ành nghắa
ành nghắa 1.1.1 Mºt sŁ tỹ nhiản lợn hỡn 1 ữổc gồi l sŁ nguyản tŁ n‚u v ch¿ n‚u nõ ch¿ cõ 2 ữợc dữỡng l 1 v ch‰nh nõ.
Trong lu“n vôn n y, ta k‰ hiằu t“p hổp cĂc sŁ nguyản tŁ l P:
Mºt sŁ k‚t quÊ cŒ i”n v• sŁ nguyản tŁ
ành lỵ 1.2.1 Vợi mồi sŁ tỹ nhiản n 2 N; n > 1, ữợc tỹ nhiản khĂc 1 nhọ nhĐt cıa n l mºt sŁ nguyản tŁ p.
Chứng minh GiÊ sò p l ữợc tỹ nhiản khĂc 1 nhọ nhĐt cıa n v p khổng l sŁ nguyản tŁ.
Khi õ p = p 1 :p 2 ; p > p 1 ; p 2 > 1 Suy ra p 1 jn vợi p 1 < p i•u n y mƠu thuÔn vợi p nhọ nh§t.
V“y p l sŁ nguyản tŁ v ành l‰ (1.2.1) Â ữổc chứng minh. ành lỵ 1.2.2 N‚u sŁ tỹ nhiản n > 1 thọa mÂn: n khổng chia h‚t cho p; 8p 2
P; p p n th… n l mºt sŁ nguyản tŁ.
Chứng minh: Giả sử n không phải là số nguyên tố Theo định nghĩa, n phải có ít nhất một ước thực sự, ta gọi p là số nhỏ nhất trong các ước đó Do p nhỏ nhất nên p phải là số nguyên tố (định lý (1.2.1)) Chia n cho p ta được n = p.m với m > 1 và m là số nguyên.
< m < n =) mjn =) p m (do p b† nh§t) =) p:p p:m = n =) p p n V“y cõ sŁ nguyản tŁ p l ữợc cıa n v p p n, i•u n y mƠu thuÔn vợi giÊ thi‚t. ành lỵ 1.2.3 Vợi sŁ tỹ nhiản a v sŁ nguyản tŁ p th… ho°c p l ữợc cıa a ho°c a nguyản tŁ vợi p i•u õ cõ nghắa l : a N;8p 2P = 2 pja :
4 Chứng minh N‚u pja th… ta cõ i•u phÊi chứng minh Ta giÊ sò p - a V… p ch¿ cõ ữợc nguyản dữỡng l 1 v ch‰nh nõ nản ta cõ (a; p) = 1. ành lỵ 1.2.4 Cõ th” t…m ữổc 1 dÂy sŁ gỗm m khổng cõ sŁ n o l sŁ nguyản tŁ. n sŁ tỹ nhiản liản ti‚p (n > 1)
Chứng minh Ta chồn dÂy sŁ sau: (a i ) : a i = (n+ 1)! +i+ 1 =) a i
.i+ 1; 8i = 1; n. DÂy sŁ (a i ) ð trản gỗm cõ n sŁ tỹ nhiản liản ti‚p l a 1 ; a 2 ; : : : a n , trong õ khổng cõ sŁ n o l sŁ nguyản tŁ. ành lỵ 1.2.5 Cho n 2 N; n 2 Gồi q l ữợc nguyản tŁ nhọ nhĐt cıa n Khi õ vợi mồi ữợc d cıa n, n‚u d 6= 1 v d khổng l sŁ nguyản tŁ th… d q 2
Chứng minh GiÊ sò d < q 2 : V… d 6= 1 v d khổng l sŁ nguyản tŁ nản ta cõ d = h:k; 1 < k; h < d.
((=) Ta cõ 1jp; pjp (hi”n nhiản).
V“y p ch¿ cõ 2 ữợc tỹ nhiản l 1 v p nản p 2 P.
2 ành lỵ 1.2.7 N‚u p l mºt sŁ nguyản tŁ v p ab th… pja. j 6pjb
4Chứng minh N‚u pja th… ta cõ i•u phÊi chứng minh Ta giÊ sò p - a V… p ch¿ cõ ữợc nguyản dữỡng l 1 v ch‰nh nõ nản ta cõ (p; a) = 1 Suy ra pjb.
Hằ quÊ 1.2.8 N‚u p l sŁ nguyản tŁ v pja 1 a 2 : : : a n th… tỗn t⁄i m: 1 m n v pja m
Chứng minh Ta chứng minh b‹ng quy n⁄p theo n N‚u n = 1 th… Hằ quÊ
(1.2.8) úng GiÊ sò Hằ quÊ (1.2.8) úng tợi n = k 1, tức l : N‚u p l sŁ nguyản tŁ v pja 1 a 2 : : : a k 1 th… tỗn t⁄i m : 1 m k 1 v pjam Ta s‡ chứng minh Hằ quÊ (1.2.8) úng vợi n = k.
2 pja k Th“t v“y, v… p a1a2 : : : ak nản theo ành l‰ (1.2.7) ta cõ j 6pja1a2 : : : ak 1
N‚u pja k th… m = k v Hằ quÊ (1.2.8) Â ữổc chứng minh N‚u pja 1 a 2 : : : a k 1 th… theo giÊ thi‚t quy n⁄p, tỗn t⁄i m : 1 m k 1 sao cho pja m V“y Hằ quÊ
Hằ quÊ 1.2.9 N‚u p; q 1 ; q 2 ; : : : ; q n l cĂc sŁ nguyản tŁ v pjq 1 q 2 : : : q n th… tỗn t⁄i
Chứng minh Dỹa v o Hằ quÊ (1.2.8), ta bi‚t r‹ng tỗn t⁄i 1 k n sao cho pjq k V… qk lsŁ nguyản tŁ v p > 1 nản ta cõ p = q k ành lỵ 1.2.10 Mỉi sŁ tỹ nhiản lợn hỡn 1 •u phƠn t‰ch ữổc th nh t‰ch nhœng thła sŁ nguyản tŁ v sỹ phƠn t‰ch õ l duy nhĐt n‚u khổng k” ‚n thứ tỹ cıa cĂc thła sŁ i•u õ cõ nghắa l : 8n 2 N; n > 1 =) 9p 1 ; : : : ; p k 2 P : n = p 1 p 2 : : : p k
Chứng minh. a) Sỹ phƠn t‰ch ữổc
GiÊ sò n 2 N; n > 1 Khi Đy n cõ ‰t nhĐt mºt ữợc nguyản tŁ p 1 n o õ v ta cõ n = p1:n1; 1 < n1 < n:
N‚u n 1 = 1 th… n = p 1 l sü ph¥n t‰ch cıa n th nh t‰ch (câ mºt thła sŁ) nhœng sŁ nguyản tŁ.
N‚u n 1 > 1 th… n 1 cõ ữợc nguyản tŁ p 2 n oõ v ta cõ n 1 = p 2 :n 2 ; tł õ n = p 1 :p 2 :n 2 ; 1 < n 2 < n 1 :
N‚u n 2 = 1 th… n = p 1 :p 2 l sü ph¥n t‰ch cıa n th nh t‰ch nhœng thła sŁ nguyản tŁ.
