Bài viết trình bày việc phát triển lý thuyết ổn định cho phương trình động lực ẩn trên thang thời gian. Đây là dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn. Cụ thể, ta nghiên cứu định lý Bohl-Perron cho phương trình động lực ẩn trên thang thời gian.
ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 208(15): 177 - 183 ĐỊNH LÝ KIỂU BOHL-PERRON CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Nguyễn Thu Hà Trường Đại học Điện lực TÓM TẮT Trong báo này, phát triển lý thuyết ổn định cho phương trình động lực ẩn thang thời gian Đây dạng tổng quát phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn Cụ thể, ta nghiên cứu định lý Bohl-Perron cho phương trình động lực ẩn thang thời gian Chúng mối liên hệ tính bị chặn nghiệm phương trình động lực ẩn khơng với tính ổn định phương trình tương ứng Từ khóa: Định lý Bohl-Perron; Tính ổn định; Phương trình động lực ẩn; Thang thời gian Ngày nhận bài: 18/10/2019; Ngày hoàn thiện: 24/11/2019; Ngày đăng: 27/11/2019 BOHL-PERRON TYPE THEOREM FOR IMPLICIT DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES Nguyen Thu Ha Electric Power University ABSTRACT In this paper, we develop a stability theory for implic it dynamic equations which is a general form of differential algebraic equations and implicit difference equations Specifically, we investigate Bohl-Perron type stability theorems for implicit dynamic equations on the time scales We show the relation between the boundedness of the solution of the nonhomogeneous implicit dynamic equation and the stability of the corresp onding homogeneous equation Từ khóa: Bohl-Perron theorem; Stability; Implicit dynamic equation; Time scale Received: 18/10/2019; Revised: 24/11/2019; Published: 27/11/2019 Email: ntha2009@yahoo.com http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 177 Hàm hạt µ : T → R+ xác định µ(t) = σ(t) − t, t ∈ T Điểm t ∈ T gọi cô lập phải σ(t) > t; trù mật phải σ(t) = t cô lập trái ρ(t) < t, trù mật trái ρ(t) = t Giới thiệu Như biết, tốn tính ổn định có vai trò quan trọng tốn học ứng dụng Việc tìm điều kiện để hệ thống hoạt động ổn định tác động nhiễu tốn có ý nghĩa lớn Để đo tính ổn định vững, người ta tiến hành thử nghiệm hy vọng với đầu vào tốt hơn, đầu đáp ứng số thuộc tính mong muốn hệ thống ổn định mũ Với x, y ∈ T, ta định nghĩa phép toán thang thời gian phép cộng ⊕: x ⊕ y := x + y + µ(t)xy; phép trừ x−y ; + µ(t)y Định nghĩa 2.1 (∆-Đạo hàm) Hàm số f : T → Rd gọi có ∆-đạo hàm t tồ véc tơ f ∆ (t) cho với ε > 0, tồn δ > cho (1.1) E(·), A(·) hàm ma trận liên tục định nghĩa T ∩ [a, ∞), lấy giá trị Rn×n Eσ (t) giả thiết suy biến t ≥ a Nếu (1.1) chịu nhiễu q(t), ta có phương trình khơng Eσ (t)x∆ (t) = A(t)x(t) + q(t) y := Hàm số f : T → R gọi