Các định lý giá trị trung bình vi phân và tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HỒ THẾ VŨ CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HỒ THẾ VŨ CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Gia Định Đà Nẵng – Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Hồ Thế Vũ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài .1 Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu .2 Bố cục đề tài .3 Ý nghĩa khoa học thực tiễn .3 CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM 19 1.3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM 26 1.4 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM 30 1.5 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM HAI BIẾN 38 1.6 PHƯƠNG TRÌNH HÀM KIỂU GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 39 1.7 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY ĐỐI VỚI CÁC HÀM HAI BIẾN 47 1.8 MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ 48 CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 50 2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ CÁC SUY RỘNG50 2.2 ỨNG DỤNG BIỂU DIỂN TÍCH PHÂN CỦA CÁC TRUNG BÌNH 61 2.3 SỰ TRÙNG NHAU CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH .69 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ 72 KẾT LUẬN .77 TÀI LIỆU THAM KHẢO .79 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đa thức vào năm 1691 Định lý xuất lần đầu sách Methode pour resoudre les égalitez khơng có chứng minh khơng có nhấn mạnh đặc biệt Định lý Rolle công nhận Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý giá trị trung bình sách Theorie des functions analytiques váo năm 1797 Nó nhận thêm cơng nhận Augustin Louis Cauchy (1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình ơng sách Equationnes differentielles ordinaires Hầu hết kết sách Cauchy sử dụng định lý giá trị trung bình định lý Rolle cách gián tiếp Do khám phá định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bình Lagrange), nhiều báo xuất trực tiếp gián tiếp bàn định lý Rolle Gần đây, nhiều phương trình hàm nghiên cứu xuất phát từ định lý giá trị trung bình suy rộng chúng Các suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange cho vi phân tích phân đem lại nhiều kết bất ngờ lý thú giải tích vào cuối kỷ 20 nguồn động lực để nhà toán học tập trung nghiên cứu năm gần Cụ thể suy rộng vi phân Flett (1958), McLeod (1964), Trahan (1966), Sanderson (1972), Samuelsson (1973), Evard-Jafari (1992), Clarke-Ledyaev (1994), Furi-Martelli (1995); suy rộng tích phân Waymen (1970), Walter (1985), Bullen-Mitrinovic-Vasis (1988), Kranz-Thews (1991), Bressoud (1994), Sayrafiezadeh (1995) Xuất phát từ tính thời định lý giá trị trung bình suy rộng cho trường hợp tích phân vi phân nhu cầu muốn tìm hiểu suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng chúng phương trình hàm, hai vấn đề quan trọng chương trình THPT, đặc biệt dành cho khối chun tốn, chúng tơi định chọn đề tài với tên gọi: Các định lý giá trị trung bình vi phân tích phân để tiến hành nghiên cứu Vấn đề ln mang tính thời giải tích Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu định lý giá trị trung bình số suy rộng với ứng dụng phương trình hàm hy vọng tìm số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu định lý giá trị trung bình, số suy rộng định lý giá trị trung bình cho trường hợp vi phân tích phân phương trình hàm xuất phát từ chúng tạo tài liệu tham khảo bổ ích cho người muốn tìm hiểu lĩnh vực Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình suy rộng cho vi phân tích phân Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý giá trị trung bình Lagrange, tỉ sai phân, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan đến chúng cho trường hợp vi phân định lý giá trị trung bình tích phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến suy rộng định lý giá trị trung bình vi phân, tích phân ứng dụng chúng - Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia định lý gia trị trung bình vi phân, tích phân ứng dụng chúng Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương : - Ở chương 1, bàn định lý giá trị trung bình Lagrange ba mở rộng cổ điển định lý giá trị trung bình tỉ sai phân, định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu với nhiều ví dụ minh họa liên quan đến phương trình hàm Chúng tơi khảo sát suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange Cauchy cho hàm hai biến, đồng thời giới thiệu phương trình hàm kiểu giá trị trung bình - Ở chương 2, bàn định lý giá trị trung bình tích phân suy rộng Một số ứng dụng định lý đưa ra, việc tìm biểu diễn tích phân trung bình số học, hình học, lơgarit, identric mở rộng chúng Ở đây, chúng tơi bàn luận tính lặp lại trung bình số học hình học định lý Kranz Thews phát biểu giá trị trung bình từ định lý giá trị trung bình tích phân định lý giá trị trung bình vi phân xảy điểm hàm cho có dạng affine mũ Chương bao gồm số toán mở Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị trung bình Lagrange, suy rộng cho trường hợp vi phân với phương trình hàm liên quan định lý giá trị trung bình tích phân với ứng dụng cho việc biểu diễn tích phân nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý giá trị trung bình vi phân, tích phân ứng dụng - Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập CHƯƠNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chương trình bày định lý giá trị trung bình phép tính vi phân số ứng dụng Hơn bàn đến nhiều phương trình hàm phát triển cách sử dụng định lý giá trị trung bình Tất phương trình hàm đề cập chương sử dụng theo đa thức đặc trưng Chương khảo sát định lý giá trị trung bình tỷ sai phân đưa số ứng dụng việc xác định trung bình hàm, chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pomeiu phương trình hàm khác động lực sử dụng định lý nói chung 1.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH HÀM Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý phát lần Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc áp dụng định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Bonnet Ossian (18191892) Tuy nhiên, công bố định lý xuất báo nhà vật lý tiếng Andre – Marie Ampère (1775-1836) Nhiều kết giải tích thực cổ điển hệ định lý giá trị trung bình Chứng minh định lý Rolle dựa hai kết sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f : ¡ ® ¡ đạt cực trị điểm c khoảng mở (a,b) f '( c ) = Mệnh đề 1.1.2 Một hàm liên tục f : ¡ ® ¡ đạt cực trị khoảng đóng bị chặn [a,b] Chúng ta bắt đầu với định lý Rolle sau : Định lý 1.1.1 Nếu f liên tục [ x1 , x ] khả vi ( x1 , x ) với f ( x1 ) = f ( x2 ) tồn điểm h Ỵ ( x1 , x2 ) cho f '(h ) = Chứng minh: Vì f liên tục [x1 , x2 ] khoảng đóng bị chặn nên theo Mệnh đề 1.1.2, f đạt giá trị cực đại cực tiểu