N‚u n 2 > 1 th… l⁄i ti‚p tửc l‰ lu“n ð trản cõ ữợc nguyản tŁ p 3 ; : : : Ta cõ dÂy giÊm n > n 1 > n 2 > : : : > 1 nản quĂ tr…nh n y phÊi cõ k‚t thúc , nghắa l cõ sŁ k sao cho n k = 1; n k 1 l mºt sŁ nguyản tŁ V“y n = p 1 p 2 : : : p k : b) T‰nh duy nhĐt GiÊ sò ta cõ n = p 1 p 2 : : : p k = q 1 q 2 : : : q t (k < t) l hai d⁄ng phƠn t‰ch sŁ tỹ nhiản n th nh cĂc thła sŁ nguyản tŁ flng thức trản chứng tọ p 1 l ữợc cıa q 1 q 2 : : : q t nản theo Hằ quÊ (1.2.9), tỗn t⁄i 1 i t sao cho p 1 = q i V… ta khổng k” ‚n thứ tỹ cıa cĂc thła sŁ nản ta cõ th” coi p 1 = q 1 v tł õ ta ữổc p 2 : : : p k = q 2 : : : q t :
LĐy p 2 v l“p lu“n nhữ trản ta ữổc p 2 = q 2 L‰ lu“n l°p l⁄i cho ‚n khi p k = q k Khi â
1 = q k+1 q k+2 : : : q t : Ơy l i•u vổ l‰, v… q j > 1 V… v“y ta phÊi cõ k = t v p 1 = q 1 ; p 2 = q 2 ; : : : ; p k = q k :
Ta  chứng minh xong t‰nh duy nhĐt, ỗng thới cụng chứng minh xong ành l‰ (1.2.10).
( Ơy ữổc n = p1 p2 : : : pk gồi l d⁄ng phƠn t‰ch tiảu chu'n cıa mºt sŁ tỹ nhiản). ành lỵ 1.2.12 Cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ.
Chứng minh GiÊ sò t“p sŁ nguyản tŁ l fp 1 ; p 2 ; : : : ; p n g Ta gồi M n = p 1 p 2 : : : p n V… M n + 1 > 1 nản tỗn t⁄i sŁ nguyản tŁ p 2 fp 1 ; p 2 ; : : : ; p n g l ữợc cıa M n + 1. Những p l ữợc cıa M n , do õ cụng l ữợc cıa 1 (vổ l‰).
V“y cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ.
Nõi thảm: v… p 2= fp 1 ; p 2 ; : : : ; p n g nản p pn+1: Ta suy ra pn+1 Mn + 1. ành lỵ 1.2.13 N‚u p n l sŁ nguyản tŁ thứ n th… p n 2 2 n 1
Chứng minh Ta s‡ chứng minh quy n⁄p theo n BĐt flng thức úng khi n = 1
Ta giÊ sò n > 1 v bĐt flng thức úng tợi n Khi õ p n+1 p 1 p 2 : : : p n + 1 ( ành l‰ (1.2.12))
M°c khĂc 1 2 2 n 1 vợi mồi n Do õ pn+1 2
= 2 Theo quy n⁄p ta cõ i•u phÊi chứng minh.
Hằ quÊ 1.2.14 Vợi n 2 N; n > 1, cõ ‰t nhĐt n + 1 sŁ nguyản tŁ nhọ hỡn 2 2 n Chứng minh Tł ành l‰ (1.2.13), ta bi‚t r‹ng p 1 ; p 2 ; : : : ; p n+1 •u nhọ hỡn 2
2 n ành lỵ 1.2.15 (Fermat nhọ) N‚u p l sŁ nguyản tŁ v (a; p) = 1 th… a p 1 1 mod p.
Trữớng hổp 1: Khi lĐy cĂc sŁ trong dÂy trản chia cho p, tỗn t⁄i hai sŁ cõ cũng sŁ dữ l ma v na (m < n) Khi õ pj(n m)a M 0 < n m < p v (p; n m) = 1 nản pja (vổ l
Trữớng hổp 2: Khi lĐy cĂc sŁ trong dÂy trản chia cho p, khổng cõ sŁ n o cõ cũng sŁ dữ Suy ra cĂc sŁ dữ n‚u khổng k” thứ tỹ l : 1; 2; 3; : : : p 1 Suy ra a:2a:3a : : : (p 1)a 1:2:3: : : : (p 1) mod p
=)a p 1 1 mod p: ành l‰ Â ữổc chứng minh.
Hằ quÊ 1.2.16 N‚u p l sŁ nguyản tŁ th… a p a mod p.
Chứng minh Tł ành l‰ Fermat nhọ ta cõ a p 1 1 mod p =) a p a mod p. ành lỵ 1.2.17 (Wilson) N‚u p l sŁ nguyản tŁ th… (p 1)! 1 mod p.
Chứng minh Trữớng hổp p = 2; p = 3 hi”n nhiản ành l‰ úng Ta s‡ chứng minh ành l‰ vợi p > 3. °t a l mºt trong cĂc sŁ nguyản dữỡng
V… (a; p) = 1 nản (1.2.1) ch¿ cõ nghiằm duy nhĐt mod p V… v“y, cõ duy nhĐt a 0 2 f1; 2; 3; : : : ; p 1g sao cho aa 0 1 mod p.
N‚u a = a 0 th… ỗng dữ thức aa 0 1 mod p () a 2 1 mod p () (a 1)(a+1)
Khi õ ta cõ th” t⁄o ra p 3 c°p sŁ (a; a 0 ) phƠn biằt nhữ v“y NhƠn tĐt cÊ p 3
2 2 ỗng dữ vợi nhau v s›p x‚p l⁄i, ta cõ
2 3 (p 2) 1 mod p ()(p 2)! 1 mod p ()(p 1)! p 1 mod p ()(p 1)! 1 mod p: Ơy ch‰nh l i•u phÊi chứng minh. ành lỵ 1.2.18 Cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ cõ d⁄ng 3n + 2.
Chứng minh Mồi sŁ tỹ nhiản khổng nhọ hỡn 2 cõ mºt trong ba d⁄ng: 3n; 3n + 1; 3n + 2.
Nhœng sŁ cõ d⁄ng 3n l mºt hổp sŁ.
X†t 2 sŁ câ d⁄ng 3k + 1 v 3h + 1 Khi â (3k + 1)(3h + 1) = 9kh + 3k + 3h + 1 = 3(3kh + k + h) + 1 = 3n + 1.
Ta s‡ chứng minh phÊn chứng GiÊ sò ch¿ cõ hœu h⁄n sŁ nguyản tŁ cõ d⁄ng 3n + 2, ta gồi l q 1 ; q 2 ; : : : q n Ta x†t sŁ nguyản dữỡng
Khi õ cõ hai trữớng hổp xÊy ra.
Trữớng hổp 1: N l sŁ nguyản tŁ v v… N > q n nản ta cõ i•u mƠu thuÔn Tł õ ành l‰ Â ữổc chứng minh.
