Luận văn cơ sở groebner và một áp dụng cho phân tích nguyên sơ

i Lời am đ0a Tôi i am đ0a ằ kế iê ứu luậ ă 0à 0à u kô ù lặ i đ ài ká uồ ài liệu sử dụ iệ 0à luậ ă đà đ-ợ s đồ ý â ổ ứ ô i, ài liệu luậ ă đà đ-ợ i õ uồ ố Tái uê, ăm 2013 L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Һäເ ѵiªп ПǥuɣƠп TҺïɣ Tгaпǥ Х¸ເ пҺËп Х¸ເ пҺËп ເđa Tг-ëпǥ k̟Һ0a uê mô -ời - dẫ k0a ọ TS Tầ Пǥuɣªп Aп Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s ỉ ả0 - dẫ ậ ì TS Tầ uê A Tầ đà dà iu ời ia - dẫ iải đá ắ mắ ôi suố ì làm luậ ă Tôi i ỏ lò iế sâu sắ đế ầ Tôi i ửi i ầ ô K0a T0á, K0a Sau đại ọ T-ờ Đại ọ S- ạm - Đại ọ Tái uê - ầ ô đà am ia iả kóa ọ 2011-2013, lời ảm sâu sắ ấ ô la0 dỗ suố ì iá0 dụ, đà0 ạ0 -ờ L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z T«i i ảm T-ờ Đại ọ ô ệ ô i Tu ô Đại ọ Tái uê, ôi đa ô á, đà ạ0 điu kiệ ôi 0à kóa ọ Tôi i ảm ia đì, -ời â đà qua âm, ạ0 điu kiệ, độ iê, ổ đ ôi ó 0à iệm ụ mì Tái uê, ăm 2013 Һäເ ѵiªп ПǥuɣƠп TҺïɣ Tгaпǥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii Mơເ lơເ Tгaпǥ Lêi ເam ®0aп i Lời ảm ii Môເ lôເ iii Mở đầu -ơ Kiế ứ uẩ ị 1.1 ΡҺ©п í uê sơ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.2 ເҺiὸu độ a0 ເҺ-¬пǥ ເ¬ së Ǥг0eьпeг 2.1 TҺø ƚὺ ƚõ 2.2 ເ¬ së Ǥг0eьпeг 2.3 TҺuËƚ ƚ0¸п ЬuເҺьeгǥeг 20 -ơ â í uê sơ iđêa K [, ] e0 së Ǥг0eьпeг 27 3.1 ເ¬ së Ǥг0eьпeг ເđa ѵµпҺ K̟ [х, ɣ] 27 3.2 Tí 0á ầ uê s¬ 33 K̟Õƚ luËп 43 Tài liệu am kả0 44 Soá hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu ăm 1964, i0aka đà ii iệu kái iệm sở uẩ ắ iđêa uỗi l ừa ì ứ Mộ ăm sau, ăm 1965, uee đà đị ĩa độ lậ mộ kái iệm -ơ iđêa đa ứ mà ô ọi sở 0ee, ê -ời ầ - dẫ uee, ữa ô ò đ-a a mộ uậ 0á í sở 0ee, uậ 0á uee sở 0ee a ó u âm Đại số má í (0mue Alea) ô ụ ữu iệu ấ iu ài 0á Đại số ia0 0á ì ọ đại số L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z T0 luậ ă à, ôi ì sở 0ee mộ dụ sở 0ee đ â í uê sơ mộ iđêa đa ứ K[, ], i K mộ -ờ, e0 ài á0 "Ideal ases ad ima de0m0sii0: ase 0f w0 aiales" Lazad [3] ầ ải ói êm ằ, â í uê sơ mộ iđêa mộ ài 0á qua ọ Đại số ia0 0á ì ọ Đại số, đặ iệ â í uê sơ iđêa đa ứ i ệ số ê mộ -ờ Luậ ă a0 ồm a -ơ -ơ mộ ì mộ số kiế ứ uẩ ị luậ ă - â í uê sơ iđêa ê ia0 0á, iu à, độ a0 iđêa -ơ ì i iế sở 0ee uậ 0á uee đ ìm sở 0ee e0 uậ ữ 0ia0 [5] -ơ a ì méƚ ƚҺƚ ƚ0¸п ເđa Lazaгd ѵὸ méƚ ¸ρ dơпǥ ເđa sở 0ee iệ ìm â í uê sơ mộ iđêa đa ứ iế K [х, ɣ] ѵίi K̟ lµ méƚ ƚг-êпǥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ເҺ-¬пǥ K̟iÕп ƚҺøເ uẩ ị T0 -ơ à 0à ộ luậ ă, a luô iả iế A ia0 0á ó ị L L un Lu un Lvu Lu n Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z 1.1 â í uê sơ 1.1.1 Đị ĩa Q mộ iđêa A Ta ói ằ Q iđêa uê sơ A ếu: (i) Q iđêa ậ s A; (ii) Ѵίi a, ь ьÊƚ k̟ύ ƚҺuéເ A mµ aь ∈ Q; a ƒ∈ Q, ƚåп ƚ¹i п ∈ П sa0 ເҺ0 ьп ∈ Q 1.1.2 ѴÝ dô (i) Mäi iđêa uê ố iđêa uê sơ (ii) T0 Z, iđêa 4Z uê sơ - kô iđêa uê ố 1.1.3 ổ đ Q iđêa uê sơ A Ki đó, = Q iđêa uê ố A a ói ằ Q - uê sơ ữa, iđêa uê ố ỏ ấ A ứa Q 1.1.4 ổ đ iđêa uê ố A; Q1, Q2, , Q ( 1) iđêa - uê sơ A Ki đó, Qi - uê sơ i=1 1.1.5 Mệ đ Q mộ iđêa A sa0 Q = m mộ iđêa ối đại A Ki đó, Q iđêa uê sơ a iđêa m - uê sơ A Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.6 Đị ĩa I iđêa s A Mộ â í uê sơ I lµ méƚ ьiόu diƠп ເđa I пҺ- lµ ǥia0 ữu iđêa uê sơ A Mộ â í uê sơ I = Q1 Q2 ∩ Qп, √ ѵίi Qi = lµ ΡI iпÕu - uê 1, điu 2, , kiệ đ-ợsau: ọi â í i a uê sơối iuQiủa ỏa sơ, mÃi =ai (i) 1, 2, , iđêa uê ố đôi mộ ká au A, n (ii) j = 1, , п ƚa ເã Qj § ∩ Qi i=1 i=j Ta ói I iđêa â í đ-ợ A ếu ó ó mộ â í uê sơ đ-ợ A iả sử L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1.7 Đị lý (Đị lý du ấ ứ ấ) I mộ iđêa â í I = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qп ѵίi Qi = Ρi; i = 1, 2, , п ѵµ ѵίi √ I = QJ1 ∩ QJ2 ∩ ∩ QJп QJi = ΡiJ ; i = 1, 2, , пJ lµ Һai â í uê sơ ối iu I Ki J ®ã, п = пJ ѵµ ƚa ເã: {Ρ1 , Ρ2 , , Ρп } = {Ρ1J , Ρ2J , , J } ĩa iả sử I iđêa â í đ-ợ A, I = Q1 Q 1.1.8 Đị Q, Qi = i, i = 1, , mộ â í uê sơ ƚèi ƚiόu ເđa I K̟Һi ®ã, ƚËρ {Ρ1, , Ρп} độ lậ i ọ â í uê sơ ối iu I đ-ợ ọi ậ iđêa uê ố liê kế I, ký iệu Ass(I) 1.1.9 Đị ĩa iả sử I iđêa â í đ-ợ A ầ ối iu Ass(I) đ-ợ ọi iđêa uê ố ối iu I a iđêa uê ố ô lậ, iđêa uê ố liê kế ò lại đ-ợ ọi iđêa uê ƚè пҺόпǥ ເđa I Số hóa trung tâm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.10 Đị lý (Đị lý du ấ ứ ai) I mộ iđêa â í đ-ợ A, Ass(I) = {1, , } iả sử I = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qп √ ѵίi Q = Ρi; i = 1, 2, , п ѵµ i I = QJ1 ∩ QJ2 ∩ ∩ QJп √ ѵίi QJi = Ρi ; i = 1, 2, , J â í uê sơ ối iu I Ki đó, i i mà i iđêa uê ố ối iu I ì Qi = QJi a ầ uê sơ ứ i iđêa uê ố ô lậ I đị du ấ ởi I, kô ụ uộ à0 ọ â í uê sơ ối iu L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1.11 Đị lý Mọi iđêa s 0ee đu ó â í uê sơ, d0 ó â í uê sơ ối iu đa ứ A[1, , ] 0ee 1.1.12 Đị lý (Đị lý sở ile) iả sử A 0ee Ki đó, 1.1.13 í dụ iả sử K mộ -ờ A = K [, ] đa ứ ເ¸ເ ьiÕп х, ɣ Ta ເã: 2Σ Σ хɣ, ɣ = s¬ (х, ɣ) ƚiόu ∩ (ɣ)ເđa = Iх,=ɣ , ()2 Lại ó, , 2)ai = (,â ) êí Ass(I)uê = {() , (,ối )}, () iđêa uê I ố ô lậ (ối iu) I (, ) iđêa uê ƚè пҺόпǥ ເña Σ 2 = (х, ( ) √ MƯпҺ ®ὸ sau ®-a гa mèi liê ệ iữa iđêa uê sơ i địa -ơ óa ເҺό ý, ѵίi S = A \ Ρ lµ ƚËρ â A, I iđêa A, a k̟ý ҺiÖu IΡ = S −1 I √ 1.1.14 Mệ đ iả sử Q iđêa uê sơ A ѵίi Q = Ρ, Ρ ∈ Sρeເ(A) K̟Һi ®ã: (i) ếu  ì = Q = AΡ (ii) ПÕu Ρ ⊆ Ρ ƚҺ× ΡΡ ∩ A = Ρ ѵµ QΡ =Q Số hóa trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.2 iu độ a0 Ρ0 ⊃ Ρ1 ⊃ Ρ2 ⊃ ⊃ Ρп ເña A đ-ợ ọi mộ í uê ố ó độ 1.2.1 Đị ĩa (iu Kull) Mộ dà iảm s iđêa uê ố dài ậ ê độ dài ấ ả í uê ố A đ-ợ ọi iu Kull A, a iu A Kí iệu dim A 1.2.2 Đị ĩa iả sử mộ iđêa uê ố A iu iđêa iu A/ , ký iệu dim iả sử I mộ iđêa ấ k A ì dim I = su {dimΡ | Ρ ∈ Ѵ (I)} , ƚг0пǥ ®ã Ѵ (I) ậ iđêa uê ố A ứa I dà iảm s iđêa пǥuɣªп ƚè Ρ = Ρ0 ⊃ Ρ1 ⊃ Ρ2 ⊃ 1.2.3 Đị ĩa iả sử mộ iđêa uê ố A iu dài l ấ mộuấ , đ-ợ ọi độ a0 , kí iệu iả sö I L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iđêa A Độ a0 iđêa I , kí iệu I , đ-ợ ởi ô ứ I = if{ | (I)} Mệ đ sau ắ lại mộ số í ấ iu độ a0 1.2.4 Mệ đ (i) iả sử K mộ -ờ Ki ®ã, dim K̟ [х1, , хп] = п ѵµ пÕu m iđêa ối đại K[1, , ] ì Һƚ m = п (ii) ПÕu (A, m) lµ méƚ địa -ơ ì dim A = m (iii) mộ iđêa uê ố A, ki ®ã dim AΡ = Һƚ ΡA Ρ = Һƚ Ρ (iv) Tг0пǥ miὸп ρҺ©п ƚÝເҺ duɣ пҺÊƚ D, mäi iđêa uê ố ó độ a0 iđêa í 1.2.5 Đị lý (Đị lý iđêa í Kull) iả sử A mộ 0ee, I iđêa s A si ởi ầ Ki (I) iđêa uê ố Q = Ρ1 ⊂ Ρп = Ρ sa0 ເҺ0 i = i+1, i, đ-ợ 1.2.6 Đị ĩa Q iđêa uê ố A Mộ dà mộ iđêa uê ố iữa iữa i ọi mộ dà uê ố Ã0 0à Q ếu i i, kô ồi+1ại Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ta ói ằ A aea ếu i iđêa uê ố Q A luô ại mộ dà uê ố Ã0 0à iữa Q dà uê ố Ã0 0à iữa Q đu ó u độ dài í dơ, ѵµпҺ K̟ [х1, , хп] lµ méƚ ѵµпҺ ເaƚeпaгɣ Đặ iệ, K[, ] làếu A mộ aea Se(A) ì a ó dim A = dim A/ + aea ê ếu Se(K[, ]) iđêa uê ố iu ì = D0 đó, e0 Mệ đ 1.2.4(i) ì iđêa í Từ đó, a ứ mi đ-ợ kế sau 1.2.7 Mệ đ iả sử = I = (f0, , fk̟) ƒ= K̟[х, ɣ], ѵίi f0, , fk̟ ∈ K̟ [х, ɣ], K̟ lµ méƚ ƚг-êпǥ K̟Һi ®ã, U ເ LП {fi } = пÕu ѵµ ເҺØ пÕu dim I = ເҺøпǥ miпҺ (⇒) Ѵ× I = ê dim I = 0ặ dim I = ПÕu dim I = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ì ại iđêa uê ố sa0 I dim = ì K[, ] mi â í du ấ ê iđêa í D0 = (q), q K̟[х, ɣ] D0 ®ã q|fi ѵίi mäi i = 0, , k Điu ô lý i iả iế U ເ LП {fi } = Ѵ× ѵËɣ dim I = (⇐) Ǥi¶ sư U ເ LП {fi } = Ki ại đa ứ ấ k̟Һ¶ quɣ d ∈ K̟ [х, ɣ] ƚҺáa m·п d|fi i i = 0, , k Điu k é0 e0 I (d) ì d ấ kả qu ê (d) iđêa uê ố Mặ ká dim I = ê (d) iđêa ối đại D0 (d) = ô lý i Đị lý iđêa í Kull D0 U L {fi } = iả sử I iđêa iu A ậ é ằ, ỉ ó iđêa ối đại iđêa uê ố ứa I D0 đó, ếu A 0ee ì I ỉ ó iđêa uê ố liê kế iđêa ối đại kô ó iđêa uê ố a ói ká, I iu diễ du ấ ia0 iđêa uê sơ Đặ iệ, mộ iđêa K [, ] ó â í uê sơ du ấ ếu đa ƚҺøເ ƚг0пǥ ƚËρ siпҺ ເđa пã пǥuɣªп ƚè ເïпǥ пҺau Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ເҺ-¬пǥ ເ¬ së Ǥг0eьпeг A = K̟ [х1, х2, , ] = K [], K mộ -ờ iđêa A T0 -ơ à, a iê ứu sở 0ee ii đa ứ ó đ-ợ iu diễ ởi mộ ậ si ồm ữu đa ứ, ọi sở Ta ó ƚҺό ເҺØ гa г»пǥ, ѵίi ьÊƚ k̟ύ méƚ ƚËρ siпҺ ữu à0 mộ 0ee I 2.1 TҺø ƚὺ ƚõ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iđêa I A đu ó dù uậ 0á đ iế đổi mộ sở 2.1.1 Đị ĩa iả sử mộ ứ 0à ầ ê ậ T ấ ả ứ K[] Tứ đ-ợ ọi ứ ếu ó ỏa mà ƚÝпҺ ເҺÊƚ sau: (i) Ѵίi mäi m ∈ T, ≤ m, (ii) ПÕu m1, m2, m ∈ T mµ m1 m2 ì mm1 mm2 2.1.2 ổ đ Mộ ứ 0à ầ ê T ứ ố ki ỉ ki dà ứ ƚҺὺເ sὺ ǥi¶m: m1 > m > m > đu dừ (sau ữu ầ ử) ứ mi ếu kô ứ ố ì ại ậ T sa0 Ь Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 3.1.6 Ьỉ ®ὸ ПÕu Ǥi+1 = i = 0, , k̟ − Lເ(f i ) LC(f i+1 ) ƚҺ× i+1.fi+1 (fi, fi1, , f0) i L(fi) ứ mi ố đị i {0, , k} Từ ổ ®ὸ 3.1.5 ƚa ®-ỵເ Ǥi+1 =LC(f ∈ i+1 ) K̟[х] K̟Һi Һ = Ǥi+1 fi+1 − ɣ d(fi+1 )−d(fi ) fi đó, mộ ầ I ì F mộ sở 0ee I ê Đị lý 2.2.11 k̟Ð0 ƚҺe0 Һ → Ѵ× ѵËɣ, ƚҺe0 Mệ đ 2.2.8, -ơ 2, a ó: F =Һ − Σ ເj lເ (fj) Tjfj j=0 ƚг0пǥ ®ã i j, j K, fj F , Tj K[, ] ma{l(Tj.fj)} = l() Te0 đị пǥҺÜa ເña Һ, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z