Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu các định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm xuất phát từ định lý. Các phương trình này được biết đến là kiểu Stamate. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN POMPEIU’S MEAN THEOREM AND PO P I AN VALUE A TH O AN RELATED AT FUNCTIONAL NCTIONA EQUATIONS ATION Ngà : 08/3/2021 N y nhận Ngà N y nhận kết phản biện : 16/9/2021 Ngày duyệt đăng : 25/9/2021 N Ths Trần Thị Yến Ly Trường Đại học Tài - Kế tốn TĨM TẮT Trong báo này, tác giả nghiên cứu định lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm xuất phát từ định lý Các phương trình biết đến kiểu Stamate Từ khóa: Định lý giá trị trung bình Pompeiu, phương trình hàm Stamate ABSTRACT In this paper, the author studies Pompeiu’s mean value theorem and related functional equations These equations are known as the Stamate type Keywords: Pompeiu mean value theorem, Stamate equation Đặt vấn đề Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đa thức vào năm 1691 Năm 1946, Pompeiu giới thiệu biến thể định lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày gọi định lý giá trị trung bình Pompeiu Tác giả hi vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan đến chúng trình bày số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Định lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm liên quan 2.1 Định lý giá trị trung bình Pompeiu Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng [a, b ] không chứa với cặp x1 ≠ x [ a, b ] , tồn điểm ξ ∈ ( x1 , x ) cho x1.f ( x ) − x f ( x1 ) = f ( ξ ) − ξ f ' ( ξ ) x1 − x (1) Chứng minh: 1 1 Định nghĩa hàm giá trị thực F khoảng , b a 1 F(t) = t.f t 1 Vì f khả vi [ a, b ] ∉ [ a, b ] nên F khả vi , b a 1 ' 1 F '(t) = f − f t t t 1 Áp dụng định lý giá trị trung bình F [ x, y ] ⊂ , , ta có b a 90 (2) (3) ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TỐN F(x) − F(y) = F' (η) x−y (4) 1 ; x1 = ; x y Khi η∈ ( x, y ) , ta có x1 < ξ < x Sử dụng (2) (3) (4) , ta có 1 1 xf − yf x y = f − f' x−y η η η x f ( x ) − x f ( x1 ) hay = f ( ξ ) − ξf ' ( ξ ) x1 − x Với η∈ ( x, y ) Đặt x = 2.2 Ý nghĩa hình học định lý giá trị trung bình Pompeiu Phương trình cát tuyến nối điểm ( x1 , f ( x1 ) ) , ( x , f ( x ) ) y = f (x1 ) + f ( x ) − f ( x1 ) (x − x1 ) x − x1 Đường thẳng cắt trục tung điểm (0,y) , f ( x ) − f ( x1 ) x f ( x ) − x f ( x1 ) y = f (x1 ) + (0 − x1 ) = x − x1 x1 − x Phương trình tiếp tuyến điểm ( ξ, f ( ξ ) ) y = ( x − ξ) f ' (ξ) + f (ξ) Tiếp tuyến cắt trục tung điểm (0,y) , y = −ξf ' ( ξ ) + f ( ξ ) Nếu tiếp tuyến cắt trục tung điểm cát tuyến ta có x1f ( x ) − x f ( x1 ) = f ( ξ ) − ξf ' ( ξ ) x1 − x Đó phương trình định lí giá trị trung bình Pompeiu Do ý nghĩa hình học tiếp tuyến điểm ( ξ, f ( ξ ) ) cắt trục tung điểm cát tuyến nối điểm ( x1 , f ( x1 ) ) ; ( x , f ( x ) ) 2.3 Phương trình kiểu Stamate Chú ý Biểu thức đại số x1.f ( x ) − x f ( x1 ) = f ( ξ ) − ξ.f ' ( ξ ) x1 − x cho phương trình hàm Ở dạng xác vế phải khơng cần thiết Điều có liên quan vế phải phụ thuộc vào ξ mà không phụ thuộc trực tiếp vào x1 x Vì , ta có phương trình hàm xf (y) − yf (x) = h ( ξ ( x, y ) ) , ∀x, y ∈ », x ≠ y (5) x−y Tương tự tỉ sai phân, biến thể định nghĩa cơng trình Chung Sahoo (1993) đệ quy f { x1} = f ( x ) , f {x1 , x , , x n } = Một tính tốn dễ dàng chứng tỏ x n f {x1 , x , , x n −1} − x1f {x , x , , x n } x1 − x n 91 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN f { x1 , x } = x f (x1 ) − x1 f (x ) , x − x1 n n xj f {x1 , x , , x n } = ∑ ∏ f ( x i ) i =1 j≠ i x i − x j Kết sau trình bay cơng trình Aczel Kuczma(1989) Định lý 2.3.1 Các hàm f , h : » → » thỏa mãn phương trình hàm f {x, y} = h ( x + y ) , ∀x, y ∈ », x ≠ y (6) f ( x ) = ax + b, h(x) = b, a,b số tùy ý (7) Chứng minh Ta viết (6) thành x f (y) − y f (x) = ( x − y ) h ( x + y ) với x, y ∈ » , x = y Thay y = vào (8), ta có x f (0) = xh ( x ) , nghĩa h(x) = f ( ) = b, ≠ x ∈ » Đưa (9) vào (8), ta có xf (y) − y f (x) = (x − y)b Với x, y ∈ » mà x + y ≠ Đặt x = y ≠ −1 (10) ta f ( y ) = f (1) − b y + b = ay + b (8) (9) (10) (11) Với y ≠ −1 Đặt y = vào (11) , ta thấy f (2) = 2f (1) − b , đặt x = −1 y = vào (8), sử dụng (9), ta