Trữớng hổp 2: N khổng l sŁ nguyản tŁ Khi chia N cho q 1 ; q 2 ; : : : ; q n ta •u ữổc cĂc sŁ dữ khĂc 0 Suy ra cĂc ữợc nguyản tŁ cıa N •u lợn hỡn q n CĂc ữợc nguyản tŁ n y khổng th” cõ d⁄ng 3n Cụng khổng th” to n l cĂc ữợc nguyản tŁ cõ d⁄ng 3n + 1 v… nhữ th‚ N phÊi cõ d⁄ng 3n + 1 Nhữ v“y trong cĂc ữợc nguyản tŁ cıa N cõ ‰t nhĐt mºt ữợc cõ d⁄ng 3n + 2, m ữợc n y hi”n nhiản phÊi lợn hỡn q n i•u n y dÔn ‚n mƠu thuÔn V“y cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ cõ d⁄ng 3n + 2. ành lþ 1.2.19. a) T‰ch cıa hai ho°c nhi•u hỡn cĂc sŁ nguyản cõ d⁄ng 4n+1 cụng cõ d⁄ng 4n+1. b) Cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ cõ d⁄ng 4n + 3.
Chứng minh. a) Ta ch¿ cƒn x†t t‰ch cıa hai sŁ nguyản l ı GiÊ sò k = 4n + 1 v k 0 = 4m + 1
V“y ta cõ i•u phÊi chứng minh. b) Ta s‡ chứng minh phÊn chứng GiÊ sò ch¿ cõ hœu h⁄n sŁ nguyản tŁ cõ d⁄ng 4n + 3, ta gồi l q 1 ; q 2 ; : : : q n Ta x†t sŁ nguyản dữỡng
Khi õ cõ hai trữớng hổp xÊy ra
Trữớng hổp 1: N l sŁ nguyản tŁ v ành l‰ Â ữổc chứng minh. v… N > q n nản ta cõ i•u mƠu thuÔn Tł õ
Trữớng hổp 2: N khổng l sŁ nguyản tŁ Khi chia N cho q 1 ; q 2 ; : : : ; q n ta •u ữổc cĂc sŁ dữ khĂc 0 Suy ra cĂc ữợc nguyản tŁ cıa N •u lợn hỡn q n CĂc ữợc nguyản tŁ n y khổng th” cõ d⁄ng 4n hay 4n + 2 Cụng khổng th” to n l cĂc ữợc nguyản tŁ cõ d⁄ng 4n + 1 v… nhữ th‚ N phÊi cõ d⁄ng 4n + 1 Nhữ v“y trong cĂc ữợc nguyản tŁ cıa N cõ ‰t nhĐt mºt ữợc cõ d⁄ng 4n + 3, m ữợc n y hi”n nhiản phÊi lợn hỡn q n i•u n y dÔn ‚n mƠu thuÔn V“y cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ câ d⁄ng 4n + 3. ành lþ 1.2.20. a) ìợc nguyản tŁ lã cıa mºt sŁ cõ d⁄ng x 2 + 1 luổn ỗng dữ vợi 1 mod 4. b) Cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ cõ d⁄ng 4k + 1.
Chứng minh. a) Theo ành lỵ Fermat nhọ th… vợi mồi sŁ nguyản tŁ p v vợi mồi sŁ nguyản a khổng chia h‚t cho p, ta cõ a p 1 1 mod p:
Gồi pjx 2 + 1 V… p lã nản p cõ d⁄ng 4n + 1 ho°c 4n + 3 GiÊ sò p cõ d⁄ng 4n + 3 () p 3 mod 4, nghắa l x 4n+2 x p 1 1 mod p:
Tł (1.2.2) v (1.2.3) ta thĐy i•u mƠu thuÔn V“y mồi ữợc nguyản tŁ lã cıa x 2 + 1
•u cõ d⁄ng 4n + 1 Hay nõi cĂch khĂc, mồi ữợc nguyản tŁ lã cıa mºt sŁ cõ d⁄ng x 2 +
1 luổn ỗng dữ vợi 1 mod 4. b) GiÊ sò ch¿ cõ hœu h⁄n cĂc sŁ nguyản tŁ 1 mod 4 l p 1 ; : : : ; p n X†t sŁ
2 i=1 p i + 1 Theo a), mºt ữợc nguyản tŁ bĐt k… cıa sŁ n y (hi”n nhiản l lã)
•u 1 mod 4 v khổng th” l mºt trong cĂc p ữổc, vổ lỵ. ành lþ 1.2.21. a) ìợc nguyản tŁ khĂc 3 cıa sŁ tỹ nhiản cõ d⁄ng n 2 n + 1 phÊi ỗng dữ vợi 1 mod
6. b) Cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ cõ d⁄ng 6k + 1.
Chứng minh. a) X†t pjn 2 n+1, p nguyản tŁ, p 6= 3 Chú ỵ r‹ng do p l lã, ta phÊi cõ p1 mod 6 ho°c p 5 mod 6 GiÊ sò p 5 mod 6 Ta cõ pjn 2 n+1 =) pjn 3 +1 =) n 3 1 mod p: Tł õ n p 1 n 6k+4 = n:n 6k+3 = n:(n 3 ) 2k+1 n mod p:
K‚t hổp ành l‰ Fermat nhọ cho ta n 1 mod p.
Khi õ n 2 n + 1 3 mod p =) pj(n2 n + 1 3) =) pj3 (vổ l‰).
V“y ữợc nguyản tŁ khĂc 3 cıa sŁ tỹ nhiản cõ d⁄ng n 2 n + 1 phÊi ỗng dữ vợi
1 mod 6. b) GiÊ sò ch¿ cõ hœu h⁄n sŁ nguyản tŁ 1 mod 6 l p 1 ; : : : ; p n X†t n =
Khi õ cĂc ữợc nguyản tŁ cıa n 2 n + 1 (hi”n nhiản khĂc 3) •u 1 mod 6 v khĂc cĂc ữợc , vổ lỵ. p i
Nh“n x†t: CĂc ành l‰ (1.2.18), (1.2.19), (1.2.20), (1.2.21) l trữớng hổp °c biằt cıa ành l‰ dữợi Ơy, ữổc gồi l ành l‰ Dirichlet v• cĐp sŁ cºng Viằc chứng minh cıa ành l‰ Dirichlet khĂ sƠu s›c, sò dửng nhi•u cĂc ki‚n thức v• giÊi t
‰ch sŁ nản ta khổng tr…nh b y ð Ơy. ành lỵ 1.2.22 (Dirichlet) N‚u a v b nguyản tŁ cũng nhau th… cĐp sŁ cºng a; a + b; a + 2b; a + 3b; : : : chứa vổ sŁ sŁ nguyản tŁ.
SŁ nguyản tŁ b† nhĐt ỗng dữ vợi 1 mod n 16
Mð ƒu
Cho trữợc sŁ tỹ nhiản n 2 Theo ành l‰ Dirichlet, cõ vổ sŁ sŁ nguyản tŁ ỗng dữ vợi 1 mod n Gồi p l sŁ nguyản tŁ b† nhĐt thọa mÂn i•u kiằn trản Viằc xĂc ành c“n trản cıa p (theo n) l b i toĂn sŁ hồc thú và, cõ nhi•u ứng dửng v thu hút ữổc sỹ quan tƠm cıa nhi•u nh ToĂn hồc Chflng h⁄n, J Sabia v S Tesauri [3], nôm 2009 ữa ra Ănh giĂ p 3 n
Mửc ‰ch ch‰nh cıa chữỡng n y l tr…nh b y k‚t quÊ mợi nhĐt cıa 2 tĂc giÊ R.Thangadurai v A.Vatwani (2011) (xem [1]) vợi Ănh giĂ khĂ tŁt nhữ sau: p 2 (n)+1 1; trong â (n) l h m Euler.