lƚ(Һ) < ɣd(fi+1) ≤ lƚ(fi+1) Ѵ× ѵËɣ, ѵίi mäi j > i, ເj = ì F đ-ợ sắ ế e0 iu ă ứ kởi đầu Te0 đó, a đ-ợ, Ǥi+1 fi+1 = ɣ d(fi+1 )−d(fi ) fi i + Σ j=0 ເj lເ (fj) Tjfj K̟Һi ®ã suɣ гa: Ǥi+1fi+1 ∈ (fi, fi−1, , f0) 3.1.7 Ьỉ ®ὸ Ѵίi mäi i = 0, , k̟ , ƚa ເã ρгimρaгƚ(f0) ເҺia ҺÕƚ fi ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 Ρ = ρгimρaгƚ(f0) Һiόп iê ia ế f0 iả sử j K [, ] Te0 ổ đ 3.1.6, ại k j, , k̟0 ∈ K̟ [х, ɣ] sa0 ເҺ0 Ρ ເҺia ҺÕƚ f j, ѵίi mäi j ≤ п < k̟ K̟Һi ®ã ѵίi mäi j ≤ п, fj = Һ jΡ , Ǥj+1fj+1 = k̟ jfj + k̟j−1.fj−1 + + k0f0 Kế ợ i iả iế qu ạ, a đ-ợ: j+1fj+1 = (kjj + kj1j1 + + k00) D0 đó, ia ế j+1fj+1 ì uê sơ K[, ] j+1 K[] пªп Ρ ເҺia ҺÕƚ fj+1 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 3.1.8 Ьỉ ®ὸ ПÕu U ເ LП {fi } = ƚҺ× ѵίi mäi i = 1, , k̟ , Lເ (fi ) ເҺia ҺÕƚ fi ເҺøпǥ miпҺ ПÕu U ເ LП {fi } = ì ừđị ổ đ 3.1.7 La(fđ-ợ, = ima(f Ki ®ã,mäi f0 ∈ ≤ K̟ [х] ѵµ 0) = 1ҺÕƚ ƚҺe0 пǥҺÜa, = г»пǥ f0 Ρ Ǥi¶ ເ(fj) ҺÕƚ ເҺia fj ѵίi п< k̟ K̟Һi ®ã, Ьỉ ®ὸ 3.1.5 ເҺØ0)гa Lເsö (fj)LເҺia fi ѵίi mäi i ≤ j ìj ậ ại i K[, ] sa0 ເҺ0 fi = Һi.Lເ(fj) K̟Һi ®ã Ьỉ ®ὸ 3.1.6 ເҺØ гa: Ǥj+1fj+1 = k̟jfj+k̟j−1fj−1+ +k̟0f0 = Lເ(fj).(k̟jҺj+k̟j−1Һj−1+ +k̟0Һ0) ѵίi k̟0, k̟1, , k̟j ∈ K̟[х, ɣ] D0 ®ã, LLເເ (f(fj+1)) j fj+1 = Lເ (fj ) l L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚг0пǥ ®ã l ∈ K̟[х, ɣ] K̟Һi ®ã Lເ(fj+1) ເҺia ҺÕƚ fj+1 ѵίi mäi j < k̟ 3.1.9 Ьæ ®ὸ ПÕu U ເ LП {fi } = ƚҺ× L (fk ) = ứ mi ì i j = 0, , k̟ − 1, Lເ(fj+1) ເҺia ҺÕƚ L(fj) L(fj) ia ế fj ê ki L(f k̟ ) ເҺia ҺÕƚ fj ѵίi mäi j ≤ k̟ K̟Һi ®ã U ເ LП {fi } = k̟ Ð0 ƚҺe0 Lເ (fk̟ ) = Suɣ гa điu ải ứ mi sử đị lý đ i U ເ LП {fi } = ХÐƚ ƚг-êпǥ Һỵρ U L {fi } = Ki ại D K [, ] sa0 i i ứ mi Đị lý 3.1.3 iả = 1, 2, , k̟ , ƚa ເã: fi = DFi ѵµ UເLП (F0, F1, , Fk̟) = TҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ {F0, F1ѵίi , ,{F Fk0̟ }, lµ së FǤг0eьпeг ເđa0ǤJ1= (Fk0+1 , F1, ,Fk= ) đị lýsu đ F10ơ ,) , Ta ì ó ối F0iu =là k }.à ̟ ɣѵίi ρгimρaгƚ(F ) гa Һ | ເ 0пƚeпƚ(F K [х] m0пiເ iп пªп Һ ̟ 0 = =ữa, k+1 = đ-ợ su a U L {Fi} = ữa0 i1.mọi 0, 1,Ρ ,= k1̟ , ѵµ ƚa ເã: Fi = ΡҺiǤ i+1 Ǥk̟+1, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 i i đ-ợ đị ĩa - Đị lý 3.1.3 L-u ý ằ i i = 1, , k̟, ƚa ເã: fi = D.Һi.Ǥi+1 k Đặ iệ, f0 = D.1 k ®ã Ǥ1, , Ǥk̟ ∈ K̟[х], suɣ гa D = d =iima(f K[] ì fk = i D.đó, dmọi k 0) d) k = i k̟ , ƚг0пǥ m0пiເ ɣ, d = ເ0пƚeпƚ(f i =0, ®ã 1, , k̟ , k̟ пªп d = Ǥ k̟ +1 ̟ K fi = ρҺiǤi+1 Ǥk̟+1 ƚг0пǥ i m0i i , i i = 0, 1, , k̟ − 1, Lເ (D) Lເ (Fi) = L ເ (f i+1) Lເ (fi) = i+1, L (D).L (Fi+1) D0 đị lý đ i {fi } fi i } = 1, Ρ = ρгimρaгƚ(f0 ), â a ứ mi -ờ ợ U LП {f Ǥk̟+1 = ເǥiê, 0пƚeпƚ(f ̟ Һi ®ã, k̟), i i = 0, 1, , k , Һi = i K LC(f ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z = = k+1 đ-ợ su a ổ đ 3.1.7 3.1.9 ữa, e0 ổ đ 3.1.8, Һi ∈ K̟[х, ɣ] lµ m0пiເ iп ɣ K̟Һi ®ã ѵίi mäi i ≤ k̟, Lເ (fi) Lເ (fi+1) Lເ (f k̟ −2) Lເ (fk̟ −1) f = Һ Lເ(f ) = Һ i i i Lເ (fk̟) i Lເ (fi+1) Lເ (fi+2) Lເ (fk1) ằ iả - â u iế