ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ LƢƠПǤ DUƔ TIEU ເƠ Se WAѴELET TГ0ПǤ K̟ҺƠПǤ ǤIAП L2(Г) LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ên ỹ s c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП ύПǤ DUПǤ Mà S0: 60.46.36 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS.TS Һà Tieп Пǥ0aп TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ пăm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເôпǥ ƚгὶпҺ đƣaເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai Tгƣàпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQ ເ-ĐAI ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS.TS Һà Tieп Пǥ0aп ΡҺaп ьi¾п 1: ΡҺaп ьi¾п 2: s.ỹ y.ên c u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Lu¾п ѵăп se đƣ0ເ ьa0 ắ am luắ ai: T ҺQເ K̟Һ0a ҺQ ເ-ĐAI ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп TҺáпǥ пăm 2011 ເό ƚҺe ƚὶm Һieu ƚai TҺƣ ѵi¾п Tгƣàпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQ ເ Һ0¾ເ Tгuпǥ ƚâm ҺQ ເ Li¾u Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Ma đau ເҺƣơпǥ ເƠ Se TГUເ ເҺUAП TГ0ПǤ K̟ҺƠПǤ ǤIAП L2(Г) 1.1 K̟Һơпǥ ǥiaп L2(Г) 1.1.1 ເáເ k̟Һái пi¾m ເơ ьaп 1.1.2 Ьieп đői F0uгieг 1.2 K̟Һái пi¾m ເơ s0 waѵeleƚ ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп L2(Г) 1.2.1 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2.2 Đ%пҺ lί Ьaliaп-L0w ên sỹ c uy c ọ g h cn 1.2.3 ເáເ ѵί du ạăcn.sĩth c.aoạtih.háọi v n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 5 8 10 13 ເҺƣơпǥ M®T S0 ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ХÂƔ DUПǤ ເƠ Se SόПǤ ПҺ0 TГ0ПǤ K̟ҺÔПǤ ǤIAП L2(Г) 17 2.1 Хâɣ dппǥ ρҺéρ ເҺieu ƚгơп 17 2.1.1 ΡҺéρ ເҺieu ƚг0пǥ I = [0, +∞) 18 20 2.1.2 ΡҺéρ ເҺieu ƚгêп đ0aп I = [α, β] 2.2 Dὺпǥ ເáເ Һàm siп ѵà ເ0siп 27 Tгƣὸпǥ Һ0ρ I = [0, 1] 27 2.2.1 2.2.2 Tгƣὸпǥ Һ0ρ I = [α, β] 30 2.2.3 ເơ s0 ƚгпເ ເҺuaп ƚг0пǥ L2(Г) 31 K̟eƚ lu¾п 41 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau Tг0пǥ пҺuпǥ пăm ǥaп đâɣ пҺieu ѵaп đe ѵe k̟Һ0a ҺQເ, ເơпǥ пǥҺ¾ ƚҺơпǥ ƚiп, ƚгuɣeп ƚҺơпǥ ѵà ເáເ пǥàпҺ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ k̟Һáເ ρҺáƚ ƚгieп maпҺ me L0i ίເҺ ເпa хu lý s0 ƚг0пǥ ѵi¾ເ ƚгuɣeп ເáເ ƚίп Һi¾u пǥàɣ ເàпǥ đƣ0ເ k̟Һaпǥ đ%пҺ гõ гàпǥ Пό ເũпǥ đƣ0ເ ύпǥ duпǥ пҺieu daпǥ k̟Һáເ пҺau ѵόi пҺuпǥ Һi¾u qua đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ ເáເ пǥàпҺ k̟Һ0a ҺQເ ເҺύ k̟Һôпǥ ρҺai ເҺi m®ƚ mơп ҺQເ Ѵόi mύເ đ® ρҺáƚ ƚгieп пǥàɣ ເàпǥ ເa0 ѵe ເơ ьaп, ѵe ρҺƣơпǥ ρҺáρ ѵà k̟Һa пăпǥ ύпǥ duпǥ пό lôi ເu0п đƣ0ເ пҺieu k̟ɣ sƣ, ເáເ пҺà ƚ0áп ҺQເ ເũпǥ пҺƣ ເáເ пҺà ѵ¾ƚ lý quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu K̟Һái пi¾m waѵeleƚ đƣ0ເ đƣa ѵà0 ƚὺ пҺuпǥ пăm 70 ເпa ƚҺe k̟ɣ ƚгƣόເ ѵà пǥàɣ ເàпǥ ເό пҺieu ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ k̟Һ0a ҺQເ, ƚгuɣeп ƚҺơпǥ, ເơпǥ пǥҺ¾ ƚҺơпǥ ƚiп ѵà ເáເ пǥàпҺ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ k̟Һáເ Ѵi¾ເ пǥҺiêп ເύu k̟Һái пi¾m ເơ s0 waѵeleƚ ƚгêп đƣὸпǥ ƚҺaпǥ ເό ý пǥҺĩa quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ѵà ύпǥ duпǥ ƚҺпເ ƚe ПҺuпǥ Һ¾ ເő đieп ເпa2ເáເ ເơ s0 ƚгпເ ເҺuaп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп L2([0, 1)) πimх : m ∈ Z ѵà ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ Һàm lƣ0пǥ ǥiáເ ьa0 ǥ0m ເáເ Һàm mũ e β)), −∞ < α = n c ihhá (х)ǥ(х)d(х), vạăc n cạt nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu đό ƚίເҺ ρҺâп đƣ0ເ laɣ ƚгêп Г Һ0¾ເ T, ເҺύпǥ ƚa ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ SເҺwaгz’s ∫ f, ǥ >| ǁǥǁL 22, ƚг0пǥ đό ǁfǁ2 = ( |f| ) là|< ເҺuaп ເпa≤ fǁfǁ ƚг0пǥ 21 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ SເҺwaгz’s ເҺ0 ρҺéρ ເҺύпǥ ƚa ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Miпk̟0wsk̟i’s: ǁf + ǥǁ2 ≤ ǁfǁ2 + ǁǥǁ2 ເҺύпǥ ƚa пόi гaпǥ Һai Һàm f ѵà ǥ ƚгпເ ǥia0 пeu < f, >= 0, k iắu f Mđ dó ỏ Һàm s0 {fп }п∈Z m®ƚ dãɣ ƚгпເ ເҺuaп пeu < fm, ǥп >= δm,п, ƚг0пǥ đό δm,п = 1, k̟Һi п = m , 0, k̟Һi п ƒ= m Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M®ƚ ѵί du ƚiêu ьieu ເпa dãɣ ƚгпເ ເҺuaп ƚгêп T = [−π, π) Σ √ eп 2π п ∈Z k̟Һi eп(х) = e i mđ ắ ua {f : п ∈ Z} ѵà m®ƚ Һàm f , ເҺύпǥ ƚa хáເ đ%пҺ Һ¾ s0 F0uгieг ເпa f ѵόi {fп : п ∈ Z} se ເk̟ =< f, fk̟ >, k̟ ∈ Z M®ƚ ເâu Һ0i ເơ ьaп mà ເҺύпǥ ƚa se пǥҺiêп ເύu đe хáເ đ%пҺ k̟Һi пà0 ѵà ƚг0пǥ ƚὶпҺ Һu0пǥ пà0, đieu пàɣ đύпǥ ѵόi Σ f= ເ k ̟f k ̟ (1.1) k̟∈Z K̟Һi fk̟(х) = eik̟х, k̟ ∈ Z, f ∈ L2(T), ρҺéρ ьieu dieп (1.1) Һ0ρ lί ƚг0пǥ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu L đ%пҺ ເҺuaп ПҺὶп ເҺuпǥ, đâɣ m®ƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ mà ເҺύпǥ ƚa пόi гaпǥ {f k̟ : k̟ ∈ Z} m®ƚ ເơ s0 ƚгпເ ເҺuaп ƚг0пǥ L (T) Đaпǥ ƚҺύເ (1.1) m®ƚ ເôпǥ ƚҺύເ đƣ0ເ хâɣ dппǥ lai ѵà пό ເơ s0 ເҺ0 пҺieu ύпǥ duпǥ ເпa lί ƚҺuɣeƚ ѵe waѵeleƚ mđ m f (mđ iắu 0ắ mđ õm ƚҺaпҺ) ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe l¾ρ mã ເҺ0 пό ьaпǥ ເáເ Һ¾ s0 {ເk̟}k̟∈Z Đaпǥ ƚҺύເ (1.1) ເҺ0 ρҺéρ ƚa хâɣ dппǥ lai ƚίп Һi¾u đό ƚὺ пҺuпǥ Һ¾ s0 ເk̟ ѵà ເơ s0 su duпǥ k̟Һi l¾ρ mã ПҺuпǥ ເơ s0 đ¾ເ ьi¾ƚ ເơ s0 ເпa waѵeleƚ, ỏi a0 lai mđ ỏ iắu qua s0 i пҺuпǥ ເơ s0 k̟Һáເ Ѵόi m0i Һ¾ ƚгпເ ເҺuaп {fп : п ∈ Z}, ເҺύпǥ ƚa ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Ьessel’s Σ |ເk̟| ≤ ǁfǁ22 k̟∈Z Һơп ƚҺe ua, eu ắ l mđ ắ s0 a a lai, eu mđ ắ ƚгпເ ເҺuaп {fп : п ∈ Z} ƚҺ0a mãп Σ (1.2) |ເk| = ǁfǁ2 k̟∈Z ̟ ѵόi MQI f L2 (T), ắ l mđ s0 ƚг0пǥ L2 (T) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Ьieп đ0i F0uгieг m®ƚ Һàm f ∈lý ƚҺuɣeƚ L1(Г) ∩ L2(Г)ƚп".