H m Euler
ành nghắa 2.2.1 nh x⁄ f : N ! C ữổc gồi l mºt h m sŁ hồc.
Mºt h m sŁ hồc f ữổc gồi l h m nhƠn t‰nh n‚u f(m:n) = f(m):f(n), vợi
(m; n) = 1. ành nghắa 2.2.2 H m Euler (n) l mºt h m sŁ xĂc ành vợi mồi n 2 N , ữổc ành nghắa l sŁ cĂc sŁ nguyản dữỡng khổng vữổt quĂ n v nguyản tŁ cũng nhau vợi n Tức l
— Ơy k‰ hiằu #A l sŁ phƒn tò cıa t“p hổp A.
Chứng minh Ta chứng minh (mn) = (m) (n) vợi mồi m; n nguyản tŁ cũng nhau.
V… (1) = 1 nản hi”n nhiản k‚t quÊ úng n‚u m ho°c n b‹ng 1 Ta cõ th” giÊ sò m
> 1 v n > 1 S›p x‚p cĂc sŁ tỹ nhiản tł 1 ‚n mn trong m cºt, mỉi cºt cõ n sŁ nhữ bÊng dữợi Ơy:
Ta bi‚t r‹ng (mn) ch‰nh l sŁ cĂc sŁ trong bÊng trản nguyản tŁ cũng nhau vợi mn Nõ cụng ch‰nh l sŁ cĂc sŁ trong bÊng trản nguyản tŁ cũng nhau ỗng thới vợi m v n (v… (m; n) = 1).
V… (qm + r; m) = (r; m) nản nhœng sŁ trong cºt thứ r nguyản tŁ cũng nhau vợi m khi v ch¿ khi r nguyản tŁ cũng nhau vợi m V… v“y, ch¿ cõ (m) cºt chứa nhœng sŁ tỹ nhiản nguyản tŁ cũng nhau vợi m V tĐt cÊ sŁ tỹ nhiản trong mỉi cºt õ •u nguyản tŁ cũng nhau vợi m. i•u cặn l⁄i ta s‡ chứng minh l : trong mỉi cºt cıa (m) cºt ph‰a trản, cõ (n) sŁ tỹ nhiản nguyản tŁ cũng nhau vợi n V i•u õ cụng cõ nghắa l cõ (m) (n) sŁ tỹ nhiản trong bÊng trản nguyản tŁ cũng nhau ỗng thới vợi m v n.
BƠy giớ ta x†t dÂy l cºt thứ r (ð Ơy ta giÊ sò (r; m) = 1) l r; m + r; 2m + r; : : : ; (n 1)m + r
Ta s‡ chứng minh, trong n sŁ tỹ nhiản ð dÂy trản, khổng cõ 2 sŁ n o ỗng dữ vợi nhau mod n Th“t v“y, n‚u km + r jm + r mod n; vợi 0 k < j < n
=)k j mod n (v… (m; n) = 1) i•u n y l vổ l‰ V… v“y, nhœng sŁ tỹ nhiản trong cºt thứ r n y n‚u khổng nõi ‚n thứ tỹ s‡ ỗng dữ lƒn lữổt vợi 0; 1; 2; : : : n 1 mod n M ta cõ: N‚u s t mod n th… (s; n) = 1 () (t; n) = 1 i•u n y k†o theo sŁ cĂc sŁ trong cºt thứ r nguyản tŁ cũng nhau vợi n ch‰nh l sŁ cĂc sŁ trong t“p f0; 1; 2; : : : ; n 1g nguyản tŁ cũng nhau vợi n, v b‹ng (n).
V… v“y tĐt cÊ nhœng sŁ tỹ nhiản trong bÊng cho nguyản tŁ cũng nhau ỗng thới vợi m v n ch‰nh l (m) (n) v Mằnh •  ữổc chứng minh.
P Mằnh • 2.2.4 Vợi mồi n nguyản dữỡng, ta cõ n = djn (d).
Chứng minh Nhœng sŁ nguyản giœa 1 v n cõ th” tĂch lợp nhữ sau: n‚u d l ữợc nguyản dữỡng cıa n th… ta °t sŁ nguyản m trong t“p S d thọa mÂn (m; n) = d: Tức l
Mỗi tập hợp mẫu S gồm v phần tử trong S được tách riêng biệt với các tập con của S chứa không quá d phần tử bất kỳ của tập con đó, hay nói cách khác chính là (n=d) Mối giao của các phần tử trong tập f1; 2; …; n đều nằm trong chính tập S đó Ta có công thức n = (n=d):X djn
Những v… d l tĐt cÊ cĂc ữợc nguyản dữỡng cıa n v n=d cụng v“y, do õ
Ta cõ i•u phÊi chứng minh.
H m Mobius
ành nghắa 2.3.1 Vợi n nguyản dữỡng, h m Mobius ữổc ành nghắa l :
( 1) k n‚u n > 1 v n = p 1 p 2 : : : p k ; vợi p i l cĂc sŁ nguyản tŁ phƠn biằt;
Chứng minh Ta chứng minh (mn) = (m) (n) vợi mồi m; n nguyản tŁ cũng nhau.
N‚u p 2 jm ho°c p 2 jn th… p 2 jmn Khi â (mn) = 0 = (m) (n):
V… v“y, ta giÊ sò cÊ m v n •u l nhœng sŁ nguyản khổng chia h‚t cho sŁ ch‰nh phữỡng n o khĂc 1 cÊ Nghắa l m = p 1p2 : : : pr; n = q1q2 : : : qs; vợi pi v qj •u l nhœng sŁ nguyản tŁ phƠn biằt Khi õ
Ta  chứng minh xong Mằnh •.
P b) N‚u f v g l hai h m sŁ hồc sao cho f(n) = d j n g(d) th… g(n) = f(d) (n=d):X
P djn P °c biằt, v… n = djn (d) nản ta cõ (n) = djn d: (n=d).
Chứng minh. a) Cổng thức hi”n nhiản úng khi n = 1 Ta giÊ sò n > 1 v bi”u di„n n = p a 1 : : : p a n : Trong tŒng (d), nhœng sŁ h⁄ng khĂc 0 ứng vợi d = 1 ho°c d
1 n djn l t‰ch cıa nhœng sŁ nguyản tŁ phƠn biằt V… v“y
D„ d ng ki”m tra r‹ng djn v cj(n=d) khi v ch¿ khi cjn v dj(n=c) Bði v… i•u n y, bi”u thức trản trð th nh
K‚t hổp ỵ a) vła chứng minh, tŒng d (n=c) (d) = 0 khi c 6= n v j
1 khi c = n Nhữ v“y, bi”u thức trản rút gồn th nh
Ta s‡ ti‚p tửc chứng minh (n) =
B‹ng cĂch Ăp dửng cổng thức vła chứng minh vợi: f(n) = n; f(d) = d; g(n) =
Ta  chứng minh xong BŒ •.
a thức chia ữớng trặn
ành nghắa 2.4.1 Vợi n nguyản dữỡng, a thức chia ữớng trặn thứ n ữổc ành nghắa l : m=1; Y ( n n (x) = (x e 2 im=n ); m;n)=1 vợi e 2 im=n l côn nguyản thıy b“c n cıa ỡn và.
