Định lý giá trị trung bình lagrange một số mở rộng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THÚY NGA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THÚY NGA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Hồ Thúy Nga LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Huỳnh Minh Hiền người tận tình hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Thống kê, Phịng sau Đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Hồ Thúy Nga Mục lục Mở đầu Một số định lý giá trị trung bình cổ điển v 1.1 Định lý Rolle 1.2 Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy Một số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange 2.1 Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến 2.1.1 Định lý giá trị trung bình Flett 2.1.2 Định lý giá trị trung bình Trahan 10 2.2 Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực hai biến 12 2.3 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ biến thực 16 2.4 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ hai biến thực 18 2.5 Định lý giá trị trung bình cho hàm mặt phẳng phức 23 Ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange giải tốn phổ thơng 31 3.1 3.2 3.3 Chứng minh bất đẳng thức 31 3.1.1 Cơ sở lý thuyết 31 3.1.2 Áp dụng 32 Chứng minh tồn nghiệm phương trình 34 3.2.1 Cơ sở lý thuyết 34 3.2.2 Áp dụng 35 Giải phương trình 38 iii 3.4 3.5 3.6 3.3.1 Cơ sở lý thuyết 38 3.3.2 Áp dụng 39 Tính giới hạn dãy số 42 3.4.1 Cơ sở lý thuyết 42 3.4.2 Áp dụng 43 Tìm giá trị trung gian 44 3.5.1 Cơ sở lý thuyết 44 3.5.2 Áp dụng 45 Một số toán ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange kỳ thi học sinh giỏi 46 Kết luận 53 iv Mở đầu Định lý giá trị trung bình định lý quan trọng có nhiều ứng dụng Giải tích tốn học Trong chương trình tốn học phổ thơng, định lý giá trị trung bình ứng dụng khai thác nhiều kì thi Olympic chọn học sinh giỏi, chẳng hạn chứng minh bất đẳng thức, chứng minh tồn nghiệm phương trình, giải phương trình, tính giới hạn dãy số, Tuy nhiên chương trình tốn phổ thơng chương trình đại học, giới thiệu định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến, cần tìm hiểu cho hàm tổng quát hàm số thực biến, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm mặt phẳng phức nghiên cứu sâu ứng dụng dạng mở rộng định lý Với suy nghĩ đó, mục tiêu luận văn nhằm cung cấp thêm cho cho em học sinh, sinh viên, đặc biệt em học sinh khá, giỏi, có khiếu u thích mơn tốn, tài liệu, ngồi kiến thức cịn có thêm kiến thức số tập nâng cao, qua thấy rõ dạng tốn ứng dụng phong phú Định lý Rolle, Định lý Lagrange số định lý mở rộng khác Hơn nữa, luận văn định hướng phương pháp giải cho dạng tốn cụ thể Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương trình bày số định lý giá trị trung bình cổ điển Rolle, Lagrange, Cauchy Chương trình bày số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange cho hàm số thực biến, hàm số thực biến, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm giá trị véctơ biến thực hàm mặt phẳng phức Chương cuối trình bày số ví dụ toán thi học sinh giỏi ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả v Chương Một số định lý giá trị trung bình cổ điển Một định lý quan trọng phép tính vi phân Định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý lần khám phá Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc sử dụng Định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Ossian Bonnet (1819-1892) Tuy nhiên, phát biểu định lý đưa báo nhà vật lý tiếng André-Marie Ampére (1775-1836) Định lý Rolle Michel Rolle (1652-1719) đưa năm 1690, chứng minh năm 1691 Sau định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến 1.1 Định lý Rolle Chứng minh Định lý Rolle dựa vào hai kết sau Bổ đề 1.1 ([5]) Nếu hàm f : [a, b] → R, khả vi đạt cực trị điểm c thuộc khoảng mở (a, b), f (c) = Chứng minh Giả sử hàm số f : [a, b] → R đạt giá trị cực đại điểm c ∈ (a, b), tức f (c) ≥ f (x), ∀x ∈ (a, b) Vì c ∈ (a, b) nên ta chọn hai dãy số {pn }n≥1 ⊂ (a, b) {qn }n≥1 ⊂ (a, b) cho n → ∞ pn → c, qn → c pn ≤ c, qn ≥ c, ∀n ≥ Vì c điểm cực đại hàm số f (a, b) với n, f (pn )−f (c) ≤ f (qn ) − f (c) ≤ Do với n ≥ 1, ta có f (pn ) − f (c) ≥0 pn − c f (qn ) − f (c) ≤ qn − c Theo giả thiết, f khả vi c, tức tồn giới hạn sau f (x) − f (c) = f (c) x→c x−c lim Do ≤ lim n→∞ f (qn ) − f (c) f (pn ) − f (c) = f (c) = lim ≤ n→∞ pn − c qn − c Vậy f (c) = Thực tương tự với trường hợp hàm số f đạt cực tiểu điểm c ∈ (a, b) ta thu f (c) = Bổ đề chứng minh Bổ đề 1.2 ([5]) Nếu hàm số f : [a, b] → R liên tục f đạt cực trị đoạn [a, b] Chứng minh Đặt M = sup {f (x), x ∈ [a, b]} Vậy với n ≥ 1, n ∈ N, tồn điểm cn ∈ [a, b] cho |M − f (cn )| < 1/n Vì dãy {cn }n≥1 ⊂ [a, b] nên theo Định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dãy {cnk }k≥1 hội tụ, đặt lim cnk = d Vì f hàm liên tục đoạn [a, b], f (cnk ) → f (d) k → ∞ k→∞ Mặt khác, |M − f (cnk )| < 1/nk , ∀k ≥ 1, M = lim f (cnk ) = f (d) k→∞ Vậy hàm số f đạt giá trị cực đại đoạn [a, b] giá trị cực đại M Tương tự, đặt N = inf {f (x), x ∈ [a, b]}, f đạt cực tiểu [a, b] giá trị cực tiểu N Bổ đề chứng minh Định lý 1.1 (Rolle,[5]) Nếu hàm số f liên tục [a, b], khả vi (a, b) f (a) = f (b) tồn điểm η ∈ (a, b) cho f (η) = Chứng minh Vì f liên tục [a, b], theo Bổ đề 1.2 f đạt cực đại cực tiểu [a, b] Nếu hai giá trị đạt điểm a, b giá trị cực đại giá trị cực tiểu Do f hàm Suy f (η) = với η ∈ (a, b) Nếu f đạt cực trị điểm η ∈ (a, b) theo Bổ đề 1.1 f (η) = Ví dụ 1.1 Xét hàm số f (x) = x2 − 4x + liên tục đoạn [1, 3], khả vi khoảng (1, 3) có đạo hàm f (x) = 2x − 4, ∀x ∈ [1, 3] Ta có f (1) = f (3) = Rõ ràng, ∈ (1, 3) f (2) = Ý nghĩa hình học: Định lý Rolle giải thích mặt hình học sau: Nếu có đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm f hai điểm có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị điểm nằm hai giao điểm đồ thị đường thẳng cho Hình 1.1: Biểu diễn hình học Định lý Rolle 1.2 Định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.2 (Lagrange,[5]) Nếu f : [a, b] → R hàm số liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b), tồn điểm η ∈ (a, b) cho f (a) − f (b) = f (η) a−b Lời giải Đặt t = cos x, t ∈ [−1, 1] Khi đó, (3.5) trở thành (1 + t)(2 + 4t ) − · 4t = Xét hàm số f (t) = (1 + t)(2 + 4t ) − · 4t Ta có f (t) = + 4t + (t − 2)4t · ln 4, f (t) = · 4t · ln + (t − 2)4t · ln2 Suy f (t) = có nghiệm t = + ln4 , f (t) = có nhiều nghiệm, f (t) = có nhiều nghiệm Ta thấy f (0) = f ( 21 ) = f (1) = Do f (t) = có nghiệm t = 0, t = 12 , t = Vậy nghiệm phương trình (3.5) x= π π + kπ, x = ± + k2π, x = k2π Ví dụ 3.14 ([3]) Giải phương trình 23x −2x + 93x −2x = 43x −2x −2x −2x + 73x (3.6) Lời giải Phương trình (3.6) tương đương với 93x −2x − 73x −2x = 43x −2x − 23x Xét hàm số f (t) = (t + 2)3x −2x − t3x −2x , f (t) = (3x2 − 2x) (t + 2)3x −2x−1 − t3x −2x−1 Mặt khác f (7) = f (2), áp dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange, tồn d ∈ (2, 7) cho f (d)(7 − 2) = f (7) − f (2), tương đương 5f (d) = 0, hay f (d) = Do (3x2 − 2x) (t + 2)3x −2x−1 40 − t3x −2x−1 =  x=0    x = 32 3x2 − 2x =  ⇔ ⇔   x=1 3x − 2x − =  x = −1  Vậy nghiệm phương trình (3.6) x= −1 , x = 0, x = , x = 3 Ví dụ 3.15 ([3]) Giải phương trình 2x+2 = log2 8x + (6x − 4) (3.7) Chứng minh Tập xác định x > Đặt y + = log2 8x hay 8x = 2y+2 (3.8) 2x+2 = 2(y + 2) + 6x − ⇔ 2x+2 = 2y + 6x (3.9) Thay (3.8) vào (3.7) ta Từ (3.8), (3.9) ta có hệ phương trình   2x+2 = 2y + 6x  8x = 2y+2 Trừ vế theo vế ta 2y+2 − 2x+2 = 2x − 2y ⇔ 2y+2 + 2y = 2x+2 + 2x ⇔ 2y+1 + y = 2x+1 + x (3.10) Xét hàm số f (t) = 2t+1 + t hàm số khả vi R Ta có f (t) = 2t+1 ln + > với t ∈ R Mặt khác f (y) = f (x), suy y = x Thay vào (3.8) ta 8x = 2x+2 ⇔ 2x − 2x = Đặt g(x) = 2x − 2x, ta có g (x) = 2x ln − 2, 41 (3.11) g (x) = 2x (ln 2)2 > 0, với x Theo Định lý 3.3, phương trình g (x) = có nhiều nghiệm, hay g(x) = có nhiều hai nghiệm Mà g(1) = g(2) Do x = 1, x = nghiệm phương trình (3.11) Thử lại ta thấy x = 1, x = nghiệm phương trình (3.7) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1, x = 3.4 3.4.1 Tính giới hạn dãy số Cơ sở lý thuyết Định lý 3.5 Giả sử hàm số f : R → R khả vi |f (x)| ≤ C < với C số Khi đó, dãy số {xn }n≥1 xác định   x1 ∈ R  xn+1 = f (xn ), n = 1, 2, có lim xn = α, với α ∈ R thỏa mãn f (α) = α n→∞ Chứng minh Với x, y ∈ R, tồn ξ nằm x y cho |f (x) − f (y)| = |f (ξ)| · |x − y| ≤ C|x − y| Theo giả thiết, C ≤ nên f ánh xạ co Theo Nguyên lý ánh xạ co Banach, f có điểm bất động α ∈ R hay f (α) = α Khi đó, xn+1 − α f (xn ) − f (α) = xn − α xn − α Theo định lý Lagrange, tồn điểm η nằm xn α cho |f (η)| = f (xn ) − f (α) ≤ C xn − α Suy |xn+1 − α| = |f (η)| · |xn − α| ≤ C|xn − α| ≤ · · · ≤ C n |x1 − α| Vì C < nên lim xn = α n→∞ 42 3.4.2 Áp dụng Ví dụ 3.16 Cho a > dãy số (un ) xác định sau   u1 = a  un+1 = log (u3 + 1) 31 + , n ≥ n Tính giới hạn lim un n→∞ Lời giải