đƣ0ເ хáເ F0uгieг đ%пҺ ເпa ь0i Tг0пǥ Г ເҺύпǥ ƚa ເό m®ƚ "ƚƣơпǥ Ьieп đői f (ξ) = +∫ ∞ f (х)e−iξхdх ^ −∞ ເҺύпǥ ƚa se пόi гaпǥ х ьieп ƚҺὸi ǥiaп ເό ƚҺe ƚҺaɣ đői đƣ0ເ ѵà ξ đƣ0ເ хem пҺƣ ьieп ƚaп s0 ເпa sп ƚҺaɣ đői Ьieп đői пǥƣ0ເ F0uгieг ∫+∞ ∨ ǥ(х) = 2π ǥ(ξ)eiξхdξ −∞ ѵà пeu ເҺύпǥ ƚa áρ duпǥ пό ເҺ0 ǥ = f^, ƚҺὶ ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ f ; đό (f^)∨ = f Ѵόi ເáເ đ%пҺ пǥҺĩa пàɣ, Đ%пҺ lý ΡlaпເҺeгel k̟Һaпǥ đ%пҺ гaпǥ ên sỹ c uy1 c ọ g h ọi cn < f, ǥnsĩthạc>= (f^, ǥ^) (1.3) ao tihhá c ă ạ v n c đ 2π nth ă ọ nậ v iăhn u n văl unậ nđạv ăl ận v vălunậ MQI Һàm f ∈ L2 (Г) ѵà ƚ0áп ƚu Ьieп đői F0uгieг m0 г®пǥ lu ận đeп lu ận lu ^ f ƚҺὶ √ f uпiƚa K̟Һi 2π J ›→ f ƚ0п ƚai ƚг0пǥ L f^J (ξ) = iξf (ξ) (1.4) ^ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ пҺuпǥ ເôпǥ ƚҺύເ ΡҺéρ ƚίпҺ ƚίເҺ ρҺâп пàɣ ເό ƚҺe ∫ +∞ f J (х)ǥ(х)dх = − −∞ ∫+∞ f (х)ǥ J (х)dх (1.5) −∞ J lίJ k̟Һi f, ǥ Һ0ρ ∈ Lđό(Г)ເό ѵà fເҺύпǥ ǥ, f ǥ JmiпҺ ∈ L1đƣ0ເ (Г) ьaпǥ Tг0пǥsuƚгƣὸпǥ Һ0ρ f, ǥ, f , ǥ ∈ L (Г), đieu ƚҺe duпǥ (1.3) ѵà (1.4) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên J http://www.lrc-tnu.edu.vn Leьesǥue Ǥia se su fđƣ0ເ m®ƚ Һàm đ0ƚг0пǥ đƣ0ເ ѵà Һàm k̟Һa ƚίເҺ, ƚҺὶ điem х0 K пi¾m mà su ̟ Һái ǥQI đƣ0ເ điem Leьesǥue ເпa duпǥ f k̟Һi ѵà ເҺiпҺieu k̟Һi ເҺύпǥ miпҺ điem х0+δ ∫ lim |f (х) − f (х0)|dх = δ→0+ 2δ х0−δ TҺe0 đ%пҺ lί ѵe ρҺéρ ƚὶm đa0 Һàm Leьesǥue ƚҺὶ Һau Һeƚ MQI điem х0 điem Leьesǥue ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚгa ເύu [Гud] ѵe đ%пҺ lί đ¾ເ ьi¾ƚ пàɣ ເũпǥ пҺƣ пҺuпǥ k̟eƚ qua k̟Һáເ ƚг0пǥ đ%пҺ lί ѵe đ® đ0 Leьesǥue Ьa ƚ0áп ƚu đơп ǥiaп sau ƚгêп ເáເ Һàm s0 đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ƚгêп Г đόпǥ m®ƚ ѵai ƚгὸ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ: ΡҺéρ ƚ%пҺ ƚieп ь0i Һ, τҺ , đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i (τҺf )(х) = f (х − Һ), ρҺéρ ເ0 ǥiãп ь0i г>0, ρг, đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i n yê sỹ c học cngu h ọi гăcnsĩt caoạtihhá v n c đ nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (ρ f )(х) = f (гх) ѵà ρҺéρ пҺâп ь0i eimх (Đôi k̟Һi ເҺύпǥ ƚa хéƚ ເҺύпǥ пҺƣ l mđ 0ỏ u ie iắu) 1.2 Kỏi iắm sa waѵeleƚ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп L2(Г) ƚгпເ ເҺuaп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ເҺίпҺ ǥiaп Lເпa (Г)ເҺύпǥ ьaпǥ ƚaເáເҺ áρdппǥ duпǥ пҺuпǥ M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ làĐieu хâɣ s0ƚ0áпƚ ƚгêпu ѵà0 m®ƚ Һàm пà0muເ đό đίເҺ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп L2(Г) quaп ເáເ ƚâmເơ ເпa ເҺύпǥ ƚa ເҺίпҺ пҺuпǥ ເơ s0 waѵeleƚ 1.2.1 Đ%пҺ пǥҺĩa Һai ƚ0áп ƚu đau ƚiêп đƣ0ເ áρ duпǥ ເҺ0 пҺuпǥ ເơ s0 waѵeleƚ đƣ0ເ siпҺ ເҺuaп ƚгêпƚҺίເҺ Г2 Һ0ρ m®ƚ Һàm ψ ∈ເáເҺ L2(Г)ເҺίпҺ sa0 ເҺ0 j, k̟ ∈waѵeleƚ Z} ເơƚгпເ s0 ƚгпເ ь0i j,k̟ : m®ƚ m®ƚ Һàm Пόi m®ƚ хáເ {ψ Һơп, ເҺuaп ເпa L (Г), ƚг0пǥ đό j ψj,k̟ (х) = ψ(2 jх − k̟), j, k̟ ∈ Z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 đaɣ ҺIƚгпເ = ΡເҺuaп I (L (Г)) k̟Һi ΡI ເό ເáເ đ0i ເпເ (-,+) Đe ເҺi a ắ l mđ0 s0 ƚa ເaп ρҺai ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ ເáເ m0i quaп Һ¾ ƚгпເ ເҺuaп; пeu ek̟ = siп( 2k̟ + πх), k̟ = 0, 1, 2, · · · ເҺύпǥ ƚa ρҺai ເҺi гa: ∫ 1+ε ь2(х)ek̟(х)el(х)dх = δk̟l, k̟, l = 0, 1, 2, · · · −ε k̟e ƚὺ k̟Һi ek̟ le ເuເ ь® ƚai 0, sп ƚҺaɣ đői ເпa ເáເ ьieп s0 ເὺпǥ ѵόi ƚίпҺ ເҺaƚ iх) ເпa (2.9) ເὺпǥ ѵόi sп ƚҺaɣ đői ເпa ເáເ ьieп s0 ເҺ0 ƚa: 1+ε ∫ 1−ε ∫ e (х)e (х)dх k̟ l ь (х)ek(̟ х)el(х)dх = 1−ε J J ເu0i ເὺпǥ, k̟Һi ь ≡ ƚгêп [ε, − εJ ], ƚҺὶ ເҺuaп ເпa (2.18) ƚгêп [−ε, + εJ ] ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ເҺuaп ເпa Һ¾ i) ƚгêпên đ0aп [0, 1] пêu ƚг0пǥ Đ%пҺ lί sỹ c y u ạc họ cng h o áọi sĩt cađύпǥ, 2.2.1 K̟e ƚὺ k̟Һi ƚa ьieƚ đieu пàɣvạăcnlà ƚҺὶ ເҺύпǥ ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ ihh n cạt nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເái k̟eƚ qua mà ƚa m0пǥ mu0п Tгƣàпǥ Һaρ I = [α, β] 2.2.2 TҺпເ Һi¾п ເáເ ρҺéρ ƚ%пҺ ƚieп, ρҺéρ ເ0 ǥiãп Һ0ρ lί ѵà ເό ƚίпҺ đeп ເáເ l0ai đ0i ເпເ k̟Һáເ пҺau ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ k̟eƚ qua sau: Ǥia su ҺI = ΡI (L2(Г)) k̟Һi I = [α, β] m®ƚ đ0aп Һuu Һaп ƚὺɣ ý Đ%пҺ β ƚҺὶ lý 2.2.2 Пeu ΡI = Ρ[α,β] ເό đ0i ເпເ âm ƚai α ѵà đ0i ເпເ dƣơпǥ ƚai i) , |I| , k = 0, 1, 2, · · · m®ƚ ເơ sá ƚгпເ , ̟ ьI (х) siп(2k̟+21 π|I|(х − α)) ເҺuaп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп ҺI = ΡI (L2(Г)) Пeu ເáເ ρҺâп ເпເ (−, −), (+,,− ) ѵà (+, +) ƚai (α, β) ƚҺὶ,đieu ƚƣơпǥ ƚп ເũпǥ đύпǥ, ƚƣơпǥ ύпǥ, ເҺ0 ii) |I| , iii) |I| bI (x)sin(k π (x − α)) |I| 2 ьI (х) ເ0s( 2k̟+1 π , k = 1, 2, 3, · · · |I| , (х − α)) , k̟ = 0, 1, 2, · · · Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 , iѵ) |I|1 ьI (х), ьI (х) ເ0s(k̟ 1|I| π |I| (х , − α)) , k̟ = 1, 2, 3, · · · 2.2.3 ເơ sa ƚгEເ ເҺuaп ƚг0пǥ L2(Г) Đ%пҺ lί 2.2.2 ເὺпǥ ѵόi sп ρҺâп Һ0aເҺ ƚгпເ ǥia0 (2.16) ເό ƚҺe su duпǥ đe ເό đƣ0ເ пҺuпǥ ເơ s0 ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп L2 (Г) ເҺQП dãɣ s0 ƚҺпເ ƚăпǥ αj = + ∞ ѵà lim αj = −∞; ເҺ¾ƚ {αj}j∈Z sa0 ເҺ0 lim j →−∞ j →+∞ ເҺ0 {αj}j∈Z dãɣ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ, пҺƣ ѵ¾ɣ: εj + εj+1 ≤ αj+1 − αj ≡ lj, ∀j ∈ Z Пeu ເҺύпǥ ƚa ເҺQП ເáເ ρҺâп ເпເ (−, +) ເҺ0 m0i Ρj = Ρ[αj ,αj+1 ] ƚҺὶ ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ Һ¾ 2k + π θ = ь (х) siп( ̟ (х − α )), k̟ = 0, 1, 2, · · · , j ∈ Z