khoảng Nếu hai xảy hai đầu mút x1 , x2 giá trị cực đại cực tiểu hàm hàm hằng, f '(h ) = với h Ỵ ( x1 , x2 ) Ngược lại, cực trị xảy điểm h Ỵ ( x1 , x2 ) theo Mệnh đề 1.1.1 ta có f '(h ) = Như định lý Rolle giải thích mặt hình học sau : có cát tuyến nằm ngang đồ thị f có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị cho tiếp điểm nằm hai giao điểm cát tuyến với đồ thị Một giải thích khác định lý Rolle hai nghiệm thực hàm thực khả vi f có điểm tới hạn f (nghiệm đạo hàm cấp f ' ) Định lý Rolle tổng quát hóa cách quay đồ thị hàm f để có định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.1.2 Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x1 ¹ x2 I, tồn điểm h phụ thuộc vào x1 x2 cho f ( x1 ) - f ( x2 ) = f '(h ( x1 , x2 )) x1 - x2 (1.1) Chứng minh: Xét hàm h( x) = f ( x2 ) - f ( x1 ) ( x - x1 ) + f ( x1 ) x2 - x1 Đây phương trình đường thẳng cắt đồ thị f ( x1 , f ( x1 )) ( x2 , f ( x2 )) Nếu ta đặt 65 1 = L(a, b) b - a ò b a dx x Sự biểu diễn tích phân chứng tỏ tổng quát hóa trung bình áp dụng Định lý 2.1.2, tức tổng qt hóa định lý giá trị trung bình Cho g : [ a , b ] ® ¡ dương ngặt khả tích Sử dụng Định lý 2.1.2, ta có tổng qt hóa trung bình sau b ò ln( I g ( a , b )) = g ( x ) ln xdx a ò b a g ( x ) dx b ò g ( x ) xdx ò g ( x ) dx Ag ( a , b ) = a b a dx a x = b Lg ( a , b ) ò g ( x ) dx ò b g ( x) a dx a x = b G g2 ( a , b ) ò g ( x ) dx ò b g ( x) a Nếu g ( x) º , ta suy họ trung bình Chúng ta xây dựng lớp rộng trung bình việc sử dụng tổng qt hóa định lý giá trị trung bình tích phân Các trung bình cổ điển trung bình số học, trung bình hình học, trung bình điều hịa có nhiều ứng dụng nhánh khác tốn học Trong phần cịn lại mục này, chúng tơi mơ tả ngắn gọn tính lặp lại trung bình số họchình học Gauss (1777-1855) liên hệ giải tích cổ điển 66 Một giá trị quý giải tích cổ điển tính lặp lại trung bình số học-hình học Gauss Với hai số dương a b cho trước ta ký hiệu a0 = a b0 = b định nghĩa cách đệ quy a n + bn = G ( a n , b n ) = a n bn a n + = A ( a n , bn ) = bn +1 Nếu ta giả sử < a < b , từ bất đẳng thức trung bình số học-hình học, ta có a n ³ a n + ³ bn + ³ bn Cho nên £ bn + - a n + = ( bn - a n ) 2( a + b) Do lim bn = lim a n nđƠ nđƠ Ta kớ hiu gii hạn chung M ( a , b ) = lim bn = lim a n nđ Ơ nđƠ Nm 1791, Gauss l ngi u tiờn chỳ ý đến tính lặp lại trung bình số học-hình học (AGM) lúc 14 tuổi điều đưa ông dẫn đầu khám phá hàm elip môdun Giới hạn M ( a , b ) có nhiều tính chất thú vị Chúng ta vài đặc điểm tính chất mà không chứng minh Giới hạn M ( a , b ) hàm bậc một, tức M ( l a , l b ) = l M ( a , b ) Giới hạn thỏa mãn phương trình hàm 67 ỉa+b M (a, b) = M ç , è ab ÷ ø (2.15) Nếu ta định nghĩa f ( x ) = M (1, x ) , f thõa mãn f ( x) = 1+ x ổ x f ỗỗ ÷÷ + x è ø Hàm M (1, x ) biểu thị dạng đóng theo quan điểm tích phân elip đầy đủ sau = M (1, x ) p ò p dq - (1 - x ) s in q 2 Gauss tìm điều có dạng đóng năm 1866 Giới hạn M (1, x ) thỏa mãn phương trình vi phân siêu bội d2y dy (x - x) + (3 x - 1) + xy = dx dx Tích phân có dạng ị éë f ( x ) + g ( x ) ( x - a )( x - b )( x - c ) ùûdx , f ( x ) , g ( x ) hàm số hữu tỷ a, b, c số phân biệt, lấy tích phân theo quan điểm " biết " hàm số Các tích phân gọi tích phân elip chúng xuất gây khó khăn việc tìm độ dài cung elip Euler số nhà toán hoc khác xem xét kỷ lưỡng tích phân elip Tích phân có dạng ị p dq a co s + b sin q gọi