quy, tồn giới hạn phải điểm trù mật phải giới hạn trái điểm trù mật trái Hàm f rd-liên tục liên tục điểm trù mật phải T tồn giới hạn trái điểm trù mật trái Tập hàm rd-liên tục ký hiệu Crd (T, R) Hàm f gọi hồi quy (dương) + µ(t)p(t) = 0(1 + µ(t)p(t) > 0), t ∈ T Ký hiệu R = R(T, R) (R+ = R+ (T, R)) tập hàm hồi quy (hồi quy dương) Vào đầu kỷ 20, Bohl, sau Perron xét tốn cho phương trình vi phân thường Sau định lý ổn định kiểu Bohl-Perron áp dụng cho phương trình sai phân [1,8], phương trình sai phân có trễ [2,4] cho phương trình sai phân ẩn [6,7] Do đó, có ý nghĩa tốn giải cho phương trình ẩn thang thời gian tổng quát Trong báo này, ta nghiên cứu định lý ổn định kiểu Bohl-Perron cho lớp phương trình động lực ẩn có dạng Eσ (t)x∆ (t) = A(t)x(t), t ≥ a, t ∈ T :x f (σ(t)) − f (s) − f ∆ (t)(σ(t) − s) ≤ ε|σ(t) − s| thỏa mãn với s ∈ (t − δ, t + δ) ∩ T Khi f ∆ (t) gọi ∆-đạo hàm f t Định lý 2.2 [3] Cho p ∈ R t0 ∈ T, nghiệm toán giá trị ban đầu (1.2) y ∆ (t) = p(t), y(t0 ) = Kiến thức chung T hàm mũ ep (t, t0 ) Thang thời gian T tập đóng khác rỗng R Trên thang thời gian T ta trang bị tô pô cảm sinh từ tô pô chuẩn tắc đường thẳng thực R Bổ đề 2.3 [3] [Bất đẳng thức GronwallBellman] Cho τ ∈ T, u, b ∈ Crd , u0 ∈ R b(t) ≥ với t ≥ τ Khi đó, Trên T, ta định nghĩa toán tử nhảy tiến σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, toán tử nhảy lùi ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}, t ∈ T u(t) ≤ u0 + t b(s)u(s)∆s, với t ≥ τ, τ ta có u(t) ≤ u0 eb (t, τ ) với t ≥ τ 3 Tính giải hệ động lực ẩn Chứng minh Lemma 2.2 [5] Bổ đề 3.3 Pσ G−1 , T Qσ G−1 không phụ thuộc vào cách chọn T Q Lấy a ∈ T cố định Ta xét hệ động lực ẩn tuyến tính thang thời gian T, Chứng minh Gọi Q phép chiếu lên ker A T ∈ Gl(Rd ) cho T |ker Eσ đẳng cấu ker Eσ ker E Ta chứng minh Eσ (t)x∆ (t) = A(t)x(t) + q(t), t ≥ a, (3.1) với E, A ma trân xét mục Giả sử rank E(t) = r, ≤ r < n, với t ∈ Ta , q : Ta → Rn hàm liên tục Giả sử ker E(t) trơn theo nghĩa tồn phép chiếu Q(t) lên ker E(t) cho Q(t) khả vi liên tục với t > a liên tục Ta Với P (t) = I − Q(t), đó, phương trình (3.1) viết lại dạng Eσ (t)(P x)∆ (t) = A(t)x(t) + q(t), Chứng minh tương tự T Qσ G−1 = T Qσ G −1 with G = Eσ −AT Qσ Thật vậy, ta có T Qσ G−1 G = T Qσ G−1 (Eσ − AT Qσ ) = T Qσ G−1 AT Qσ = T Qσ (3.2) Vậy, T Qσ G−1 = T Qσ G −1 Tương tự ta có Pσ G−1 = Pσ G −1 Bổ đề chứng minh Cho T : Ta → Gl(Rn ) hàm liên tục cho T |ker Eσ đẳng cấu ker Eσ ker E Ký hiệu Ý nghĩa 3.4 Các bổ đề có vai trò lớn việc giải phương trình động lực ẩn Nó giúp ta phân rã 3.2 đưa phương trình động lực thường quan hệ đại số Điều giúp ta dễ dàng việc biểu diễn nghiệm 3.2 n×n ) với A := A + Eσ P ∆ ∈ Lloc ∞ (T; R G := Eσ − AT Qσ S := {x : Ax ∈ im Eσ } Bổ đề 3.1 Các mệnh đề sau tương đương, Định nghĩa 3.5 Phương trình động lực ẩn (3.1) gọi có số mềm (gọi tắt số 1) T G(t) khả nghịch với t ∈ T Cho J ⊂ T Ký hiệu i) S ∩ ker E = {0}; ii) G không suy biến; iii) Rn = S ⊕ ker E C1 (J, Rn ) := {x(·) ∈ Crd (J, Rn ) : P(t)x(t) Xem [5 Lemma 2.1] Chứng minh khả vi − ∆ với t ∈ J.