đổi a đ-ợ L(fk) = e0 ổ ®ὸ 3.1.9, ƚa ®-ỵເ: fi = ΡҺiǤi+1 Ǥk̟+1 Lເ(fi) ƚг0пǥ i i = 0, , k ì i+1 = LC(f ) K[] e0 ổ đ i+1 3.1.5 ѴÝ dơ sau sÏ ເҺØ гa ເÊu ƚгόເ ເđa mộ sở 0ee ối iu - đà đ-ợ mô ả Đị lý 3.1.3, a iả sử K̟ = Г, ƚËρ ເ¸ເ sè ƚҺὺເ 3.1.10 ѴÝ dơ ເҺ0 F = {f0 , f1 , f2 , f3 }, ƚг0пǥ ®ã f0 = х7, f1 = ɣ2х5 − ɣх6, f2 = ɣ4х − ɣ3х3, f3 = ɣ6 − ɣ5 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 Һiόп пҺiªп, = Ǥ4 = ເ0пƚeпƚ(f3) = Ρ = ρгimρaгƚ(f0) ѵµ Ǥi+1 = Lເ(fi) LC(f i+1) suɣ гa Ǥ1 = х2, Ǥ2 = х4, Ǥ3 = х D0 ®ã, Һ0 = 1, Һ1 = ɣ2 − ɣх, Һ2 = ɣ4 − ɣ3х2, Һ3 = ɣ6 − ɣ5 3.2 TÝпҺ 0á ầ uê sơ 3.2.1 ổ đ I = (f0 , , fk̟ ) ƚг0пǥ ®ã F = {f0 , , fk̟ } ⊆ K̟ [х, ɣ] mộ sở 0ee ối iu I F đ-ợ sắ ế e0 iu ă ứ kởi đầu UL {fi} = ếu j j đ-ợ đị ĩa - Đị lý 3.1.3 ƚҺ× ѵίi mäi j = 1, , k̟, ƚa ເã I ⊆ (Һj, Ǥj) j+1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 3.1.3, fi = ΡҺiǤi+1 Ǥk̟+1 Ѵ× ѵËɣ, пÕu i ≤ j ƚҺ× fi ∈ (Һj, Ǥj) ПÕu i > j, ເҺøпǥ mi ố đị j {1, , k } ọ i {0, , k} Te0 Đị lý a ເҺøпǥ miпҺ Һi ∈ (Һj, Ǥj) Quɣ п¹ρ ƚҺe0 п, ƚг0пǥ ®ã i = j + п ХÐƚ Lເ(f j) ) fj+1 j+1 ѵµ Ǥj+1 = LC(f п = ì j+1 = LC(f ê, ) j+1fj+1 = L(fj).j+1 Te0 kế ổ đ 3.1.6, L(fj).j+1 = kjfj + + k̟0f0 ѵίi k̟0, k̟1, , k̟j ∈ K̟[х, ] ia ả ế đẳ ứ ê L(fj) e0 â d F , a ເã: Һj+1 = k̟ jҺj+k̟ j−1Һj−1Ǥj+k̟ j−2Һj−2Ǥj−1Ǥj+ +k̟ 1Һ1Ǥ2 Ǥj+k̟ 0Һ0Ǥ1 Ǥj K̟Һi ®ã, ѵίi mäi m ≤ j, Һj+1 ∈ (Һj, Һj−1, , Һm+1, Һm, Ǥm) Suɣ гa, Һj+1 ∈ (Һj, Ǥj) Ǥi¶ sư ѵίi l < п, Һj+l ∈ (Һj, Ǥj) ХÐƚ Һj+п ເã, Һj+п ∈ (Һj+п−1, Һj+п−2, , Һj+1, Һ j, Ǥ j) , Số hóa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 e0 iả ƚҺiÕƚ quɣ п¹ρ, Һj+п−1, Һj+п−2, , Һj+1 ∈ (Һj, Ǥ j) D0 ®ã, Һj+п ∈ (Һj, Ǥj) ѵίi mäi п ∈ П Suɣ гa, Һi ∈ (Һj, Ǥj) ѵίi i j Ki i i j, fi (j, j) Đị lý sau ấ s iu diễ iđêa ối đại ứa I = (f0, , fk ) iđêa ối đại sở ì í 0á ầ uê sơ I 3.2.2 Đị lý F = {f0 , , fk̟ } ⊆ K̟ [х, ] đ-ợ â d - Đị lý 3.1.3 U ເ LП {fi } = K̟Һi ®ã, Ýƚ пҺÊƚ méƚ ເỈρ Ǥi, Һi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (i) Mộ iđêa ối đại ứa ấ ả fi ki ỉ ki iđêa ứa (ii) Mộ iđêa ối đại ứa F đ-ợ si ởi mộ â ấ kả qu u() i K[] mộ â ấ kả qu (, ) i m0đu u() ứ mi (i) ọi m mộ iđêa ối đại ƚг0пǥ K̟[х, ɣ] sa0 ເҺ0 F ⊆ m TҺe0 ເҺøпǥ mi Đị lý 3.1.3, a ó: f0 = k+1 ∈ m k̟Ð0 ƚҺe0 ƚåп ƚ¹i j ≤ k̟ + sa0 ເҺ0 Ǥj ∈ m Ǥäi l lµ sè lίп пҺÊƚ sa0 ເҺ0 Ǥl ∈ m K̟Һi ®ã, fl = ΡҺlǤl+1 Ǥk̟ +1 suɣ гa Һl ∈ m Пǥ-ỵເ lại, ếu l, l m ì ổ đ 3.2.1 a đ-ợ F m (ii) m mộ iđêa ối đại K [, ] ứa F , ki e0 (i), ại i {1, , k̟ } sa0 ເҺ0 (Ǥi, Һi) ⊆ m D0 đó, m ứa mộ ầ ấ kả qu u() ເña Ǥi ХÐƚ ρҺÐρ ເҺiÕu sau: φ : K̟ [х] [] (K [] / (u ())) [] Đặ L = K[]/(u()), su a (m) mộ iđêa ối đại L[] (i) (m) Ki đó, (m) ứa mộ ầ ấ kả qu (i) ເҺäп Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 ѵ(х, ɣ) ∈ K̟[х, ɣ] sa0 ເҺ0 φ(ѵ(х, ɣ)) = ì ậ ê (u()) m, (, ) m ữa, L[]/ (((, ))) mộ -ờ ì L[] mộ mi uê iđêa í (((, ))) ối đại Te0 đị lý đẳ ấu, a ó L[]/ (((, ))) đẳ ấu i K[, ]/ (u(), (, )) D0 đó, (u(), (, )) ối đại ѵµ ь»пǥ m suɣ гa I = (f0, f1, , fk ) mộ iđêa iu K [, ] D0 đó, I kô Ta đ ý ằ điu kiệ Đị lý 3.2.2 fi kô ó - u, ó iđêa uê ố ữa, ì ầ uê ố I mộ iđêa ối đại ê ó ó đ-ợ í 0á - Đị lý 3.2.2 í iu si ởi F = {f0 , f1 , f2 , f3 } ⊆ [, ] í dụ 3.1.10 dụ sau đâ sử dụ Đị lý 3.2.2 đ đị iđêa ối đại ứa iđêa 3.2.3 í dụ I = (f0, f1, f2, f3) ƚг0пǥ ®ã, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z f0 = х7, f1 = ɣ2х5 − ɣх6, f2 = ɣ4х − ɣ3х3 , f3 = ɣ6 − ɣ5 Ǥäi Ǥ1 = х2, Ǥ2 = х4, Ǥ3 = х, Һ1 = ɣ2 − ɣх, Һ2 = ɣ4 − ɣ3х2 ѵµ Һ3 = Ki đó, iđêa ối đại ເҺøa I lµ: m1 = (х, ɣ) ѵµ m2 = (х, ɣ − 1) , ƚг0пǥ ®ã (Ǥ1, Һ1) , (Ǥ2, Һ2) , (Ǥ3, Һ3) ⊂ m1 ѵµ (Ǥ3, Һ3) m2 Tuậ 0á sau í 0á ầ uê sơ iđêa I ó số iu kô Tuậ 0á (f0, f1, ối , fiu mộ iđêa iu ủaĐị K [, ] , 3.1.3 đ-ợ ởik mộ k ) làâ sở 0ee d lý ѵίi ΡǤ 1, +1 = ѵµ ເҺ0 (u(х), ѵ(х, ɣ)) mộ iđêa ối đại ứa f , đ-ợ í 0á i Đị lý 3.2.2 Iu: (f0, f1, , fk); (u(), (, )) 0uu: Mộ sở ầ uê sơ I -ơ ứ i (u(), (, ɣ)) Ьeǥiп: ГEΡLAເE f0 ьëi u(х)m Số hóa trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 m lίп пҺÊƚ sa0 ເҺ0 u(х)m |f0 Ьiόu diÔп Һk̟ d-i w(, )(, ) + z(, )u() (, ) w(, ) uê ố ù au môđu u() Tìm s (, ) môđu u() w(, ) môđu u() sa0 k s môđu u()m ELAE k ởi s EM0E fi ∈ {f1 , , fk̟ −1 } ƚг0пǥ ®ã u()m |fi 0ặ s|fi Đ em s đ-ợ í 0á ế à0 - uậ 0á ê, a em é mệ đ sau 3.2.4 MƯпҺ ®ὸ ເҺ0 A = K̟ [х, ɣ], ƚг0пǥ ®ã K̟ lµ méƚ ƚг-êпǥ ເҺ0 m = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (u(), (, )) mộ iđêa ối đại A u() ấ kả qu K [], (, ) ấ kả qu ê -ờ L = K̟ [х]/(u(х)) LÊɣ Һ ≡ ѵ(х, ɣ)пw(х, ɣ) môđu u(); w uê ố ù au môđu u Ki đó, i số uê , ại sг(х, ɣ) ѵµ ƚг(х, ɣ) sa0 ເҺ0 sг ≡ ѵп môđu u, w môđu u s môđu u ứ mi Qu e0 ếu г = 1, ƚҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ ƚa ເã s1(х, ɣ) = (, às = w(, ) sử đ i , ki s môđu u 1(, 0)đó )môđu u,.iả w môđu u D0 đó, − sгƚг ∈ (u ) ເҺ0 Һ − sгƚг = u.z, z K [, ] ì s môđu u w môđu u, s = (s) = () uê ố ù au L[], đ-ợ đị ĩa - ứ mi Đị lý 3.2.2(ii) ì ậ ại sa0 s. + . = г φ (α) = ѵµ α, φβ(β) =[ɣ] β, ó s+1 = sđ-ợ + zu ; +1 = uậ + zu0á i iê,Đặ L [] L ìm e0 Eulide s+1đó s môđu u +1 môđu u Ki đó, s+1+1 = s + (sгα + ƚ г β) zuг + αβz u2г Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 Têm ữa, a ó s. + . = ê sгα + ƚгβ = + au ѵίi a ∈ K̟[х, ɣ] D0 ®ã, г 2г sг+1ƚг+1 г+1 = sгƚг + (1 + au) zu + αβz u = sгƚг + zuг + azuг+1 + αβz2u2г = Һ + azu+1 + z2u2 , s+1+1 môđu u+1 + αβz u ∈ uг+1 Ѵ× ѵËɣ, azu L-u ý ằ ứ mi ê - qu đ-ợ sử dụ 2 - Đị lý 3.1.3 đ dầ dầ iế lậ sm m ®ã m lµ sè lίп пҺÊƚ sa0 ເҺ0 um|f0 Đị lý sau ỉ a ằ â í uê sơ iđêa iu 0 K[, ] ó đ-ợ í 0á e0 uậ 0á ê L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 3.2.5 Đị lý I = (f0 , f1 , , fk̟ ) ƚг0пǥ ®ã F = {f0 , f1 , , fk̟ } ⊆ K̟ [х, ɣ] lµ méƚ sở 0ee ối iu I đ-ợ â d - Đị lý 3.1.3 UL {fi} = Ki ứ dụ uậ 0á iđêa m đ-ợ í 0á Đị lý 3.2.2 ỉ a ầ uê sơ m â í uê sơ I ứ mi ì I mộ iđêa iu 0 0ee A = K [, ] ê ầ uê ố ối iu I iđêa ối đại, a ỉ a ằ I ó mộ â í uê sơ kô ọ ®-ỵເ duɣ пҺÊƚ пҺ- sau: I = QJ1 ∩ QJ2 QJ , i i = 1, , г, QJi = mi lµ méƚ iđêa ối đại ứa I Ki mi = (u, ), i j , u mộ â ấ kả qu j mộ ầ ấ kả qu (K [] / (u)) [], đ-ợ iế lậ - Đị lý 3.2.2 Điu ỉ a ằ 0uu ứ i, Qi mi - uê sơ ằ QJi ố đị i mi = m = (u, ) lµ iпρuƚ ƚҺø i ѵµ Qi = Q lµ 0uƚρuƚ -ơ ứ Ki đó, Q = (um, f1, , fk1, s) , m s đ-ợ mô ả - uậ 0á ê a ó: Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 um ∈ Q ѵµ s = ѵп + qu ∈ Q √ suɣ гa ѵ пm = (s − qu)m ∈ Q Ѵ× Q m ì m iđêa ối đại ê √ Q = m k̟Ð0 ƚҺe0 Q lµ m - uê sơ Đ ứ mi Q = QJi , - iê a ỉ a ằ I, Q QJi ó ù địa -ơ óa ại m Te0 Mệ đ 1.1.14(i),a ເã (QJj )m = Гm ѵίi mäi j ƒ= i Ki đó, Lại ó I Q ì Im = (QJ1 )m ∩ ∩ (QJг )m = (QJi )m um |f0 ѵµ fk̟ = Һk̟ = sƚ + ρum L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z m miпҺ Q m ⊆ Im, ƚa ເÇп ເҺØ гa г»пǥ u , s ∈ Im ì õ f1 , f2, , fk1 uộ đ-ợ đị ĩa m uậ 0á ì ậ, Imm Qm Đ ứ ữa, Im ì m lµ lίп пҺÊƚ sa0 ເҺ0 u |f0 ∈ K̟ [] ê su a u Im s = k um Im, e0 đị ĩa ເđa ƚ, ƚ ƒ∈ m K̟Һi ®ã, tsƚ = s ∈ Im ѵµ Im = Qm = (QJi )m D0 ®ã, ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 1.1.14(ii), QJi = A ∩ (QJi )m = A ∩ Qm = Q ເ¸ເ ѵÝ dơ sau ເҺØ гa øпǥ dơпǥ ເđa ƚҺƚ ƚ0¸п Tг0пǥ í dụ 3.2.6, F đị - í dụ 3.1.10 3.2.3, K = ƚг-êпǥ ເ¸ເ sè ƚҺὺເ Σ 3.2.6 ѴÝ dơ ເҺ0 I = х , ɣ х − ɣх , ɣ х − ɣ х , ɣ − ɣ 3 ѵµ ǥäi Ǥ1 = х2; Ǥ2 = х4; Ǥ3 = х, Һ0 = 1; Һ1 = ɣ2 − ɣх; Һ2 = ɣ4 − ɣ3х2; Һ3 = ɣ6 − ɣ5 K̟Һi ®ã, m1 = (х, ɣ) ѵµ m2 = (х, ɣ − 1) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 ເ¸ເ ầ uê sơ I đ-ợ ìm ằ ¸ρ dơпǥ ƚҺƚ ƚ0¸п Һai lÇп I Iпρuƚ: m1 = (, ) Kô a đổi ì f0 = Ta ế ởi ì kô ia ế = 5( 1) Kô a đổi ì ả f1 f2 đu kô ia ế f0 Һ0Ỉເ Һ3 mίi 0uƚρuƚ: Q1 = Σ х7 , f , f , ɣ II Iпρuƚ: m2 = (х, ɣ − 1) K̟Һ«пǥ ƚҺaɣ ®ỉi TҺaɣ ƚҺÕ Һ3 ьëi ɣ − ì kô ia ế = 5( 1) Σ 0uƚρuƚ: Q2 = K̟Һi ®ã, х7 , f , f , ɣ − Σ I= L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Kô a đổi ì ả f1 f2 đu kô ia ế f0 Һ0Ỉເ Һ3 mίi х7, ɣ2х5 − ɣх6, ɣ4х − 33, mộ â í uê sơ I Σ ∩ х7, ɣ2х5 − ɣх6, ɣ4х − ɣ3х3, ɣ − 3.2.7 ѴÝ dô ເҺ0 I = (f0, f1, f2) ∈ Г[х, ɣ], ƚг0пǥ ®ã, f0 = х3 + х, f1 = ɣх2 + ɣ − х2 − 1, f2 = ɣ2 − 2х2 − K̟Һi ®ã, Ǥ1 = х, Ǥ2 = х2 + 1, Һ1 = ɣ − 1, Һ2 = ɣ2 − 2х2 − §ÞпҺ lý 3.2.2 suɣ гa Σ Σ m1 = (х, ɣ − 1) , m2 = х2 + 1, ɣ − х , m3 = х2 + 1, + m1 ứa (1, 1), ả m2 m3 đu ứa (2, 2) Quá ì í 0á ầ uê sơ đ-ợ diễ ả - sau: I Iпρuƚ: m1 = (х, ɣ − 1) TҺaɣ ƚҺÕ f0 ьëi х TҺaɣ ƚҺÕ Һ2 ьëi ɣ − ѵ× Һ2 = (ɣ − 1)(ɣ + 1) − 2х2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 L0ại ỏ f1 ì f1 = ( − 1)(х2 + 1) 0uƚρuƚ: Q1 = (х, ɣ − 1) Σ II Iпρuƚ: m2 = х2 + 1, ɣ − х TҺaɣ ƚҺÕ f0 ьëi х2 + TҺaɣ ƚҺÕ Һ2 ьëi ɣ − х ѵ× Һ2 = (ɣ − х) (ɣ + х) − х2 + Σ L0¹i ьá f2 Σ 0uƚρuƚ: Q2 = х2 + 1, ɣ − х Σ III 0uƚρuƚ: Input: m x23+ƚ-¬пǥ 1, y +ƚὺ x ρҺÇп Q33 == m II Σ Σ Ѵ× ѵËɣ, I = (х, ɣ − 1) ∩ х2 + 1, ɣ − х ∩ х2 + 1, + mộ â í uê s¬ ເđa I L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 3.2.8 ѴÝ dô ເҺ0 I = (f0, f1, f2) ∈ Г[х, ɣ], ƚг0пǥ ®ã Σ Σ f0 = ɣх2 х3 − 2х2 + х , f1 = ɣх2 хɣ2 + 4хɣΣ + 4х , f2 = ɣх2 ɣ3 + 12х2ɣ − 24хɣ − 16х2 + 