Bài viết trình bày Định lí về điều kiện thẳng hàng của các điểm Lobachevsky trong hình học với mô hình nửa mặt phẳng Poincaré. Áp dụng kết quả từ bài viết đó, thu được Định lí 2.1 về điều kiện đồng quy của các đường thẳng Lobachevsky và nêu một áp dụng của Định lý này.
Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 26 (2021), 53-57 53 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG HÌNH HỌC VỚI MƠ HÌNH NỬA MẶT PHẲNG POINCARÉ, MỘT ÁP DỤNG Lê Hào* Trường Đại học Phú Yên Ngày nhận bài: 25/8/2020; Ngày nhận đăng: 08/01/2021 Tóm tắt Trong báo trước đây, chúng tơi trình bày Định lí điều kiện thẳng hàng điểm Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Áp dụng kết từ báo đó, chúng tơi thu Định lí 2.1 điều kiện đồng quy đường thẳng Lobachevsky nêu áp dụng Định lý Từ khóa: Mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, đoạn thẳng Lobachevsky, đường thẳng Lobachevsky, độ dài đại số Lobachevsky Giới thiệu Ta xét nửa mặt phẳng Poincaré: H (x,y) R /y z C/ Im z 0 nằm mặt phẳng E Lobachevsky với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy Mỗi điểm thuộc H gọi điểm Nửa đường thẳng mở nằm H trực giao với Ox điểm thuộc Ox, hay nửa đường tròn mở nằm H có tâm thuộc Ox, gọi đường thẳng Lobachevsky (còn gọi đường thẳng Lob), cung đoạn đoạn thẳng Lobachevsky (cịn gọi đoạn thẳng Lob) Định nghĩa 1.1 Xét đoạn thẳng Lob nối hai điểm A, B ứng với cung có phương trình tham số ( s) ( x( s), y( s)) với ( s1 ) A , ( s ) B ( s1 s ) Khi độ dài Lobachevsky đoạn thẳng Lob là: x' ( s) 2 y ' ( s) 2 ( AB) ds y(s)2 s s2 Trong báo trước (Lê Hào, 2018, tr.3) đề cập đến lớp trục có chung mút âm vô tận * Email: lehaodhpy@gmail.com Journal of Science – Phu Yen University, No.26 (2021), 53-57 54 Trong lớp trục có chung mút âm vơ tận, cung (đoạn) định hướng nối từ A đến B nằm trục có độ dài đại số Lobachevsky L(AB) Ứng với lớp trục cong thì: A K A I L( AB ) ln : BK BI (I, K tương ứng mút âm, dương vô tận trục) A K L( AB ) ln (K mút dương vô tận) BK L( AB) ( AB) hay L( AB) ( AB) tùy theo hướng dọc theo Ứng với lớp trục thẳng thì: Ta ln có: cung đoạn định hướng từ A đến B dương hay âm (Lê Hào, 2018) Chúng đề cập giá trị sau: e ( AB ) e ( AB ) sh( AB) e L( AB ) e L( AB ) sh( AB) Rõ ràng sh( AB ) sh( AB ) Lấy cảm hứng từ định lý Menelaus hình học Euclide E áp dụng kết từ [1] chứng minh định lý sau: Định lý 1.2 Cho tam giác Lobachevsky với đỉnh A, B, C Gọi A1 , B1 , C1 tương ứng điểm nằm đường thẳng Lob (BC), (CA), (AB) không trùng với đỉnh A, B, C Khi A1 , B1 , C1 thẳng hàng khi: sh( A1B) sh( B1C ) sh(C1 A) 1 sh( A1C ) sh( B1 A) sh(C1B) (Lê Hào, 2020, tr.13) Lấy cảm hứng từ Định lý Ceva Hình học Euclide E áp dụng Định lí 1.2 chúng tơi thu Định lý 2.1, cho ta điều kiện đồng quy ba đường thẳng Lobachevsky qua đỉnh tam giác Lobachevsky Kết Định lý 2.1 Cho tam giác Lobachevsky với đỉnh A, B, C Gọi A1 , B1 , C1 tương ứng Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 26 (2021), 53-57 55 điểm nằm đường thẳng Lob (BC), (CA), (AB) không trùng với đỉnh A, B, C Khi đường thẳng Lob ( AA1 ), ( BB1 ), (CC1 ) đồng quy thì: sh( A1B) sh( B1C ) sh(C1 A) 1 sh( A1C ) sh( B1 A) sh(C1B) Ngược lại có (*) đường thẳng Lob (*) ( AA1 ), ( BB1 ), (CC1 ) điểm chung đồng quy Chứng minh Nếu đường thẳng Lob ( AA1 ), ( BB1 ), (CC1 ) đồng quy điểm D: Áp dụng Định lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky ABA1 với điểm thẳng hàng C, D, C1 ta có: sh(CB) sh( DA1 ) sh(C1 A) (1) sh(CA1 ) sh( DA) sh(C1B) Áp dụng Định lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky ACA1 với điểm thẳng hàng B, B1 , D ta có: sh( BA1 ) sh( B1C ) sh( DA) 1 sh( BC ) sh( B1 A) sh( DA1 ) (2) Từ (1) (2) suy ra: sh( A1B) sh( B1C ) sh(C1 A) 1 sh( A1C ) sh( B1 A) sh(C1B) (*) Ngược lại, có (*) : Trong đường thẳng Lob ( AA1 ), ( BB1 ), (CC1 ) giả sử tồn cặp đường có điểm chung, chẳng hạn ( AA1 ) (BB1 ) có điểm chung D Áp dụng Định lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky ACA1 với điểm thẳng hàng B, B1 , D ta có: sh( BA1 ) sh( B1C ) sh( DA) 1 sh( BC ) sh( B1 A) sh( DA1 ) Kết hợp với (*) có: sh(CB) sh( DA1 ) sh(C1 A) 1 sh(CA1 ) sh( DA) sh(C1B) Áp dụng Định lý 1.2 cho tam giác Lobachevsky ABA1 suy điểm C, D, C1 thẳng hàng, nghĩa đường thẳng Lob ( AA1 ), ( BB1 ), (CC1 ) đồng quy D □ Tiếp theo nêu hệ ứng dụng Định lý 2.1 đường Journal of Science – Phu Yen University, No.26 (2021), 53-57 56 phân giác tam giác Lobachevsky Hệ 2.2 Cho tam giác Lobachevsky Khi đường thẳng Lob, phân giác góc tam giác đó, ln đồng quy Chứng minh Xét tam giác Lobachevsky với đỉnh A, B, C Gọi A1 , B1 , C1 tương ứng điểm nằm cung đoạn BC , CA , AB ( AA1 ) , (BB1 ) , (CC1 ) phân giác góc tam giác nêu Gọi số đo góc BA1 A Đường phân giác ( AA1 ) phân góc BAC thành hai góc có số đo Áp dụng Định lý hàm số Sin hyperbolic (Nguyễn Thị Liên & Nguyễn Bá Khiến, 2011) cho tam giác Lobachevsky ABA1 ta có: sh( A1 B) sh( AB ) sin sin Áp dụng Định lý hàm số Sin hyperbolic cho tam giác Lobachevsky ACA1 ta có: sh( A1C ) sh( AC ) sh( AC ) sin sin( ) sin Từ đẳng thức trên, suy ra: sh( A1 B) sh( AB ) sh( A1C ) sh( AC ) Do A1 nằm cung đoạn BC nên sh( A1 B) , suy ra: sh( A1C ) sh( A1B) sh( AB) sh( AC ) sh( A1C ) Tương tự ta có: sh( B1C ) sh( BC ) sh( BA) sh( B1 A) sh(C1 A) sh(CA) sh(CB) sh(C1B) Suy ra: sh( A1B) sh( B1C ) sh(C1 A) sh( AB) sh( BC ) sh(CA) 1 sh( AC ) sh( BA) sh(CB) sh( A1C ) sh( B1 A) sh(C1B) Áp dụng Định lý 2.1 có điều phải chứng minh □ Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 26 (2021), 53-57 57 Kết luận Lấy cảm hứng từ Định lý Ceva Hình học Euclide chúng tơi nêu chứng minh Định lý 2.1, thể kết Hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Kết có ý nghĩa nêu áp dụng thông qua Hệ 2.2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hào (2018) Độ dài đại số Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, số áp dụng Tạp chí Khoa học Đại học Phú Yên, tr.01- tr.06 Lê Hào (2020) Định lý điểm thẳng hàng hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Tạp chí Khoa học Đại học Phú Yên, tr.11- tr.15 Nguyễn Thị Liên (2011) Hình học nửa mặt phẳng Poincaré Luận văn Thạc sĩ - Đại học Vinh, 12-38 Nguyễn Bá Khiến (2011) Một số vấn đề hình học Hyperbolic n chiều Luận văn Thạc sĩ – Đại học Vinh, 15-34 Nguyễn Thị Xuyên (2008) Một số vấn đề hình học phi Euclide Đại học An Giang, 3544 Phan Thị Ngọc (2007) Nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic Luận văn Thạc sĩ Đại học Vinh, 25-45 Royster, C (2002) Non Euclidean geometry Course Spring, 34-90 Parker, H (1989) Non Euclidean geometry Boston USA, 20-74 Theorem on the concurrent lines in geometry with the Poincaré half-plane model, an application Le Hao Phu Yen University Email: lehaodhpy@gmail.com Received: August 25, 2020; Accepted: January 08, 2021 Abstract In a previous paper, we presented the Theorem on the collinear conditions of Lobachevskian points in geometry with the Poincaré half-plane model Applying such results from that paper, we obtained Theorem 2.1 on the concurrent conditions of Lobachevskian lines and presented an application of this Theorem Keywords: Poincaré half-plane model, Lobachevskian line segment, Lobachevskian line, Lobachevskian algebraic distance ... mặt phẳng Poincaré, số áp dụng Tạp chí Khoa học Đại học Phú Yên, tr.01- tr.06 Lê Hào (2020) Định lý điểm thẳng hàng hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Tạp chí Khoa học Đại học Phú Yên,... kết Hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Kết có ý nghĩa chúng tơi nêu áp dụng thông qua Hệ 2.2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hào (2018) Độ dài đại số Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng. .. hứng từ định lý Menelaus hình học Euclide E áp dụng kết từ [1] chứng minh định lý sau: Định lý 1.2 Cho tam giác Lobachevsky với đỉnh A, B, C Gọi A1 , B1 , C1 tương ứng điểm nằm đường thẳng Lob