} Giả sử ma trận G khơng suy biến, ta có bổ đề sau Ta ý nghiệm x(·) (3.1) phần tử C1 (J, Rn ) Ở x(·) khơng khả vi∆ Do hiểu biểu diễn Eσ x∆ có nghĩa Eσ ((P x)∆ − P ∆ x) Bổ đề 3.2 Ta có mối liên hệ sau: i) Pσ = G−1 Eσ ; ii) G−1 AT Qσ = −Qσ ; Nhân hai vế (3.2) với Pσ G−1 , Qσ G−1 đặt u = P x and v = Qx, ta iv) Nếu Q phép chiếu ker E Pσ G−1 A = Pσ G−1 AP , Qσ G −1 A = Qσ G −1 AP − T u∆ = (P ∆ + Pσ G−1 A)u + Pσ G−1 q, −1 Q v = T Qσ G −1 Au + T Qσ G −1 q (3.3) (3.4) Ta có x = u + v, với u tìm từ (3.3), sau dùng (3.4) để tính v Từ ta thấy, ta cần đặt điều kiện đầu cho (3.3) u(t0 ) = P (t0 )x0 , t0 ≥ a, hay P (t0 )(x(t0 ) − x0 ) = 0, x0 ∈ Rn Mục đích nội dung chứng minh định lý Bohl-Perron cho hệ động lực ẩn tuyến tính Ở ta xem xét mối quan hệ tính bị chặn nghiệm phương trình (3.1) với tính ổn định phương trình tương ứng (3.6) (3.5) Bổ đề 3.6 Mọi nghiệm u(t) phương trình (3.3) xuất phát từ im P (t0 ) im P (t) với t ∈ Tt0 Theo cách giải phương trình (3.1), ta thấy hàm q tách thành hai thành phần Pσ G−1 q T Qσ G−1 q Do đó, với t0 ∈ Ta ta xét q phần tử tập hợp Chứng minh Thật vậy, nhân hai vế phương trình (3.3) với Qσ ta Qσ u∆ = Qσ P ∆ u Từ suy (Qu)∆ = Q∆ Qu Vậy, Q(t0 )u(t0 ) = Q(t)u(t) = với t ∈ Tt0 Do u(t) = P (t)u(t) hay u(t) ∈ im P (t) Ta có điều cần chứng minh Giả sử Φ(t, s) toán tử Cauchy sinh hệ ∆ Eσ (t)x (t) = A(t)x(t) L(t0 ) = {q ∈ C ([t0 , ∞], Rn ) : sup T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) < ∞ t≥t0 and sup Pσ (t)G−1 (t)q(t) < ∞} t≥t0 (3.6) Dễ thấy L(t0 ) không gian Banach với chuẩn Khi với t ≥ s ≥ a, ta có Eσ (t)Φ∆ (t, s) = A(t)Φ(t, s), P (s)(Φ(s, s) − I) = q = sup = (P ∆ + Pσ G −1 + T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) Giả sử x(t, s, q) nghiệm phương trình (3.1) kết hợp với q(t) có điều kiện đầu P (s)x(s, s) = Để đơn giản, ta viết x(t, s) x(t) thay x(t, s, q) A(t))Φ0 (t, s), (3.7) với Φ0 (s, s) = I Từ (3.3) (3.4), ta có Φ(t, s) = P (t)Φ0 (t, s)P (s), Bổ đề 4.1 Nếu với hàm q(·) ∈ L(t0 ), nghiệm x(·, t0 ) toán Cauchy (3.1) với điều kiện ban đầu P (t0 )x(t0 , t0 ) = bị chặn, với t1 ≥ t0 , tồn k > 0, không phụ thuộc vào t1 , cho (3.8) với P = I + T Qσ G−1 A Ký hiệu x(·, t0 , x0 ) nghiệm hệ (3.1) với điều kiện đầu sup x(t, t1 ) ≤ k q P (x(t0 , t0 , x0 ) − x0 ) = (3.9) Chứng minh Trước hết ta định nghĩa họ toán tử {Vt }t≥t0 sau x(t) = Φ(t, t0 )P (t0 )x0 + Φ(t, σ(s))Pσ (s)G−1 (s)q(s)∆s Vt : L(t0 ) −→ Rn t0 + T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) (4.1) t≥t1 