Định lý giá trị trung bình lagrange một số mở rộng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THÚY NGA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THÚY NGA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIEN Bình Định - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Hồ Thúy Nga LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Huỳnh Minh Hiền người tận tình hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Thống kê, Phịng sau Đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Hồ Thúy Nga Muc luc Mở đầu Định lý giá trị trung bình định lý quan trọng có nhiều ứng dụng Giải tích tốn học Trong chương trình tốn học phổ thơng, định lý giá trị trung bình ứng dụng khai thác nhiều kì thi Olympic chọn học sinh giỏi, chẳng hạn chứng minh bất đẳng thức, chứng minh tồn nghiệm phương trình, giải phương trình, tính giới hạn dãy số, Tuy nhiên chương trình tốn phổ thơng chương trình đại học, giới thiệu định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến, cần tìm hiểu cho hàm tổng quát hàm số thực biến, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm mặt phẳng phức nghiên cứu sâu ứng dụng dạng mở rộng định lý Với suy nghĩ đó, mục tiêu luận văn nhằm cung cấp thêm cho cho em học sinh, sinh viên, đặc biệt em học sinh khá, giỏi, có khiếu u thích mơn tốn, tài liệu, ngồi kiến thức cịn có thêm kiến thức số tập nâng cao, qua thấy rõ dạng tốn ứng dụng phong phú Định lý Rolle, Định lý Lagrange số định lý mở rộng khác Hơn nữa, luận văn định hướng phương pháp giải cho dạng tốn cụ thể Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương trình bày số định lý giá trị trung bình cổ điển Rolle, Lagrange, Cauchy Chương trình bày số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange cho hàm số thực biến, hàm số thực biến, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm giá trị véctơ biến thực hàm mặt phẳng phức Chương cuối trình bày số ví dụ tốn thi học sinh giỏi ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Chương Một số định lý giá trị trung bình «? _ _ *? XX•X điên Một định lý quan trọng phép tính vi phân Định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý lần khám phá Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc sử dụng Định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Ossian Bonnet (1819-1892) Tuy nhiên, phát biểu định lý đưa báo nhà vật lý tiếng André-Marie Ampére (1775-1836) Định lý Rolle Michel Rolle (1652-1719) đưa năm 1690, chứng minh năm 1691 Sau định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến 1.1 Định lý Rolle Chứng minh Định lý Rolle dựa vào hai kết sau Bô đề 1.1 ([5]) Nếu hàm f : [a,b] R, khả vi đạt cực trị điểm c thuộc khoảng mở (a,b), f (c) = Chứng minh Giả sử hàm số f : [a, b] tức f(c) > f (x), Vx G (a,b) R đạt giá trị cực đại điểm c G (a, b), Vì c G (a,b) nên cho n ' 'X hai dãy số {p } > c (a,b) {q }n> c p < c, q > c, Vn > ta chọn p c, q n n n n n n c (a,b) n Vì c điểm cực đại hàm số f (a, b) với n, f (p ) — f (c) 1, ta có n n f( qn) — f (c) < qn — c > pn — c f p — f (c) Theo giả thiết, f khả vi c, tức tồn giới hạn sau limf (x)- f(c) = f '(c) Do < lim f (p ) — f(c) = f'(c) = lim f (q ) — f(c) < n n n^TO pn — c n^TO qn — c Vậy f (c) = / Thực tương tự với trường hợp hàm số f đạt cực tiểu điểm c (a,b) ta thu f (c) = / Bổ đề chứng minh □ Bổ đề 1.2 ([5]) Nếu hàm số f : [a,b] R liên tục f đạt cực trị đoạn [a,b] Chứng minh Đặt M = sup {f (x),x [a,b]} Vậy với n > 1,n N, tồn điểm c [a,b] cho |M — f (c )| < 1/n Vì dãy {c } c [a,b] nên theo Định lý BolzanoWeierstrass, tồn dãy {c }k> hội tụ, đặt lim c = d Vì f hàm liên tục đoạn [a, b], f (c ) f (d) k TO n n n n> nk nk nk Mặt khác, |M — f (c )| < 1/n , Vk > 1, nk k M = lim f(cnk) = f(d) Vậy hàm số f đạt giá trị cực đại đoạn [a,b] giá trị cực đại M Tương tự, đặt N = inf {f (x),x [a,b]}, f đạt cực tiểu [a,b] giá trị cực tiểu N Bổ đề chứng minh □ Định lý 1.1 (Rolle,[5]) Nếu hàm số f liên tục [a,b], khả vi (a,b) f (a) = f (b) tồn điểm n (a, b) cho f (n) = / Chứng minh Vì f liên tục [a,b], theo Bổ đề 1.2 f đạt cực đại cực tiểu [a, b] Nếu hai giá trị đạt điểm a, b giá trị cực đại giá trị cực tiểu Do f hàm Suy f (n) = với n (a, b) / Nếu f đạt cực trị điểm n (a, b) theo Bổ đề 1.1 f (n) = / □ Ví dụ 1.1 Xét hàm số f (x) = x — 4x + liên tục đoạn [1,3], khả vi khoảng (1, 3) có đạo hàm f (x) = 2x — 4, Vx G [1, 3] z Ta có f (1) = f (3) = Rõ ràng, G (1,3) f'(2) = Ý nghĩa hình học: Định lý Rolle giải thích mặt hình học sau: Nếu có đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm f hai điểm có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị điểm nằm hai giao điểm đồ thị đường thẳng cho Hình 1.1: Biểu diễn hình học Định lý Rolle 1.2 Định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.2 (Lagrange,[5]) Nếu f : [a,b] R hàm số liên tục đoạn [a,b], khả vi khoảng (a,b), tồn điểm n G (a,b) cho = f, (n) ab Chứng minh Xét hàm số g (x) = f (x) - f (b) - f (a (x - a) - f (a), Vx G [ữ,b] b-a Vì f liên tục [a, b] khả vi (a, b) nên g Mặt khác g (a) = g (b) = 0, theo Định lý Rolle tồn điểm n € (a, b), f (b) - f (a) = g (n) = f' (n) = g (n) = f (n) —-— b-a Vậy ' = f (n)■ a-b □ Ví dụ 1.2 Xét hàm số f (x) = sinx liên tục đoạn [4, 33, khả vi (n, In) có đạo hàm f (x) = cos x, Vx € [4, F] z Ta có f (ĩ)=f Ọỉ) = t Rõ ràng, € (4, n ) n f ( -ỉ) - f (ĩ) = f, (nf \■ \2/ ■ 3» Ị 4 Ý nghĩa hình học: Nếu cát tuyến đồ thị hàm số f cắt đồ thị hàm số hai điểm (a, f (a)), (b, f (b)) tồn tiếp tuyến điểm nằm hai giao điểm song song với cát tuyến cho Hình 1.2: Biểu diễn hình học Đinh lý giá tri trung bình Lagrange 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy Năm 1823, nhà Tốn học người Pháp Augustine-Louis Cauchy (1789-1857) đưa tổng quát sau đinh lý giá tri trung bình mang tên ơng Định lý 1.3 (Cauchy,[5]) Với hàm số thực f : [a, b] R g : [a, b] R liên tục [a,b], khả vi (a,b) với a , lim f (x) n nx Hơn = n fn 316 317 318 2(2n+1) Áp dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange, tồn c 319 n f/(c 2 4) cho 321 Mặt khác, < cn < 322 323 11 f(cn)l 2+ + 324 = (cn — 1) (4cn — 1) ■■ ■ (n cn — 1) > Do 326 n 2+ 325 |xn — 4| < 328 19 ——- • 2(2n +1) Khi n ' 'X till 327 = ————— 2(2n + 1) Vậy lim xn = • n^+^ 2(2n+1) Bài toán 3.5 (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy số thực {xn}n> xác 329 Ỉx = a xn+ = ln(3 + cos xn + sin xn) — 2008, n > 1 định Chứng minh dãy số {x } có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô 330 n n> Lời giải Đặt f (x) = ln(3 + cos x + sinx) — 2008 Khi đó, 331 332 333 /(x) = cos x — sin x + cos x + sinx Vì l cos x — sin 334 x| < y/2 l sin x + cos x| < y/2 với x G R nên f (x)l < / 3—75 dãy Cauchy nên có giới hạn hữu hạn □ 341 n n> N-1 m+n-1 n 1 Bài toán 3.6 (VMO 2007) Cho số thực a > f (x) = a x +x + +x+1 342 10 n n+10 n Chứng minh với số tự nhiên n, phương trình f (x) = a có nghiệm dương Hơn nữa, đặt nghiệm x , chứng minh dãy số {x } > có giới hạn hữu hạn n dần đến vơ Tìm giới hạn n n n n Lời giải Rõ ràng f (x) tăng khoảng (0, TO) Vì f (0) = f (1) > a, phương trình f (x) = a có nghiệm dương x Hơn x G (0,1) 343 n n n n n n Ta có 344 fn+1(xn) = xnfn(xn) + = axn + fn(1) = a + n + > a 345 10 n+10 fn(xn) > a (G) 10 — (-) _ a—1 a n+1 a > a 346347Giả sử xn > (a — 1)/a, 348 Vậy xn < (a — 1)/a Vì fn (xn) = axn + < a fn(1) = a + n +1 > a nên 10 +1 349 xn < xn+1 < 350 Vậy {xn}n> dãy số tăng bị chặn Khi dãy {xn}n> hội tụ Đặt c = a-1 ' < k = (a — 1)((a — 1) — 1) > Khi f (c) 351 n = (a — 1) () + a — (a — 10 352 353 fn(c) - fn(xn) = kc Theo Định lý Lagrange, tồn £ G (x ,c) cho n f 354 355 n n) = fn (c) — fn(xn) kc > c - xn n Do 358 359 c—x Vì f'(Ệ) > nên từ suy 356 357 'O c - kc < xn < c n Vì c < nên theo nguyên lý kẹp, ta có lim x = c n 360 □ 1) () , Bài toán 3.7 (Đề thi Olympic Sinh viên năm 2003) Cho dãy số (un) với: 361 u ER 362 363 un+ = ln(1 + un) — 2003, n > 1 Chứng minh dãy (u ) hội tụ 364 n f'(x) = x 1+x 11 22 x R 365366Lời giải Ta có f (x) = ln(1 + x ) — 2003 hàm số khả vi R 367 368 Ta thấy If (x) < 1|, theo Định lý 3.5, 369 lim un = L, 370 vớ i L G R thỏa mãn f (L) = L □ Bài toán 3.8 (Đề giới thiệu Olympic 30-4 năm 2010) Cho (un) dãy số xác 371 định ỈU1 = a E (0,1) 372 373 Un+1 = 2ỳ(1 — Un) , Vn > 374 Chứng minh (u ) hội tụ 375 Lời giải Chứng minh quy nạp ta u n n Xét hàm số f (x) = 23(1 — x) (0,1) Hàm có đạo hàm 376 377 378 G (0,1), Vn > < f'(x)=5 ý (1 - x) < 5ôãIf'(x)i < Theo nh lý 3.5, 379 lim un = k, 380 vớ i k số thực thỏa f (k) = k □ 381 Bài toán 3.9 (Đề giới thiệu Olympic Toán học Sinh viên-Học sinh năm 2018, [1] ) Cho số thực a > Tính giới hạn + + •• • + n a lim a a 382 n Lời giải Xét hàm số f (t) = a+1 , t R Hàm số khả vi liên tục R 383 a+1 Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm f đoạn [k — 1, k], k N, ka+1 (k — 1) a+1 a+1 a+1 = n ,n (k — 1,k) a tồn n (k — 1, k) cho 384 385 ka+1 (k — 1) < a a+1 386387Chú ý (k — 1) < n < k , ta có a a a (k — 1) a+1 a+1