✶ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✷ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳ ❈â t❤➸ ❝♦✐ ●❡♦❣❡❜r❛ ♥❤÷ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư t❤➼ ♥❣❤✐➺♠ ✤➸ t➻♠ r❛ q✉② ❧✉➟t tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❤♦➦❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ♣❤➛♥ ❍➔♠ số ỗ t ởt q trồ tr ữỡ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣✳ ❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✹ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ t➼♥❤ ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦❤â ❝❤➾ ❜➡♥❣ ♠ët ❧➺♥❤ P r ỗ tớ ú tổ ụ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈➔ ▼❛♣❧❡ tr♦♥❣ ❞↕② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ✱ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤✳ ❱ỵ✐ t➜t ❝↔ t➜♠ ❧á♥❣ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s s tợ P Pữủ ữớ t t ú ù ữợ tổ tỹ ự õ ỵ sỷ ỳ tổ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ❝❤♦ tæ✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐ ♥➠♠ ❤å❝ t➟♣✱ ❧➔ ♥➲♥ t↔♥❣ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr qỵ t tổ tr s✉èt ❝✉ë❝ ✤í✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ t❤➙♥ ②➯✉ ❝õ❛ tæ✐✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ð ❜➯♥ tỉ✐✱ õ♥❣ ❤ë ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❧➔ ❝❤é ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✤➸ tæ✐ ②➯♥ t➙♠ ❤å❝ t➟♣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝ ♥➔②✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ tổ ú qỵ ổ ỗ ọ t ổ tr sỹ ♥❣❤✐➺♣✦ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥✦ ✺ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍ ❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ●■❷■ ❚➑❈❍ ✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ✶✳✶✳✶✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✤➢❝ ❧ü❝ trđ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦→♥ ❤å❝✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝ ✭sè ❤å❝✱ ✤↕✐ sè✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t♦→♥ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮✱ ❞♦ ✤â r➜t t✐➺♥ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣ t❤❡♦ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ s ợ ợ ữợ t tr ❧ü❝✱ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ ❤å❝ s✐♥❤ tü ❤å❝✱ tü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ✈➔ ❝â t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ê✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú✱ t❤➼ ❞ö✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❝➔✐ ✤➦t ✈➔ t❤❛♦ t→❝ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❤✉➟♥ t✐➺♥✳ ❈â t❤➸ ❧➯♥ ♠↕♥❣ t↔✐ ●❡♦❣❡❜r❛✱ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ ✈✐➳t ✭t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ t✐➳♥❣ ❆♥❤✮ ❤♦➦❝ q✉❛ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ố r ữủ ợ t ❱✐➺t ◆❛♠ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✱ ✈➔ ✤➣ ữủ tứ ợ ợ ✈➔ ✣↕✐ ❤å❝✮ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ tr♦♥❣ ✻ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ✤↕t ❤✐➺✉ q✉↔ tèt✳ ❈â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✤➸ ✈➩ ỗ t t t tỹ ❝→❝ t❤❛♦ t→❝ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ✭♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✱ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝✱ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❧➟♣ ❜↔♥❣ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ♠➜t ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝ơ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ữỡ tr r ỡ s ợ r õ t ữợ s ự ♥❤ä ♥❤÷ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❤♦➦❝ ❝→❝ tr↔✐ ♥❣❤✐➺♠ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t➳✳ ❚❤➼ ❞ö✱ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❣â✐ ❧➺♥❤ t❤è♥❣ ❦➯ ✤➸ ❦❤↔♦ s→t tr➻♥❤ ✤ë ❤å❝ t➟♣ ❝õ❛ ❤å❝ s✐♥❤ ♠ët tr÷í♥❣✱ ✤ë t✉ê✐ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ❞➙♥ sè ♠ët ①➣✱ ✳ ✳ ✳ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ t❤ü❝ ✈➔ ❜↔♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ❧ỵ♥✱ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠ • ❱➔♦ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❣❡♦❣❡❜r❛✳♦r❣✴❞♦✇♥❧♦❛❞ ✤➸ t↔✐ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✈➲ ♠→②✳ ❙❛✉ ❦❤✐ ❝➔✐ ✤➦t✱ ❝❤å♥ ❘✉♥✱ ●❡♦●❡❜r❛ s➩ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤✐➺♥ ❣✐❛♦ ữ ữợ ã s ổ ỳ ✈➼ ❞ö✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t✿ ♥❤→② ✈➔♦ ❖♣t✐♦♥s tr➯♥ t❤❛♥❤ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✭♠❡♥✉✮✱ ❝❤å♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡✱ ❝❤å♥ ❘✲❩✱ ❝❤å♥ ❱✐❡t♥❛♠❡s❡✴❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ♥❤÷ ❤➻♥❤ ữợ ởt số ự ã ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝✿ ❑❤✐ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s➩ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❜↔♥❣ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❞ị♥❣ ✤➸ ❧ü❛ ❝❤å♥ ♠ỉ✐ trữớ ỗ số ỗ t ỗ st tố ổ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✤÷đ❝ ♠➦❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ số ỗ t õ t ❜↔♥❣ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❧✐❝❦ ❝❤✉ët ✈➔♦ ❜✐➸✉ t÷đ♥❣ ♠ô✐ t➯♥ ð ❝↕♥❤ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ❝û❛ sê ✤➸ ❝❤å♥ ❧↕✐ ♠ët ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➳ ✤ë õ t số ỗ t ữợ ũ ỷ sờ ũ trỹ t t t ữợ r ❝â t❤➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ✈✐➺❝✿ sè ❤å❝✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t❤è♥❣ ❦➯ ✈➔ ①→❝ s✉➜t✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ trđ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❤➻♥❤ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ trü❝ q✉❛♥✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤ë♥❣✱ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ✈➩ ❤➻♥❤✱ ✈➩ t❤✐➳t ❞✐➺♥ ✈➔ ①♦❛②✱ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤✱✳✳✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ố ỵ tt số số t ❙û ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ ①→❝ s✉➜t t❤è♥❣ ❦➯ ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✶✳ sqrt(x) : ❈➠♥ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ x ✭√x✮ ✷✳ ❛❜s(x) : ❚rà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ x ✭|x|✮✳ ✸✳ ❢❧♦♦r(x) : ❍➔♠ s➔♥✱ ❤➔♠ ♣❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ợ t ổ ữủt q x r(3.14) = 3; ❢❧♦♦r(− 2) = −2 ✹✳ ❝❡✐❧(x) : ❍➔♠ tr➛♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ x✮✳ √ ❱➼ ❞ö✿ ❝❡✐❧(3.14) = 4; ❝❡✐❧(− 2) = −1 ✺✳ r♦✉♥❞(x) : ▲➔♠ trá♥ ♠ët sè tỵ✐ ♠ët sè ❝❤ú sè ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❱➼ ❞ö✿ ❛✳ ▲➔♠ trá♥ sè 23, 7825 ✤➳♥ ❤❛✐ ❝❤ú sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿ r♦✉♥❞(23.7855, 2) = 23.79 ❜✳ ▲➔♠ trá♥ sè 21, ✤➳♥ ♠ët ✈à tr➼ t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✈➲ ❜➯♥ tr→✐ ❝õ❛ ❞➜✉ t❤➟♣ ♣❤➙♥✿ r♦✉♥❞(21.5, −1) = 20 ✻✳ ❡①♣(x) : ex ✼❛✳ ❧❣(x) : ❧æ❣❛r✐t t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✭❧➔ log10 x ✮✳ ✼❜✳ ❧♥(x) : ▲ỉ❣❛r✐t tü ♥❤✐➯♥ ✭❧➔ ❧ỉ❣❛r✐t ❝ì sè e✮✳ ✽✳ ❍➔♠ sè ❧÷đ♥❣x ❣✐→❝✿ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) e − e−x ✾✳ s✐♥❤(x) := ex + e−x ✶✵✳ ❝♦s❤(x) := s✐♥❤(x) ✶✶✳ t❛♥❤(x) := ❝♦s❤ (x) ✺✸ ❈→❝ sè ❞↕♥❣ tr➯♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ▼❡rs❡♥♥❡✱ tù❝ ❧➔ sè ❞↕♥❣ p − 1✱ tr♦♥❣ ✤â ♣ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ 211 − ❧➔ ❤ñ♣ sè✱ ❝á♥ 2521 − ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ◆❣÷í✐ t❛ ✤➣ t➻♠ t❤➜② ❦❤→ ♥❤✐➲✉ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡✿ 22 − 1, 23 − 1, 25 − 1, 27 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 231 − 1, 261 − 1, ◆➠♠ 1953 ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ♠→② t➼♥❤ ❣✐ó♣ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët ❣✐↔ t❤✉②➳t sè ❤å❝✿ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ t➻♠ r❛ ✤÷đ❝ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❝â ❞↕♥❣ 2p − 1✱ ✈ỵ✐ p = 521, 607, 1279, 2203, 2281 ✺✹ ❱✐➺❝ t➻♠ r❛ số tố rs ữủ rt õ trữợ ✤➙②✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ ♥❤í ♠→② t➼♥❤ ✈➔ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ●■▼P❙✱ ✭●r❡❛t ■♥t❡r♥❡t ▼❡rs❡♥♥❡ Pr✐♠❡ ❙❡❛r❝❤✮✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ t➻♠ ✤÷đ❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✭❝â ❧➩✮ ❧➔ sè ▼❡rs❡♥♥❡ t❤ù 51 ✭✤÷đ❝ t➻♠ r❛ ✈➔♦ ♥❣➔② 21−12−2018✮ ❧➔ 2(82.589.933)−1✱ ❝â 24.862.048 ❝❤ú sè ✭①❡♠✿ ❤tt♣s✿✴✴✇✇✇✳♠❡rs❡♥♥❡✳♦r❣✴ ✮✳ ●✐↔ t❤✉②➳t ❝â ✈æ sè ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❞↕♥❣ 2p − ✈➝♥ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➻ ♥â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♠➟t t❤✐➳t tợ số ữ số ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤✱ ♠➟t ♠➣ ❦❤â❛ ❝ỉ♥❣ ❦❤❛✐✱✳ ✳ ✳ ❉ị♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ✈ỵ✐ p = 521, 607, 1279, 2203, 2281✱ ❝❤➾ ♠➜t ♠ët ♣❤ót✱ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤→ ❧ỵ♥✱ t❤➼ ❞ư✱ 22281 − ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè ✈ỵ✐ ❦❤♦↔♥❣ 700 ❝❤ú sè✦ ❙û ❞ư♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❆❙■❖ ❢①✲✺✽✵❱◆❳ P❤➙♥ t➼❝❤ sè 22 − 1, 23 − 1, 25 − 1, 27 − 1, 211 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 223 − 1, 229 − 1, 231 − 1, 237 − r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✸ ✣➳♥ p t❤➻ ♠→② t➼♥❤ ❈❆❙■❖ ❢①✲✺✽✵❱◆❳ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝✳ ❙è 231 − = (2147483647) ❉➜✉ () ♥â✐ r➡♥❣ ❈❆❙■❖ ❢①✲✺✽✵❱◆❳ ❦❤æ♥❣ ❜✐➳t sè ✤â ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❤❛② ❦❤æ♥❣✳ = 37 ✺✺ ✷✳✶✳✸✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ❞↕♥❣ n 22 + ❙û ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ❱➼ ❞ö ✷✳✹ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ sè 22 + r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè n tr♦♥❣ ✤â n = 1, 2, 3, , 18 ❈→❝ sè ❞↕♥❣ Fn = 22 + ✭✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ❋❡❝♠❛ ✮ ❝â ♠ët ❧à❝❤ sû ❦❤→ t❤ó ✈à✿ n ✺✻ ❋❡❝♠❛ (1601 − 1665) ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✿ ♠å✐ sè 22n + ✤➲✉ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✈ỵ✐ ♠å✐ n ✣✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = 0, 1, 2, 3, ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥➠♠ 1732 ❊✉❧❡r ✤➣ ❝❤➾ r❛ ✈ỵ✐ n = t❤➻ sè ❋❡❝♠❛ ❧➔ ❤đ♣ sè ✭♥❤÷ t❛ t❤➜② ð tr➯♥✮✳ ❚❛ ❝á♥ t❤➜② ♥❣❛② ❧➔ ✈ỵ✐ n = t❤➻ sè ❋❡❝♠❛ ❝ơ♥❣ ❧➔ ❤đ♣ sè✳ ❙è ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡❝♠❛ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➻ ♥â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥✱ t❤➼ ❞ö✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❞ü♥❣ ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥✳ õ ỵ sst t õ ✈➔ ✤õ ✤➸ ♠ët ✤❛ ❣✐→❝ ✤➲✉ n ❝↕♥❤ ❝â t ữủ tữợ t n ❜➡♥❣ t➼❝❤ sè ❝õ❛ ♠ët ❧✉ÿ t❤ø❛ ❝õ❛ ✈ỵ✐ ♠ët sè ❜➜t ❦ý ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ sè ❋❡❝♠❛t ✈➝♥ ✤❛♥❣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▼➦❝ ❞ị ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❦❤♦↔♥❣ 70 sè ❧➔ sè ❋❡r♠❛t✱ ♥❤÷♥❣ ✈➝♥ ❝❤÷❛ t➻♠ r❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ♥➔♦ ♠ỵ✐✱ ♥❣♦➔✐ sè ✤➣ ❜✐➳t✿ F0, F1, F2, F3, F4 ❙û ❞ö♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲✺✽✵❱◆❳ ❱➼ ❞ö ✷✳✺ P❤➙♥ t➼❝❤ sè 22n + r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè tr♦♥❣ ✤â n = 1, 2, 3, 4, 5, ✿ ❑✐➸♠ tr❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❊✉❧❡r✿ ✣❛ t❤ù❝ n2 + n + 41 ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈ỵ✐ n = 0, 1, , 39 ✈➔ ❧➔ ❤ñ♣ sè ❦❤✐ n = 40✳ rữợ t t f := ✱ s❛✉ ✤â ♣❤➙♥ t➼❝❤ r❛ t❤ø❛ sè ♥❤÷ tr♦♥❣ ữợ ởt ✐❢❛❝t♦r✭❢✭♥✮✮✱ t❛ t❤➜②✿ ❦❤✐ n t❤❛② ✤ê✐ tø ✤➳♥ 100 t❤➻ ❝❤➾ ❝â 14 ❤ñ♣ sè ❧➔ f (40), f (41), f (44), f (49), f (56), f (65), f (76), f (81), f (82), f (84), f (87), f (89), f (91), f (96)✱ ❝→❝ f (n) ❝á♥ ❧↕✐ ✤➲✉ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❚❤➟t ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❤✐➳♠✦ ▼ët ✧❝õ❛ ❤✐➳♠✧ ♥ú❛ ❧➔✿ ✤❛ t❤ù❝ x2 − 79x + 1601 ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ♥❣✉②➯♥ tè ✭❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ t➜t ❝↔ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✮ ✈ỵ✐ x = 0, 1, , 79 ✈➔ ❧➔ ❤ñ♣ sè ❦❤✐ n = 80✳ ◆❤➟♥ ①➨t✿ ❈→❝ ✤❛ t❤ù❝ n2 + n + 41 ✈➔ x2 − 79x + 1601 ❝ơ♥❣ ❣✐ó♣ ủ ỵ tr ởt ọ ữ õ tr ỗ t ổ tự ợ ❤ì♥ ❝â ❤➺ sè ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤➟♥ ✈æ sè ❣✐→ trà ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ✷✳✶✳✹✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❞↕♥❣ An = p2 p3 pn − r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✭❤✐➺✉ ❝õ❛ t➼❝❤ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✈➔ ✷✱ tr♦♥❣ ✤â pk ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè t❤ù k ✱ p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, , ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✈ỵ✐ ♠å✐ n✳✮ ❱➼ ❞ö ✷✳✼ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✐❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❞↕♥❣ An = p2 p3 pn − r❛ ✺✽ ✺✾ ❚r♦♥❣ ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ tr➫ ✭①❡♠✿ ❚✉②➸♥ t➟♣ ✸✵ ♥➠♠ t↕♣ ❝❤➼ ❚❍❚❚✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝✱ ✶✾✾✼✱ tr❛♥❣ ✸✹✸✮✱ ●✳❙✳ ▲↕✐ ✣ù❝ ❚❤à♥❤ ✈✐➳t✿✧❇➡♥❣ ❝→❝❤ t❤û✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ sè A3, A4, A5, A6, A7 ✤➲✉ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❈â ❧➩ t❤û ✈ỵ✐ ♠ët ✈➔✐ ❣✐→ trà ♥ú❛ ❝õ❛ n t❛ s➩ t➻♠ ✤÷đ❝ ♠ët ❤đ♣ sè✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ♠✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ A8 ❝➛♥ ❧➔♠ 300 ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ ❦✐➸♠ tr❛ A9 ❝➛♥ 1300 ♣❤➨♣ ❝❤✐❛✱ tù❝ ❧➔ ♠➜t ✈➔✐ ❜✉ê✐ ❧➔♠ t➼♥❤✳✧ ❉ị♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ♥❤÷ tr➯♥ t❛ t❤➜② A8, A9 ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ♥❤÷♥❣ A10 ❧➔ ❤đ♣ sè✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈ỵ✐ ●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝❤➾ ♠➜t ✈➔✐ ♣❤ót ✤➸ ❦✐➸♠ tr❛✿ tr♦♥❣ 21 sè ✤➛✉ t❤➻ A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A11, A13, A16, A20 ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❝→❝ An ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ ❤ñ♣ sè✳ ❙û ❞ö♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❈❛s✐♦ ❢①✲✺✽✵❱◆❳ ❱➼ ❞ö ✷✳✽ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè s❛✉ ✤➙② r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✿ ∗ − 2; ∗ ∗ − 2; ∗ ∗ ∗ 11 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 − 2; ∗ ∗ ∗ 11 ∗ 13 ∗ 17 ∗ 19 ∗ 23 ∗ 29 ∗ 31 − ✻✵ ❑➳t ❧✉➟♥ ◆❤÷ ♠ët trđ ❣✐ó♣ ✤➢❝ ❧ü❝ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝✱ ♠➔ ❝á♥ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤ú♥❣ ❝➙✉ ❤ä✐ ♠ð✳ ❝ỉ♥❣ ❝ư t❤➼ ♥❣❤✐➺♠✱ ●❡♦❣❡❜r❛ ✷✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✭r❛ t❤ø❛ sè✮ ❧➔✿ ❇✐➳♥ ✤ê✐ ✤❛ t❤ù❝ ✤â t❤➔♥❤ ♠ët t➼❝❤ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✤ì♥ t❤ù❝✱ ✤❛ t❤ù❝✳ tr Pữỡ t ợt ũ ♠ët ❤↕♥❣ tû ❚❛ t❤➯♠ ❤❛② ❜ỵt ❝ị♥❣ ♠ët ❤↕♥❣ tû ✈➔♦ ✤❛ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤♦ ✤➸ ❧➔♠ ①✉➜t ❤✐➺♥ n ♥❤â♠ sè ❤↕♥❣ ♠➔ t❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✿ ✣➦t ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣✱ ❞ị♥❣ ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱✳✳✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✾ ✭❈❤✉②➯♥ ❚♦→♥✱ ✣❍❙P ❍➔ ◆ë✐✱ ✶✾✾✷ ✲ ✶✾✾✸✱ ✈á♥❣ ✸✮ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ x10 + x5 + t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ●✐↔✐ x10 + x5 + = x10 + x9 − x9 + x8 − x8 + x7 − x7 + x6 − x6 + x5 + x5 − x5 + x4 − x4 + x3 − ✻✶ x3 + x2 − x2 + x − x + = (x10 + x9 + x8 ) − (x9 + x8 + x7 ) + (x7 + x6 + x5 ) − (x6 + x5 + x4 ) + (x5 + x4 + x3 ) − (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x8 (x2 + x + 1) − x7 (x2 + x + 