Nhữ v“y b“c cıa a thức n (x) ch‰nh l (n). n (x) l a thức ỡn khði ( a thức cõ hằ sŁ cao nhĐt b‹ng 1), bĐt khÊ quy trản Q.
BŒ • 2.4.2 Cho n l sŁ nguyản dữỡng Khi õ a) x n 1 = Q djn d (x): Y dj
Q b) N‚u f(n) = djn g(d) th… g(n) = f ( d ) (n=d) : n °c biằt, v… x n 1 = Q djn d(x) nản ta cõ n(x) = Q djn(x d 1) (n=d) : Chứng minh. a) ” chứng minh flng thức trản, ta ch¿ cƒn chứng minh hai a thức x n 1 v
Q d d djn d (x) •u ỡn khði, •u khổng cõ nghiằm bºi, v cõ cũng t“p nghiằm. djn d (x) •u ìn khði Q djn ỡn khði Do õ hai a thức xn 1 v
Theo ành nghắa, mỉi (x) l mºt a thức ỡn khði, v… th‚ a thức (x)
Chú ỵ r‹ng mºt a thức cõ nghiằm bºi khi v ch¿ khi a thức õ v ⁄o h m cıa nõ phÊi cõ nghiằm chung V… th‚ x n 1 khổng cõ nghiằm bºi (cĂc nghiằm cıa x n 1 •u khĂc 0, trong khi õ ⁄o h m cıa nõ l nx n 1 ch¿ cõ nghiằm duy nhĐt b‹ng 0).
Vợi mỉi ữợc d cıa n, cĂc nghiằm cıa d (x) •u l nghiằm cıa x d 1 v do õ nõ khổng cõ nghiằm bºi GiÊ sò d v d 0 l hai ữợc khĂc nhau cıa n Khi õ mỉi nghiằm cıa d (x) cõ cĐp l d , trong khi õ mỉi nghiằm cıa d 0 (x) cõ cĐp l d 0 V… th‚ cĂc nghiằm cıa a thức djn d (x) •u l nghiằm ỡn.
Q nguyản dữỡng b† nhĐt cõ t‰nh chĐt n y V… th‚ l côn nguyản thıy b“c d cıa ỡn và Suy ra l nghiằm cıa a thức d (x) Ngữổc l⁄i, cho d l ữợc cıa n v l nghiằm cıa d (x) Khi õ, n = 1, tức l nghiằm cıa a thức x n 1 V“y ta cõ i•u phÊi chứng minh. b) Ta câ
BƠy giớ, tł ỵ a) ph‰a trản, ta cõ x n 1 = d (x): Ta coi f(n) = x n 1; n d TaQ f(d) = d n 1; g(n) = (x); g(d) = (x) djn câ Y n (x) = (x d 1) (n=d) : djn
V‰ dử 2.4.3 Tł ỵ b) cıa BŒ • (2.4.2), ta cõ n (x) = djn (x d 1) (n=d) :
Ta s‡ sò dửng cổng thức n y ” xĂc ành a thức chia ữớng trặn thứ 12.
Tữỡng tỹ, ta cụng xĂc ành ữổc mºt sŁ a thức chia ữớng trặn khĂc nhữ:
3 (x) = x 2 + x + 1 l a thức chia ữớng trặn thứ 3.
4 (x) = x 2 + 1 l a thức chia ữớng trặn thứ 4.
5 (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 l a thức chia ữớng trặn thứ 5.
6 (x) = x 2 x + 1 l a thức chia ữớng trặn thứ 6.
8 (x) = x 4 + 1 l a thức chia ữớng trặn thứ 8.
9 (x) = x 6 + x 3 + 1 l a thức chia ữớng trặn thứ 9.
10 (x) = x 4 x 3 + x 2 x + 1 l a thức chia ữớng trặn thứ 10.
BŒ • 2.4.4 Cho A l mºt v nh giao hoĂn vợi ỡn và 1 N‚u f(x); g(x) 2 A[x] v g(x) l a thức ỡn khði ( a thức cõ hằ sŁ cao nhĐt b‹ng 1) th… tỗn t⁄i duy nhĐt q(x); r(x) 2 A[x] sao cho f(x) = g(x):q(x) + r(x); vợi r(x) = 0 ho°c deg r(x) < deg g(x).
Chứng minh Trữợc h‚t ta chứng minh t‰nh duy nhĐt.
GiÊ sò f(x) = g(x)q 1 (x) + r 1 (x) vợi deg(r1(x)) < deg(g(x)) n‚u r1(x) 6= 0 v f(x)
Tł hai flng thức n y suy ra g(x)(q 1 (x) q 2 (x)) = r 2 (x) r 1 (x):
N‚u r 1 (x) 6= r 2 (x) th… q 1 (x) 6= q 2 (x) v v‚ ph£i cıa (2.4.1) câ b“c b† hìn m (m = deg g(x)), cặn v‚ trĂi cıa (2.4.1) cõ b“c lợn hỡn ho°c b‹ng m (v… hằ sŁ cao nh§t cıa g(x) b‹ng 1) i•u n y d¤n ‚n m¥u thu¤n.
V“y r 1 (x) = r 2 (x) v do õ q 1 (x) = q 2 (x) Tức l cĂc a thức q(x) v r(x) ữổc xĂc ành mºt c¡ch duy nh§t.
BƠy giớ ta chứng minh sỹ tỗn t⁄i.
N‚u deg f(x) < deg g(x) th… ta chồn q(x) = 0 v r(x) = f(x).
Chồn h(x) = a k x k m °t f 1 (x) = f(x) g(x)h(x), f 1 (x) 2 A[x] (v… A[x] l mºt v nh) Khai tri”n f 1 (x), ta ữổc f 1 (x) = a k x k + a k 1 x k 1 + : : : + a 0 a k x k m (x m + b m 1 x m 1 + : : : + b 0 ):
Dỹa v o khai tri”n trản ta cõ f 1 (x) = 0 ho°c f 1 (x) cõ b“c b† hỡn b“c cıa f(x) Trong trữớng hổp f 1 (x) = 0, ta t…m ữổc dữ cıa ph†p chia f(x) cho g(x) l r(x) = 0 v thữỡng l q(x) = h(x) N‚u f 1 (x) 6= 0 th… ta ti‚p tửc l m tữỡng tỹ f(x) v ta ữổc a thức f 2 (x) Cứ ti‚p tửc quĂ tr…nh trản ta ữổc dÂy cĂc a thức f 1 (x); f 2 (x); : : : N‚u chóng •u kh¡c 0 th… chóng câ b“c gi£m dƒn V… th‚ sau hœu h⁄n bữợc (nhi•u nhĐt k m + 1 bữợc) ta ữổc mºt a thức cõ b“c b† hỡn b“c g(x) v õ ch‰nh l a thức dữ r(x) N‚u mºt a thức cıa dÂy f 1 (x); f 2 (x); : : :b‹ng 0 th… dữ r(x) = 0 Th‚ v o rỗi nhõm l⁄i ta ữổc q(x) V“y ta  chứng minh xong BŒ •.