Theo cơng thức biến thiên số ta có t Pσ (t)G−1 (t)q(t) t≥t0 Gọi Φ0 (t, s) toán tử Cauchy (3.3) Φ∆ (t, s) Định lý kiểu Bohl-Perron cho hệ động lực ẩn q (3.10) −→ Vt (q) = x(t, t0 ) Rn , ta xét hàm số Theo giả thiết bổ đề, ta có sup Vt q < ∞ t≥t0 với q ∈ L(t0 ) Sử dụng nguyên lý bị chặn đều, tồn số k > cho sup x(t, t0 ) = Vt q ≤ k q , q(t) = Eσ (t)Φ(σ(t), t1 )y , t ≥ t1 χ(t) Dễ dàng (4.2) t≥t0 Pσ (t)G−1 (t)q(t) = Pσ (t) với t ≥ t0 Gọi q hàm cho trước thuộc L(t1 ), ta xây dựng hàm q sau: suy T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) = , q t = 0, t < t1 q(t) = q(t) t ≥ t1 Pσ (t)G−1 (t)q(t) ≤ K0 y Dễ thấy q(t) ∈ L(t0 ) Theo công thức biến thiên số, với t ≥ t1 , ta có t x(t, t0 , q) = Vậy, q ∈ L(t1 ) t≥t1 + T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) + T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) t Pσ (t)G−1 (t)q(t) q = sup Φ(t, σ(τ ))Pσ (τ )G−1 (τ )q(τ )dτ t0 = Φ(σ(t), t1 ) y, χ(t) ≤ K0 y Hơn nữa, Φ(t, σ(τ ))Pσ (τ )G−1 (τ )q(τ )dτ t1 t + T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) x(t, t1 ) = Φ(t, σ(τ ))Pσ (τ )G−1 (τ )q(τ )∆τ t1 + T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) Từ suy x(t, t0 , q) = x(t, t1 , q) với t ≥ t1 Kết hợp với (4.2) ta nhận t t1 sup x(t, t1 , q) = sup x(t, t0 , q) t≥t1 Φ(t, σ(τ ))Pσ (τ ) = t t≥t0 Φ(t, t1 )y ∆τ χ(τ ) = ≤k q =k q t1 t Định lý chứng minh Đặt Ψ(t) = t1 Định lý 4.2 Mọi nghiệm toán Cauchy (3.1) với liên kết q ∈ L(t0 ) điều kiện ban đầu P (t0 )x(t0 ) = 0, bị chặn, phương trình động lực ẩn số (3.6) ổn định mũ Φ(σ(τ ), t1 )y ∆τ χ(τ ) ∆τ > 0, ta có χ(τ ) x(t, t1 ) = Φ(t, t1 )Ψ(t)y (4.3) Theo Bổ đề 4.1, ta nhận x(t) = Φ(t, t1 )Ψ(t)y = Φ(t, t1 )y Ψ(t) ≤ k q ≤ kK0 y , Chứng minh từ suy Điều kiện cần Trước hết, ta chứng minh nghiệm phương trình (3.1) với điều kiện ban đầu P (t0 )x(t0 ) = 0, với liên kết q ∈ L(t0 ), bị chặn phương trình (3.6) ổn định mũ Φ(t, t1 ) ≤ k , Ψ(t) (4.4) k = kK0 Mặt khác, k = χ(t) = Φ(σ(t), t1 ) ≤ Ψ∆ (t) Ψ(σ(t)) Lấy giá trị t1 ≥ t0 , đặt χ(t) = Φ(σ(t), t1 ) , t ≥ t1 Khi với y ∈ Hay Vì e−α (t, σ(τ )) = e−α (t, t0 )e ta suy Ψ∆ (t) ≥ Ψ(σ(t)) k Khi đó, ta nhận Ψ(t) ≥ Ψ(c)e −1 t x(t) ≤ M C1 e−α (t, t0 ) e (t, c), Theo quy tắc L’Hôspital áp dụng cho thang thời gian ta có với t ≥ c Do vậy, theo (4.4) ta có t lim e−α (t, t0 ) k e (σ(t), c) Ψ(c) − k Ψ(c)e− (c, t1 ) t t0 t→∞ = lim t→∞ e− (t, t1 ) (−α) (σ(τ ), t0 )∆τ e (−α) (t, t0 ) e (−α) (σ(t), t0 ) = (−α)e (−α) (t, t0 ) α e−α (t, σ(τ ))∆τ < ∞, hay tồn Do dó, sup t≥t0 t0 số M1 > cho k , N1 = Ψ(c)e− (c, t1 ) k k Φ(t, t1 ) N = max N1 , max t1 ≤t≤c e−α (t, t1 ) e t k k Đặt α = (−α) (σ(τ ), t0 )∆τ t0 = lim k Φ(t, t1 ) ≤ e (t, c) Ψ(c) − k = e t→∞ với t ≥ c Do đó, với t > c k (−α) (σ(τ ), t0 )∆τ+C2 