1) + x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1) ❱➼ ❞ö ✷✳✶✵✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ x7 + x5 + t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ●✐↔✐ x7 + x5 + = x + x + x − x − x − x + x + x + x3 − x − x − x + x2 + x + = x5 (x2 + x + 1) − x4 (x2 + x + 1) + x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 − x4 + x3 − x + 1) ❱➼ ❞ö ✷✳✶✶ ✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ x5 + x4 + t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ●✐↔✐ x + x4 + = x5 + x + x − x3 − x − x + x + x + = x3 (x2 + x + 1) − x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 − x + 1) ✻✷ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✷✿ tû✳ ●✐↔✐ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ x5 + x + t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ ❚❤➯♠ ❜ỵt x4 + x3 + x2 ✤➸ ✤➦t ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣✿ x + x + = x + x + + x4 + x + x − x − x − x = x3 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) − x2 (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1) st tr r ủ ỵ ❣➦♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ❞↕♥❣ x3m+1 + x3n+2 + t❛ t❤➯♠ ❜ỵt ❝→❝ ❤↕♥❣ tû tø ❜➟❝ ❝❛♦ ♥❤➜t trø ✤✐ ✤➳♥ x ✭❜➟❝ ♥❤➜t✮ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ sè ❝→❝ ❤↕♥❣ tû tr♦♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ♠ỵ✐ ❧➔ ♠ët ❜ë✐ ❝õ❛ ❙❛✉ ✤â ♥❤â♠ ❜❛ ❤↕♥❣ tû ♠ët s❛♦ ❝❤♦ tr♦♥❣ ♠é✐ ♥❤â♠ ❝â x2 + x + ❉↕♥❣ ♥➔② ❦❤✐ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧✉æ♥ ❝â ❦➳t q✉↔ ❧➔ (x2 + x + 1).Q(x) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱ỵ✐ m, n ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✱ t❛ ❝â✿ x3m+1 + x3n+2 + = [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2 ] + (x2 + x + 1) ❚❤➜② r➡♥❣✿ ✶✮ x3m+1 − x = x[(x3)m − 1] ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x3 − 1, ✈➔ ✈➻ x3 − ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x2 + x + ♥➯♥ x3m+1 − x ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x2 + x + ✷✮ x3n+2 − x2 = x2[(x3)n − 1] ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x3 − 1, ✈➔ ✈➻ x3 − ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x2 + x + ♥➯♥ x3n+2 − x2 ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x2 + x + ❚ø ✤â s✉② r❛ [x3m+1 − x] + [x3n+2 − x2] + (x2 + x + 1) ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x2 + x + 1, ❤❛② x3m+1 + x3n+2 + ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ x2 + x + ❚❛ ❝ô♥❣ ❝â ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû x2 + x + 1, ữ t ữợ t ❍❙● ❧ỵ♣ ✽✱ ❤✉②➺♥ ●✐❛ ❇➻♥❤✱ ✷✵✶✷ ✲ ✷✵✶✸✮ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ✻✸ ●✐↔✐ x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 = x4 + x2 + 2007x2 + 2007x + 2007 + = x4 + x2 + + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + 1)2 − x2 + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 2008) ❜✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞ò♥❣ ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✣➲ t❤✐ ❍❙● ❝➜♣ ✷ ♠✐➲♥ ❇➢❝✱ ❧➛♥ t❤ù ✻✱ ✶✾✻✻ ✲ ✶✾✻✼✮ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ a16 + a8b8 + b16 