Một số mở rộng và áp dụng của các định lý giá trị trung bình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ THỊNH MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ THỊNH MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Thành Tấn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Thống kê Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn Mục lục Lời nói đầu 1 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.2 Định lý giá trị trung bình tỉ sai phân 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy 13 1.4 Định lý giá trị trung bình Pompeiu 16 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 19 2.1 Vi phân đối xứng hàm thực 19 2.2 Định lý giá trị tựa - trung bình 23 2.3 Một số dạng suy rộng định lý giá trị trung bình 28 2.4 Đạo hàm Dini hàm thực 31 2.5 Định lý giá trị trung bình hàm khơng khả vi 36 2.6 Định lý giá trị trung bình tích phân mở rộng 2.7 Ứng dụng: Biểu diễn tích phân trung bình 49 2.8 Sự trùng giá trị trung bình 54 i 41 ii MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 59 3.1 Bài tốn 59 3.2 Bài toán nâng cao 66 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Xuất phát từ tính thời định lý giá trị trung bình suy rộng nhu cầu muốn tìm hiểu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng đạo hàm suy rộng tích phân đặc biệt dành cho khối chun tốn, định chọn đề tài với tên gọi: Một số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình để tiến hành nghiên cứu Vấn đề ln mang tính thời giải tích Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người tìm hiểu định lý giá trị trung bình số suy rộng với ứng dụng đạo hàm, tích phân giới thiệu số ứng dụng định lý giá trị trung bình giải tốn phổ thơng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Lịch sử vấn đề Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652 - 1719) đa thức vào năm 1691 Định lý xuất lần đầu sách Methode pour resoudre leségalitez khơng có chứng minh khơng có nhấn mạnh đặc biệt Định lý Rolle công nhận Joseph Lagrange (1736 - 1813) trình bày định lý giá trị trung bình sách Theorie des functions analytiques vào năm 1797 Nó nhận thêm công nhận Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) chứng minh định lý giá trị trung bình sách Equationnes differentielles ordinaires Gần nhiều phương trình hàm nghiên cứu xuất phát từ định lý giá trị trung bình suy rộng chúng Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng định lý giá trị trung bình Trình bày định lý giá trị trung bình suy rộng hàm có đạo hàm đối xứng đạo hàm Dini Ở đây, giới thiệu khái niệm vi phân đối xứng sau định lý giá trị trung bình hàm khả vi đối xứng Khái niệm đạo hàm Dini giới thiệu với số ví dụ, định lý giá trị trung bình hàm không khả vi định lý giá trị trung bình tích phân Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange số suy rộng áp dụng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình đạo hàm tích phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến suy rộng định lý giá trị trung bình ứng dụng chúng - Tham gia buổi hướng dẫn thầy để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp luận văn - Tổng quan kết nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange suy rộng nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý giá trị trung bình - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh họa hay hợp lý nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương sau: Chương 1, Các định lý giá trị trung bình Chương 2, Một số mở rộng định lý giá trị trung bình Chương 3, Một số ứng dụng giải tốn phổ thông Tất nội dung luận văn trình bày lại tham khảo từ tài liệu P K Sahoo T Riedel [4] Chương CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Trong chương chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình phép tính vi phân, nghiên cứu định lý giá trị trung bình tỉ sai phân Cuối chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy chứng minh định lý giá trị trung bình Pompeiu 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý phát lần Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc áp dụng định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Bonnet Ossian (1819-1892) Tuy nhiên, công bố định lý xuất báo nhà vật lý tiếng André - Marie Ampére (1775-1836) Nhiều kết giải tích thực hệ định lý giá trị trung bình Cơ sở định lý Rolle dựa vào hai kết sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f : R → R đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm c khoảng mở (a, b) f (c) = Mệnh đề 1.1.2 Một hàm f : R → R liên tục đoạn [a, b] phải đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [a, b] Định lý 1.1.3 (Định lý Rolle) Giả sử f hàm liên tục khoảng đóng [x1 , x2 ] có đạo hàm x ∈ (x1 , x2 ) Nếu f (x1 ) = f (x2 ) tồn điểm η ∈ (x1 , x2 ) cho f (η) = Như định lý Rolle giải thích mặt hình học sau có cát tuyến nằm ngang đồ thị f có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị cho tiếp điểm nằm hai giao điểm cát tuyến với đồ thị Một giải thích khác định lý Rolle hai nghiệm thực hàm thực khả vi f có điểm tới hạn f (nghiệm đạo hàm cấp f ) Định lý Rolle tổng quát hóa cách quay đồ thị hàm f để có định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.1.4 Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x1 = x2 I, tồn điểm η phụ thuộc vào x1 x2 cho f (x1 ) − f (x2 ) = f (η(x1 , x2 )) x1 − x2 (1.1) Chú ý 1.1.5 Ta kết thúc mục chứng minh khác định lý Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 Mệnh đề 1.1.2 Chứng minh Tucker (1997) Velleman (1998) 61 Bài toán Xét hàm số A(t) = 8t + e−3t đoạn [−2; 3] Tìm giá trị c thỏa mãn định lý giá trị trung bình Giải ∗ A(t) liên tục [−2; 3] khả vi (−2; 3) ∗ A(−2) = −16 + e6 ; A(3) = 24 + e−9 ∗ A (t) = − 3e−3t ∗ Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có f (3) − f (−2) = f (c) − (−2) (3.3) Thay giá trị vào (3.3) ta 3e−3c ≈ 80, 6857 Do c ≈ −1, 0973 thuộc (−2; 3) Vậy c ≈ −1, 0973 giá trị cần tìm Bài tốn Định lý giá trị trung bình có áp dụng cho hàm bên đoạn [−1, 3] không f (x) =   x2 − 3x x  x3 − 11x + 12 x > Giải ∗ Kiểm tra tính liên tục lim− f (x) = lim− (x2 − 3x) = 22 − 3.2 = −2, x→2 x→2 lim+ f (x) = lim− (x3 − 11x + 12) = 23 − 11.2 + 12 = −2 x→2 x→2 f (2) = 22 − 3.2 = −2 62 Suy lim− f (x) = lim+ f (x) = f (2) x→2 x→2 Do hàm số f (x) liên tục khoảng [−1, 3] ∗ Kiểm tra tính khả vi f (x) =   2x − x  3x2 − 11 x > lim f (x) = lim− (2x − 3) = 2.2 − = x→2− x→2 lim+ f (x) = lim+ (3x2 − 11) = 3.22 − 11 = x→2 x→2 f (2) = Do hàm f (x) khả vi khoảng (−1; 3) Vậy hàm f (x) liên tục [−1; 3] khả vi (−1; 3) nên Định lý giá trị trung bình áp dụng Bài tốn Định lý giá trị trung bình có áp dụng cho hàm bên [0; 6] không f (x) =  √   x2 + x  6 − (x − 5)2 x > Giải Kiểm tra tính liên tục lim f (x) = lim+ f (x) = f (4) = x→4− x→4 Do hàm liên tục [0, 4] Kiểm tra tính khả vi f (x) =   √ x x2 +9 x  −2(x − 5) x > 63 lim− f (x) = lim− √ x→4 x→4 x 4 =√ = 25 x2 + lim f (x) = lim+ (−2(x − 5)) = −2(4 − 5) = x→4+ x→4 Suy lim f (x) = lim+ x→4− x→4 Do hàm khơng khả vi x = Vì khơng khả vi khoảng (0, 4) Vậy định lý giá trị trung bình khơng thể áp dụng cho hàm Bài toán Cho hàm số f khả vi (0; 1) thỏa mãn f (0) = 0; f (1) = Chứng minh tồn hai số phân biệt a b thuộc (0; 1) cho f (a)f (b) = Giải Xét hàm số g(x) = f (x) + x − g khả vi (0; 1) Ta có: g(0) = −1 < g(1) = > nên tồn số c ∈ (0; 1) cho g(c) = Do đó: f (c) + c − = hay f (c) = − c Áp dụng định lý Lagrange cho f đoạn [0; c] [c; 1] tồn a ∈ (0; c) cho f (c) − f (0) = f (a) c−0 tồn b ∈ (c; 1) cho f (1) − f (c) = f (b) 1−c Từ suy f (a) = f (c) c , f (b) = 1−f (c) 1−c 64 f (c) 1−f (c) c 1−c Nên f (a)f (b) = = (1−c)c c(1−c) = Vậy tồn hai số phân biệt a,b thuộc (0; 1) cho f (a)f (b) = Bài toán Giả sử f (x) liên tục [−7; 0] khả vi (−7; 0) f (−7) = −3 f (x) Giá trị lớn f (0) là? Giải Theo định lý giá trị trung bình tồn c ∈ (−7; 0), ta có f (0) − f (−7) = f (c)(0 − (−7)) (3.4) Thay giá trị vào (3.4) ta f (0) = 7f (c) − Do f (0) 7.2 − = 11 11 Vậy giá trị lớn f (0) 11 Bài tốn Giải phương trình: 5x − 3x = 2x (3.5) Giải Nhận xét: x = 0; x = nghiệm phương trình (3.5) Gọi x0 nghiệm phương trình (3.5), ta có: 5x0 − 3x0 = 2x0 hay 5x0 − 5x0 = 3x0 − 3x0 (3.6) Xét hàm số: f (t) = tx0 − tx0 , phương trình (3.6) trở thành f (5) = f (3) Vì f (t) liên tục [3; 5] có đạo hàm (3; 5), theo định lý 65 Lagrange ln tồn c ∈ (3; 5) cho: f (c) = Khi x0 (cx0 −1 − 1) = x0 = x0 = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài tốn Giải phương trình : 2018x + 2020x = 2.2019x (3.7) Giải Nhận xét: x = 0; x = nghiệm phương trình (3.7) Gọi x0 nghiệm phương trình (3.7) Ta 0 0 0 2018x + 2020x = 2.2019x ⇔ 2018x − 2019x = 2019x − 2020x (3.8) 0 Xét hàm số f (t) = tx − (t + 1)x , phương trình đ (3.8) trở thành f (2018) = f (2019) Vì f (t) liên tục [2018; 2019] có đạo hàm khoảng (2018; 2019), theo định lý Rolle tồn c ∈ (2018; 2019) cho f (c) = nên x0 cx −1 − x0 (t + 1)x −1 = 0, x0 = x0 = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = 66 Bài toán 10 Cho hàm số g(x) liên tục [0; 1] khả vi (0; 1) thỏa mãn điều kiện g(0) = g(1) = Chứng minh tồn c ∈ (0; 1) cho g (c) = g(c) Giải Xét hàm số: f (x) = e−x g(x) Ta có f (x) = [g (x) − g(x)] e−x Theo định lý Rolle hàm f (x) tồn c ∈ (0; 1) cho f (c) = hay [g (c) − g(c)] e−c = Hay g (c) = g(c) 3.2 Bài toán nâng cao Bài toán 11 Cho hàm số f (x) khả vi khoảng [6; 13] cho (2x − 19) (f (x) − 6) = f (x) x2 − 19x + 78 ∀x ∈ [6, 13] Tìm giá trị nguyên chứa f ([6; 13]) Giải Giả sử: f (x) = ∀x ∈ [6; 13] g(x) = x2 − 19x + 78 (x − 6)(x − 13) = f (x) − f (x) − Ta có: g(6) = = g(13) g(x) khả vi [6; 13] Khi tồn c ∈ (6, 13) cho g (c) = (2x − 19)(f (x) − 6) − f (x)(x2 − 19x + 78) g (x) = (f (x) − 6)2 67 Suy (2c − 19)(f (c) − 6) − f (c)(c2 − 19c + 78) g (c) = = (f (c) − 6)2 Giải phương trình ta (2c − 19)(f (c) − 6) = f (c)(c2 − 19c + 78) Mâu thuẫn với điều giả sử ∈ f ([6; 13]) Giả sử f (x) = x − 19 14 + f (x) khả vi [6; 13] (2x − 19)(f (x) − 6) − f (x)(x2 − 19x + 78) x 19 =(2x − 19)( − ) − (x2 − 19x + 78) 14 = (2x − 19)(2x − 19) − 2(x2 − 19x + 78) 14 = (2x − 19)2 − 2(x − 6)(x − 13) 14 = ((x − 6) + (x − 13))2 − 2(x − 6)(x − 13) 14 (x − 6)2 + (x − 13)2 = 14 Vì 14 (x − 6)2 + (x − 13)2 > [6, 13] Do (2x − 19)(f (x) − 6) − f (x)(x2 − 19x + 78) > tức (2x − 19)(f (x) − 6) = f (x)(x2 − 19x + 78) Suy −1 < − 14 + = f (6) f (x) f (13) = 13 14 + Vậy giá trị nguyên chứa f ([6; 13]) Nhận xét: Chọn hàm g(x) tùy thuộc vào khoảng khả vi cho Nếu thay khoảng khả vi (6; 13) khoảng khác ta tốn với cách giải tương tự Bài tốn 12 Tính lim+ x→0 e7sinx − e7x sinx − x 68 Giải Giả sử x Khi x , hiển nhiên sin x < x Cho x cố định, cho Hx (y) = e7y − e7 sin x − (y − sin x) e7 sin x − e7x sin x − x ∀y ∈ [sin x, x] Ta có: Hx (x) = = Hx (sin x) Hx (y) khả vi [sin x, x] Khi tồn cx ∈ (sin x, x) cho Hx (cx ) = mà e7 sin x − e7x Hx (y) = 7e − sin x − x 7y Suy = Hx (cx ) = 7e e7sinx − e7x − sinx − x 7cx nên 7cx 7e e7sinx − e7x = sinx − x Khi cx → 0+ x → 0+ Ta có: e7sinx − e7x lim+ = lim+ 7e7cx = lim+ 7e7cx = x→0 x→0 cx →0 sinx − x Bài toán 13 Giả sử f liên tục 0; π2 thỏa mãn f (0) > 0, π f (x)dx < Chứng minh phương trình f (x) = sin x có π nghiệm khoảng 0; Giải Xét F (x) = f (x) − sin x F liên tục 0; π2 Khi đó: π f (x)dx < hay π f (x)dx − < Suy ra: π π [f (x) − sin x] dx = F (x)dx < 0 69 Do tồn c ∈ 0; π2 để F (c) < Mà F (0) = f (0) > nên tồn c0 ∈ 0; π2 để F (c0 ) = tức F (x) = có nghiệm Vậy f (x) = sin x có nghiệm 0; π2 Bài toán 14 Cho hàm số f (x) hàm khả vi thỏa mãn f (x) 14 với x Giả sử a b giá trị lớn giá trị nhỏ f (11) − f (3) Tính giá trị a + b Giải Nếu f (x) 14 ∀x Theo định lý giá trị trung bình: f (11) − f (3) = f (c).(11 − 3) với c ∈ [3, 11] Từ đó: f (11) − f (3) = 8f (c) f (c) 14 nên 40 Suy a = 40, b = 112 Vậy a + b = 152 8.f (c) 112 70 Bài toán 15 Cho hàm số f (x) = x3 + 9, với số θ thỏa mãn f (x + h) − f (x) = hf (x + θh) x > 0, h > < θ < Nếu giá trị lim θ = h→0 (a, b) = Tính giá trị a + b Giải Ta có: f (x) = 3x2 Khi f (x + h) − f (x) = h.f (x + θh) Suy (x + h)3 + − x3 − = 3h(x + θh)2 Giải phương trình ta θ= h x2 + hx + h2 −x Do đó: h→0 h lim θ = lim h→0 hx + = lim h→0 h = lim h→0 Mà lim θ = h→0 a b x2 + hx + h2 x2 + hx + x+ h2 −x h2 +x h x2 + hx + h2 +x = = 12 Do đó: a = 1, b = Suy a + b = Bài toán 16 Tính tích phân dx √ + x + x2 + x4 + 3x2 + a b 71 (Olympic sinh viên 2011) Giải Xét hàm số g(x) = + x + x2 + √ x4 + 3x2 + với x ∈ [−1; 1] Ta thấy 1 g(x) + g(−x) = + x2 √ + x + x2 − x4 + 3x2 + Ta có g(x) = 2(x + x3 ) Do g(0) = 1 g(x)dx = −1 g(x)dx + −1 = g(x)dx = g(−x)d(−x) + 1 (g(−x) + g(x))dx = 0 g(x)dx dx π = + x2 π Nhận xét: Việc đặt thêm hàm g(x) nhân liên hợp hồn Vậy tích phân cần tính tồn tự nhiên, kể tính chất g(x) + g(−x) = 1+x2 chứng minh hoàn toàn dễ dàng Tuy vậy, nhiều bạn chưa nắm vững tích phân suy rộng không dám nhân liên hợp kiểu miền cần tính tích phân có chứa số khó tìm lời giải thứ hai thay Bài toán 17 Cho hàm số f (x) = ln(x + 1) với x > 0, tồn số thực c = x ln(x+1) − thỏa mãn f (x) = xf (c) mà ta kí hiệu c(x) Tính lim+ c(x) x (Olympic sinh viên 2010) x→0 Giải c(x) lim+ = lim+ x→0 x→0 x x ln(x+1) x −1 = lim+ x→0 x − ln(x + 1) x ln(x + 1) 72 Theo quy tắc L’Hospital lim+ x→0 x − ln(x + 1) x − ln(x + 1) x = lim+ lim x→0 x→0+ x ln(x + 1) x ln(x + 1) x2 1 − 1+x 1 = lim+ lim+ = x→0 2x x→0 1+x Nhận xét: Để tính giới hạn mà khơng dùng quy tắc L’Hospital Vậy giới hạn cần tìm dùng không tách hai thành phần để tính riêng vất vả giới hạn Bài toán 18 Cho hàm số f (x) xác định có đạo hàm [0; +∞) Biết tồn giới hạn lim [f (x) + f (x)] = x→+∞ Tính lim f (x) x→+∞ (Olympic sinh viên 2007) Giải Xét hàm số g(x) = f (x)ex g(x) liên tục có đạo hàm [0; +∞) Ta có g(x) x→+∞ ex lim f (x) = lim x→+∞ Theo quy tắc L’Hospital g(x) g (x) (f (x) + f (x)) ex = lim = lim x→+∞ ex x→+∞ (ex ) x→+∞ ex lim = lim (f (x) + f (x)) = x→+∞ Từ suy lim f (x) = x→+∞ Nhận xét: Bài tốn khơng thay đổi thay số dương tùy ý 73 Bài toán 19 Giả sử hàm số f (x) liên tục [0; 1] f (0) = 0, f (1) = 1, khả vi (0; 1) Chứng minh với α ∈ (0; 1) ln tồn x1 , x2 ∈ (0; 1) cho α 1−α + = f (x1 ) f (x2 ) (Olympic sinh viên 2008) Giải Do f (x) liên tục nên với α ∈ [0; 1] tồn x0 ∈ (0; 1) cho f (x0 ) = α Theo định lý Lagrange tồn x1 ∈ (0; x0 ) x2 ∈ (x0 ; 1) cho f (1) − f (x0 ) f (x0 ) − f (0) = f (x1 ) = f (x2 ) x0 − − x0 Từ suy f (x1 ) = α x0 , f (x2 ) = 1−α 1−x0 α 1−α α 1−α + = α + = x0 + − x0 = f (x1 ) f (x2 ) (1 − α)/(1 − x ) x0 Ta có điều phải chứng minh Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số nội dung sau đây: Giới thiệu sơ lược định lý giá trị trung bình Trình bày phép chứng minh chi tiết định lý giá trị trung bình Trình bày mở rộng định lý giá trị trung bình số đạo hàm suy rộng tích phân Ứng dụng để giải tường minh số tốn có liên quan đến định lý giá trị trung bình 74 Tài liệu tham khảo [1] C.F Aull, The first symmetric derivative, Amer Math Monthly, 1967 [2] J Tong, The mean value theorem of Lagrange and Cauchy, Int J Maths Educ Sci Technol, 1999 [3] Lê Phúc Lữ, Tổng hợp đề thi olympic Tốn sinh viên mơn giải tích, 2013 [4] P K Sahoo and T Riedel Mean Value Theorems And Function Equations, 1998 75 ... đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange số suy rộng áp dụng Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số mở rộng áp dụng định lý giá trị trung bình đạo... lục Lời nói đầu 1 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.2 Định lý giá trị trung bình tỉ sai phân 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy ... 1.4 Định lý giá trị trung bình Pompeiu 16 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 19 2.1 Vi phân đối xứng hàm thực 19 2.2 Định lý giá trị tựa - trung bình