Một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm muckenhoupt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên : Toán Giải tích ngành Mã số :60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan là luận văn tốt nghiệp chính thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu và kết qua tham khao luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khao TP.HCM, tháng năm 2019 Tác gia Phan Thanh Hai LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Tác gia xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS Trần Trí Dũng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tận tình từng bước để tác gia có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn Tác gia cũng xin trân trọng cam ơn các Thầy cô Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt cho tác gia hoàn thành đề tài quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Cuối tác gia xin gửi lời cam ơn chân thành đến gia đình và tất ca bạn bè, đồng nghiệp công ty đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi thời gian và công việc cho tác gia thời gian học tập và thực hiện luận văn của mình Trân trọng TP.HCM, tháng năm 2019 Tác gia Phan Thanh Hai MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cam ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BI 1.1 Hàm phân bố và các chuẩn 1.2 Bất đẳng thức Jensen 1.3 Bổ đề phủ 1.4 Nội suy 1.5 Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu 1.6 Bất đẳng thức Kolmogorov Chương TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 2.2 Bất đẳng thức Fefferman – Stein 11 2.3 Các hàm trọng Muckenhoupt: 13 2.4 Toán tử cực đại trung tâm 20 2.5 Các hàm trọng và bất đẳng thức dạng mạnh .21 2.6 Toán tử cực đại các sơ 23 2.6.1 Cơ sơ các hình lập phương nhị nguyên 23 2.6.2 Cơ sơ các hình chữ nhật .25 2.6.3 Cơ sơ các hình chữ nhật tất ca các hướng 26 26 2.6.4 Cơ sơ các khoang , 2.6.5 Cơ sơ các hình lập phương Carleson 26 2.7 Những tính chất đầu tiên của các lớp hàm trọng 27 2.8 Xây dựng các lớp hàm trọng .32 2.8.1 Cách xây dựng của Coifman 32 2.8.2 Thuật toán Rubio de Francia: .34 2.9 Phân tích nhân tử 36 Chương LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG ∞ 42 3.1 Bất đẳng thức Hölder ngược cho các lớp hàm trọng 42 3.2 Bổ đề Gehring .48 3.3 Đặc trưng của các lớp hàm trọng 49 51 3.4 Lớp hàm trọng ∞ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHI 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU  ( )là không gian các hàm lũy thừa bậc kha tích ứng với ; ‖∙‖ ( )={ ∶ ∫ℝ | | , là chuẩn; ( ) là độ đo của ứng với }) Để chứng minh kết qua này, cần lưu ý vế trái tương đương với: ∫∫ | ( )| và sau đó thay đổi thứ tự lấy tích phân Trong trường hợp đặc biệt, ()= ′ () với > 0, ta có: ∞ ∫| ( )| = ∫ −1 ({ ∈ ∶ | ( )|> }) Bất đẳng thức Chebyshev: ({ ∶|()|>})≤ |()| ∫ { : | ( )|> } () 1.2 Bất đẳng thức Jensen Bổ đề 1.2: (xem [ ]) Cho là một độ đo xác suất (nghĩa là ( ) = 1) và là một hàm dương, kha tích Khi