t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✹ ●✐↔✐ a16 + a8 b8 + b16 = (a8 )2 + 2a8 b8 + (b8 )2 − a8 b8 = (a8 + b8 )2 − (a4 b4 )2 = (a8 + b8 + a4 b4 )(a8 + b8 − a4 b4 ) (1) ❚✐➳♣ tö❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❤➙♥ tû (a8 + b8 + a4b4) t t ợt ữ tr t õ (a8 + b8 + a4 b4 ) = (a4 + b4 + a2 b2 )(a4 + b4 − a2 b2 ) ✭✷✮ ▲↕✐ ♣❤➙♥ t➼❝❤ (a4 + b4 + a2b2) t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ♥❤÷ tr➯♥ t❛ ❝â✿ (a4 + b4 + a2 b2 ) = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) ✭✸✮ ❚ø (1), (2), (3) t❛ ❝â ❦➳t q✉↔✿ a16 + a8 b8 + b16 = (a8 + b8 − a4 b4 )(a4 + b4 − a2 b2 )(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab) ✻✹ ❝✳ P❤è✐ ❤đ♣ ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✲ ✣➦t ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣✳ ✲ ❉ò♥❣ ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✲ ◆❤â♠ ♥❤✐➲✉ ❤↕♥❣ tû✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✺✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ x − 6x + 12x − 14x + t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ●✐↔✐ x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x3 + 8x2 − 12x + x2 − 2x + = x2 (x2 − 2x + 3) − 4x(x2 − 2x + 3) + (x2 − 2x + 3) = (x2 − 2x + 3)(x2 − 4x + 1) ✭✣➲ t❤✐ ❍❙● ❧ỵ♣ ✽✱ ❇➢❝ ●✐❛♥❣✱ ✷✵✶✷✲✷✵✶✸✮ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ 2a3 + 7a2b + 7ab2 + 2b3 t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✻ ●✐↔✐ 2a3 + 7a2 b + 7ab2 + 2b3 = 2(a3 + b3 ) + 7ab(a + b) = 2(a + b)(a2 − ab + b2 ) + 7ab(a + b) = (a + b)(2a2 + 2b2 + 5ab) = (a + b)(2a2 + 4ab + 2b2 + ab) = (a + b)[2a(a + 2b) + b(b + 2a)] = (a + b)(a + 2b)(2a + b) ✭❍❙● ❝➜♣ ✷ ♠✐➲♥ ❇➢❝✱ ❧➛♥ t❤ù ✽✱ ✶✾✻✽✲✶✾✻✾✮ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ s❛✉ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✿ bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r✿ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✼ ✻✺ ●✐↔✐ bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b) = bc(ab + bd − ac − cd) − ac(ab + ad − bc − cd) + ab(ac + ad − bc − bd) = ab2 c + cb2 d − abc2 − bc2 d − a2 bc − a2 cd + abc2 + ac2 d + a2 bc + a2 bd − ab2 c − ab2 d = b2 cd − bc2 d − a2 cd + ac2 d + a2 bd − ab2 d = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b2 − c2 ) = bcd(b − c) + a2 d(b − c) − ad(b − c)(b + c) = (b − c)[bcd + a2 d − ad(b + c)] = (b − c)(bcd + a2 d − abd − acd) = (b − c)[ad(a − c) − bd(b − c)] = (b − c)(a − c)(ad − bd) = (b − c)(a − c)(a − b)d ❞✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t→❝❤ ❤↕♥❣ tû ✣➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû t❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ❤↕♥❣ tû t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ tỷ t ủ rỗ t õ ỳ số ❤↕♥❣ ♠➔ t❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❞ị♥❣ ❤➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ✤➦t ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣✱✳✳✳❈â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ t→❝❤ ❤↕♥❣ tû t❤➔♥❤ ♥❤✐➲✉ ❤↕♥❣ tû ❦❤✐ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✽✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ s❛✉ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû x2 (y − z) + y (z − x) + z (x − y) ●✐↔✐ ✻✻ x2 (y − z) + y (z − x) + z (x − y) = x2 (y − z) + y [(y − x) + (z − y)] + z (x − y) = x2 (y − z) + y (y − x) + y (z − y) + z (x − y) = [x2 (y − z) − y (y − z)] + [y (y − x) − z (y − x)] = (y − z)(x2 − y )+ (y − x)(y − z ) = (y − z)(x+ y)(x− y) − x− y)(y + z)(y − z) = (x − y)(y − z)[(x + y) − (y + z)] = (x − y)(y − z)(x + y − y − z) = (x − y)(y − z)(x − z) ✣✐➸♠ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ ♥➔② ❧➔ ♣❤↔✐ t→❝❤ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❤↕♥❣ tû ❜❛♥ ✤➛✉ t❤➔♥❤ tê♥❣ ✭❤♦➦❝ ❤✐➺✉✮ ❝õ❛ ❤❛✐ ❤↕♥❣ tỷ ỏ rỗ s õ ✤➸ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣✱ tø ✤â s➩ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷đ❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ❡✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➦t ➞♥ ♣❤ö ❱➼ ❞ö ✷✳✶✾✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ s❛✉ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 ●✐↔✐ + + ) x x3 x 1 = x3 [3(x3 + ) − 4(x2 + ) + 2(x + ) − 8] x x x ✣➦t x + x1 = t ⇒ t2 = (x + x1 )2 = x2 + + x12 ⇒ x2 + x12 = t2 − 1 1 t3 = (x + )3 = x3 + 3x + + = x3 + + 3(x + ) ⇒ x3 + = t3 − 3t x x x x x x 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + + 2x2 = x3 (3x3 − 4x2 + 2x − − ❚❤❛② x + x1 = t; x2 + x12 = t2 − 2; x3 + x13 = t3 − 3t ❚❛ ❝â✿ x3[3(t3 − 3t) − 4(t2 − 2) + 2t − 8] = x3(3t3 − 9t − 4t2 + + 2t − 8) = x3 (3t3 − 4t2 − 7t) = x3 t(3t2 − 4t − 7) = x3 t[(3t2 − 3) − (4t + 4)] = x3 t[3(t − 1)(t + 1) − 4(t + 1)] = x3 t(t + 1)(3t − − 4) = x3 t(t + 1)(3t − 7) ✻✼ ❚❤❛② t = x + x1 t❛ ✤÷đ❝ 1 x3 (x + )(3x + − 7)(x + + 1) = x(x2 + 1)(3x2 + − 7x)(x + + 1) x x x x 2 = (x + 1)(3x − 7x + 3)(x + x + 1) ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ (x−y)3 +(y−z)3 +(z−x)3 t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✵✿ ●✐↔✐ P = (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 ✣➦t x − y = a; y − z = b; z − x = c ⇒a+b+c=0 ⇒ a + b = −c ⇒ (a + b)3 = −c3 ⇒ a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 + c3 = ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(a + b) ⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(−c) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc ✭✈➻ a + b = −c✮ ❤❛② (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 3(x − y)(y − z)(z − x) ❱➟② P = 3(x − y)(y − z)(z − x) ỗ t số ỗ t ❝õ❛ ❤➔♠ sè✿ y = x3 − 3x − ữợ r tr tỹ t❤à✿ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✶ ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ HẰNG MƠ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ, GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: ... ❚➼❝❤P❤➙♥✭❁❍➔♠ sè❃✱❁❇✐➳♥❃✮ ❚➼❝❤P❤➙♥✭❁❍➔♠ số ữợ tr P số ữợ tr Pỳố số số ữợ tr Pỳố số số ữợ tr P số ữợ tr P số số tr trà ❝✉è✐❃✮ ✭❚✉②➸♥ s✐♥❤ ✤↕✐ ❤å❝ ♥➠♠ ✷✵✵✾✱ ❦❤è✐ ❆✮ ỷ P số ữợ tr t t ❱➼ ❞ö ✶✳✺✽ π I=... số ữợ số số 1000000001 s ữợ số ❧➺♥❤ ✿ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭ ❁❙è❃✮ ▲➺♥❤ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭❁❙è❃✮✿ ❈❤♦ ❜↔♥❣ ❞❛♥❤ s→❝❤ t tt ữợ số số ❝❤♦✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭ ❁❙è❃ ✮ t ữợ số số 1000000001