Bài viết trình bày khái niệm về độ dài đại số Lobachevsky của cung đoạn định hướng, sau đó tìm mối quan hệ giữa các đoạn thẳng Lobachevsky tạo nên khi cho các trục chắn lên hai đường thẳng Lobachevsky cố định.
Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 23 (2020), 9-13 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC VỚI MƠ HÌNH NỬA MẶT PHẲNG POINCARÉ Lê Hào* Trường Đại học Phú Yên Ngày nhận bài: 18/09/2019; Ngày nhận đăng: 10/02/2020 Tóm tắt Trong báo trước đây, chúng tơi trình bày khái niệm độ dài đại số Lobachevsky cung đoạn định hướng, sau tìm mối quan hệ đoạn thẳng Lobachevsky tạo nên cho trục chắn lên hai đường thẳng Lobachevsky cố định Áp dụng kết từ báo đó, chúng tơi thu Định lí 2.2 điều kiện thẳng hàng điểm Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Từ khóa: Độ dài đại số Lobachevsky, cung đoạn định hướng, mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, đoạn thẳng Lobachevsky, đường thẳng Lobachevsky Giới thiệu Trong mặt phẳng E ta xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxy gọi nửa Ox ứng với tập hợp: H (x,y) R /y z C/ Im z 0 nửa mặt phẳng Pointcaré Mỗi điểm thuộc H gọi điểm Lobachevsky Với hai điểm Lobachevsky A, B khoảng cách Lobachevsky chúng kí hiệu (AB ) (xem [2] [3]) Trong báo đăng Tạp chí Khoa học Đại học Phú Yên số 19/2018 [1] đưa khái niệm độ dài đại số Lobachevsky lớp trục có chung mút âm vô tận (các trục thẳng Lobachevsky vng góc với trục Ox xem trục có chung mút âm vơ tận) Một cung (đoạn) định hướng nối từ A đến B nằm trục, độ dài đại số Lobachevsky số kí hiệu L(AB) (xem [1], mục 2) Chúng ta dễ dàng nhận thấy: L( AB) L( BA) ( AB ) L( AB ) Với điểm A, B, C thuộc trục Lobachevsky thì: L( AB) L( BC ) L( AC) Chúng đề cập giá trị sau: e ( AB) e ( AB) sh( AB ) e L( AB) e L( AB) sh( AB) * Email: lehaodhpy@gmail.com 10 Journal of Science – Phu Yen University, No.23 (2020), 9-13 Trong báo nói trên, chúng tơi nêu kết sau: Định lí 1.1 Cho hai đường thẳng Lob ( ) ( ) Gọi (m), (n), (k) ba trục phân biệt có chung mút âm vơ tận (m) cắt ( ), ( ) A B; (n) cắt ( ), ( ) M N; (k) cắt ( ), ( ) C D Khi đó: sh( MA) L ( AB) sh( MC ) L (CD ) e e sh( NB ) sh( ND ) Chứng minh (xem [1] - Hệ 2.3) Trong hình học Euclide E ta có Định lý Menelaus điều kiện thẳng hàng ba điểm nằm đường thẳng chứa cạnh tam giác Lấy cảm hứng từ Định lý Menelaus áp dụng Định lí 1.1 chúng tơi thu Định lý 2.2, cho ta điều kiện thẳng hàng ba điểm nằm ba đường thẳng Lobachevsky chứa cạnh tam giác Lobachevsky Kết Bổ đề 2.1 Cho tam giác Lobachevsky với đỉnh A, B, C Giả sử A, B nằm trục () Một trục khác, có mút âm vơ tận với trục (), cắt đường thẳng Lob (CA), (CB) M, N Khi đó: sh( MC ) sh( NC ) L ( AB) e sh( MA) sh( NB ) Với L hàm độ dài đại số lớp trục mút âm vô tận với trục () Chứng minh Để ý với trục qua P Q sh( PQ) sh(QP) sh( PQ ) sh( PQ ) Theo Định lý 1.1 thì: Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 23 (2020), 9-13 11 sh( MA) L ( AB) sh( MC ) e sh( NB ) sh( NC ) Do đó: sh( MC ) sh( NC ) L ( AB) e sh( MA) sh( NB ) Rõ ràng điểm M thuộc đoạn thẳng Lob (CA) N thuộc đoạn thẳng Lob (CB), suy ra: sh( MC ) sh( NC ) âm không âm sh( MA) sh( NB ) Vậy ta có: sh( MC ) sh( NC ) L ( AB) □ e sh( MA) sh( NB ) Định lý 2.2 Cho tam giác Lobachevsky với đỉnh A, B, C Gọi A1 , B1 , C1 tương ứng điểm nằm đường thẳng Lob (BC), (CA), (AB) không trùng với đỉnh A, B, C Khi A1 , B1 , C1 thẳng hàng