Ta thấy un > với n ≥ Với x > 0, xét hàm số f (x) = log3 (x3 + 1) + 34 = 13 log3 (x3 + 1) + 43 , f (x) = Do x3 + = x3 + x3 +1≥ 3x √ x2 (x3 + 1) ln với x > nên < f (x) ≤ C, ∀x > C = √ ln < Mà f (2) = nên theo Định lý 3.5, lim un = n→∞ Ví dụ 3.17 Cho dãy số (xn ) xác định sau   x =  xn+1 = xn +3 xn +2 , n ≥ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn Tìm giới hạn Lời giải Ta thấy xn > với n ≥ Đặt f (x) = Ta có xn+1 = f (xn ) f (x) = x+3 , ∀x > x+2 −1 (x+2)2 , suy −1 < , ∀x > (x + 2)2 f (x) = Gọi α nghiệm dương phương trình f (x) = x  Ta có f (x) = x hay x = x+3 x+2 ⇔ Vì α nghiệm dương nên α = x= x= √ −1+ √ −1− √ −1+ Theo Định lý 3.5 dãy (xn ) có giới hạn lim xn = 43 √ −1+ Ví dụ 3.18 (VMO 2018) Cho dãy số thực (xn ) xác định sau:   x =  xn+1 = √xn + − √xn + 3, n ≥ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Ta thấy xn > với n ≥ xét hàm số f (x) = √ x + 3, x > Hàm số có đạo hàm f (x) = Vậy với x > |f (x)| < 3.5, lim xn = √ 1 −√ x+8 x+3 √ 2 + √1 √ x+8− , x > < Vì f (1) = nên theo Định lý x→∞ Ví dụ 3.19 (VMO 2015) Cho un dãy số xác định   u1 =  un+1 = un + u2n + 3, n ≥ Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải Từ công thức truy hồi ta suy với n ≥ un > Đặt f (x) = √ 1 2 x + x + 3, với x > Ta có xn+1 = f (xn ) f (x) = + 0< hay 1√ x x2 +3 Vì < x2 < x2 + 3, ∀x > nên x2 Vì f (1) = nên theo Định lý 3.5, lim un = n→∞ 3.5 3.5.1 Tìm giá trị trung gian Cơ sở lý thuyết Trong dạng ta thường tìm hàm số phù hợp với giả thiết đề áp dụng trực tiếp định lý giá trị trung bình 44 3.5.2 Áp dụng Ví dụ 3.20 (Đề giới thiệu Olympic Tốn học Sinh viên-Học sinh năm 2018, [1]) Cho f hàm số thực khả vi [a, b] có đạo hàm cấp (a, b) Chứng minh với x ∈ (a, b) tìm điểm c ∈ (a, b) cho f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a)(x − b) (x − a) = f (c) b−a Lời giải Đặt g(x) = f (x) − f (a) − xác định k từ điều kiện f (b)−f (a) (x b−a g(x0 ) = f (x0 ) − f (a) − − − a) − (x−a)(x−b) k Lấy x0 ∈ (a, b), f (b) − f (a) (x0 − a) b−a (x0 − a)(x0 − b) k = Khi g(x0 ) = g(a) = g(b) = Theo giả thiết định nghĩa hàm g suy g liên tục khả vi [a, x0 ] Áp dụng Định lý Rolle, tồn c1 ∈ [a, x0 ] cho g (c1 ) = Tương tự, tồn c2 ∈ [x0 , b] cho g (c2 ) = Mặt khác, từ định nghĩa ta suy g (x) = f (x) − f (b) − f (a) a+b −k x− b−a Theo giả thiết, f có đạo hàm cấp (a, b) nên g có đạo hàm cấp (a, b) Và g (c1 ) = g (c2 ) = nên theo Định lý Rolle, tồn c ∈ (c1 , c2 ) cho g (c) = f (c) − k = Do đó, tồn c ∈ (a, b) cho f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a)(x − b) (x − a) = f (c) b−a Ví dụ 3.21 (Đề giới thiệu Olympic Toán học Sinh viên-Học sinh năm 2018, [1]) Cho hàm f : [a, b] → R khả vi với f (x) = kπ, k ∈ Z, ∀x ∈ [a, b] Chứng minh tồn c ∈ (a, b) cho 2 < f (c) · cot(f (c)) < a−c b−c 45 Lời giải Xét hàm số g(x) = (x − a)(x − b) sin(f (x)), x ∈ [a, b] Hàm số g khả vi [a, b] g (x) = (x − a) sin(f (x)) + (x − b) sin(f (x)) +(x − a)(x − b)f (x) cos(f (x)) = (2x − b − a) sin(f (x)) + (x − a)(x − b)f (x) cos(f (x)) Ta thấy g(a) = g(b) = Theo Định lý Rolle, tồn điểm c ∈ (a, b) cho g (c) = 0, hay (2x − b − a) sin(f (x)) + (x − a)(x − b)f (x) cos(f (x)) = 0, suy f (c) · cot(f (c)) = a + b − 2c (a − c)(b − c) Việc lại ta phải chứng minh a + b − 2c 1 < f (c) · cot(f (c)) = = + < a−c (a − c)(b − c) a−c b−c b−c Thật vậy, a − c < b − c > nên 3.6 a−c < b−c , bất đẳng thức Một số toán ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange kỳ thi học sinh giỏi Bài toán 3.1 (Đề giới thiệu Olympic 30-4) Cho phương trình x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + với a, b, c, d hệ số thực Biết phương trình cho có năm nghiệm thực phân biệt Chứng minh rằng: 2(a2 + d2 ) > 5(b + c) Lời giải Xét đa thức P (x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 1, theo giả thiết phương trình P (x) = có năm nghiệm hệ số tự = nghiệm phương trình khác Ta có: P (x) = 5x4 + 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d, P (x) = 20x3 + 12ax2 + 6bx + 2c, 46 P (x) = 60x2 + 24ax + 6b Theo Định lý Lagrange, P (x) = có năm nghiệm phân biệt nên phương trình nên phương trình P (x) = có hai nghiệm phân biệt, ta có ∆ = 144a2 > 360b hay 2a2 > 5b (3.12) Khi xét Q(x) = P (x)/x5 , Q(x) = có năm nghiệm phân biệt Lý luận tương tự trên, ta có ∆ = 144d2 > 360c hay 2d2 > 5c (3.13) Từ (3.12) (3.13), ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.2 (Đề thi Olympic Toán nước Nga) Cho f hàm số liên tục R tuần hoàn với chu kỳ Chứng minh phương trình f (x) = f (x + π) có nghiệm Lời giải Vì f hàm số tuần hoàn với chu kỳ nên với a ∈ R ta ln có a+1 f (x)dx = f (x)dx a Xét hàm số g(x) = f (x) − f (x + π) Đặt G (x) hàm số thoả mãn G (x) = g(x), G(1) − G(0) = g(x)dx 1 f (x + π)dx − = f (x)dx 0 1+π f (x)dx − = f (x)dx π = Áp dụng Định lý Lagrange, tồn c ∈ (0, 1) cho G (c) = hay f (c) = f (c + π) Bài toán 3.3 (Đề Olympic Toán học Sinh viên-Học sinh năm 2018, [1]) Giả sử f : [0, 1] → R hàm số khả vi cho 1 f (x)dx = xf (x)dx Chứng minh tồn số thực c ∈ (0, 1) cho c f (c) = 2018f (c) f (x)dx 47 x x Lời giải Đặt F (x) = x f (t)dt − tf (t)dt, ta có hàm F khả vi [0, 1] với F (0) = F (1) = Theo định lý Rolle tồn c ∈ (0, 1) cho F (x0 ) = 0, tức x0 f (t)dt = 0 Đặt G(x) = e−2018f (x) Từ ta x f (t)dt, ta có hàm G khả vi [0, 1] với G(0) = G(x0 ) = c f (c) = 2018f (c) f (t)dt Bài toán 3.4 (VMO 2002) Cho n số nguyên dương Chứng minh phương 1 + 4x−1 + · · · + n2 x−1 = 12 có nghiệm xn > n → ∞, trình x−1 xn → Lời giải Đặt fn (x) = 1 1 + + ··· + − x − 4x − n x−1 Ta có lim+ fn (x) = +∞, lim fn (x) = Hơn fn hàm đơn điệu giảm x→+∞ x→1 (1, +∞) Do fn (x) có nghiệm lớn 1, ta gọi nghiệm xn Lại có 1 1 + + ··· + − − 16 − 4n − 1 1 + + ··· + − = 1·3 3·5 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 − = − + − + ··· + 3 2n − 2n + 1 =− 2(2n + 1) fn (4) = − Áp dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange, tồn cn ∈ (xn , 4) cho − − 2(2n+1) |fn (xn ) − fn (4)| |f (cn )| = = |xn − 4| |xn − 4| hay |xn − 4| = 2(2n + 1)|f (cn )| 48 , Mặt khác, < cn < |fn (cn )| = 1 n2 + + · · · + > 2 2 (cn − 1) (4cn − 1) (n cn − 1) Do |xn − 4| < Khi n → ∞ 2(2n+1) ·9= 2(2n + 1) 2(2n + 1) → Vậy lim xn = n→+∞ Bài toán 3.5 (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy số thực {xn }n≥1 xác định   x = a  xn+1 = ln(3 + cos xn + sin xn ) − 2008, n ≥ Chứng minh dãy số {xn }n≥1 có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô Lời giải Đặt f (x) = ln(3 + cos x + sin x) − 2008 Khi đó, cos x − sin x + cos x + sin x √ √ Vì | cos x − sin x| ≤ | sin x + cos x| ≤ với x ∈ R nên √ √ < |f (x)| ≤ 3− f (x) = Với m < n ≤ N , áp dụng Định lý Lagrange, tồn c nằm xm xn cho f (xm−1 ) − f (xn−1 ) = f (c) xm−1 − xn−1 suy √ f (xm−1 ) − f (xn−1 ) √ ), = f (c) ≤ q < 1, (q = xm−1 − xn−1 3− |xm − xn | = |f (xm−1 ) − f (xn−1 )| ≤ q |xm−1 − xn−1 | ≤ q n−1 |xm+n−1 − x1 | ≤ q N −1 |xm+n−1 − x1 | 49 Rõ ràng dãy {xn }n≥1 bị chặn q < nên với > 0, tồn số tự nhiên N đủ lớn cho với m < n ≤ N, q N −1 |xm+n−1 − x1 | < Vậy dãy {xn }n≥1 dãy Cauchy nên có giới hạn hữu hạn Bài tốn 3.6 (VMO 2007) Cho số thực a > fn (x) = a10 xn+10 +xn + +x+1 Chứng minh với số tự nhiên n, phương trình fn (x) = a có nghiệm dương Hơn nữa, đặt nghiệm xn , chứng minh dãy số {xn }n≥1 có giới hạn hữu hạn n dần đến vơ Tìm giới hạn Lời giải Rõ ràng fn (x) tăng khoảng (0, ∞) Vì fn (0) = fn (1) > a, phương trình fn (x) = a có nghiệm dương xn Hơn xn ∈ (0, 1) Ta có fn (1) = a10 + n + > a fn+1 (xn ) = xn fn (xn ) + = axn + Giả sử xn ≥ (a − 1)/a, fn (xn ) ≥ a a−1 a 10 n+10 + a−1 n+1 a − a−1 a 1− > a Vậy xn < (a − 1)/a Vì fn+1 (xn ) = axn + < a fn (1) = a10 + n + > a nên xn < xn+1 < Vậy {xn }n≥1 dãy số tăng bị chặn Khi dãy {xn }n≥1 hội tụ Đặt c = a−1 a < k = (a − 1)((a − 1)9 − 1) > Khi 10 fn (c) = (a − 1) a−1 a n + a − (a − 1) fn (c) − fn (xn ) = kcn Theo Định lý Lagrange, tồn ξ ∈ (xn , c) cho f (ξ)(c − xn ) = fn (c) − fn (xn ) Vì f (ξ) > nên từ suy kcn > c − xn Do c − kcn < xn < c Vì c < nên theo nguyên lý kẹp, ta có lim xn = c n→∞ 50 a−1 a n , Bài toán 3.7 (Đề thi Olympic Sinh viên năm 2003) Cho dãy số (un ) với:   u1 ∈ R  un+1 = ln(1 + u2n ) − 2003, n ≥ Chứng minh dãy (un ) hội tụ Lời giải Ta có f (x) = 12 ln(1 + x2 ) − 2003 hàm số khả vi R f (x) = x 1 , , ∀x ∈ R ∈ − + x2 2 Ta thấy |f (x) < 1|, theo Định lý 3.5, lim un = L, n→∞ với L ∈ R thỏa mãn f (L) = L Bài toán 3.8 (Đề giới thiệu Olympic 30-4 năm 2010) Cho (un ) dãy số xác định   u1 = a ∈ (0, 1)  un+1 = (1 − un )5 , ∀n ≥ Chứng minh (un ) hội tụ Lời giải Chứng minh quy nạp ta un ∈ (0, 1), ∀n ≥ Xét hàm số f (x) = (1 − x)5 (0, 1) Hàm có đạo hàm < f (x) = (1 − x)2 < ⇔ |f (x)| < Theo Định lý 3.5, lim un = k, n→∞ với k số thực thỏa f (k) = k Bài toán 3.9 (Đề giới thiệu Olympic Toán học Sinh viên-Học sinh năm 2018, [1]) Cho số thực α ≥ Tính giới hạn 1α + 2α + · · · + nα n→∞ nα+1 lim 51 Lời giải Xét hàm số f (t) = tα+1 α+1 , t ∈ R Hàm số khả vi