đó hàm: ℎ( ) = (∫ ) 1/ thức Hölder ngược cho Chọn cho − ′ 1− ′ 52 , ta có: tồn tại > cho: ′ > 1, suy > Do > nên ′ > ′nên < Từ bất đẳng thức ta suy Tức là 1− ( ) ′ ( || Suy Do đó ( sup || (do ∈ ) Suy ∈ , tồn tại Vậy ∀ ∈ < cho Định nghĩa 3.8: Lớp ∞ ∞=⋃ ∈ Suy ⊂⋃ < □ >1 được giới thiệu lần đầu tiên bơi B Muckenhoupt [15] và bơi R R Coifman và C Fefferman [2] Muckenhoupt định nghĩa ∞ là lớp các hàm trọng thỏa mãn điều kiện sau: cho trước > tồn tại > cho nếu là một hình lập phương, ⊂ và | | < | |, đó ( ) < ( ) Định nghĩa được 53 chọn bơi Coifman và Fefferman sau: có các số lập phương bất kỳ và ⊂ đo được bất kỳ thỏa () ≤ ( () || , > cho với hình (3.4 ) ) || Định lý tiếp theo cho ta nhiều đặc trưng tương đương của lớp ∞ Định lý 3.9: (xem [5, trang 39,42]) Cho là một hàm kha tích địa phương không âm ℝ Khi đó các điều sau là tương đương: (1) ∈ ⋃ 1< cho với mọi hình lập phương ta có: (2) 1 | | ∫ ≤ exp ( (3) (4) ∈ ⋃ 1< cho với mọi hình lập phương ta có ∫ ( ) ≤ ( ) (5) Tồn tại > cho với mọi+hình lập phương ta có (6) Tồn tại , ∈ (0,1) cho với mọi hình lập phương và mọi tập chứa mà | | < | | ta có ( ) ≤ ( ) ∫ (6′) Tồn tại , (7) Tồn tại log ∈ (0,1) cho với mọi hình lập phương ({ ∈ ∶ ( )≥ > và < cho với mọi hình lập phương ≤ ( ) ta có và > −1 ta có |{ ∈ ∶ ( )≤ −1 54 }|≤ Tồn tại , > cho (3.4) đúng với mọi hình lập phương và mọi tập (8) ({ ∈ ∶ ( )≤( ) −1 }) đo được chứa (9) Tồn tại , ∈ (0,1) cho với mọi hình lập phương ta có: (10) Tồn tại > và < cho với mọi hình lập phương và > |{ ∈ ∶ ( )≤ }|≤ | | ta có: ({ ∈ ∶ ()>})≤ |{ ∈ ∶ ()> }| Chứng minh (1) ⟹ (2) suy từ Bổ đề 3.2 (2) ⟹ (3): là vì ta dùng tính chất (2) Bổ đề 3.2 để chứng minh hàm thỏa bất đẳng thức Hölder ngược Mặc dù bổ đề và định lý có phát biểu ∈ dò lại chứng minh Định lý 3.1 thì để chứng minh bất đẳng thức Hölder cho thì ta cần dùng bất đẳng thức Bổ đề 3.2, tức tính chất (2), mà không cần ∈ Chứng minh không bị anh hương gì Trong chứng minh đó mặc dù có dùng số [ ] exp thực chất thì ta thay đó số bất đẳng thức của Bổ đề 3.2 (3) ⟹ (4): Gia sử thỏa (3.1) (với lũy thừa ) Khi đó sử dụng bất đẳng thức Hölder, ta có ∫ ( ) ≤ (∫ ( )) = ( ) (do Định lý 3.1) (trong chứng minh đã sử dụng bất đẳng thức Hölder, tính bị chặn của và (3.1)) (4) ⟹ (5): Theo bất đẳng thức tích phân (2.16), 55 ta có: lấy tích phân hai vế theo với > ∞ ∫ Số hạng đầu tiên cho vế trái của (5) và (4) cho vế phai của (5): ∞ ∫ (với + ( ) = max(ln( ) , 1)) Suy ∫ ( ) (5) ⟹ (6): lấy ⊂ cho | Ta chứng minh bất đẳng thức: Thật vậy, xét ()= ′ ( )=0⟺ = log − | < | | ≤ log + − − + , > và > ⟹ ′( ) = log − Bang biến thiên: ′ () Suy () 56 ≤ log − + ⟹ ≤ Gia sử = (do đó ( ) = | |) Áp dụng bất đẳng thức với = và (5) thì: ()=∫ = ∫ + ∫ ≤∫1+∫ = = ≤(1+ ≤(1+ ≤ (1+ đó là số của (5) Với = − 1, chọn cho(1 + Khi đó: Do ( ) = | |, (6) đúng cho đã chọn và = 3/4 (6) ⟹ (6′): Xét= { Ta có ∈ ∶ ()≥ | |=∫ 1=∫ (do −1 ≤ ⊂ ) Áp dụng (6) ta có (6′) ⟹ (6): lấy ⊂ ()≤ Khi đó: ( ) 57 ( )≤ ({ ∈ ∶ ( )≥ Do (6′) nên: Đặt = { ∈ ∶ ( ) < ( )=∫ Suy ( )≤ ( )+ | |=( + Chọn ′ cho ′ = + ′ < ′ Khi đó (6) đúng với và ′ || thay vì || và (Nghĩa là ta chọn < Rồi đặt ′ ′ < cho+ = + (6) ⟹ (7): Độ đo ( ) có tính chất doubling (6) (Tính chất doubling được thấy rõ nếu (6) được viết dưới dạng: | | ≥ (1 − )| | kéo theo ( ) ≥ (1 − ) ( ) Điều này được suy cách áp dụng (6) cho \ thay vì Thật vậy, ta chọn cho | \ | ≤ | | (tương đương với | | − | | ≤ | | hay | | ≥ (1 − )| |), thì theo (6) ta có ( \ ) ≤ ( ) (tương đương với ( ) ≥ (1− ) ( )) Suy ()≤ ≤ (0.5 ) (1− )(1− ) Vậy ta có ()≤ (0.5 ) với mọi Do đó () có tính chất doubling 58 Khi đó ta có thể áp dụng các kết qua được đề cập chú ý 2.16 cách lấy hàm −1 là Với > | |/ ( ), ta có một dãy { } của các hình lập phương nhị nguyên mà < ( )< (∗) (Bất đẳng thức này suy từ tính chất 2.6.1 Chương 2, thay = cuối ghi chú 2.16 Xem thêm cách xây dựng và tính chất của { } phần 2.6.1) Hơn nữa, tập { 1) ta có −1 ()≤ ∈ : −1 } được chứa (cho đến một tập có độ đo hợp của các hình lập phương , bơi vì hầu khắp nơi bên ngoài hợp này | | ( ) ≤ (do tính chất 2.6.1) Ta suy |{ ∈ ∶ (Bất đẳng thức thứ là tập { ∈ ∶ ( ) ≤ −1 ()≤ −1 }| ≤ ∑| | ≤ ∑ ( ) (∗∗) } chứa hợp của các hình lập phương , bất đẳng thức thứ hai là bất đẳng thức (*)) ′ Sử dụng (6 ) (Do (6’) đã chứng minh tương đương với (6) nên ta có thể sử dụng (6’) chứng minh (6) ⟹ (7)), ta có : (do ( ) = ({ ∈ thứ hai của bdt có được là (6’)) Do < −1 bơi cách xây dựng (cũng chính là bất đẳng thức thứ (*)), ta có: ( )≤1− Lấy tổng theo (7) ⟹ (1): ta có (7) (do (**)) ({ ∈ ∶ () Ta có: (áp dụng Bổ đề 1.1, tương tự phần chứng minh Định lý Cho 3.1) ∫ − ≤∫ ∞ −1 |{ ∈ ∶ ( )−1> }| Chọn đủ nhỏ thì số hạng cuối được hấp thu bơi số hạng đầu tiên và ta có ∈ Đây là điều kiện cho = + 1/ Bây giờ lấy > bất kì Ta chọn được > để , suy theo tính chất (ii) của định lý 2.18 □ < = + 1/ Mà ∈ Chú ý bước cuối của chứng minh nói −1 thỏa một bất đẳng thức Hölder ngược với lũy thừa + theo độ đo ( ) Do đó, điều kiện tự nó là mợt dạng của bất đẳng thức Hưlder ngược (3) ⟹ (8): Sử dụng bất đẳng thức Hölder và (3.1) ta có: 1/ Suy (8) áp dụng (8) ⟹ (3): Ta có thể gia sử = 1, nghĩa là, ( ) = | | (nhân với một số nếu cần thiết) Đặt = { ∈ ∶ ( ) > } Do ta gia sử (8) nên 60 (3.4) ta có: | | |− )≤ | ( Mặt khác: ( Do đó: | | ≤ ∫ ()= ( )=∫ ( = ∫ () ∞ ≥∫ | | |1− , nên| )≤ | −1 | | ≤||+ | | |1− (do )≤ | =∫ ∫ ∞ ( ) = | |) = | | 1/(1− ) |≤ | | Khi đó : −1−1/(1− ) || (Chứng minh tương tự phần chứng minh Định lý 3.1) Chọn < 1/(1 − )ta có Suy ( Điều kiện (6) có thể được đao ′ (1 − )| | (đây chính là mệnh đề đao của mệnh đề (6) thay tập thành tập \ ) Khi đó chứng minh tương tự ta suy (6 ) và (7) từ (6), đó ta thay đổi vai trò của ( ) và độ đo Lebesgue để suy (9) và (10) Từ (10) chứng minh tương tự phần (7) ⟹ (1) ta suy bất đẳng thức Hölder ngược cho , tức là có (8) ′ ′ Để chứng minh (9) suy (10) thì chứng minh tương tự (6 ) suy (7) (tức là kết hợp (6 ) suy (6) và (6) suy (7)) cách đổi vai trò của ( ) và độ đo Lebesgue □ Định lý 3.10: (xem [5, trang 43]) Cho là một hàm không giam xác định (1, +∞) với giá trị [0, +∞) cho lim ( ) = +∞ và →+∞ () lim −1 →+∞ 61 = với mọi > Cho là một hàm kha tích và không âm Điều kiện dưới cũng là tương đương với tất ca các điều kiện định lý 3.9 Tồn tại > cho với mọi hình lập phương ta có: (11) ∫ { ∈ ∶ ( )> } Chứng minh (3) ⟹ (11): Gia sử dễ dàng chứng minh ( ) ≤ −1 thỏa (3.1) với lũy thừa Do lim Do đó ta có: ∫ { ∈ ∶ ( )> } (do (3.1)) Tức là ta có (11) Với (11) ⟹ (6): Từ gia thiết (11) ta chứng minh tính chất (6) của Định lý 3.9 > −1 (1), định nghĩa ( ) = sup{ ∶ ( ) ≤ } Cho trước ⊂ , đặt = { ∈ : ( ) ≤ −1(2 ) }, đó là số (5.2), và = \ −1 ∫ ≤ (2 ) | |, 1thì (vì ∀ ∈ ()≤ −1 (2 ) ) và ∫ ≤ Cộng ca hai ước lượng lại ta có: ()≤( −1 (2 ) || | | + 2) ( ) Ta có: 62 Chọn cho −1(2 ) < 1/4, ta suy (6) đúng với = 3/4 (do đó thì | | ≤ | |) □ Thực tế ta có thể suy các đặc tính khác cho các hàm khác Ví dụ chọn ( ) = log thì ta có điều kiện (5) trước đó của định lý 3.9 Ta cũng có thể chọn với độ tăng nhỏ log Chú ý 3.11: Đặc trưng của ∞ chương này là đúng cho các lớp hàm thông thường, không cần thiết cho các hàm trọng liên kết với các sơ tổng quát theo nghĩa của Phần 2.6 Chúng ta đã đề cập Phần 3.3 điều kiện (1) và (3) của Định lý 3.9 cho sơ = {(0, ) ∶ > 0} của (0, ∞)là độc lập Một kết qua khác [2] có các hàm trọng thỏa (2) không thỏa (1) Một ví dụ là: ()= đó = (2 , + 1) và Ω = ∞ ⋃ k=1 Ωc( ∞ ) + ∑( − ) =1 ( ), 63 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHI Luận văn đã trình bày một cách hệ thống lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt và áp dụng của lý thuyết đó vào nghiên cứu tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood Các kết qua được trình bày phần lớn tham khao từ tài liệu “Forty years of Muckenhoupt weights” của tác gia Javier Duoandikoetxea (2013) Đóng góp chính của luận văn là đã cũng cấp các chứng minh đầy đủ chi tiết các nghiên cứu của các tác gia các tài liệu tham khao Quá trình hoàn thành luận văn này đã thực sự giúp ích cho người viết biết được nhiều kiến thức mới và thú vị, cách tiếp cận các kiến thức này cũng là những điều hết sức bổ ích cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này Qua việc hoàn thành luận văn, người viết đã tìm hiểu nhiều các tài liệu tham khao liên quan và hiểu biết sâu sắc toán tử nói chung và toán tử cực đại Hardy – Littlewood nói riêng, lý thuyết lớp hàm dùng để chứng minh các bất đẳng thức dạng yếu và dạng mạnh cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood và các toán tử cực đại khác Nhờ vậy người viết được củng cố thêm kiến thức Giai tích hàm, Giai tích thực Tác gia mong được có điều kiện tiếp tục tìm hiểu những áp dụng cũng được nghiên cứu các vấn đề liên quan đến luận văn này 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S M Buckley (1993), Estimates for operator norms on weighted spaces and reverse Jensen