32х fIi lµ méƚ iđêa mộ iu ì I () ó D = U L {fi } = Đặ i = K ̟ Һi ®ã, J = (ǥ , , ) mộ iđêa iu ì ậ, uậ 0á ó dụ iđêa ối đại ứa J Đối ѵίi J, ເã D Ǥ1 = (х − 1)2, Ǥ2 = х, Һ1 = (ɣ − 2)2, Һ2 = ǥ2 = 3+12224162+32 Ki đó, Đị lý 3.2.2 ỉ a m1 = (х − 1, ɣ − 2) ⊃ (Ǥ1, Һ1) , m2 = (х, ɣ) ⊃ (Ǥ2, Һ2) Qu¸ ì í 0á ầ uê sơ J пҺ- sau: I Iпρuƚ: m1 = (х − 1, ɣ −2) TҺaɣ ƚҺÕ ǥ0 ьëi (х − 1)2 TҺaɣ ƚҺÕ Һ2 ьëi (ɣ − 2)2 ѵ× Һ2 = (ɣ − 2)2 (ɣ + 4) + (12ɣ − 16) (х − 1)2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 L0ại ì(1)2,2) | = ( 2)2 Output: Q1ьá = ǥ.1 (x (y −12)2Σ II Iпρuƚ: m2 = (х, ɣ) TҺaɣ ƚҺÕ f0 ьëi х ѵ× ǥ0 = х.(х − 1)2 TҺaɣ ƚҺÕ Һ2 ьëi ɣ3 ѵ× Һ2 = ɣ3 + х.(12хɣ − 24 16 + 32) L0ại ỏ ì х|ǥ1 = х(ɣ − 2)2 Σ 0uƚρuƚ: Q = х, ɣ Σ K̟Һi ®ã, J = (х − 1) , (ɣ − 2) , mộ â í uê sơ J ó (D) = () mộ â í uê sơ (D) K̟Һi ®ã, ƚa ເã: ΣΣ Σ Σ Σ 2 I = (ɣ) ∩ х (х − 1) , (ɣ − 2) ∩ , , mộ â í I L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z L-u ý г»пǥ ƚг0пǥ ѵÝ dơ ƚгªп, () () iđêa uê ố I ì (, ) ứa ả () () Ki â í uối ù đ-ợ iu diễ - kế é ia0 iđêa uê sơ L-u ý г»пǥ пÕu ѵµ Σ 2Σ Σ 2 A = (ɣ) ∩ х ∩ (х − 1) , (ɣ − 2) ∩ х, ɣ Σ ΣΣ ΣΣ 2 Ь = (ɣ) ∩ х (х − 1) , (ɣ − 2) ∩ х, ɣ , ƚҺ× A ƒ= Ь ѵ× х2ɣ(х − 1)2 ∈ A пҺ-пǥ х2ɣ(х − 1)2 T0 í dụ sau đâ, a é mộ iđêa mộ iu kô ó ầ 3.2.9 í dô ƚг0пǥ ເҺ0 I ѴÝ = (f0, f1, f2), ƚг0пǥ fi = ( 1)2i i đ-ợ đị пǥҺÜa пҺdô 3.2.8, 2 ǥьiÕƚ −2х2 ѴÝ +х, ǥdô хɣ2 +4хɣ +4х, ǥ2(х= − ɣ3 1) +12х ɣ−24хɣ−16х 2 3+32х ПҺ- ®· = хƚг0пǥ = 3.2.8, ƚa ເã J = , (ɣ − 2) ∩ , â í uê sơ J = (0, 1, 2) Đặ D = UL {fi} = (ɣ − 1) Σ Σ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 K̟Һi ®ã, (D) = ( 1)2 (D) kô ải ầ uê sơ I ì ậ Σ Σ I = (ɣ − 1)2 ∩ (х − 1)2 , (ɣ − 2)2 ∩ х, ɣ d0 a ấ ằ uậ 0á ó đ-ợ dù đ â í iđêa K [, ] sau ki í 0á sở 0ee ối iu iđêa â í â í uê sơ du ấ đối i iđêa iu K [, ] Tu iê đối i iđêa iu mộ, â í uê sơ ó kô du ấ kô ải â í uẩ, mà â í L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ьa0 ǥåm ƚÝເҺ ia0 iđêa uê sơ Soỏ hoựa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 K̟Õƚ lп Tг0пǥ luậ ă à, ôi đà ì ệ ố kiế ứ sở 0ee, uậ 0á uee đ ìm sở 0ee, sở 0ee ối iu sở 0ee ọ Luậ ă ì ấu sở 0ee ối iu iđêa đa ứ iế K [, ] i K mộ -ờ Luậ ă ì uậ 0á Lazad â í uê sơ mộ iđêa iu kô K [, ], ì mộ số kế L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z â í uê sơ iđêa iu mộ K̟ [х, ɣ] Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 Tài liệu am kả0 [1] Lê Tuấ 0a (2003), Đại số má í: sở ă0e, Đại Һäເ quèເ ǥia Һµ Пéi [2] D.ເ0х (1991), T.Liƚƚle aпd D'0sҺea, Ideal, Ѵaгiгƚies, aпd Alǥ0гiƚҺms, Sρгiпǥeг Ѵeгlaǥ [3] Lazaгd, D (1985), "Ideal ьases aпd ρгimaгɣ deເ0mρ0siƚi0п: ເase 0f L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚw0 ѵaгiaьles", J Sɣmь0liເ ເ0mρuƚaƚi0п 1, ρρ 261-270 [4] Maƚsumuгa, Һ (1986), ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [5] K̟гeuzeг, M aпd Г0ььiaп0, L (2000), ເ0mρuƚaƚi0пal ເ0mmuƚaƚiѵe alǥeьгa 1, Sρгiпǥeг Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/