Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Hữu Dư PGS TS Vũ Hồng Linh HÀ NỘI - 2012 Mơc lơc Lêi cam ®oan i Lời cảm ơn ii Danh s¸ch c¸c ký hiƯu vii Mở đầu KiÕn thøc chuÈn bị 1.1 Định nghĩa ví dụ thang thêi gian 1.2 TÝnh kh¶ vi 10 1.3 TÝnh kh¶ tÝch 11 1.4 TÝnh håi quy 15 1.5 Hàm mũ thang thời gian 16 1.6 Phơng trình ®éng lùc tuyÕn tÝnh 18 1.7 Tính ổn định mũ phơng trình động lực th−êng trªn thang thêi gian 19 1.7.1 Khái niệm ổn định mũ 20 1.7.2 Tính ổn định mũ phơng trình động lực tuyến tính hệ số h»ng 22 Bài toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn thang thời gian 26 2.1 Phơng trình động lực ẩn tuyến tính 27 2.1.1 Chỉ số phơng trình động lực ẩn tuyến tính 28 2.1.2 Cách giải to¸n Cauchy 31 iv 2.1.3 Cách giải phơng trình động lực ẩn tuyến tính có hệ số số 37 2.2 Phơng trình động lực ẩn tun tÝnh víi nhiƠu phi tun tháa m·n ®iỊu kiƯn Lipschitz 39 2.2.1 Cách giải 40 2.2.2 Mô tả không gian nghiệm 42 2.3 Phơng trình động lực ẩn tựa tuyến tÝnh 44 2.4 KÕt ln cđa Ch−¬ng 48 Tính ổn định phơng trình động lực Èn trªn thang thêi gian 49 3.1 XÐt tÝnh ỉn định phơng trình động lực ẩn phơng pháp hµm Lyapunov 49 3.1.1 Các định nghĩa ổn định phơng trình động lực ẩn 50 3.1.2 Các mệnh đề 52 3.1.3 Sư dơng phơng pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn 54 3.1.4 Phơng pháp hàm Lyapunov áp dụng cho phơng trình động lực ẩn với phÇn tun tÝnh cã hƯ sè h»ng 63 3.2 Bán kính ổn định phơng trình động lực ẩn tun tÝnh hƯ sè h»ng trªn thang thêi gian 68 3.2.1 Phỉ cđa ph−¬ng trình động lực ẩn tuyến tính 71 3.2.2 Khái niệm bán kính ổn định 72 3.2.3 Sù b»ng cđa b¸n kÝnh ổn định thực phức 74 3.3 Kết ln cđa Ch−¬ng 83 C¸c phÐp biÕn đổi Lyapunov định lý Floquet cho phơng trình động lùc Èn tuyÕn tÝnh 85 4.1 Thang thêi gian tuÇn hoµn 86 v 4.2 Các phép biến đổi Lyapunov 88 4.3 Định lý Floquet cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính 92 4.4 KÕt ln cđa Ch−¬ng 102 KÕt bàn luận 103 Kết luận nghiên cøu tiÕp theo 103 Danh môc công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 105 Tài liệu tham khảo 106 vi Danh s¸ch c¸c ký hiƯu C = Tập tất số phức C(X, Y ) = Tập tất hàm liên tục từ X vào Y Crd(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liên tục Crd (T, X) = Tập tất hàm : Tk X khả vi rd-liên tục CrdR(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liên tục hồi quy CN1 (Tk , Rm ) = x(·) ∈ Crd(Tk , Rm ) : Pρ(t) x(t) khả vi t Tk (Tk , Rm×m ) = {L· ∈ Crd(Tk , Rm×m ) : P(t) Lt khả vi rd-liên tục Tk } CN,rd det A = Định thức ma trận A GL(Rm ) = Tập tự đẳng cấu tun tÝnh cđa kh«ng gian Rm inf = infimum = Phần ảo số phức im A = Miền giá trị toán tử A K = R hay C Kmìn = Tập tất m ì nma trận có phần tử thuộc K ker A = Hạch toán tử A L(X) = Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X Ln = Nhánh logarithm phức với miền giá trị [i, i) D() = Miền xác định hàm vii R(Tk , X) = Tập tất hàm hồi quy, xác định T nhận giá trị X R+ (Tk , R) = Tập tất hàm hồi quy dơng, xác định T nhận giá trị R R+ = Tập tất số thực không âm S = S(T) = Miền ổn định mũ cđa thang thêi gian T N = TËp tÊt c¶ số tự nhiên N0 = Tập tất số tự nhiên khác S = Biên tập S Q = Tập tất số hữu tỷ R = Tập tất số thực rank A = Hạng ma trận A = Phần thực cđa sè phøc λ ρ(C, D) = B¸n kÝnh phỉ cđa cỈp ma trËn {C, D} σ(A) = TËp tÊt giá trị riêng ma trận A (A, B) = Tập tất nghiệm phơng trình det(A B) = S(T) = Miền ổn định mị cđa thang thêi gian T sup = suprimum T = Thang thêi gian Tk = T \ {M} nÕu T có phần tử lớn M điểm cô lập trái; T trờng hợp lại Tτ = {t ∈ T : t τ } Z = Tập tất số nguyên viii Mở đầu Lý thuyết thang thời gian (time scale), lần đợc trình bày Stefan Hilger luận án tiến sĩ ông vào năm 1988 (với hớng dÉn cđa Bernd Aulbach, xem [49]) nh»m thèng nhÊt gi¶i tích liên tục rời rạc Việc nghiên cứu lý thuyết thang thời gian đà dẫn đến số áp dụng quan trọng, chẳng hạn nghiên cứu mô hình mật độ côn trùng, hệ thần kinh, trình biến đổi nhiệt, học lợng tử mô hình bệnh dịch Việc phát triển lý thuyết "phơng trình động lực" thang thời gian, dẫn đến kết tổng quát áp dụng cho thang thời gian hỗn hợp trờng hợp liên tục rời rạc Ta biết rằng, có nhiều kết phơng trình vi