có f ( −1) = − f (1) − b + b , nghĩa f ( −1) = −a + b Do (11) với y ∈ » Thay x = y = −1 vào (8), ta h ( ) = b , nên (9) với x ∈ » Do ta có nghiệm (7) Điều đảo lại hiển nhiên Bổ đề 2.3.1 Nếu f , g, h : » → » thỏa mãn phương trình hàm xf (y) − yg(x) = h(x + y) x−y với x, y ∈ » mà x ≠ y f (x) = g(x), x ∈ » Chứng minh Thay đổi vai trò x y phương trình hàm bổ đề , so sánh phương trình hàm nhận đuợc với phương trình hàm đó, ta có Cho α xf (y) − yg(x) = xg(y) − yf (x), x, y ∈ », x ≠ y f (x) − g(x) g(y) − f (y) ⇒ = , x, y ∈ » \ {0} , x ≠ y x y g (α) − f (α) số thực khác cố định đặt c = , ta có α f (x) = g(x) + cx, x ∈ » \ {0, α} Cho u, v ∈ » \ {0, α} với u ≠ v Đặt x = u y = v phương trình , ta thấy c=-c c=0 Vì f (x) = g(x) với x ∈ » \ {0} Tiếp đến, đặt x = α y = phương trình hàm bổ đề, ta có f (0) = h ( α ) Ngoài ra, đặt x = y = α phương trình hàm 92 ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TỐN đó, ta có h ( α ) = g ( ) Vì f ( ) = g ( ) ta có f ( x ) = g ( x ) với x ∈ » Hệ sau kéo theo từ Bổ đề 2.3.1 Định lý 2.3.1 Hệ 2.3.1 Các hàm f , g, h : » → » thỏa mãn phương trình hàm xf ( y ) − yg ( x ) = h ( x + y ) , ∀x, y ∈ », x ≠ y x−y f ( x ) = g ( x ) = a x + b, h ( x ) = b, a,b số tùy ý Định lý 2.3.2 Cho s,t tham số thực Các hàm f , h : » → » thỏa mãn xf ( y ) − yf ( x ) = h ( sx + ty ) x−y với x, y ∈ », x ≠ y f (x) = a x + b (12) (13) a,b số tùy ý Chứng minh (12) viết lại xf ( y ) − y f ( x ) = ( x − y ) h ( sx + ty ) với x, y ∈ » mà x ≠ y Ta xét trường hợp sau Trường hợp Giả sử s=0=t Khi từ phương trình trên, ta có x f ( y ) − b = y f ( x ) − b (14) Cho y=1 phương trình (14), ta có f ( x ) = x f (1) − b + b = a x + b, (15) Với a = f (1) − b Vì ta có nghiệm khẳng định f (x) = a x + b h(x) = tùy ý với h(0) = b Trường hợp Giả sử t = s ≠ Khi phương trình (12) trở thành xf ( y ) − y f ( x ) = ( x − y ) h ( sx ) Cho y = (16), ta có xf ( ) = xh ( sx ) , nghĩa h ( x ) = b, x ∈ » \ {0} , (16) (17) Trong b = f ( ) Sử dụng (17) (16), ta có x f ( y ) − b = y f ( x ) − b , x ≠ Cho x = (18), ta có f ( y ) = y f (1) − b + b = a y + b, y ∈ » (18) (19) Cho x = (16) , ta có h ( ) = f ( ) = b (17) với x ∈ » Trường hợp Giả sử t ≠ s = Trường hợp xử lý tương tự trường hợp trước Vì ta có nghiệm (13) khẳng định định lý Trường hợp Giả sử s ≠ ≠ t Cho y = 0, ta có xf (0) = xh(sx) Do ta nhận (17) Đặt (17) vào (19), ta có xf (y) - yf (x) = (x-y)b (20) Với sx + ty ≠ Do đặt x = vào (20), ta có (21) 93 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN Với Cho (12), ta có Vì theo (21), ta có Vì (21) với Tiếp theo , ta chứng tỏ với ngoại trừ trường hợp xác định tùy ý với Cho (21), ta ta chứng tỏ Nếu Nếu hay Do ta có với 2.4 Một phương trình Kuczma Boggio (1947-1948) đưa suy rộng sau định lý giá trị trung bình Pompeiu Ở đây, định lý phát biểu mà khơng giới thiệu phần chứng minh (có thể xem cơng trình Boggio vào năm 1947 1948) Định lý 2.4.1 Với hàm giá trị thực f g khả vi khoảng , tồn điểm cho cặp Ở giả sử Định lý 2.4.2 Cho Các hàm khác không chứa với hàm liên tục tăng chặt mà thỏa mãn phương trình hàm với κ ∈ » α, β số tùy ý TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục, Quảng Nam Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích I, II, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội M Kuzma (1986), Functional Equation in a single Variable, Polish Scientific Publishers, Warszawa P.K Sahoo, T.Riedel (1998), Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific Publishing Co Pte Ltd C G Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer Science + Business Media, New York 94 ... Một phương trình Kuczma Boggio (1947-1948) đưa suy rộng sau định lý giá trị trung bình Pompeiu Ở đây, định lý phát biểu mà khơng giới thiệu phần chứng minh (có thể xem cơng trình Boggio vào năm... 1947 1948) Định lý 2.4.1 Với hàm giá trị thực f g khả vi khoảng , tồn điểm cho cặp Ở giả sử Định lý 2.4.2 Cho Các hàm khác không chứa với hàm liên tục tăng chặt mà thỏa mãn phương trình hàm với... mãn phương trình hàm xf (y) − yg(x) = h(x + y) x−y với x, y ∈ » mà x ≠ y f (x) = g(x), x ∈ » Chứng minh Thay đổi vai trò x y phương trình hàm bổ đề , so sánh phương trình hàm nhận đuợc với phương