inequalities, Trans Amer Math Soc 340, no 1, 253-272 MR1124164 (94a:42011) [2] R R Coifman and C Fefferman (1974), Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals, Studia Math 51, 241-250 MR0358205 (50 #10670) [3] R Coifman, P W Jones and J L Rubio de Francia (1983), Constructive decomposition of BMO functions and factorization of weights, Proc Amer Math Soc 87, no 4, 675-676 MR687639 (84c:42031) [4] D Cruz-Uribe and C J Neugebauer (1995), The structure of the reverse Hölder classes, Trans Amer Math Soc 347, no 8, 2941-2960 MR1308005 (95m:42026) [5] Javier Duoandikoetxea (2013), Forty years of Muckenhoupt weights, Conference paper: Spring School on Analysis Paseky, Volume: Function Spaces and Inequalities, Lecture Notes Paseky nad Jizerou (J Lukes, L Pick ed.), Matfyzpress, Praga, pp 23-75 [6] as J Duoandikoetxea, F J Martín-Reyes, và S Ombrosi, Calderón weights Muckenhoupt weights, Indiana Univ Math J., to appear Available at http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/forthcoming.php [7] J B Garnett (1981), Bounded analytic functions, Pure and Applied Mathematics, vol 96, Academic Press Inc., New York MR628971 (83g:30037) [8] F W Gehring (1973), The -integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping, Acta Math 130, 265-277 MR0402038 (53 #5861) nd [9] L Grafakos (2008), Classical Fourier Analysis, ed., Graduate Texts in Mathematics, vol 249, Springer, NewYork MR2445437 (2011c:42001) nd [10] L Grafakos (2009), Modern Fourier Analysis, ed., Graduate Texts in Mathematics, vol 250, Springer, New York MR2463316 (2011d:42001) 65 [11] A K Lerner (2008), An elementary approach to several results on the Hardy-Littlewood maximal operator, Proc Amer Math Soc 136, no 8, 28292833 MR2399047 (2009c:42047) [12] P Mattila (1995), Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 44, Cambridge University Press, Cambridge MR1333890 (96h:28006) [13] M Milman (1997), A note on reversed Hardy inequalities and Gehring’s lemma, Comm Pure Appl Math 50, no 4, 311-315 MR1438149 (98g:42031) [14] B Muckenhoupt (1972), Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function, Trans Amer Math Soc 165, 207-226 MR0293384 (45 #2461) [15] B Muckenhoupt (1973/74), The equivalence of two conditions for weight functions, Studia Math 49, 101-106 MR0350297 (50 #2790) [16] E M Stein & Rami Shakarchi (2005), Real Analysis, Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press ... SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên : Toán Giải tích ngành Mã số :60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... Phân tích nhân tử 36 Chương LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG ∞ 42 3.1 Bất đẳng thức Hölder ngược cho các lớp hàm trọng 42 3.2 Bổ đề Gehring .48 3.3 Đặc trưng... Littlewood và một số vấn đề quan trọng lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác gia thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu,