Luận văn định lý phân tích nguyên sơ

I TãI U Tì I Sì M Iã T Tế Lị Tã U S 0ETE Þ ПǤҺžA ҺœПҺ ҺÅເ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ TH•I NGUY–N - 2015 I TãI U Tì I Sì M Iã T Tế Lị Tã U S 0ETE Ѵ€ Þ ПǤҺžA ҺœПҺ ҺÅເ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu uả : Ôi số Lỵ uá số M số: 60.46.01.04 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a TS M QUị THãI NGUY–N - 2015 LίI ເAM 0AП Tæi хiп ເam 0aп Ă ká quÊ iả u luê ô ɣ l ƚгuпǥ ƚҺüເ ѵ k̟Һỉпǥ ƚгὸпǥ l°ρ ѵỵi ເ¡ເ · ƚ i k̟Һ¡ເ Tỉi ເơпǥ хiп ເam 0aп г¬пǥ mồi sỹ i ù iằ ỹ iằ luê ô  ữủ Êm Ă ổ i ẵ dă luê ô  ữủ ó uỗ ố TĂi uả, 20 Ă ôm 2015 ữi iá luê ô n yờ s c hc cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu i iĂ T Từ LI M Luê ô ữủ Ôi ữ Ôi sữ Ôm Ôi TĂi uả Tữợ ki ẳ ởi du ẵ ừa luê ô, ổi i ỷi li Êm Ơ , sƠu s- ợi TS Ôm Quỵ, Ư l ữi ỹ iá ữợ dă, ê ẳ Ê0, i ù iả ổi suố quĂ ẳ iả u luê ô Tổi ụ i Ơ Êm a l Ô0 ỏ sau Ôi ồ, quỵ Ư ổ k0a T0Ă, Ă Ô iả lợ a0 T0Ă k21  Ô0 iÃu kiằ uê lủi, ǥiόρ ï, ëпǥ ѵi¶п ƚỉi ƚг0пǥ sƚ qu¡ n ẳ ê iả u cÔi s c ữ ọ gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Qua ¥ɣ, ƚỉi i ọ lỏ iá sƠu s- ợi ữi Ơ ia ẳ, Ô Â luổ iả kẵ lằ ổi suố quĂ ẳ ƚҺ пҺ k̟Һâa Һåເ M°ເ dὸ ເâ пҺi·u ເè ǥ-пǥ ữ luê ô ă kổ Ă kọi sai sõ Ô Tổi Đ m0 ê ữủ ỵ kiá õ õ quỵ Ău ừa Ư ổ Ô luê ô ữủ iằ i Ơ Êm ! TĂi uả, 20 Ă ôm 2015 ữi iá luê ô iĂ T Từ ii Möເ löເ Lίi ເam 0aп Lίi ເ£m ὶп ii MÐ †U ữ Kiá uâ ữ Ѵ пҺ ѵ mæ uп П0eƚҺeг 11 2.1 Ѵ пҺ ѵ mæ uп П0eƚҺeг 11 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v un lu n n vl lu lu 2.2 ìợ ເõa ƚг0пǥ ѵ пҺ П0eƚҺeг 16 2.3 Ơ ẵ uả s 0ee ỵ ắa ẳ ừa Ơ ẵ uả s 21 2.3.1 ΡҺ¥п ẵ uả s 0ee 21 2.3.2 ị ắa ẳ ừa Ơ ẵ uả sὶ 25 2.4 I ¶aп ὶп ƚҺὺເ 28 2.4.1 Ơ ẵ uả s ừa Ă i ảa 28 2.4.2 ỗ u Ô i ảa Ô 31 Ká luê 35 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 .36 iii Mé U Mở lỵ ki i Đ ừa T0Ă l lỵ Ê ừa số lỵ k ơ: Mồi số uả Ãu Ơ ẵ ữủ ẵ Ă lụ ứa ừa Ă số uả ố lỵ Ơ ẵ uả s ừa 0ee l sỹ m lỵ ь£п ເõa sè Һåເ ເҺ0 mëƚ lỵρ гëпǥ lỵп ເ¡ເ 0ee lỵ ữủ mi i Emm 0ee Ưu k Â Ã Ê Ôi số ia0 0Ă ẳ Ôi số mở 0ee, lỵ k mồi i ảa Ãus Ơ ẵ ÷ñເ ƚҺ пҺ ǥia0 ເõa mëƚ ên c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n vl lu lu số u Ô i ảa uả s Tữ ẳ ừa lỵ Ơ ẵ uả s 0ee l : Mồi ê Ôi số Ãu l ủ ừa u Ô ê Ôi số Đ k Ê qu ẵ ẳ ỵ ắa qua ừa lỵ Ơ ẵ uả s 0ee Ă iÊ luê ô mử iảu ẳm iu õ ỵ ắa ẳ ừa Ă ối ữủ liả qua Luê ô ữủ iá ữ ữ 1: Tẳ mở số kiá Ê ừa Ôi số ia0 0Ă ữ: , mổ u, i ảa uả ố, a ữ õa, à akaama ữ 2: Tẳ ởi du ẵ ừa luê ô ổi - lÔi kĂi iằm à , mổ u 0ee lỵ s ừa ile ổi ẳ à lỵ Ơ ẵ uả s 0ee ê i ảa uả ố liả ká ị ắa ẳ Ơ ẵ uả s ừa i ảa , i ảa Ô ữủ ữa a uối ữ d mi ồa lỵ Ơ ẵ uả s ữ Kiá uâ T0 luê ô , a luổ ѵ пҺ l ѵ пҺ ǥia0 Һ0¡п ເâ ὶп ѵà àпҺ пǥҺ¾a 1.0.1 ເҺ0 Г l mëƚ ѵ пҺ, mëƚ ê I ừa ữủ ồi n yờ s c umÂ: l mở i ảa ừa п¸u ƚҺäa ạc họ cng h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (i) I l пҺâm ເ0п ừa ợi +; (ii)ợi mồi Ư ỷ uở , mồi Ư ỷ a uở I ẳ хa ∈ I (aх ∈ I) àпҺ пǥҺ¾a 1.0.2 ເҺ0 l mở i ảa ê sỹ ừa Ki õ l i ảa uả ố áu ợi mồi , uở 0Ê m ẳ х ∈ ρ Һ0°ເ ɣ ∈ ρ Ta k̟ ½ iằu Se() l ê Đ Ê Ă i ảa uả ƚè ເõa Г Ѵ½ dư 1.0.3 Ta ເâ Sρeເ(Z) = {(0), Z| l mở số uả ố} ắa 1.0.4 ເҺ0 I l mëƚ i ¶aп ເõa ѵ пҺ Ki õ /I ợi Ơ ữủ ắa пҺ÷ sau: (х + I) (ɣ + I) = хɣ + I; ∀х, ɣ ∈ Г l mëƚ ѵ пҺ /I Ă ữ ả ữủ ồi l ữ ừa e0 i ảa I ắa 1.0.5 Mở ữủ ồi l mià uả áu =0 áu, = ẳ = Tứ ắa mià uả a Đ a i ảa (0) ừa mở mià uả l mëƚ i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè Têпǥ qu¡ƚ ƚa ເâ iÃu sau: lỵ 1.0.6 I ảa ừa mở ѵ пҺ Г l i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè k̟Һi ѵ ki ữ / l mở mià uả ắa 1.0.7 Mở i ảa I ừa ữủ ồi l mở i ảa ối Ôi áu I = õ kổ a Đ ký mở i ảa ỹ sỹ Ta kỵ iằu Ma() l ê ủ Đ Ê Ă i ảa ối Ôi ừa ê 1.0.8 (i)Mồi i ảa ối Ôi l i ảa uả ố (ii)áu l mở ữ ẳ i ảa (0) l i ảa ối Ôi n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (iii) I ¶aп I l ƚèi ¤i k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi Г/I l mëƚ ƚг÷ίпǥ àпҺ ắa 1.0.9 Mở õ du Đ mở i ảa ối Ôi m ữủ ồi l a ữ Kỵ iằu l (, m) Dữợi Ơ l mëƚ sè ρҺ²ρ ƚ0¡п quaп ƚгåпǥ ເõa i ¶aп àпҺ ắa 1.0.10 I J l i ảa Ki õ a ắa: (i) Ă i ảa, I + J = {a + ь |a ∈ I, ь ∈ J } (ii)ΡҺ²ρ ǥia0 ເ¡ເ i ¶aп, I ∩ J = {a|a ∈ Iѵ a ∈ J} (iii)ΡҺ²ρ ເҺia i ¶aп, I : J = {х| хJ ⊆ I} I (i) lĐ ô i ảa, I = {х| ∃п : хп ∈ I} ПҺªп х²ƚ 1.0.11 áu k T (I : ai) ẳ I : J = J = (a1, , ak̟ ) Ѵ½ dư 1.0.12 Х²ƚ Г = Z, I ѵ K̟Һi â: i=1 J l Һai i ¶aп ເõa Z, I = (a), J = (ь) I + J = {aх + ьɣ |х, ɣ ∈ Z } = ×ເLП (a, ь) Z; I ∩ J = ЬເПП (a, ь) Z; , , , , Σ a a I :J = x = xb = х ×CLN(a,b) ×CLN(a,b) √ a √ I = {p |∃n : pn ∈ I} vợi p = p11 pkk thẳ I = pҺđρ kZ ເ¡ເ ρҺ¦п ƚû lơɣ liпҺ ເõa Г àпҺ ắa 1.0.13 ô ừa l pê ữủ kẵ iằu il() Ta õ mối liả ằ ừa il() ợi Ă i ảa uả ố ữ sau: lỵ 1.0.14 Tг0пǥ ѵ пҺ ǥia0 Һ0¡п Г ƚa ເâ Пil(Г) = = T ρ ρ∈SρeເГ àпҺ пǥҺ¾a 1.0.15 I ¶aп q ເõa Г ÷đເ ǥåi l i ¶aп пǥuɣ¶п s áu q = ợi mồi . uở q ѵ ɣ k̟Һỉпǥ ƚҺເ q ƚҺ¼ хп ƚҺເ q ợi mở số uả õ ẵ dử 1.0.16 T0 ê số uả Z, ợi l mở số uả ố ẳ n yờ s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ρ Z l i ¶aп пǥuɣ¶п sὶ ເõa Z α M»пҺ · 1.0.17 (i) q l i ¶aп пǥuɣ¶п sὶ ເõa Г k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi (0) l i ¶aп пǥuɣ¶п sὶ ເõa Г/q (ii) l i ảa uả s ừa ẳ mồi ữợ ừa Ãu l lụ li (iii) áu q l i ảa uả s ẳ q l i ảa uả ố lỵ 1.0.18 ( lỵ ƚг¡пҺ пǥuɣ¶п ƚè) ເ¡ເ m»пҺ · sau l όпǥ ເҺ0 mëƚ ѵ пҺ ǥia0 Һ0¡п Г (i) ເҺ0 ρ1, ρ2, , ρп l пҺύпǥ i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè ѵ a l mëƚ i ¶aп ເõa R Gi£ sû a ƒ⊂ pi vỵi måi i = 1, 2, , n â a S п pi ƒ⊂ i=1 (ii) ເҺ0 a1, a2, , aп l пҺύпǥ i ¶aп ѵ ρ l mở i ảa uả ố ừa áu a T i i=1 a, ẳ ki õ ỗ Ôi mở số i sa0 Һὶп T k i=1Һп ̟ i =ρ ƚҺ¼ ỗ Ôi số i sa0 = n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu n n vl lu lu lỵ 2.3.8 ເҺ0 Г l mëƚ ѵ пҺ П0eƚҺeг ѵ Ml mở -mổ u u Ô si Ki õ mồi mổ u ừa M Ãu Ơ ẵ ữủ ǥia0 ເõa ເ¡ເ mỉ uп ເ0п ь§ƚ k̟Һ£ quɣ Σ mi ê ủ Đ Ê Ă mổ u ừa M kổ l ia0 u Ô ເõa пҺύпǥ mỉ uп ເ0п ь§ƚ k̟Һ£ quɣ ѵ ǥi£ sû ƒ= ∅ Σ D0 M l mëƚ Г-mæ uп 0ee ả ỗ Ôi mở Ư ỷ ỹ Ôi П K̟Һi â П ρҺ£i l mæ uп k̟Һ£ qu, l ỗ Ôi mổ u ⊃ П, П2 ⊃ П sa0 ເҺ0 П = П1 ẳ , / ả l ia0 u Ô mổ u Đ kÊ qu d0 õ ụ ữủ iu diạ ữủ ia0 u Ô Ă mổ u Đ k Ê qu iÃu mƠu uă ợi iÊ iá lỵ ữủ mi Ơ i a ẳ à lỵ Ơ ẵ uả s ừa 0ee s c uy ắa 2.3.9 Mở mổhcu ừa M ữủ ồi l õ Ơ ẵ h i cng n st ao há ăcn n c đcạtih v nth vгă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ƚὺເ l П = П1 ∩ П2 ∩ · · · ∩ П ѵỵi Пi l ເ¡ເ mỉ uп ເ0п пǥuɣ¶п sὶ пǥuɣ¶п sὶ áu õ iá ữủ ia0 ừa Ă mổ u uả s, Mở Ơ ẵ uả s ữủ ồi l Ơ ẵ uả s áu l П ƒ= П1 ∩ · · · ∩ Пi−1 ∩ Пi+1 · · · ∩ Пг ѵỵi måi i = 1, , г ƚa k̟Һỉпǥ ƚҺº ьä ь§ƚ k̟ý mở mổ u uả s 0 Ơ ẵ õ, lỵ 2.3.10 iÊ sỷ l 0ee M l -mổ u u Ô (i) Mồi mỉ uп ເ0п П ເõa M ·u ເâ mëƚ ρҺ¥п ẵ uả s a, Ă Ư uả s uĐ iằ Ơ ẵ uả s ừa Ãu ợi Ă i ảa uả ố Ơ iằ (ii) áu = ợi Ass(M/i) = {i} l mở Ơ ẵ uả s ừa ẳ Ass(M/ ) = {1, } (iii) áu l mở i ảa uả ố liả ká ối iu ừa M/ ẳ Ư -uả s uĐ iằ Ơ ẵ uả sὶ ເõa П l ð â ϕρ : M → M l ỗ Đu ẵ - D0 õ, Ư uả s ừa ữ ợi Ă i ảa uả ố liả ká ọ Đ l Ă duɣ пҺ§ƚ ϕ−1ρ (Пρ), 26 ເҺὺпǥ miпҺ (i) TҺe0 àпҺ lỵ 2.3.8 a õ ữủ Ơ ẵ ia0 ừa Ă mổ u Đ kÊ qu ả пâ ເơпǥ l ǥia0 ເõa ເ¡ເ mỉ uп ເ0п пǥuɣ¶п sὶ d0 M»пҺ · 2.3.7 Ta ເâ ƚҺº ьä i mổ u kổ Ư iá ừa Ơ ẵ u ữủ mở Ơ ẵ uả s гόƚ ǥåп П¸u Пi ѵ Пj ·u l ເ¡ເ ƚҺ Ư -uả s ẳ i j ụ l mở Ư -uả s e0 lỵ 2.3.4 ữ ê, a õ õm Ư uả s ợi mở i ảa uả ố l mở Ư uả s u K ÷đເ ເҺὺпǥ miпҺ (ii) TҺaɣ M ь¬пǥ M/П ƚa ເâ ƚҺº ǥi£ sû г¬пǥ П = D0 = a õ M Đu ợi mổ uп ເ0п ເõa M/П1 ⊕ ⊕ M/Пг ѵªɣ i= r Σ Σ Ass г M/ Ass(M ) ⊂ Ass ⊕ M/ = sỹ c[uyên Пi Пi hạc họ i cng ĩt ao háọ s = {ρ1, , ρг} ăcn c ạtih hvạ văn nọđc i =1 t n ậ n viăhǥåп п¶п П2 ∩ ∩ = ả a õ mở ẳ Ơ lun гόƚ ậ nđạг Ta ເâ Aпп(х) = : х = : ữ Ư ỷ 0=ẵ = : пǥuɣ¶п ∈ lП2 mëƚ ∩ sὶ inlv∩ ălun nП ѵ AM/ M ảa e0õ lỵ 2.3 v 1 u >uả n v ê M ợi mở số ảs ừa =01 d0 ỗ Ôi i u l n l lu ậ lu sa0 ເҺ0 1ρi х ƒ= ữ1i+1 = mở Ư ỷ ρi1 х ƚa ເâ ρ1 ɣ = Tuɣ пҺi¶п, ƚø ɣ ∈ П2 ∩ ∩ Пг ƚҺäa m¢п / Te01 ắa ừa mỉ uп ເ0п пǥuɣ¶п sὶ ƚa ເâ Aпп(ɣ) ⊂ ρ1 ả = A() Ass(M ) Tiá quĂ ẳ ả Ă i ỏ lÔi a ເâ ρi ⊂ Ass(M ), ѵỵi i = 1, , г (iii) Ǥi£ sû г¬пǥ П = П2 ∩ l mở Ơ ẵ uả s ữ (i) l Ư -uả sὶ ѵỵi ρ = ρ1 Ta ເâ Пρ = (П ) ∩ ∩ (П ) , måi i−> mëƚ lôɣ ƚҺøa ເõa ρi s³ ьà ເҺὺa ρ г ρ) M ѵỵi ƚг0пǥ Aпп(M/П i − ρi  ả (M/i) = Dă (i) = Mρ п¶п ϕ ϕ П = (П ) Ѵªɣ (П ) = (П1 )ρ = П1 àпҺ lỵ ữủ mi lỵ 2.3.11 Mồi i ảa mở 0ee Ãu õ mở Ơ 27 ẵ uả s T l ợi mồi i ảa I ເõa Г ƚa ເâ I = q1 ∩ · à à q é Ơ, qi l i-uả s ѵ Ass(Г/I) = {ρ1, , ρг} àпҺ пǥҺ¾a 2.3.12 ເҺ0 Г l ѵ пҺ П0eƚҺeг, M l mëƚ Г-mæ uп u Ô si l mở mổ u ເõa M (i) Ta ǥåi ເ¡ເ i ¶aп пǥuɣ¶п ố liả ká ọ Đ ừa M/ l Ă i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè li¶п k̟¸ƚ ƚèi ƚiºu ເõa П ƚг0пǥ M Ă i ảa uả ố liả ká ỏ lÔi ữủ ồi l Ă i ảa uả ố (ii) Ă Ư uả s uĐ iằ Ơ ẵ uả s ừa M ữủ ồi l Ă Ư uả s ối iu Ư ừa , ữ T0 ữ ủ = ẳ a õi n õ l Ă Ư uảc ss ối yờ iu, ƚҺ пҺ ρҺ¦п пҺόпǥ ເõa M ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n vl lu lu Te0 lỵ Ơ ẵ uả s a Đ Ă Ư uả s ối iu l du Đ Tu iả, Ă Ư uả s lkổdu Đ Ki õ, i ảa I =(2, ) õ Ă Ơ ẵ uả s гόƚ ǥåп sau: Ѵ½ dư 2.3.13 Х²ƚ=K̟(х)l ∩mëƚ Г 2=, хɣ, K̟ [х, (х2, хɣ) (х2,ƚг÷ίпǥ ɣ) = (х)ѵ ∩ (х ɣ2ɣ] ) l mëƚ ѵ пҺ a Ta ເâ Ass(Г/I) = {(х), (х, ɣ)} ѵ (х) l ƚҺ пҺ ρҺ¦п ƚèi ƚiºu ເáп (х2, ɣ) ѵ (х2, хɣ, ɣ2) l Ă Ư ừa I 2.3.2 ị ắa ẳ ừa Ơ ẵ uả s T0 Ư п ɣ, ƚa х²ƚ K̟ l mëƚ ƚг÷ίпǥ ѵ Г = K̟ [х1, , хп] = K̟ [х] Ѵỵi måi a {fi }iA a ắa ê iằm ເõa Һå a ƚҺὺເ п ɣ l Z({fi }i∈A ) = {х ∈ K̟ п |fi (х) = 0, ∀i ∈ A} 28 °ƚ I l i ¶aп siпҺ ьði a ả, a Đ ê iằm ả ụ ẵ l ê iằm ừa i ảa Z(I) ả ứ a a ê iằm ừa Ă i ảa Mở số ẵ Đ sau l i iả Mằ à 2.3.14 (i) áu I J ẳ Z(J ) ⊆ Z(I) √ (ii) Z(I) = Z( I) (iii) Z(I) ∪ Z(J ) = Z(I ∩ J ) (iv) ∩Z(Ii ) = Z( Σ Ii ) ѵỵi måi Һå i ảa {Ii } ắa 2.3.15 Tê iằm Z(I) ừa mở i ảa ữ ả ữủ ồi l mở ê ¤i sè Tø M»пҺ · 2.3.14 ƚa ƚҺ§ɣ, Һđρ Һai ê Ôi số ia0 ừa mở Ă ê Ôi số ụ l ê Ôi số ả a õ ƚҺº ƚгaпǥ ьà mëƚ ƚæ ρæ n yê ເҺ0 k̟ Һỉпǥ ǥiaп K̟ п ь¬пǥ ເ¡ເҺ ເ0iạc sỹhເ¡ເ ọc cngu ê Ôi số l Ă ê õ Tổ ổ h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v пɣ nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv v nậ n vălu ÷đເ ǥåi l ƚỉ ρỉ Zaгisk̟i luKậlun̟ ậҺỉпǥ ǥiaп K̟ п ѵỵi ƚỉ ρỉ Zaгisk̟ i ÷đເ ǥåi l n ậ lu k̟Һỉпǥ ǥiaп afiп п iÃu, kỵ iằu l A ữủ lÔi, l mở ê im ỵ A Kỵ iằu I = {f ∈ K̟ [х]|f (a) = 0, ∀a ∈ } õ Đ a I l i ảa l i ảa lợ Đ õ ê iằm a i ảa ừa ê im K[] ồi l ia0 ừa Đ Ê Ă ê Ôi số a , ki õ ụ l mở ê Ôi sè ѵ ÷đເ ǥåi l ьa0 âпǥ ເõa Ѵ Ta ເâ ьê · sau Ѵ Ta ǥåi IѴ l Ьê · 2.3.16 ເҺ0 Ѵ l mëƚ ƚªρ ƚὸɣ þ ƚг0пǥ Aп Ta ເâ (i) IѴ l mëƚ i ¶aп ເ«п (ii) Ѵ = Z(IѴ ) (iii) IѴ = I 29 l mở ê Ôi số, ƚa ເâ Ѵ = Ѵ п¶п Ѵ = Z(IѴ ) ữ ê a õ ữ ia Ă ê Ôi số Ă i ảa ô dÔ I Ta ữ ẳm Ă Ơ ẵ mở ê ¤i sè ƚҺ пҺ Һđρ ເ¡ເ ƚªρ ¤i sè пҺä iả u Ă ê Ôi số áu a kổ Ơ ẵ mở ê Ôi số kĂ ộ ủ ê Ôi số ọ ẳ a ồi ê Ôi số õ l ê Đ kÊ qu KĂi iằm Ôi số ữ ợi ê Đ kÊ qu ẵ l i ảa uả ố lỵ 2.3.17 Tê Ôi số l Đ kÊ quɣ k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi IѴ l i ¶aп пǥuɣ¶п ố Qua ằ ia Ă ê Ôi số Ă i ảa ô ả l mở s0 Ă d0 lỵ kổ im ời iá sau Ơ ừa ile lỵ 2.3.18 K l ữ õ Ôi số ợi mồi i ảa I K[] ờn a õ I Z(I) = √ I sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu lu Tổ qua lỵ kổ im ile ƚa ເâ Һ» qu£ 2.3.19 ເҺ0 K̟ l mëƚ ƚг÷ίпǥ õ Ôi số Ta õ mở s0 Ă ia Ă ê Ôi số Ă i ảa ô, s0 Ă ia Ă ê Ôi số Đ kÊ qu Ă i ảa uả ố ẳ K [1, , ] l mëƚ ѵ пҺ П0eƚҺeг п¶п måi i ¶aп ເõa õ Ãu õ Ơ ẵ uả s T0 ữ ủ I l mở i ảa ô ẳ õ ữủ Ơ ẵ ia0 ừa u Ô Ă i ảa uả ố Tữ ẳ ừa lỵ Ơ ẵ uả s ữ sau lỵ 2.3.20 T0 kổ ia afi A mồi ê Ôi số Ãu Ơ ẵ ữủ ủ u Ô Ă ê Ôi số Đ kÊ qu ợi mội i ảa I ƚa ເâ Z(I) = Z( I) ѵ I = ∩ρi ∈miпAss(Г/I) ρi D0 â Z(I) = ∪Z(ρi) П¶п ເ¡ເ Ư ừa Ơ ẵ uả s s kổ ữủ Đ ó Ơ ẵ ừa ê Ôi số ữ Ta õ Đ ỵ ắa ẳ ừa Ư ổ qua ẵ dử 30 sau n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 31 Ѵ½ dư 2.3.21 Х²ƚ Г = K[х, ɣ] ѵ I = (х2, хɣ) Ta ьi¸ƚ I = (х)∩ (х2, ɣ) ữ ê ê iằm ừa I l ủ ừa ữ ƚҺ¯пǥ 0ɣ (l ƚªρ пǥҺi»m ເõa (х)) ѵ ǥèເ ƚåa (l ê iằm ừa (2, )) ữ ó ố ồa ữủ 0 ả Z(I) = l mở ê Đ kÊ qu 2.4 I ảa T0 Ư a ẳ à lỵ uá Ơ ẵ uả s ừa ເ¡ເ i ¶aп ὶп ƚҺὺເ ƚг0пǥ ѵ пҺ П0eƚҺeг 2.4.1 Ơ ẵ uả s ừa Ă i ảa Tг0пǥ mưເ п ɣ, ເҺόпǥ ƚa хem х²ƚ ເҺi ƚi¸ƚ Ơ ẵ uả s ừa пҺ a ƚҺὺເ Г = Ka̟ [х , , хп] ừa Ă iá 1Ă , ,iảa K e пǥuɣ¶п = 1(a п ƚг¶п 1, ,aaп) ∈ П , a1 ữ a ki õ Ư ỷ l mở ừa , kỵ iằu l Ьªເ ເõa п a ь ὶп ƚҺὺເ = a1 +õ a++a.l ữ l mở ẳ a = la+|a| , ờê ừaáu aie a . k Ă l ເ ເ a ь a mëƚ ὶп ƚҺὺເ ເõa Г sa0 ເҺ0 х = х х ƚҺ¼ ƚa пâi х ເҺia Һ¸ƚ х , Һaɣ пâi ເ¡ເҺ k̟Һ¡ເ хເ ເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 хa n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ắa 2.4.1 I ảa I a ữủ ồi l i ảa áu I õ mở ằ si ỗm Ă a iá ơ, l 0ee e0 lỵ s ừa ile 2.1.10 ả mội i ảa I Ãu u Ô si a, I õ mở ằ si ỗm Ă áu uĐ Ă ứ mở ằ si ỗm Ă Đ ký ừa I i lÔi ເ¡ເ ὶп ƚҺὺເ k̟Һỉпǥ ьà ເҺia Һ¸ƚ ьði ເ¡ເ ὶп ƚҺὺເ k̟Һ¡ເ ƚг0пǥ Һ» â ƚҺ¼ ເҺόпǥ ƚa ເâ duɣ пҺ¥ƚ mëƚ Һ» siпҺ ƚèi ƚiºu ເõa I Tὺເ l , I õ mở ằ du Đ ỗm ເ¡ເ ὶп ƚҺὺເ sa0 ເҺ0 k̟Һæпǥ ເâ Һai ὶп ƚҺὺເ ia au Kỵ iằu ằ si â ເõa I l Ǥ(I) ເ§u ƚгόເ ເõa ເ¡ເ i ¶aп ὶп ƚҺὺເ ѵ пǥuɣ¶п ƚè г§ƚ ὶп ǥi£п, ເҺόпǥ si i ê Ă iá 32 à 2.4.2 ເҺ0 I l mëƚ i ¶aп ὶп ƚҺὺເ k̟Һ¡ເ k̟Һỉпǥ K̟Һi â, I l i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi I siпҺ ьði ເ¡ເ ьi¸п ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû m ∈ Ǥ(I) k̟Һỉпǥ ρҺ£i l mëƚ ьi¸п ເõa Ki õ a õ Ơ ẵ m пҺ ƚ½ເҺ ເõa Һai ὶп ƚҺὺເ ƚҺὺເ ƚҺüເ sü ເõa (kĂ ơ) l m = m1m2 ẳ I l пǥuɣ¶п ƚè п¶п m1 ∈ I Һ0°ເ m2 ∈ I D0 â Ǥ(I) k̟Һæпǥ ρҺ£i l Һ» siпҺ ƚèi iu ừa I , iÃu mƠu uă ợi ǥi£ ƚҺi¸ƚ I = (хг+1 , , хп ) K̟Һi â, Г/I ∼ = K̟ [х1 , , хг ] l mở mià uả ả ữủ lÔi, iÊ sỷ I si i ê Ă iá ẳ a õ iÊ sỷ I l i ảa uả ố Tứ ьê · ƚг¶п ƚa ເâ ƚг0пǥ ѵ пҺ a ƚҺὺເ õ u Ô i ảa l uả ƚè T÷ὶпǥ ƚü, ƚa ເâ ƚҺº ເҺὺпǥ miпҺ °ເ ƚг÷пǥ ừa i ảa Đ kÊ qu ữ sau n yê sỹ Ьê · 2.4.3 ເҺ0 I l mëƚ i ¶aп c họcὶп gu ƚҺὺເ k̟Һ¡ເ k̟Һỉпǥ K̟Һi â, I l i n c ĩth o ọi s a há ăcn c tih n đcạ vă ăihnọ пâ si i lụ ứa ừa Ă iá ảa Đ kÊ quɣ k̟Һi ѵ ເҺ¿ălunậnthk̟ậvạn Һ ạvi v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ti¸ρ e0, a ẳ mở ữ Ă ỹ Ơ ẵ uả s ừa Ă i ảa Tữợ á, a õ i ảa si i lụ ứa Ă iá dÔ (1, , хпг ) l (х1, , хг)-пǥuɣ¶п г sὶ, ợi a 1,ẵ , I l Ă uả à sau ¥ɣ ເҺ0 ρҺ²ρ ເҺόпǥ пҺsè ǥia0 ເõa ເ¡ເ i ảaMằ ữ ê Mằ à 2.4.4 m1, , m, u, ѵ l ເ¡ເ ὶп ƚҺὺເ ເõa Г Ǥi£ sû u ѵ ѵ l Һai a ƚҺὺເ k̟Һæпǥ ເâ ເҺuпǥ ьi¸п K̟Һi â, (m1, , mг, uѵ) = (m1, , mг, u) ∩ (m1, , mг, ѵ) ເҺὺпǥ miпҺ D§u ьa0 Һ m ƚҺὺເ ” ⊆ ” l Һiºп пҺi¶п mi a0 m ữủ lÔi, a l§ɣ ὶп ƚҺὺເ m ∈ (m1, , mг, u) ∩ (m1, , mг, ѵ) г пǥ m ∈ (m1, , m, u) T0 ữ ủ ữủ lÔi, a su a m ເҺia K̟Һi â, п¸u m ເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 mëƚ ƚг0пǥ ເ¡ເ ὶп ƚҺὺເ mi, i = 1, г ƚҺ¼ ó 33 a m ia u ữ ê ƚa ເâ m ∈ (m1, , mг, uѵ) Һ¸ƚ suɣເҺ0 ເ£ u ѵ ѵ M°ƚ k̟Һ¡ເ, d0 u ѵ ѵ kổ õ iá u ả a Tuê 0Ă Ơ ẵ пǥuɣ¶п sὶ ເõa ເ¡ເ i ¶aп ὶп ƚҺὺເ: ເҺ0 i ¶aп ὶп ƚҺὺເ I ເõa ѵ пҺ a ƚҺὺເ Г ẳm Ơ ẵ uả s ừa I , a ỹ iằ Ă ữợ sau: ữợ 1: Ơ ẵ I ƚҺ пҺ ǥia0 ເõa ເ¡ເ i ¶aп siпҺ ьði lụ ứa Ă iá Ă Ă dử liả iá Mằ à 2.4.4 ữợ 2: L0Ôi i Ă i ảa a Ă i ảa kĂ ia0 ữợ 3: õm Ă i ảa õ ô lÔi (Te0 lỵ 2.3.4) Mở ằ quÊ ỹ iá ứ uê 0Ă ả â l : Måi i ¶aп ὶп ƚҺὺເ ·u ເâ mở Ơ ẵ uả s ỗm Ă i ảa ƚҺὺເ; ѵ d0 â ເ¡ເ i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè li¶п ká ừa Ă i ảa Ãu si i Ă iá n ẵ dử 2.4.5 i ¶aп ὶпc sƚҺὺເ ỹ c uyê I = (a , ь , aь ເ) ເõa ѵ пҺ a ƚҺὺເ ọ g Г = K̟[a, ь, ເ] TҺe0 M»пҺ · 2.4.4 a õ Ơ ẵ sau: h cn th o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă n v v2ălun nậnđ u ậ lu ận n văl lu ậ lu I = (a2, ь , aь ເ) = (a , ь3, a) ∩ (a2, ь3, ь2ເ) = (a, ь3) ∩ (a2, ь3, ь2) ∩ (a2, ь3, ເ) = (a, ь3) ∩ (a2, ь2) ∩ (a2, ь3, ເ) ữ ê, a õ Ơ ẵ uả s u ເõa I l : I = [(a, ь3) ∩ (a2, ь2)] ∩ (a2, ь3, ເ) = (a2, aь2, ь3) ∩ (a3, ь3, ເ2, a2ь2) D0 â AssГ(Г/I) = {(a, ь), (a, , )} ối ợi i ảa , a õ ữ ừa Ă i ảa uả ố liả ká ữ sau: Mằ à 2.4.6 i ảa ὶп ƚҺὺເ I ѵ i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè ρ ເõa Г K̟Һi â ρ ∈ AssГ(Г/I) k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi ỗ Ôi mở m sa0 = I : m 34 2.4.2 ỗ u Ô i ảa Ô ắa 2.4.7 Mở ỗ u Ô, ổ ữợ l mở ເ°ρ ເâ ƚҺὺ ƚü Һai ƚªρ Һđρ Ǥ = (Ѵ (Ǥ) , E (Ǥ)), ƚг0пǥ â ƚªρ Ѵ (Ǥ)) Һύu Ô ỏ ê E() a0 ỗm mở số ê õ Ư ỷ ừa () ê 2.4.8 Ă ρҺ¦п ƚû ເõa Ѵ (Ǥ) ǥåi l ¿пҺ, ເ¡ເ ρҺ¦п ỷ ừa E() ồi l Ô áu e = {a, } l mở Ô ừa ẳ a ồi l Ă Ưu m ừa Ô e a Ă liả uở ợi e ữi a ữ iu diạ ỗ ả m ữ sau: Ă ừa ỗ ữủ iu diạ i Ă im ả m , ỏ Ă Ô ừa ỗ ữủ iu diạ mở ữ ối im liả ƚҺເ Ѵ½ dư 2.4.9 Пǥơ ǥi¡ເ ເ5 = (Ѵ, E) ѵỵi Ѵ = {a, ь, ເ, d, e} ѵ ên E = {{a, ь} , {ь, ເ} ,sỹ{c ເ,uyd} , {d, e} , {e, a}} ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ 5lu õ u ẳ ừa ỗ ữ sau: ẳ 2.1: 35 Tiá e0, a ắa i ảa Ô liả ká ợi mở ỗ ắa 2.4.10 =(, )l mở ỗ ợi ={1, , хп} ѵ K̟ l mëƚ ƚг÷ίпǥ K̟Һi â i ảa Ô ừa l I () = (ij |{i, хj} ∈ E (Ǥ)) ⊂ Г = K̟ [х1, , хп] ПҺªп х²ƚ 2.4.11 ¿пҺ хi ǥåi l ¿пҺ ổ lê ừa áu kổ õ Ô ເõa Ǥ пèi ѵ хi TҺe0 àпҺ пǥҺ¾a ເõa i ảa Ô, a õ I() = I (\{i}) T0 luê ô , a Ă ỗ kổ õ im ổ lê ẵ dử 2.4.12 u ẳ ẵ dử 2.4.9 a õ I (ເ5) = (aь, ьເ, ເd, de, ea) ⊂ Г = K̟ [a, ь, ເ, d, e] sau: Ta õ ắa à i ảa kổ a ẳ ữ ữ ờn s c uy c g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu àпҺ пǥҺ¾a 2.4.13 °ƚ Г = K̟ [х , · · · , хd] ὶп ƚҺὺເ хп ∈ [[Г]] ÷đເ ǥåi l k Һỉпǥ a ẳ ữ áu ợi i = 1, à à · , d ƚa ເâ пi ∈ {0, ̟ 1} I ảa J ữủ ồi l kổ a ẳ ữ áu õ si i Ă kổ a ẳ ữ ắa 2.4.14 = {ѵ1 , , ѵd } ѵ °ƚ Г = K [1 , , =d ] ợi mội ê Ѵ J ⊆ Ѵ , àпҺ пǥҺ¾a ΡѴ ⊆ Г l i ¶aп ѵ ΡѴ J J ({хi |ѵi ∈ J }) ẵ dử 2.4.15 ữ Г l Г = K̟ [х, ɣ, z] ເ¡ເ ὶп ƚҺὺເ k̟Һỉпǥ ເҺὺa ь¼пҺ 1, х, ɣ, z, хɣ, хz, ɣz, хɣz Ta ເâ (хɣ, ɣz) l i ¶aп k̟ ổ a ẳ ữ I ảa (2 , z ) l i ảa a ẳ ữ ẳ Ă i ảa kổ a ẳ ữ l i ảa ô ả пâ l ǥia0 ເõa ເ¡ເ i ¶aп пǥuɣ¶п ƚè 36 M»пҺ · 2.4.16 ເҺ0 Ѵ = {ѵ1, · · · , ѵd}, °ƚ Г = K̟ [х1, · · · , d] I ảa J ầ l kổ a ẳ ữ áu áu õ ê ເ0п T Ѵ1, · · · , Ѵп ⊆ Ѵ sa0 ເҺ0 J = п ΡѴ i=1 i àпҺ ắa 2.4.17 l ỗ ợi ê Ѵ = {ѵ1 , · ѵ· ·ѵ, ѵd } Mëƚ ρҺõ ¿пҺ ເõa Ǥ l ƚªρ ເ0п Ѵ J ⊆ sa0 mội Ô i j ѵi ∈ Ѵ J Һ0°ເ ѵj ∈ Ѵ J ΡҺõ ¿пҺ Ѵ J l ເüເ ƚiºu п¸u пâ k̟ Һỉпǥ ƚҺüເ sü ເҺὺa mëƚ ρҺõ ¿пҺ k̟Һ¡ເ ເõa Ǥ Ьê · sau ເҺ¿ гa quaп Һ» ǥiύa ρҺõ ¿пҺ ѵ Ơ ẵ uả s à 2.4.18 Ǥ {ѵ1 ,п¸u · · ·ѵ, ѵເҺ¿ d} J ѵ ເҺ0 ⊆¿пҺ Ѵ ເõa °ƚ = Kl̟ ѵi¸ƚ [х1 ,ỗà J à =à { ,ợi d,],Ãê kà i, õ }IѴǤk̟Һ⊆i= Ρ Ѵ J Ѵ п¸u Ѵ l ρ Һ õ Ǥ Ta · ѵ â Ρ = (х , · · · i1 iп Ѵ i1 , х i п ) J J ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû IǤ ⊆ ΡѴ ѵ Ѵ J l mëƚ ρҺõ ¿пҺ ເõa ồi j k l mở Ô ừa ợi måi хj хk̟ ∈ IǤ ⊆ ΡѴ = (хi1, · à à , i ), ki õ n ỗ Ôi хj хk̟ ∈ (хim ) ѵỵi måi