tích phân elip đầy đủ Ở a b số thực Một tích phân elip đầy đủ p , tức 2M (a, b) ò p dq a co s + b sin q 68 ò p dq a cos + b sin q = p M (a, b) Vì vậy, tích phân elip đánh giá thơng qua đánh giá M (a, b) Sự thay đổi tính lặp lại số học-hình học Gauss nghiên cứu nhiều tác giả Bản mô tả thay đổi khác có liên quan dẫn cho độc giả sách Bullen, Mitrinovic Vasic (1988) Ở đây, xét hai thay đổi Với hai số dương a b cho trước ta kí hiệu a0 = a b0 = b và định nghĩa cách đệ quy a n + bn = G ( a n + , bn ) = a n + bn a n +1 = A ( a n , bn ) = bn + dãy {an} {bn} có giới hạn chung cho b2 - a2 lim a n = lim bn = nđ Ơ nđ Ơ -1 ổ a cos ç ÷ èbø Tương tự, định nghĩa bn + = G ( a n , bn ) = a n bn a n + = A ( a n , bn + ) = a n + bn + , giới hạn chung dãy lim a n = lim bn = nđ Ơ nđ Ơ a (b - a ) ổ a cos ỗ ữ ố b ø 69 2.3 SỰ TRÙNG NHAU CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Trong mục này, chúng tơi mơ tả tất hàm số có giá trị trung bình đạo hàm chúng Để chứng minh mô tả định lý, kết sau điều cần thiết Kết gọi Định Lý Bernstein dẫn cho độc giả sách Walter ( 1985) thay cho việc chứng minh định lý Định lý 2.3.1 Cho g khả vi vô hạn khoảng I = (- r , r ) cho với n đủ lớn D n g ( x ) ³ với x Ỵ I (-1)n Dn g ( x) ³ với x Ỵ I , g xác định khai triển chuỗi Taylor khoảng I (Ở D n g ( x) ký hiệu đạo hàm cấp n g ) Tiếp theo định lý chúng tơi nói đến cần thiết phải đưa trùng hàm số f : ¡ ® ¡ (i) f khả vi liên tục đến cấp hai, (ii) sign ( f '( x )) = c1 với x, c1 Ỵ { - 1,1} , (iii) sign ( f "( x )) = c với x, c Ỵ { - 1,1} Định lý giá trị trung bình phép tính vi phân tích phân khẳng định giá trị trung bình W ( x, a) w( x, a) phù hợp với định nghĩa với x, a Ỵ¡ cho ta phương trình sau, với x ¹ a : f (W ( x , a )) = f '( w ( x , a )) = ò x a f (s)ds x-a f ( x) - f (a ) x-a (2.16) (2.17) với x = a ta định nghĩa W (a, a) = a = w(a, a) Nói chung hai giá trị trung bình khơng Do câu hỏi nảy sinh là, hàm f có giá trị trung bình W ( x, a) w( x, a) với x a Định lý sau Kranz Thews (1991) trả lời xác cho câu hỏi 70 Định lý 2.3.2 Cho f : ¡ ® ¡ thỏa mãn (i),(ii) (iii) Nếu với x, a Ỵ ¡ ta có điều sau W ( x , a ) = w( x , a ) , (2.18) có a , b v m ẻ Ă cho f ( x) = a e b x + m Chứng minh : Trước tiên, ta thấy f khả vi vô hạn Cho a cố định Để đơn giản ta viết w( x) thay cho w( x, a) Theo ta có ị x a f (s)ds x-a = ò f ( a + t ( x - a )) d t (2.19) ) (2.20) Sử dụng (2.16) (2.18), ta w( x) = f -1 (ò f ( a + t ( x - a )) d t , dễ dàng ta thấy w khả vi vô hạn f Đạo hàm (2.16) x ta thu w '( x ) = ò f '( a + t ( x - a )) tdt f '( w ( x )) > -1 Do w ( y ) tồn khả vi vô hạn f Bây ta cho x > a Với y = w ( x ) > a , từ (2.17) ta có sau f ( w - ( y )) - f ( a ) f '( y ) = w -1 ( y ) - a Do với x > a , f ' khả vi vô hạn f , f khả vi vô hạn Vì a tùy ý, điều khắp nơi với w Bây kí hiệu đạo hàm cấp k f a Dk f (a) xác định f ( a ), f '( a ), f "( a ) , Dk f (a) = Dk g (a) với k = 0,1, 2, , 71 g ( x) = Ae Bx + C A= f '( a ) Be Ba với B= f "( a ) , f '( a ) C = f ( a ) - Ae Ba Từ ta dễ dàng thấy sau: tính tốn cách đơn giản ta thấy g thực thỏa mãn điều kiện từ (2.16) đến (2.18) Dk f (a) = Dk g (a) với k = 0,1, Cuối để trình bày điều là: Từ (2.16) đến (2.18), ta ò f ( w ( x )) = ò f '( w ( x )) = 1 f ( a + t ( x - a )) d t (2.21) f '( a + t ( x - a )) d t (2.22) đạo hàm (2.19), (2.20) n lần với x = a ta D n f (a ) D ( f o w )( a ) = ò D f ( a )t