Chứng minh Tł ỵ b) cıa BŒ • (2.4.2) ta cõ
V‚ phÊi cıa flng thức trản thuºc Z[x] v v… (x d 1 1) : : : (x d s 1) l a thức cõ hằ sŁ cao nhĐt b‹ng 1 nản tł BŒ • (2.4.4) ta cõ n (x) 2 Z[x]:
Ta cõ i•u phÊi chứng minh. x n
BŒ • 2.4.6 N‚u n (x) l a thức chia ữớng trặn thứ n th… n (x)j n x q
1 t rong1 thła sŁ n (x) ra ngo i ta ữổc Qdjn d
(x) Ph¥n t‰ch Chứng minh Tł ỵ a) cıa BŒ • (2.4.2) ta cõ x n 1 x n
Ta cõ i•u phÊi chứng minh.
BŒ • 2.4.7 N‚un n (x) l a thức chia ữớng trặn thứ n v n > 2; n 2 x 2 + 1 mod 4, th… n (x)j x + 1
Chứng minh Ta sò dửng l⁄i phƒn chứng minh cıa BŒ • (2.4.6), ta cõ
Sò dửng h‹ng flng thức ta ữổc x 2 1 x 2 + 1 n n Y d (x) djn d=6n
Ta cõ i•u phÊi chứng minh.
ành l‰ cỡ bÊn thứ nhĐt
Mửc ‰ch ch‰nh cıa chữỡng n y l chứng minh ành l‰ cỡ bÊn thứ nhĐt sau ¥y. ành lỵ 2.5.1 Cho sŁ tỹ nhiản n 2; p l sŁ nguyản tŁ b† nhĐt thọa p 1 mod n Khi â p 2 (n)+1 1:
” chứng minh ành l‰ (2.5.1), ngo i cĂc k‚t quÊ cıa cĂc mửc 2.1-2.4, ta cƒn mºt sŁ BŒ • sau:
BŒ • 2.5.2 Cho sŁ nguyản b 2 GiÊ sò p l ữợc nguyản tŁ cıa n (b) Khi õ p l ữợc nguyản tŁ cıa n ho°c ỗng dữ vợi 1 mod n Ngo i ra, n‚u n > 2 th… nhœng ữợc nguyản tŁ p cıa n cõ sŁ mụ 1 trong n (b), nghắa l , p 2 khổng chia h‚t n (b).
BŒ • n y ữổc J Sabia v S Tesauri [3] sò dửng ” chứng minh r‹ng sŁ nguyản tŁ nhọ nhĐt p 1 mod n thọa mÂn p (3 n 1)=2
Chứng minh Ta s‡ b›t ƒu chứng minh ỵ ƒu tiản.
GiÊ sò pj n (b); tł BŒ • (2.4.6) cho ta pjb n 1: Ta suy ra bn 1 mod p MŁi quan hằ ỗng dữ n y cõ nghắa l (b; p) = 1; v… th‚ theo ành l‰ Fermat nhọ ta cõ bp 1 1 mod p:
Do õ ta cõ th” chồn ữổc sŁ nguyản dữỡng k nhọ nhĐt thọa mÂn b k 1 mod p.
X†t b n 1 mod p Vi‚t n = kl + r vợi 0 r < k Khi õ 1 b n = (b k ) l b r = b r mod p Tł cĂch chồn k ta cõ r = 0 Do õ kjn: (2.5.4)
Ti‚p tửc vi‚t p 1 = kt + s, trong õ 0 s < k Khi õ 1 b p 1 = (b k ) t b s = b s mod p Tł cĂch chồn k ta cõ s = 0, tức l kjp 1: (2.5.5)
Tợi Ơy ta s‡ chia l m hai trữớng hổp
Trữớng hổp 1: k = n Tł (2.5.4) v (2.5.5) ta cõ njp 1 Do õ p 1 mod n.
Trữớng hổp 2: k < n Ta vi‚t n = k:h:q; vợi q l sŁ nguyản tŁ
= b kh = (b k ) h 1 mod p: q n i•u n y chứng tọ tỗn t⁄i sŁ nguyản tŁ q sao cho qjn v pjb q 1.
V… ta  cõ pjb q 1 nản ta ữổc b n
Tł (2.5.6) v (2.5.7) ta suy ra q 0 mod p M p v q l hai sŁ nguyản tŁ nản ta câ th” k‚t lu“n r‹ng p = q.
V… qjn nản pjn Ta  chứng minh ữổc ỵ ƒu tiản cıa BŒ •.
Ta s‡ chứng minh ti‚p ỵ thứ 2.
Vợi trữớng hổp 1, chú ỵ r‹ng njp 1, v do õ p - n nản ta khổng x†t trữớng hổp n y. q (v… p = q) i•u n y t÷ìng ÷ìng n b q = 1 + c:q; vợi c 2 Z:
LĐy mụ j cÊ hai v‚ cıa (2.5.8) v khai tri”n nhà thức, ta ữổc j
=0 vợi a 2 ; : : : ; a j 2 Z. mỉi sŁ h⁄ng tł thứ ba trð i ð v‚ phÊi cıa khai tri”n nhà thức (2.5.9) l bºi sŁ cıa q 2 nản ta cõ n:j bq 1 + j:c:q mod q 2 ; vợi mồi j 2 N :
Sò dửng quan hằ ỗng dữ n y, ta cõ n n n(q 1) b 1
N‚u q l sŁ lã th… q khổng chia h‚t cho 2 V… v“y ta cõ i•u n y cõ nghắa l
(theo BŒ • (2.4.6)), nản ta cõ b q 1 n q 2 - n (b):
N‚u c l sŁ chfin th… (2.5.11) s‡ trð th nh b n 1
L“p lu“n nhữ trản ta cõ q 2 - n(b):
N‚u c l sŁ lã th… n b2 3 mod 4; i•u n y xu§t ph¡t tł b n 1
=)b 2 3 mod 4: i•u n y k†o theo b v n l cĂc sŁ lã Những n‚u n l sŁ lã th… tł BŒ • (2.4.7)
Nh÷ng n (b) l sŁ chfin (v… 2j n (b)) i•u n y x£y ra m¥u thu¤n V… v“y tr÷íng hổp c l sŁ lã ta lo⁄i Ta  chứng minh xong trữớng hổp q = 2 v cụng k‚t thúc phƒn chứng minh ỵ thứ 2 cıa BŒ • n y.
BŒ • 2.5.3 Vợi mồi sŁ nguyản n > 2; n 6= 6, ta cõ p
Chứng minh GiÊ sò n 2 Z + v °t n = 2 k 1 3 k 2 : : : p k t t ; p i 2 P; k i 2 N V… l h m nhƠn t‰nh nản ta cõ
Ta s‡ chứng minh h m sŁ n y ỗng bi‚n vợi cÊ hai bi‚n Sỹ ỗng bi‚n ữổc chứng minh b‹ng cĂch dũng ⁄o h m riảng Łi vợi x v k LĐy ⁄o h m riảng theo bi‚n x ta ữổc
(=xk > k 2 ()xk k + 2 > 0 ()k(x 1)+2>0: i•u n y úng vợi mồi x 2 R; x 1; k 2 N v do õ f(x; k) ỡn iằu tông vợi bi‚n x LĐy ⁄o h m riảng theo bi‚n k, ta ữổc
Ta cõ ln x > 0 vợi mồi x 2 R; x > 1 Hỡn nœa x 2 x 2 1 > 0 vợi mồi x 2 R ; x > 1 v k2 N V… v“y f bi‚n k. ỡn iằu tông Łi vợi pi2 pi2 1 1; 8p i k i 3:
Hìn nœa ta câ f(3; 1) = 3 2 1 > 1 v“y k i k i i•u cặn l⁄i l chứng minh bĐt flng thức úng khi d⁄ng phƠn t‰ch tiảu chu'n cıa n xuĐt hiằn 2 1
Ti‚p theo ta cƒn chứng minh i
V… f(x; k) l h m tông vợi cÊ hai bi‚n sŁ nản ta cõ
Chúng ta s‡ sò dửngỗng nhĐt thức sau Ơy ” chứng minh ành l‰ ti‚p theo Łi vợi x 2 [0; 1), ta cõ x 2 x 3 x ln(1 x) = x + 2 + 3 + : : : x + x 2 + x 3 + : : : = 1 x : (2.5.12)
BŒ • 2.5.4 Vợi nhœng sŁ nguyản n 2 v b 2, ta cõ
Y Chứng minh Tł BŒ • (2.4.2), ta bi‚t n (b) = (b d 1) (n=d) Ta suy ra djn
Trữợc tiản chúng ta chứng minh ln Sln 2:
Tł (2.5.13) ta suy ra ln S = (n) ln(1 b 1 ) + (n=d) ln(1 b d ) Ta câ d n;d 2 jX ln S = (n) ln(1 b 1 ) + X
Trong trữớng hổp n y, n = p 1 p 2 : : : p k , k l sŁ lã Do õ vợi bĐt ký sŁ nguyản tŁ pjn n o, ta •u cõ (n=p) = 1 Gồi q l ữợc sŁ nguyản tŁ nhọ nhĐt cıa n Vợi mồi ữợc sŁ d cıa n, n‚u d 6= 1 v d khổng phÊi l sŁ nguyản tŁ th… d q 2 BƠy giớ
X X ln S = (n) ln(1 b 1 ) + (n=p) ln(1 b p ) + (n=d) ln(1 b d ) pjn djn;d6=1;p b 1 X j X
= ln b +ln(1 b p ) + (n=d) ln(1 b d ) pjn d n;d6=1;p ln b 1 ln b 1
Ta ti‚p tửc chứng minh ln Sln 2:
Tł (2.5.13) ta suy ra ln S = (n) ln(1 b 1 ) + jX (n=d) ln(1 b d ): Ta câ d n;d 2 ln S = (n) ln(1 b 1 ) + X
Trữớng hổp 2: (n) > 0 Trong trữớng hổp n y, n = p1p2 : : : pk, k l sŁ chfin.
Do õ vợi bĐt ký sŁ nguyản tŁ pjn n o, ta •u cõ (n=p) = 1 Gồi q l ữợc sŁ nguyản tŁ nhọ nhĐt cıa n Vợi mồi ữợc sŁ d cıa n, n‚u d 6= 1 v d khổng phÊi l sŁ nguyản tŁ th… d q 2 BƠy giớ ln S = (n) ln(1 b 1 ) + X
(n=d) ln(1 b d ) b 1 pjn djn;d6=1;p ln(1 b p ) + (n=d) ln(1 b d )
Ta  chứng minh xong BŒ• (2.5.4).
BƠy giớ ta s‡ i chứng minh ành l‰ (2.5.1)
Chứng minh ( ành l‰ (2.5.1)) Ta s‡ chia l m hai trữớng hổp ” chứng minh Trữớng hổp thứ nhĐt l n 40 v trữớng hổp thứ hai l 2 n 39
Ta s‡ b›t ƒu v o trữớng hổp ƒu tiản.
GiÊ sò cõ sŁ nguyản b thọa b 2 v n(b) > n; 8n 40:
Khi õ, tł BŒ • (2.5.2), ta cõ th” k‚t lu“n r‹ng tỗn t⁄i ‰t nhĐt mºt sŁ nguyản tŁ qj n (b) sao cho q khổng l ữợc cıa n, v do õ sŁ nguyản tŁ n y phÊi ỗng dữ vợi 1 mod n V… qj n (b) nản ta cõ q n (b) K‚t hổp BŒ • (2.5.4), ta thu ữổc qn (b) 2b (n) ; 8n 40:
Do (2.5.15), ” chứng minh ành l‰, ta ch¿ cƒn chứng minh b = 2 thọa
(2.5.14), tức l ta phÊi chứng minh n (2) > n; 8n 40:
Th“t v“y, tł BŒ • (2.5.4) v BŒ • (2.5.3), ta câ p n (2) 2 (n) 1 2 n 1 ; 8n 40: p
Nhữ v“y, bữợc k‚ ti‚p ta cƒn chứng minh 2 n 1 > n; 8n 40: Ta cõ p > n () p ln n
Ta s‡ chứng minh bĐt flng thức n y b‹ng cĂch x†t h m thỹc f(x) = p x 1 ln ln x
Suy ra h m f tông ng°t vợi mồi x 9 Do õ, 8n 40; f(n) f(40) > 0 Tł õ n (2) > n; 8n 40:
N‚u q lã, v… v‚ phÊi cıa (2.5.16) chfin nản dĐu \ = " khổng xÊy ra N‚u q = 2 th… 2 < 2 (n)+1 nản dĐu \ = " khổng xÊy ra Do õ q 2 (n)+1 1; 8n 40:
V… p l sŁ nguyản tŁ b† nhĐt thọa p 1 mod n nản p q, tł õ ta cõ p 2 (n)+1 1; 8n 40:
Ta  chứng minh ành l‰ úng vợi mồi giĂ trà n 40 BƠy giớ ta ki”m tra trỹc ti‚p nhœng gi¡ trà 2 n 39 b‹ng c¡ch l“p b£ng. n SŁ nguyản tŁ b† nhĐt p 1 mod n (n) 2 (n)+1 1
Dỹa v o bÊng ta suy ra ành l‰ úng vợi nhœng giĂ trà 2n 39 Nhữ v“y ành l‰Â ữổc chứng minh.
Mºt mð rºng cıa ành l‰
Mð ƒu
Sỹ phƠn bŁ cıa cĂc sŁ nguyản tŁ luổn l mºt vĐn • thới sỹ thu hút ữổc sỹ quan tƠm cıa nhi•u nh ToĂn hồc v… cõ nhi•u ứng dửng trong toĂn hồc v thỹc t‚ Khði ƒu tł ành l‰ cŒ i”n cıa Euclid nh÷ sau: °t p 1 = 2; p 2 = 3; : : : ; p n l sŁ nguyản tŁ thứ n v M n = p 1 :p 2 : : : :p n Khi õ cõ ‰t nhĐt mºt sŁ nguyản tŁ p thọa p n < p < M n
K‚t quÊ Euclid ữổc mð rºng theo nhi•u hữợng khĂc nhau Trong chữỡng n y, tổi tr…nh b y mºt mð rºng cıa ành l‰ Euclid dỹa theo b i bĂo [2] cıa R Cooke (2011). i•u °c biằt thú và l chứng minh cıa ành l‰ khĂ ng›n gồn v dỹa ho n to n v o c¡c k‚t qu£ cıa nhâm Abel hœu h⁄n.