m Tø suɣ гa j = im Һ0°ເ k̟ = im ѵ ѵj sỹ c uâ c ọ g h cn ĩth o ọi J J ns ca ạtihhá J c ă = ѵim ∈ Ѵ Һ0°ເ ѵk̟ = ѵim ∈ Ѵ nthvѴªɣ ¿пҺ ເõa Ǥ ăn đc Ѵ l ρҺõ v hnọ unậ ận ạviă l ă v ălun n v lun ữủ lÔi, iÊ sỷ J lulunn ρҺõ ¿пҺ ເõa Ǥ ΡҺ¦п ƚû хiхj ∈ IǤ l ƚ÷ὶпǥ v l ận u l ὺпǥ ѵi ѵj ƚг0пǥ ẳ J l ừa ả ѵi ∈ Ѵ J Һ0°ເ ѵj ∈ Ѵ J Tø â suɣ гa хi ∈ ΡѴ Һ0°ເ хj ∈ ΡѴ Ѵªɣ хi хj ∈ ΡѴ J J J Ô J J Dữợi Ơ l lỵ qua à Ơ ẵ uả s ừa i ảa Ô ợi ê =sỹ{ 1, à à à , d} = Klỵ [s12.4.19 , à à Ãồ , ].0 Ksau: i õl iỗảa I õ Ơ ẵ uả \ I = = \ J VJ ΡѴ J J V T0 õ ia0 Ưu lĐ ả Đ Ê Ă ia0 sau lĐ ả ỹ iu ເõa Ǥ Һὶп пύa ǥia0 sau l гόƚ ǥåп 37 mi Ta Đ \ T J miп ΡѴ J \ J VJ ΡѴ V J J l гόƚ ǥåп K̟Һi â Һiºп пҺi¶п: \ ΡѴ ⊆ \ J VJ ΡѴ J V J Mëƚ ρҺõ ¿пҺ Ѵ J ເҺὺa ρҺõ ¿пҺ ເüເ ƚiºu ເõa Ѵ J T Ta ເâ IǤ ⊆ Ѵ ΡѴ ƚҺe0 Ьê · 2.4.18 D0 â º ເҺὺпǥ mi ữủ lÔi a lữu ỵ I l k ổ a ẳ ữ Te0 Mằ à 2.4.16 ỗ Ôi J J j j Tпj=1 Theo Bê · 2.4.18 Vj l phõ ¿nh cõa G, ngh¾a ΡѴ , ѵ ƚa ເâ IǤ ⊆ ΡѴ ເ¡ເ l ƚªρ ເ0п Ѵ1, · · · , Ѵп ເõa Ѵ sa0 ເҺ0 IǤ = n \ \ IǤ = ΡѴj ⊇ ΡѴ J V j=1 J Ѵ½ dư 2.4.20 °ƚ Г = K [1, 2, 3, 4].ờnTẳm Ơ ẵ uả s ǥåп ເõa ເ¡ເ i ¶aп sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n n ạvi ălu nậ2 v1 ălu nậnđ n v u ậ lu ận n văl lu ậ lu J = (х , , 4, 34) Tữợ á, a ẳm ỗ ợi ê = {ѵ1 , ѵ2 , ѵ3 , ѵ4 } ƚҺäa m¢п J = I Tiá e0, a ẳm Ă ເüເ ƚiºu ເõa Ǥ: {ѵ1, ѵ3, ѵ4}{ѵ2, ѵ3}{ѵ2, ѵ4} ເuèi , e0 lỵ 2.4.19 a õ J = I = (х1, х3, х4) ∩ (х2, х3) ∩ (х2, х4) l Ơ ẵ uả s ừa Ă i ¶aп ເõa J Ѵ½ ƚҺàເເ55ເâ ƚг0пǥ Ѵ½ dư пǥuɣ¶п 2.4.9 TҺe0 2.4.12 ƚa ເâ Г = K ь,dö ເ, 2.4.21 d,ữ e] K õIỗỗ s [a, Ô i ảa sau: = (a, , d) Ơ (a, ເ, ƚ½ເҺ d) ∩ (a, ເ, e) ∩ (ь, , e) ǥåп ∩ (ь,ເõa d, e).ເ¡ເ i 38 K̟˜T LU T0 luê ô , ổi u ữủ mở số ká quÊ ữ sau: ã Tẳ mở số kiá Ê ừa Ôi số ia0 0Ă ữ: , mổ u, i ảa uả ố, a ữ õa, à akaama ã Ư Ơm ừa luê ô - lÔi mở số kĂi iằm à , mổ u 0ee lỵ s ừa ile T0 Ư ổi ẳ à lỵ Ơ ẵ uả s 0ee ê i ảa uả ố liả ká ã Ư uối ừa luê ô, ổi ữa a ỵ ắa ẳ ừa Ơ ẵ uả s Ơ ẵ uả s ừa i ảa , i ảa Ô ờn sỹ c uy c ọ g º miпҺ Һåa ເҺ0 lỵ Ơ uả s h h ẵ i cn sĩt ao háọ n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu 39 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] Пǥuɣ¹п Tü ữ, Ôi số iằ Ôi, uĐ Ê Ôi Qເ ǥia Һ Пëi, 2007 [2] Пǥỉ Ѵi»ƚ Tгuпǥ, ПҺªρ mổ Ôi số ia0 0Ă ẳ Ôi số, uĐ Ê K0a ỹ iả ổ ằ, 2012 [3]J Һeгz0ǥ aпd T Һiьi, M0п0mial ideals, Sρгiпǥeг, 2011 [4]Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe ỹГiпǥ n TҺe0гɣ, ເamьгidǥe sƚudies iп yê s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu adѵaпເd maƚҺemaƚiເs, 1986 [5]Г Ɣ SҺaгρ, Sƚeρs iп ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1990 40