dt = n +1 n D ( f 'o w )( a ) = n ò D n n +1 n D n +1 f ( a ) f ( a )t dt = n +1 n (2.23) (2.24) Với n = , từ (2.22) (2.23) ta thấy (( D n f ) o w )( a )( w '( a )) n + S n ( a ) + (( D f ) o w )( a ) D n w ( a ) D n f (a ) = n +1 (2.25) (( D n +1 f ) o w )( a )( w '( a )) n + R n ( a ) + (( D f ) o w )( a ) D n w ( a ) = D n +1 f ( a ) n +1 (2.26) 72 Trong Sn chứa đạo hàm f w đến cấp lớn n - Rn chứa đạo hàm f đến cấp lớn n w đến cấp lớn n - Do f '( a ) ¹ f "( a ) ¹ 0, giải (2.24) (2.25) để Dn w(a) Từ suy D n f (a ) + (( D n f ) o w )( a )( w '( a )) n - S n ( a ) n +1 D1 f (a ) n ỉ ỉ ư n +1 - ỗ ữ ữ D f ( a ) - Rn ( a ) ỗỗ n + ố ø ÷ø è = D f (a ) (2.27) Đối với n ³ , giải (2.26) để Dn+1 f (a), đạo hàm xác định đạo hàm cấp thấp ( có từ 2.24) Do tất đạo hàm xác định hết giá trị hàm số đạo hàm thứ nhất, thứ hai Điều lại để trình bày f giải tích, theo định lý đồng thức ta thu nghiệm Điều cho ta cách trực tiếp sau, thực sign B = B ( a ) A = A ( a ) số Định Lý Bernstein Điều xóa bỏ nhận định tất đạo hàm f dương đan dấu sign 2.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ Trong mục 3, thảo luận ngắn gọn tính lặp lại trung bình số học hình học Độc giả mong muốn hiểu rõ chủ đề tham khảo kỷ sách Borwein Borwein (1987) Borwein đồng nghiệp đưa số tốn mở năm 1992 tính 73 lặp lại trung bình Trong mục này, chúng tơi xin giới thiệu số tốn mở dạng Cho a b hai số thực dương Tính lặp lại liên kết trung bình Gauss với hai trung bình U V hai số hạng lặp lại a n + = U ( a n , bn ) bn + = V ( a n , bn ) với giá trị ban đầu a0 = a b0 = b Giới hạn chung {an } {bn } tồn gọi đa hợp Gauss U V kí hiệu sau U Ä V = U Ä V ( a , b ) Nếu U (a, b) = A(a, b) V ( a, b) = H (a, b) , dạng đóng U Ä V cho U Ä V (a, b) = ab = G ( a , b ) Nếu U (a, b) = H p (a, b) V (a, b) = H - p (a, b) , dạng đóng U Ä V cho U Ä V (a, b) = ab = G ( a , b ) , H p ( a, b) = p ap + bp , p Ỵ ¡ \{0} Nếu U (a, b) = A(a, b) V (a, b) = G (a, b) , dạng đóng U Ä V cho U Ä V (a, b) = M (a, b) Chú ý thảo luận vài tính chất M ( a , b ) Gọi Q (a, b) = a2 + b2 74 trung bình bậc hai L2 ( a , b ) = a2 + b2 a+b trung bình Lehmer Một toán mở Borwein Borwein (1992) đồng hóa, dạng đóng, đa hợp Gauss liên kết với trung bình số học A( a , b ) trung bình bậc hai Q ( a , b ) Tương tự, dạng đóng đa hợp Gauss liên kết với trung bình số học A( a , b ) trung bình Lehmer L2 ( a , b ) chưa biết Chúng ta tìm hiểu kỹ để hiểu dạng đóng hai giới hạn Định nghĩa đa hợp Gauss mở rộng để nâng cao thứ nguyên cách chọn U V để hai trung bình n số thực dương Cho ba số dương a, b c, ta kí hiệu a0 = a , b0 = b c0 = c ta định nghĩa cách đệ quy a n + bn + c n a b + a n c n + bn c n = U ( a n , bn , c n ) = n n a n + bn + c n a n + = A ( a n , bn , c n ) = bn + c n + = H ( a n , bn , c n ) = a n bn c n a n bn + a n c n + bn c n Thì Stieltjes (1891) trình bày giới hạn hàm số G ( a , b, c ) , trung bình hình học a, b c Nếu, mặt khác ta định nghĩa cách đệ quy 75 a n + bn + c n a n2 + bn2 + c n2 = L ( a n , bn , c n ) = a n + bn + c n a n + = A ( a n , bn , c n ) = bn + 1 æa +b +c ö c n + = H ( a n , bn , c n ) = ỗ ÷ , è ø n n n ba dãy {an } , {bn } {cn } hội tụ giới hạn chung Giới hạn lấy làm giới hạn hàm số hay khơng ? Nói chung, điều lấy làm đa hợp Gauss nhiều chiều hay khơng ? Nhắc lại trung bình Stolarsky na ( x, y ) định nghĩa sau a a æ x -y ö na ( x, y ) = ç ÷ è a ( x - y) ø a -1 với a ¹ 0,1 Nó giả định Alzer (1986) L ( x, y ) < na ( x, y ) + n-a ( x, y ) < A( x, y ) với a Ỵ ¡ \ {0} Đến khơng chứng minh mà khơng phủ định, lấy ví dụ giả định Cuối cùng, kết thúc mục với vấn đề sau Phương trình hàm (2.15) phương trình hàm thú vị Một biến thức (2.15) phương trình có dạng sau : ỉ a + b 2ab fỗ , ữ = f ( a, b), a + b è ø (2.28) f : ¡ + ´ ¡ + ® ¡ Haruki Rassias (1995) xem xét kỷ lưỡng phương trình hàm Họ trình bày f biểu diễn 76 f ( a, b) = 2p ò 2p g ( s ) dq , 2 s = a sin q + b cos q , g : ¡ + ® ¡ hàm số cho g "( x ) liên tục ¡ + , nghiệm (2.28) f ( a, b) = A + B, ab A B hai số Haruki Rassias (1995) đưa toán mở sau Cho f : ¡ + ´ ¡ + ® ¡ hàm số liên tục ¡ + ´ ¡ + Nghiệm liên tục phương trình hàm (2.28) có phải f (a, b) = f (a, b) , f : ¡ + ® ¡ hàm số liên tục hay không ? 77 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu định lý giá trị trung bình vi phân tích phân số ứng dụng chúng, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Tổng quan hệ thống cách đầy đủ định lý giá trị trung bình Lagrange ứng dụng phương trình hàm ba mở rộng cổ điển định lý giá trị trung bình tỉ sai phân, định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu với ứng dụng việc nghiên cứu phương trình hàm Chúng khảo sát số suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange Cauchy cho hàm hai biến, đồng thời đưa phương trình hàm kiểu giá trị trung bình, số toán mở phương trình hàm liên quan Trình bày đầy đủ, rõ ràng, chi tiết định lý giá trị trung bình tích phân suy rộng Một số ứng dụng định lý đưa ra, với việc tìm biểu diễn tích phân trung bình số học, hình học, lôgarit, identric mở rộng chúng Chúng bàn luận tính lặp lại trung bình số học hình học, đưa định lý Kranz Thews trùng giá tri trung bình vi phân giá trị trung bình tích phân Bên cạnh chúng tơi đưa số toán mở cho phương trình hàm liên quan Với khảo sát đạt được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hi vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu định lý giá trị trung bình vi phân tích phân ứng dụng chúng 78 Trong trình làm luận văn, có nhiều cố gắng, song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo dục, Quảng Nam [2] Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng giải tích I, II, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Thị Ngọc Toàn (2013), Các suy rộng định lý giá trị trung bình Lagrange, Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, Đại học Đà Nẵng Tiếng Anh [4] C.G Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer Science + Business Media, New York [5] P.K Sahoo, T Riedel (1998), Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific Publishing Co Pte Ltd ... KIỂU GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 39 1.7 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY ĐỐI VỚI CÁC HÀM HAI BIẾN 47 1.8 MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ 48 CHƯƠNG 2: CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ... Cauchy sử dụng định lý giá trị trung bình định lý Rolle cách gián tiếp Do khám phá định lý Rolle (hoặc định lý giá trị trung bình Lagrange), nhiều báo xuất trực tiếp gián tiếp bàn định lý Rolle Gần... CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chương trình bày định lý giá trị trung bình phép tính vi phân số ứng dụng Hơn bàn đến nhiều phương trình hàm phát triển cách sử dụng định lý giá