ành l‰ cỡ bÊn thứ hai
ành lỵ 3.2.1 Cõ ‰t nhĐt n 1 sŁ nguyản tŁ n‹m giœa pn v Mn.
” chứng minh ành l‰ (3.2.1), ta cƒn cĂc BŒ • dữợi Ơy.
BŒ • 3.2.2 Cho n 1 ; : : : ; n m l c¡c sŁ chfin Khi â, t‰ch cıa c¡c nhâm cyclic (nhâm cºng)
P = Zn 1 : : : Zn m khổng th” ữổc sinh bði t“p hổp cõ ‰t hỡn m phƒn tò.
Chứng minh Ta cõ th” xƠy dỹng quy t›c f i : Z n i ! Z 2 x 7! f i (x) = x; vợi i = 1; : : : ; m.
D„ thĐy f i l cĂc to n cĐu nhõm nản cÊm sinh to n cĐu f : Zn 1 : : : Zn m ! Z m 2
V… Z m 2 l khổng gian vector m-chi•u trản trữớng Z2 v f l to n cĐu nản P khổng th” sinh bði t“p hổp cõ ‰t hỡn m phƒn tò Th“t v“y
GiÊ sò nhõm P ữổc sinh bði 1 ; 2 ; : : : ; k (k < m) Khi õ f( 1 ); f( 2 ); : : : ; f( k ) l cĂc phƒn tò sinh cıa nhõm Z m 2 i•u n y vổ l‰ v… Z m 2 l khổng gian vector m-chi•u trản trữớng Z2 nản khổng th” cõ t“p sinh gỗm k < m phƒn tò.
BŒ • 3.2.3 N‚u a v b l cĂc sŁ nguyản dữỡng nguyản tŁ cũng nhau, th… v nh
Zab flng cĐu vợi v nh Za Zb °c biằt, gồi Zm l t“p hổp cĂc phƒn tò khÊ nghàch trong v nh Zm Khi õ Zm l nhõm Łi vợi ph†p nhƠn cıa v nh v ta cõ flng cĐu nhâm
Chứng minh Ta xƠy dỹng quy t›c f : Zab ! Za Zb x 7! f(x) = (x; x)
Ta suy ra f l ¡nh x⁄ v l ìn ¡nh.
Ta chứng minh f l to n Ănh.
Mồi sŁ trong dÂy trản •u l cĂc sŁ nguyản ỗng dữ vợi x mod a V… khổng cõ hai sŁ n o trong dÂy ỗng dữ vợi nhau mod b nản ch¿ cõ mºt sŁ trong dÂy ỗng dữ vợi y mod b, giÊ sò õ l z = x + (k
1)a (1 k b) Khi â f( ) = ( z z; z) = (x; y). Suy ra f l to n ¡nh.
Ta s‡ chứng minh f l ỗng cĐu v nh Th“t v“y, 8x; y 2 Z ab ta cõ f(x + y) = f(x + y) = (x + y; x + y) = (x + y; x + y) = (x; x) + (y; y) = f(x) + f(y). f(x:y) = f(x:y) = (x:y; x:y) = (x:y; x:y) = (x; x):(y; y) = f(x):f(y).
Suy ra f l ỗng cĐu v nh.
Tł nhœng i•u trản ta suy ra f l flng cĐu v nh.
Ta x¥y düng quy t›c f : Z ab ! Za Z b x 7! f (x) = f(x) = (x; x)
Tức l f = fjZab Viằc ta cƒn chứng minh õ l : N‚u x 2 Zab th… (x; x) 2 Za Z b
Ta  chứng minh xong BŒ•.
BƠy giớ ta s‡ chứng minh ành l‰ (3.2.1).
Chứng minh ( ành l‰ (3.2.1)) V… ành lỵ (3.2.1) dắ nhiản úng khi n = 1, nản ta giÊ sò n ‰t nhĐt l 2 Tł BŒ • (3.2.3), ta cõ th” xĂc ành nhõm nhƠn cĂc phƒn tò khÊ nghàch trong v nh Zm : Chú ỵ khi m = p l sŁ nguyản tŁ th… p 1 l nhâm cyclic c§p p 1
V… tĐt cÊ cĂc nhõm cyclic n y •u cõ b“c chfin, nản theo BŒ • (3.2.2) th…
ZM n khổng th” ữổc sinh bði ‰t hỡn n 1 phƒn tò.
Gồi p n+1 ; : : : ; p n+h l cĂc sŁ nguyản tŁ giœa p n v M n Theo ành lỵ Euclid, h 1 CĂc sŁ nguyản tŁ n y l cĂc phƒn tò khÊ nghàch trong ZM , v chúng sinh ra Z n M n d⁄ng = k 1 k
M°t khĂc, v… ZM n khổng th” ữổc sinh ra ‰t hỡn n 1 phƒn tò nản h n 1.ành lỵ (3.2.1) Â ữổc chứng minh.
Trong lu“n vôn n y tổi  thỹc hiằn cĂc cổng viằc sau
1 Tr…nh b y ành nghắa v ành l‰ rĐt quan trồng v
Wilson. mºt sŁ k‚t quÊ cŒ i”n v• sŁ nguyản tŁ Cõ nhœng cõ nhi•u ứng dửng nhữ ành l‰ Fermat, ành l‰
2 Cung cĐp ành nghắa v t‰nh chĐt cıa h m sŁ hồc v mºt sŁ h m quan trồng nhữ: h m Euler, h m Mobius, a thức chia ữớng trặn.
3 Chứng minh mºt ành l‰ nõi v• biản trản cıa sŁ nguyản tŁ b† nhĐt 1 mod n, â l ành l‰ (2.5.1).
4 Chứng minh mºt ành l‰ v• sŁ lữổng cıa cĂc sŁ nguyản tŁ giœa p n v M n , â l ành l‰ (3.2.1).
[1] R Thangadurai and A Vatwani, The Least Prime Congruent to One Modulo n, The American Mathematical Monthly, Vol 118, No 8 (October 2011), pp 737-742.
[2] Roger Cooke, A Remark on Euclid’s Theorem on the Infinitude of the Primes, The American Mathematical Monthly, Vol 118, No 4 (April 2011), pp. 355-358.
[3] J Sabia and S Tesauri, The least prime in certain arithmetic progressions, Amer Math Monthly 116 (2009), 641 643.
[4] Johan Jonsson, On Special Cases of Dirichlet’s Theorem on Arithmetic Pro-gressions, January 2015.
[5] D G Kendall and R Osborn, Two Simple Lower Bounds for Euler’s Func-tion, Texas J Sci 17 (1965).
[6] D.M Burton, Elementary Number Theory, McGraw-Hill (2002).
[7] T M Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976.
[8] R Thangadurai, On the coefficients of cyclotomic polynomials, Cyclotomic Fields and Related Topics (Pune, 1999), Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, 2000, pp 311 322.