phân đợc thực dễ dàng tự nhiên cho phơng trình sai phân Tuy nhiên, có kết dễ dàng trình bày cho phơng trình vi phân lại không đơn giản cho sai phân ngợc lại Việc nghiên cứu phơng trình động lực thang thời gian cho ta nhìn sáng sủa để khắc phục tính không quán phơng trình vi phân liên tục phơng trình sai phân rời rạc Ngoài ra, điều tránh đợc việc kết đợc chứng minh hai lần, lần cho phơng trình vi phân lần khác cho phơng trình sai phân Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình vi phân thờng Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú nên kết thu đợc tổng quát hay nhiều kết tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trng thang thời gian thống mở rộng Cho đến đà có hàng chục sách hàng ngàn báo viết thang thời gian Các yếu tố giải tích thang thời gian đà đợc tác giả nghiên cứu cách sâu rộng tơng đối đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trờng hợp liên tục rời rạc đà đợc "chuyển dịch" sang thang thời gian Chẳng hạn, hệ động lực thờng thang thời gian, đà có kết sâu sắc ổn định, tính dao động, toán giá trị biên, Mặt khác, năm gần phơng trình vi phân đại số đợc quan tâm cách rộng rÃi phơng diện lý thuyết lẫn thực tế Dạng tổng quát phơng trình vi phân đại số lµ f (t, x (t), x(t)) = 0, (1) vµ phơng trình tuyến tính hóa có dạng At x (t) = Bt x(t) + qt , (2) ë A and B hàm ma trận cho trớc Các phơng trình (1) (2) xuất nhiều toán thực tế, chẳng hạn nh mạch điện, phản ứng hóa học, hệ thống giao thông, thiết kế robot, Nếu ma trận At khả nghịch với t R, ta nhân phÝa tr−íc c¶ hai vÕ cđa (2) víi A−1 t để đợc phơng trình vi phân thờng Tuy nhiên, có t0 để At0 suy biến vài giả thiết cần phải đợc đặt Một cách để giải (2) đa khái niệm số phơng trình Dựa khái niệm này, ta nghiên cứu phơng trình (2) cách phân tích thành phơng trình vi phân thờng quan hệ đại số Về cách giải toán Cauchy phơng trình (2) ta cã thĨ tham kh¶o [46] Cïng víi lý thuyết phơng trình vi phân đại số, có quan tâm khác đến phơng trình sai phân đại số xuất chúng nhiều lĩnh vực thực tế, nh mô hình động lực Leontiev, mô hình tăng trởng dân số Leslie, toán điều khiển tối u suy biến (xem [26, 32]) Ngoài ra, phơng trình sai phân đại số xuất cách tự nhiên sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải phơng trình vi phân đại số phơng trình vi phân đại số phần, Vấn đề đà đợc quan tâm lớn nhà nghiên cứu [26, 46, 58] Khái niệm số phơng trình sai phân ẩn tuyến tính có hệ số biến thiên Anx(n + 1) = Bn x(n) + qn (3) đợc giới thiệu [39, 64] cách giải toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên nhiều điểm đợc nghiên cứu [9, 11] Sau đó, khái niệm số đà đợc mở rộng cho tr−êng hỵp phi tun [8] f (n, x(n + 1), x(n)) = (4) Cã mèi quan hƯ gÇn gịi phơng trình sai phân đại số tuyến tính phơng trình vi phân đại số tuyến tính, cụ thể là, phơng pháp Euler áp dụng cho phơng trình vi phân đại số tuyến tính có số dẫn đến phơng trình sai phân đại số tuyến tính có số (xem [9, 11]) nghiệm toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên đợc rời rạc hóa hội tụ nghiệm toán liên tục tơng ứng Sử dụng khái niệm giải tích thang thời gian, ta viết lại phơng trình (2) (3) dới dạng Atx (t) = Bt x(t) + qt , (5) f (t, x∆ (t), x(t)) = 0, (6) hay với dạng tổng quát víi t thc thang thêi gian T vµ ∆ lµ toán tử đạo hàm T Một cách tự nhiên, câu hỏi đợc đặt là: Liệu kết đà biết phơng trình (2) hay phơng trình (3); phơng trình (1) hay phơng trình (4) đợc mở rộng thống lần lợt cho phơng trình động lực ẩn có dạng (5); (6) hay không? Đây lý để ... tính cho số lớp phơng trình động lực ẩn phi tuyến thang thời gian ã Chơng nghiên cứu tính ổn định phơng trình động lực ẩn Phần đầu chơng xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn phơng pháp hàm Lyapunov... niệm số trình bày cách giải toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính cho số lớp phơng trình động lực ẩn phi tuyến có số thang thời gian ã Đa khái niệm ổn định phơng trình động lực ẩn; sử... ã Chơng trình bày khái niệm thang thời gian nh số kết tính ổn định phơng trình động lực thờng thang thời gian ã Chơng nghiên cứu cách giải toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính cho