liên tục R Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm f đoạn [k − 1, k], k ∈ N, tồn η ∈ (k − 1, k) cho k α+1 (k − 1)α+1 − = η α , η ∈ (k − 1, k) α+1 α+1 Chú ý (k − 1)α < η α < k α , ta có (k − 1)α < Suy (k − 1)α+1 k α+1 − < kα α+1 α+1 n (k − 1)α < k=1 tương đương n k α − nα < k=1 nα+1 < α+1 nα+1 < α+1 n kα, k=1 n kα k=1 Chia vế bất đẳng thức cho nα+1 ta n α k=1 k nα+1 − suy < α+1 hay 1 < < n α+1 n α k=1 k nα+1 < n α k=1 k , nα+1 1 + , α+1 n 1α + 2α + · · · + nα 1 < < + α+1 α+1 n α+1 n Theo nguyên lí kẹp ta 1α + 2α + · · · + nα = α+1 n→∞ n α+1 lim 52 Kết luận Tác giả chọn lọc kiến thức có tài liệu tham khảo trình bày số nội dung sau luận văn: Trình bày định lý giá trị trung bình cổ điển: Rolle, Lagrange, Cauchy Trình bày số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange: Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến, Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến , Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ biến thực, Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véc tơ biến thực Định lý giá trị trung bình cho hàm mặt phẳng phức Trình bày số ví dụ ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange chứng minh bất đẳng thức, chứng minh tồn nghiệm phương trình, giải phương trình, tính giới hạn dãy số, tìm giá trị trung gian toán ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange thi học sinh giỏi Vì thời gian kiến thức có hạn nên cịn ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange chưa trình bày luận văn Những vấn đề chúng tơi tiếp tục tìm hiểu tương lai 53 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thành Chung, Đoàn Trung Cường, Nguyễn Văn Quý, Trần Văn Thành, Dương Việt Thông, Vũ Tiến Việt, Kỷ yếu Olympic Toán học Sinh viên-Học sinh lần thứ 26, Trường Đại học Quảng Bình, Hội Tốn học Việt Nam, 2018 [2] Nguyễn Vũ Thanh, Áp dụng tính liên lục hàm số, Định lý Lagrange, Định lý Rolle để giải tốn, Trường Trung học phổ thơng chun Tiền Giang, Tiền Giang, 2009 [3] Đặng Thị Toan, Một số phương pháp để giải phương trình bất phương trình, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 Tiếng Anh [4] T.W Gamelin, Complex Analysis, Springer Science, Business Media, 2013 [5] P.K Sahoo, T Riedel, Mean Value Theorem and Functional Equations, World Scientific, Singapore - New Jersey - London HongKong, 1998 54 ... 1.2 Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy Một số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange 2.1 Định lý giá trị trung bình. .. Chương Một số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange Trong chương này, chúng tơi trình bày số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange Trong phần một, định lý giá trị trung bình cho hàm số. .. định lý giá trị trung bình Flett đưa năm 1958 Trahan đưa năm 1966 Trong phần hai, chúng tơi trình bày số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý giá trị trung bình Flett cho hàm số