t0 k Φ(σ(t), t1 ) ≤ (−α) (σ(τ ), t0 ), x(t) ≤ M C1 M1 + C2 , Vậy, nghiệm phương trình (3.1) bị chặn Ta có điều cần chứng minh ta nhận điều cần chứng minh Φ(t, t1 ) ≤ N e−α (t, t1 ) for t ≥ t1 Điều kiện đủ Để chứng minh điều kiện cần, ta (3.6) ổn định mũ tất nghiệm toán Cauchy (3.1) với điều kiện ban đầu P (t0 )x(t0 ) = 0, với liên kết q(t) L(t0 ) bị chặn Kết luận Dựa kết có định lý ổn định dạng Bohl-Perron cho phương trình sai phân ẩn phương trình vi phân đại số, báo này, đưa định lý BohlPerron cho phương trình động ẩn tuyến tính Một số tốn mở đặt sau hồn thành mở rộng định lý cho lớp phương trình ẩn dạng phức tạp Với q ∈ L(t0 ), ta giả sử sup Pσ (t)G−1 (t)q(t) = C1 , t≥t0 sup T (t)Qσ (t)G−1 (t)q(t) = C2 t≥t0 Sử dụng công thức (3.10), ta Tài liệu tham khảo t x(t) ≤ Φ(t, σ(τ ))Pσ G −1 q(τ ) ∆τ t0 [1] B Aulbach, N.V Minh, "The concept of spectral dichotomy for linear difference equations II", J Differ.Equ Appl., 2, pp 251– 262, 1996 + T Qσ G−1 q(t) t ≤ M C1 e−α (t, σ(τ ))∆τ + C2 t0 7(2)(2007), pp 229-245, 2007 [2] L Berezansky, E Braverman, "On exponential dichotomy, Bohl-Perron type theorems and stability of difference equations", J Math Anal Appl., 304, pp 511-530, 2005 [6] N.H Du, V.H Linh and N.T.T Nga, "On stability and Bohl exponent of linear singular systems of difference equations with variable coefficients", J Differ Equ Appl., 22 (2016), pp 1350-1377, 2016 [3] M Bohner and A Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhăauser, Boston, 2003 [7] V.H Linh, N.T.T Nga, "Bohl-Perron Type Stability Theorems for Linear Singular Difference Equations", Vietnam Journal of Mathematics, 46 (2018), pp 437-451, 2018 [4] E Braverman, I.M Karabash, "Bohl–Perron type stability theorems for linear difference equations with infinite delay", J Differ Equ Appl., 18, pp 909-939, 2012 [8] M Pituk, "A criterion for the exponential stability of linear difference equations", Appl Math Lett., 17, pp 779-783, 2004 [5] N.H Du, T.K Duy and V.T Viet, "Degenerate cocycle with index-1 and Lyapunov exponent", Stochatics and Dynamics, 184 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn ... Do đó, có ý nghĩa tốn giải cho phương trình ẩn thang thời gian tổng quát Trong báo này, ta nghiên cứu định lý ổn định kiểu Bohl-Perron cho lớp phương trình động lực ẩn có dạng Eσ (t)x∆ (t) = A(t)x(t),... Perron xét tốn cho phương trình vi phân thường Sau định lý ổn định kiểu Bohl-Perron áp dụng cho phương trình sai phân [1,8], phương trình sai phân có trễ [2,4] cho phương trình sai phân ẩn [6,7] Do... chặn Kết luận Dựa kết có định lý ổn định dạng Bohl-Perron cho phương trình sai phân ẩn phương trình vi phân đại số, báo này, đưa định lý BohlPerron cho phương trình động ẩn tuyến tính Một số tốn