khi: sh( A1 B) sh( B1C ) sh(C1 A) 1 sh( A1C ) sh( B1 A) sh(C1 B) (*) Chứng minh () Nếu A1 , B1 , C1 thẳng hàng nằm trục ( ) : Gọi ( ) trục qua C, có mút âm vô tận với trục ( ) cắt đường thẳng Lob (AB) D Theo Bổ đề 2.1: sh( B1 A) sh(C1 A) L (CD ) sh( B1C ) sh(C1 A) e e L ( DC ) sh( B1C ) sh(C1 D) sh( B1 A) sh(C1 D) (1) Mặt khác ta có: sh(C1 B) sh( A1 B) L ( DC ) sh(C1 B) sh( A1C ) e e L ( DC ) sh(C1 D) sh( A1C ) sh(C1 D) sh( A1 B) (2) Journal of Science – Phu Yen University, No.23 (2020), 9-13 12 Từ (1) (2) suy ra: sh( A1 B) sh( B1C ) sh(C1 A) 1 sh( A1C ) sh( B1 A) sh(C1 B) (*) () Nếu A1 , B1 , C1 thỏa mãn (*): Ta gọi K giao điểm đường thẳng Lob ( A1 B1 ) (AB), theo chứng minh ta có: sh( A1 B) sh( B1C ) sh( KA) 1 sh( A1C ) sh( B1 A) sh( KB ) (**) Từ (*) (**) suy ra: sh( KA) sh(C1 A) sh( KB ) sh(C1 B) sh(C1 A) sh( KA) sh( KB ) sh( KA) sh(C1 B) sh(C1 A) sh( KA) sh(C1 A) sh( KA) sh(C1 A) K C1 sh( AB ) sh( AB ) Vậy A1 , B1 , C1 thẳng hàng □ Kết luận Định lý 2.2 thể ứng dụng kết mà trình bày báo trước Có thể áp dụng Định lý 2.2 để khảo sát tính đồng quy đường thẳng Lob qua đỉnh tam giác Lobachevsky [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hào (2018), Độ dài đại số Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, số áp dụng, Tạp chí Khoa học – Đại học Phú Yên, 01-06 Nguyễn Thị Liên (2011), Hình học nửa mặt phẳng Poincaré, Luận văn Thạc sĩ Đại học Vinh,12-38 Nguyễn Bá Khiến (2011), Một số vấn đề hình học Hyperbolic n chiều, Luận văn Thạc sĩ – Đại học Vinh, 15-34 Nguyễn Thị Xuyên (2008), Một số vấn đề hình học phi Euclide, Đại học An Giang, 35-44 Phan Thị Ngọc (2007), Nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic, Luận văn Thạc sĩ - Đại học Vinh, 25-45 Nguyễn Mộng Hy (1999), Xây dựng hình học phương pháp tiên đề, Nhà xuất Giáo dục, 95-134 C.Royster (2002), Non Euclidean geometry, Course Spring, 34-90 Henry Parker Manning (1989), Non Euclidean geometry, Boston USA, 20-74 Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 23 (2020), 9-13 13 Theorem about collinear points in geometry with the Poincaré half-plane model Le Hao Phu Yen University Email: lehaodhpy@gmail.com Received: September 18, 2019; Accepted: February 10, 2020 Abstract In a previous paper, we presented the concept of Lobachevskian algebraic distance of the directional segmental-arcs, then looked for the relationship between the Lobachevskian line segments created by intercepting the axes on two fixed Lobachevskian lines Applying such results in that paper, we obtained Theorem 2.2 on the collinear conditions of Lobachevskian points in geometry with the Poincaré half-plane model Keywords: Lobachevskian algebraic distance, directional segmental-arc, Poincaré half-plane model, Lobachevskian line segment, Lobachevskian line ... Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, số áp dụng, Tạp chí Khoa học – Đại học Phú Yên, 01-06 Nguyễn Thị Liên (2011), Hình học nửa mặt phẳng Poincaré, Luận văn Thạc sĩ Đại học Vinh,12-38... Hệ 2.3) Trong hình học Euclide E ta có Định lý Menelaus điều kiện thẳng hàng ba điểm nằm đường thẳng chứa cạnh tam giác Lấy cảm hứng từ Định lý Menelaus áp dụng Định lí 1.1 thu Định lý 2.2, cho... đề hình học Hyperbolic n chiều, Luận văn Thạc sĩ – Đại học Vinh, 15-34 Nguyễn Thị Xuyên (2008), Một số vấn đề hình học phi Euclide, Đại học An Giang, 35-44 Phan Thị Ngọc (2007), Nửa phẳng Poincaré