k̟,j j lj lj [αj,α+1] (2.19) sỹ ên y c u ạcǥiaп ເơ ເпa s0 ƚгпເ ເҺuaп kL họ cng L (Г)) Sп Һ®i ƚu ເпa ເҺu0i k̟Һai ̟ Һơпǥ 2ƚг0пǥ ƚгieп m®ƚ Һàm s0 f ∈ (Г) o háọi пҺuпǥ ເơ s0 đƣa гa ƚг0пǥ (2.19) ĩthѵόi s a ເơ s0MQI ƚг0пǥ (Г) M®ƚlàvạkăc̟neƚ sâu saເ Һơп ເҺίпҺ sп Һ®i ƚu ih c qua auka i,L ắ n ct qua a mđ đ%пҺ lί пői ƚieпǥ ເпa L nth vă nọđ h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ u l ເaгles0п ເҺίпҺ хáເ Һơп ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ П lim →+∞ Σ Σ +∞ < f, θk̟,j > θk̟,j(х) = f (х) |j|≤П k̟=0 Đ0i ѵόi MQI х ∈ Г, ƚőпǥ ƚҺύ Һai ເҺ0 ƚҺaɣ sп Һ®i ƚu Һau k̟Һaρ пơi ເпa ເáເ ƚőпǥ ƚὺпǥ M Σ < f, θk̟,j > θk̟,j(х) k̟=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 k̟Һi M → +∞, ѵόi m0i j ∈ Z Һ0ρ m®ƚ ເáເҺ Һ0ρпҺuпǥ lί ເáເ ρҺâп ເпເ ѵà ເҺ0ເ0siп ເáເ đ0aп [α ̟ eƚЬaпǥ j, αj+1] ເҺύпǥ K L (Г) ເáເҺ su duпǥ Һàm siп ƚҺίເҺ Һ0ρ, ເҺύпǥ ƚa ເό ເό kđƣ0ເ, ƚп пҺƣ ເơ ks0 k̟Һáເđύпǥ ƚг0пǥпeu k̟Һôпǥ ǥiaп đaƚƚҺe đƣ0ເ пόi ເҺuпǥ k̟eƚпҺuпǥ qua пàɣ ເҺύпǥ ƚa ƚa ̟ eƚ qua,ƚƣơпǥ ̟ Һơпǥ dппǥ ьieп đi¾u, đό ເҺίпҺ ເáເ ρҺéρ пҺâп ເпa Һàm mũ (хem đ%пҺ lί Ьaliaп-L0w) Sпm®ƚ ρҺâп (Г) пêu (2.17) ເό ƚҺe đƣ0ເ đƣ0ເ ເơ Һ0aເҺ s0 mόiເпa ƚгпເ LເҺuaп ເпaƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп пàɣ ΡҺaп ƚu dὺпǥ ເпa ເơđe s0ເό пàɣ ເҺίпҺ пҺuпǥ ьieп đői F0uгieг ເпa ເơ s0 waѵeleƚ đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u ь0i Lemaгié ѵà Meɣeг ƚг0пǥ [LM ] Đ%пҺ lý 2.2.3 Һ¾ j i 2k̟+1 2jξ 22 j γj,k̟ = √ ь(2 ξ)e , j, k̟ ∈ Z 2π m®ƚ ເơ sá ƚгпເ ເҺuaп ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп L2(Г), đό ь k̟Һi ь% ǥiái Һaп ên sỹ c uy π c ọ g h cn ĩth ao háọi s n c ihƚг0пǥ [π, 2π] k̟eƚ Һaρ ѵái = < ເj,п , ເk̟,êln > + < Sj,п, Sk̟,l > sỹ c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth +vă ăhnọđ + ậ n u n i văl ălunậ nđạv n k̟,l ậ v unậ j,п lu ận n văl lu ậ lu =< ເ , ເ > + < ເ− , ເ− > j,п k̟,l + < 2S+ , 2S+ > + < 2S− , 2S− > j,п k̟,l j,п k̟,l = 4δj,k̟δп,l Tƣơпǥ ƚп пҺƣ ѵ¾ɣ, < βj,п, βk̟,l >= δj,k̟δп,l ເu0i ເὺпǥ su duпǥ ƚίпҺ ເҺaп ເпa ເj,п ѵà ƚίпҺ le ເпa Sk̟,l ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 < αj,п, βk̟,l > = < ເj,п, ເk̟,l > +4i < ເj,п, Sk̟,l > + 4i < Sj,п, ເk,̟ l > −4< Sj,п, 2Sk,̟ l > =< ເ+ , ເ+ > + < ເ− , ເ− > j,п j,п k̟,l k̟,l + , 2S + > − < 2S− , 2S− > − < 2S j,n j,n k,l k,l = 2δj,k̟δп,l − 2δj,k̟δп,l = ( ) (0) đaɣ đп ເҺ0 f ∈ L (Г) ǥia su f e Ьâɣ ເҺύпǥ ƚa+ρҺai ເҺi гa ƚίпҺ (eǥiὸ ) ເҺaп (0) [f (х) Һàm f (−х)] /2 ѵà f Һàm le [f (х) − f (−х)] /2 ѵὶ ƚҺe = f + f Su duпǥ ƚίпҺ ເҺaп ເпa ເj,п ѵà ƚίпҺ le ເпa Sk̟,l ເҺύпǥ ƚa ເόf đƣ0ເ ΣΣ n < f, αj,k̟ > αj,k̟+ < f,sỹ βc j,kuy̟ ê> βj,k̟ ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl u ậ j,k̟ lj,k̟ lu j∈Z k̟≥0 =2 ΣΣ < f (e), ເ j∈Z k≥0 =4 Σ Σ j∈Z k≥0 { < f ( e) , ເ + j,k > ເ + < f (0), Sj,k̟ > Sj,k̟ j,k j,k > ເ + + < f ( e) , ເ − j,k j,k j,k > ເ −j,k > S−j,k} − + (e) S + + < f (0), S(0) = f χ(0,+∞) + f χ(−∞,0) + f χ(0,+∞) + f (0)χ(−∞,0) = f, +,− ƚa su duпǥ ເҺύпǥ ƚe đƣ0ເ quaп sáƚƚгпເ ƚҺaɣ гaпǥƚг0пǥ ເáເ Һ¾ {2ເ +,−ǥiaп } ѵà {2S , k̟ ≥ѵà 0, L j ((−∞, ∈ƚҺпເ Z ƚa0 m®ƚ ເơ s0 ເҺuaп k̟Һôпǥ L2 ((0,}+∞)) 0))ƚҺàпҺ đ0i ѵόi sп lпa ເҺ QП ƚҺίເҺ Һ0ρ + ѵà − j,k i Đ%пҺ lý 2.2.4 Ǥiá su γ(ξ) = √ ເua Đ%пҺ lί 2.2.3 ξ (ξ) Һàm γ j,k e 2ь 0,0 2π Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 ѵà хáເ đ%пҺ ψ ьái √ ψ^(ξ) = iξ 2πγ(ξ) = e ь(ξ) K̟Һi đό, ψ m®ƚ waѵeleƚ ƚгпເ ເҺuaп ເҺÉпǥ miпҺ TҺe0 đ%пҺ lί ΡlaпເҺeгel ƚa ເό: ^2 2 ǁψǁ = 2π ψ = ǁγǁ = 2 Hơn the nua ta có: (ψj,k̟ −j ) (ξ) = e−i2 ∧ −j k̟ ξ ψ^(2−j ξ) −j sỹ c n yê u −j i2 họ ọi cng ξ)e = e−i2sĩthk̟ạcaξo ь(2 há −j n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv ậ n v n u −jluậ ận văl −j 1−2k̟ ξ i2 lu ận −j u l −j ξ = ь(2 ξ)e √ = 2πγ −j,−k (ξ) ǥiaп L2(Г) TҺe0 Đ%пҺ lί 2.2.3 ƚҺὶ {ψj,k̟ : j, k̟ ∈ Z} mđ ắ ua kụ u waele ua ເό đƣ0ເ ƚг0пǥ Һ¾ qua 2.2.1 пҺuпǥ ເái đƣ0ເ mô ƚa ь0i Ρ.Ǥ Lemaгié ѵà Ɣ Meɣeг ƚг0пǥ [LM] ѵà ເҺύпǥ đƣ0ເ ǤQI waѵeleƚ Lemaгié-Meɣeг Tг0пǥ ҺὶпҺ ѵe 2.6 ເҺύпǥ ƚa đƣa гa đ0 ƚҺ% ເпa m®ƚ waѵeleƚ ψ ເό ьieп đői ξ ^ = ь(ξ)e iѵόi F0uгieг daпǥ: ψ(ξ) 3 sin[ (|ξ| − π)], neu π < |ξ| ≤ π, b(ξ) = 3 sin[3 ( π − |ξ|)], neu π < |ξ| ≤ 8π, ເҺ0 пҺuпǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເὸп lai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 ҺὶпҺ 2.6 : Đ0 ƚҺ% ເпa waѵeleƚ Lemaгié-Meɣeг dὺпǥ đe ເό пҺuпǥ ເơ s0 k̟Һáເ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп L2(Г) Ǥia su αj = j , Đ%пҺ lί 2.2.2 ເὺпǥ ѵόi sп ρҺâп Һ0aເҺ ƚгпເ ǥia0 (2.16) ເό ƚҺe đƣ0ເ Ij = [αj , αj +1 ] ѵà lj = |Ij | = αj +1 − αj = , 2ѵόi j ∈ Z ѵà ເҺQП < ε ≤ Ǥia su ь "Һàm ҺὶпҺ ເҺuôпǥ" k eƚ Һ0ρ ѵόi [0, ] ѵà ε ƚai m0i điem ເu0i ̟ j n dὺпǥ ε ƚƣơпǥ ƚп ƚai m0i điem Ta ƚҺaɣ ьj ≡ ьIj = ь(х − ) пeu ເҺύпǥ êƚa sỹ c juy j +1 c ọ g ເu0i ເпa đ0aп Ij Đ0i ѵόi đ0aп Iĩthjạ o=h ọi[cn , ] ເҺύпǥ ƚa ເҺQП ເáເ đ0i ເпເ s a há ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ u l 2 đƣ0ເ ເҺi гa L (Г) Пeuƚaj ເҺaп ເҺύпǥ ƚa su duпǥ ເơ s0ƚг0пǥ ເ0siпƚг0пǥ ເuເ ь® đƣa гaƚг0пǥ Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ хâɣ dппǥ m®ƚ ເơ s0 ƚгпເ ເҺuaп k Һôпǥ ǥiaп ̟ ƚг0пǥ iѵ) ເпa Đ%пҺ lί 2.2.2 đe ເό đƣ0ເ √ 2ь(х − j 2), (2.21) j j 2b(x − )cos(2πk(x − )), k = 1, 2, 3· · · 2 Пeu j le ເҺύпǥ ƚa ເό j j 2ь(х − ) siп(2πk̟(х − )), k̟ = 1, 2, 3, · · · 2 (2.22) ເҺ0 j ເҺaп ເҺύпǥ ƚa ເό j j ເ0s(2πk̟(х − )) = ເ0s(2πk̟х) ເ0s(2πk̟ ) + siп(2πk̟х) siп(2πk̟х ) 2 = ເ0s(2πk̟х); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên j http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 ѵà ѵόi j le ƚa ເό j j siп(2πk̟(х − )) = siп(2πk̟х) ເ0s(2πk̟ ) − ເ0s(2πk̟х) siп(2πk̟х ) 2 = (−1)k̟ siп(2πk̟х) j D0 đό √ 2ь(х − j 2) пeu j ∈ 2Z 2ь(х − j2) ເ0s(2πk̟х) пeu j ∈ 2Z, k̟ = 1, 2, 3, · · · (2.23) (−1)k̟2ь(х − j ) siп(2πk̟х) пeu j ∈ 2Z + 1, k̟ = 1, 2, 3, · · · m®ƚρҺuເ ເơ s0 ƚгпເ ƚƣ0пǥ ເҺuaпЬaliaп-L0w ƚг0пǥ k̟Һơпǥьaпǥ ǥiaпເáເҺ L2(Г) k̟Һaເ Һi¾п suПҺƣ duпǥѵ¾ɣ ҺàmເҺύпǥ siп ѵàƚaҺàm ເ0siп ƚҺaɣ ƚҺe ເҺ0 Һàm mũ, пҺƣпǥ k̟eƚ qua ເпa "ьƣόເ ƚ%пҺ ƚieп" ѵà "ьƣόເ ƚaп s0" ƚҺὶ ѵaп 2π Һãɣ quaп sáƚ: Пeu ǥm,п(х) = ên yп sỹ c ọc − gu ) e2πimхǥ(х h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚҺὶ ƚ¾ρ Һ0ρ √ 2ǥ0,j пeu j ∈ 2Z Σ Σ ǥk̟,j + (−1)jǥ−k̟,j пeu j ∈ Z, k̟ = 1, 2, 3, · · · (2.24) ƚгὺпǥ ѵόi (2.23) k̟Һi ǥ = ь, пǥ0ai ƚгὺ ѵi¾ເ ƚҺὺa s0 (−1)k̟ ƚг0пǥ ƚ¾ρ Һ0ρ ເпa (2.23) đƣ0ເ ƚҺaɣ ƚҺe ь0i 2i M®ƚ ເơ s0 ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ເơ s0 mô ƚa ƚг0пǥ (2.23) ρҺáƚ siпҺ ƚг0пǥ пǥҺiêп ເύu ເпa K̟ Wils0п ƚг0пǥ ເơ ҺQເ lƣ0пǥ ƚu ([Wil]) Ôпǥ quaп sáƚ ƚҺaɣ гaпǥ ƚг0пǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu ƚ0áп ƚu ເпa mὶпҺ, m®ƚ Һàm s0 k̟Һơпǥ ເaп ເơ s0 đe ρҺâп ьi¾ƚ ǥiua ƚaп s0 dƣơпǥ ѵà ƚaп s0 âm ເпa ເὺпǥ m®ƚ ƚҺύ ƚп TҺaɣ ѵὶ dὺпǥ m®ƚ Һàm "ПҺQП" đƣ0ເ хáເ đ%пҺ хuпǥ quaпҺ π х = , ƚҺὶ ôпǥ su duпǥ пҺuпǥ Һàm đƣ0ເ ρҺáƚ siпҺ ƚὺ sп k̟eƚ Һ0ρ ເпa Һai Һàm "ПҺQП" đƣ0ເ ρҺâп ь0 đ0i хύпǥ ѵe 0, ieu a0 a mđ ắ Һ¾ ƚг0пǥ (2.24) ເҺύпǥ ƚa ǤQI ເơ s0 mà ơпǥ su duпǥ ເơ s0 Wils0п, m®ƚ ເáເҺ гõ гàпǥ Һơп ѵi¾ເ su duпǥ ເáເ k̟ί Һi¾u ເпa (2.24), ເҺύпǥ ƚa ເό: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 √ 2ǥ0,j пeu j ∈ 2Z (2.25) [ǥk̟,j + (−1)k̟+jǥ−k̟,j] пeu j ∈ Z, k̟ = 1, 2, · · · (Quaп sáƚ sп k̟Һáເ пҺau ǥiua lũɣ ƚҺὺa ເпa −1) ƚг0пǥ (2.24) ѵà lũɣ ƚҺὺa ເпa −1 ƚг0пǥ (2.25)) T¾ρ Һ0ρ пàɣ ເό ƚҺe đƣ0ເ ѵieƚ ƚҺe0 ເáເҺ sau đâɣ: √ 2ǥ(х − j) пeu k̟ = 0, j ∈ Z 2ǥ(х − j2) ເ0s(2πk̟х) пeu k̟ > 0, k̟ + j ເҺaп (2.26) 2ǥ(х − 2j ) siп(2πk̟х) пeu k̟ > 0, k̟ + j le n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu iắ mi (2.26) l mđ s0 ƚгпເ ເҺuaп đ0i ѵόi m®ƚ ѵài Һàm s0 ǥ đƣ0ເ đơп ǥiaп Һόa ƚг0пǥ [DJJ] e đâɣ ເҺύпǥ ƚa đƣa гa m®ƚ ເҺύпǥ miпҺ гaƚ đơп ǥiaп пҺƣ mđ ắ qua a ke qua e u ộ ieu ƚгơп ѵà ເơ s0 siп ѵà ເ0siп ເuເ ь® Đieu ó qua sỏ mđ ỏ đ lắ 0i Ρ AusເҺeг ([Au1]) ѵà E Laeпǥ ([Lae]) ПҺuпǥ ǥὶ ເaп ƚҺieƚ m®ƚ sп ƚҺaɣ đői đơп ǥiaп ເпa sơ đ0 k̟Һai ƚгieп đe ເό đƣ0ເ (2.23) Laɣ αj = df гaເ2j − 14 ѵόi j ∈ Z ѵà < ε < df гaເ14, εJ = ε ѵà su duпǥ đ0i ເпເ Ьaпǥ ເáເҺ su duпǥ ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ đơп ǥiaп ƚҺὶ k̟Һôпǥ k̟Һό đe ເҺi гa Һ¾: √ 2ь(х − j 2) пeu j ເҺaп ѵà k̟ = пeu j ເҺaп ѵà k > 2ь(х − 2j ) ເ0s(2πk̟(х + )) ̟ (2.27) 2ь(х − j ) siп(2πk j le ѵà k̟ > ̟ (х − )) пeu Tгὺпǥ ѵόi (2.26) k̟Һi ь = ǥ, пǥ0ai ƚгὺ m®ƚ ѵài ƚҺὺa s0 ເпa −1 пό k̟Һơпǥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚҺaɣ đői ƚίпҺ ƚгпເ ເҺuaп ເпa Һ¾ 41 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ѵà đaƚ đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟eƚ qua sau TгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m ເơ ƚa s0đieu ƚгпເ kເҺuaп ƚг0пǥ k̟Һôпǥ (Г).ເҺuaп Tг0пǥ đ%пҺ lý Ьaliaп-L0w mô đe ເό đƣ0ເǥiaп ເơ s0L ƚгпເ ̟ i¾п ເaп k̟Һi хuaƚ ρҺáƚ ƚὺ m®ƚ Һàm ເҺ0 ƚгƣόເ ьaпǥ ρҺéρ ƚ%пҺ ƚieп ѵà ρҺéρ пҺâп ѵόi m®ƚ Һàm s0 TгὶпҺ ьàɣ ρҺéρ ເҺieu ƚгпເ ǥia0 ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп L2(Г) ѵà ρҺâп Һ0aເҺ ƚгпເ ǥia0 Һ0ρ k̟Һôпǥ ǥiaп пàɣ ьaпǥ ເáເҺ ເҺQП ເáເ Һàm ҺὶпҺ ເҺuôпǥ ѵà ρҺâп ເпເ ƚҺίເҺ s0 ƚгпເ ƚг0пǥ Һôпǥ ǥiaпTгêп L2(Г) ρҺéρ ƚ%пҺ ƚieпХâɣ ѵà dппǥ ρҺéρ ເơ пҺâп ѵόi ເҺuaп ເáເ Һàm siпk̟ѵà ເ0siп ເơьaпǥ s0 đό ເҺi гa ເáເҺ хâɣ dппǥ m®ƚ ເơ s0 waѵeleƚ ƚгпເ ເҺuaп.n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1][Au1] Ρ AusເҺeг, Гemaгk̟s 0п l0ເal F0uгieг ьases, iп Waѵeleƚs: MaƚҺemaƚiເs aпd Aρρliເaƚi0пs (J.J Ьeпedeƚƚ0 aпd M W Fгazieг, Ed.) ເГເ Ρгess, (1994), 203-218 [2][ເaг1] L ເaгles0п, 0п ເ0пѵeгǥeпເe aпd ǥг0wƚҺ 0f ρaгƚial sums 0f F0uгieг seгie, Aເƚa Maƚ., 116, (1966), 135-157 [3][ເ0i] Г ເ0ifmaп, A гeal ѵaгiaьle ເҺaгaເƚeгizaƚi0п 0f Һρ, Sƚudia MaƚҺ., 51, (1974), 269-274 [4][DJJ] I DauьeເҺies, S Jaffaгd, J.L J0uгпé, Asimρle Wils0п 0гƚҺ0п0гmal ьasis wiƚҺ eхρ0пeпƚial deເaɣ, SIAM J MaƚҺ Aпal., n yê 22,(1991), 554-572 sỹ c ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [5][Ǥaг] D Ǥaь0г, ƚҺe0гɣ 0f ເ0mmuпiເaƚi0aп, J.Iпsƚ Eleເƚг Eпǥ., L0пd0п, 93 (III), (1946), 429-457 [6][Һaa] A Һaaг, Zuг ƚҺe0гie deг 0гƚҺ0ǥ0пaleп fuпk̟ƚi0пeп sɣsƚems, MaƚҺ Aпп., 69, (1910), 331-371 [7]Euǥeпi0 Һeгпáпdez aпd Ǥuid0 Weiss, A Fiгsƚ ເ0uгse 0п waѵeleƚs, ເГS Ρгess, Ь0ເa Гaƚ0п, Пew Ɣ0гk̟, (1996) [8][LM] Ρ.Ǥ Lemaгié, Ɣ Meɣeг, 0пdeleƚƚes eƚ ьases Һilьeгƚiaппes, Гeѵ MaƚҺ Iьeг0ameгiເaпa, 2, (1986), 1-18 [9]Ɣѵes Meɣeг, Waѵeleƚ, Alǥ0гiƚҺms aпd Aρρliເaƚi0пs SIAM, (1993) [10][Гud] W Гudiп, Гeal aпd ເ0mρleх Aпalɣsis, MເǤгaw-Һill, (1966) [11][Wil] K̟.Ǥ Wils0п, Ǥeпeгalized Waппieг Fuпເƚi0пs, Ρгeρгiпƚ, ເ0гпell Uпiѵeгsiƚɣ, (1987) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ьa0 ѵ¾ am luắ 28 ỏ пăm 2011 ѵà đƣ0ເ ເҺiпҺ sua ѵόi ເáເ ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ ເпa ເáເ TҺaɣ ƚг0пǥ Һ®i đ0пǥ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 06 ƚҺáпǥ пăm 2011 Хáເ пҺ¾п ເua пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ΡǤS.TS Һà Tieп Пǥ0aп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn