Tính ổn định của phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIỀU TRUNG THỦY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIỀU TRUNG THỦY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS NGUYỄN HỮU DƯ Hà Nội, Năm 2015 Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học học sống Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Cơ - Tin, Phịng sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô giáo Bộ môn Lý thuyết xác suất thống kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln góp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Học viên Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích thang thời gian 1.2 Quá trình ngẫu nhiên thang thời gian Chương Tích phân ngẫu nhiên thang thời gian 5 15 20 2.1 Tích phân ngẫu nhiên thang thời gian 20 2.2 Công thức Itô ứng dụng 26 2.3 Phát biểu toán martingale 36 Chương Tính ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 42 3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 42 3.2 Ước lượng moment 54 3.3 Tính ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian 60 Tài liệu tham khảo 71 Lời mở đầu Giải tích ngẫu nhiên lĩnh vực tốn học nghiên cứu phép tính giải tích (tích phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ) trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích xây dựng mơ hình tốn học cho hệ động lực có tác động yếu tố ngẫu nhiên Do đó, giải tích ngẫu nhiên ngành khoa học có nhiều ứng dụng sinh học, y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Cho đến giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc thời gian liên tục nghiên cứu đầy đủ Khi xây dựng mơ hình tốn học cho hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục rời rạc đều, tức thời điểm quan sát cách khoảng cố định Từ đó, phép giải tích liên tục (phép tính vi phân) rời rạc (phép tính sai phân) nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với giả thiết lý tưởng đặt Tuy nhiên, thực tế, hầu hết hệ thống hoạt động khơng hồn tồn liên tục khơng hồn tồn cách Đơi quan sát xen lẫn khoảng thời gian liên tục với thời điểm rời rạc Chẳng hạn loài sâu phát triển mùa hè đến mùa đơng phát triển chúng bị gián đoạn Vì vậy, nhiều trường hợp, phương trình vi phân sai phân không đủ để mô tả thơng tin cần thiết mơ hình Lý thuyết thang thời gian đời nhằm khắc phục nhược điểm Lý thuyết đưa lần vào năm 1988 S Hilger, nhà Toán học người Đức Các kết nghiên cứu giải tích thang thời gian cho phép xây dựng mơ hình tốn học hệ thống tiến triển khơng theo thời gian, phản ánh mơ hình thực tế Do đó, chủ đề thang thời gian thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học giới có nhiều cơng trình cơng bố tạp chí tốn học có uy tín Cho đến nay, kết nghiên cứu thang thời gian chủ yếu giải tích tất định Vì kết mơ tả mơ hình phát triển điều kiện mơi trường khơng có nhiễu biến đổi Tuy nhiên, mơ hình thực tế phải tính đến yếu tố ngẫu nhiên tác động vào Mục đích luận văn trình bày kết giải tích thang thời gian mơ hình ngẫu nhiên Bố cục luận văn bao gồm ba chương: • Chương trình bày vấn đề giải tích tất định q trình ngẫu nhiên thang thời gian • Chương trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích; cơng thức Itô d−semimartingale thang thời gian phát biểu tốn martingale • Chương trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian với nhiễu martingale bình phương khả tích; cơng thức ước lượng moment nghiệm phương trình trình bày điều kiện cần đủ cho tính ổn định mũ phương trình qua hàm Lyapunov Do kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Học viên Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi trình bày số kết giải tích tất định trình ngẫu nhiên thang thời gian để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau 1.1 Các khái niệm giải tích thang thời gian Các kết trình bày mục tham khảo từ tài liệu [1] [2] Định nghĩa 1.1.1 Một tập đóng, khác rỗng tập số thực R gọi thang thời gian (time scales) Ký hiệu thang thời gian T Dễ thấy tập hợp: R, Z, N, N0 , [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪ N tập Cantor thang thời gian Trong đó, tập hợp: Q, R Q, (0, 1) thang thời gian chúng khơng phải tập đóng Trong luận văn, tơi ln giả thiết thang thời gian có tơpơ, tôpô cảm sinh tôpô thông thường tập hợp số thực Định nghĩa 1.1.2 Giả sử T thang thời gian Ánh xạ σ : T → T xác định σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, gọi toán tử bước nhảy tiến (forward jump operator) thang thời gian T Ánh xạ ρ : T → T xác định ρ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, gọi toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) thang thời gian T Quy ước inf ∅ = sup T (nghĩa σ(M ) = M thang thời gian T có phần tử lớn M ) sup ∅ = inf T (nghĩa ρ(m) = m thang thời gian T có phần tử nhỏ m) Định nghĩa 1.1.3 Giả sử T thang thời gian Một điểm t ∈ T gọi trù mật phải (right-dense) σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t, trù mật trái (left-dense) ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t điểm cô lập (isolated) t vừa cô lập trái vừa cô lập phải Với a, b ∈ T, kí hiệu [a, b] tập hợp {t ∈ T : a ≤ t ≤ b}, tương tự, kí hiệu tập hợp (a, b] ; (a, b) ; [a, b) tương ứng tập hợp {t ∈ T : a < t ≤ b}; {t ∈ T : a < t < b}; {t ∈ T : a ≤ t < b} Kí hiệu Ta = {t ∈ T : t ≥ a} { T kT = T\ [m, σ (m)) { T = k T T\ (ρ(M ), M ] T = −∞ T = m max T = +∞ max T = M Kí hiệu: { } { } I1 = t : t cô lập trái , I2 = t : t cô lập phải , I = I1 ∪ I2 (1.1.1) Mệnh đề 1.1.1 Tập hợp I gồm tất điểm cô lập trái cô lập phải thang thời gian T tập không đếm Định nghĩa 1.1.4 Giả sử T thang thời gian Ánh xạ µ : Tk → R+ xác định µ(t) = σ(t) − t, gọi hàm hạt tiến (forward graininess function) thang thời gian T Ánh xạ ν :k T → R+ xác định ν(t) = t − ρ(t), gọi hàm hạt lùi (backward graininess function) thang thời gian T Ví dụ 1.1.1 • Nếu T = R ρ(t) = t = (t), à(t) = (t) = ã Nu T = Z ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = • Với h số thực dương, định nghĩa thang thời gian T = hZ sau: hZ = {kh : k ∈ Z} = { − 3h, −2h, 0, h, 2h, 3h, } , ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h • Với a, b số thực dương, ta xét thang thời gian T = Pa,b sau ∞ ∪ Pa,b = [k(a + b), k(a + b) + b] k=1  t   Khi σ(t) = ∞ ∪ t ∈ t + a    t   t ∈ t ∈ k=1 ∞ ∪ k=1 ∞ ∪ [k(a + b), k(a + b) + b) {k(a + b) + b} [k(a + b), k(a + b) + b) k=1 ∞ ∪ ρ(t) = t − a t ∈  {k(a + b)}  k=1  ∞ 0 t ∈ ∪ [k(a + b), k(a + b) + b)   k=1 µ(t) = ∞ a t ∈ ∪ {k(a + b) + b}   k=1  0   ν(t) = t ∈ a   t ∈ ∞ ∪ [k(a + b), k(a + b) + b) k=1 ∞ ∪ {k(a + b)} k=1 • Với n ∈ N0 , xét dãy số điều hòa H0 = 0, Hn = n ∑1 k=1 k , n ≥ Xác định thang thời gian sau H = {Hn : n ∈ N.}  n−1 ∑  Khi đó, σ(Hn ) = n+1 ∑ k=1 , ρ(Hn ) = k k  k=1  { , ν(Hn ) = µ(Hn ) = n+1 n n ≥ n = 0, n ≥ n = Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f : T → R Hàm số f gọi i) quy (regulated) f có giới hạn trái điểm trù mật trái có giới hạn phải điểm trù mật phải ii) rd-liên tục (rd-continuous) f liên tục điểm trù mật phải có giới hạn trái điểm trù mật trái Tập hàm rd-liên tục kí hiệu Crd Crd (T, R) iii) ld-liên tục (ld-continuous) f liên tục điểm trù mật trái có giới hạn phải điểm trù mật phải Tập hàm ld-liên tục kí hiệu Cld Cld (T, R) Giả sử f : T → R hàm số xác định T Khi đó, viết f ρ : T → R hàm số xác định f ρ = f ◦ ρ, nghĩa f ρ (t) = f (ρ(t)) với t ∈ k T Kí hiệu lim f (s) σ(s)↑t f (t− ) ft− tồn giới hạn trái Ta thấy t điểm cô lập trái ft− = f ρ (t) Định lý 1.1.1 Giả sử f : T → R hàm xác định T Khi đó, i) Nếu f hàm số liên tục f hàm số rd-liên tục ld-liên tục ii) Nếu f hàm số rd-liên tục f hàm số quy iii) Toán tử bước nhảy tiến σ hàm số rd-liên tục iv) Toán tử bước nhảy lùi hàm số ld-liên tục v) Nếu f hàm số ld-liên tục f ρ hàm số ld-liên tục Định nghĩa 1.1.6 Giả sử f hàm số xác định T, nhận giá trị R Hàm số f gọi có ∇-đạo hàm (có đạo hàm Hilger đơn giản có đạo hàm) t ∈ k T tồn f ∇ (t) ∈ R cho với ε > tồn lân cận U t để f (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s) ≤ ε |ρ(t) − s| với s ∈ U f ∇ (t) ∈ R gọi ∇-đạo hàm hàm số f t Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm điểm t ∈ k T f gọi có ∇-đạo hàm T Ví dụ 1.1.2 • Nếu T = R f ∇ (t) ≡ f ′ (t) đạo hàm thơng thường • Nếu T = Z f ∇ (t) = f (t) − f (t − 1) sai phân lùi cấp có { E|x (t)|p ≤ Bp E ⟨x⟩t + E { } ∑ p |∇∗ xs |p a≤s≤t ∫ t∫ p } p E ⟨x⟩t + E = Bp |g (τ ) u| δ (∇τ, du) } { [∫ ]p ∫ t∫ t g (τ ) ∇⟨M ⟩τ + E |g (τ ) u|p π (∇τ, du) = Bp E a a { p −1 p a ∫ ∫ t E|g (τ )| ∇τ + E |g (τ )| a { }∫ t p −1 p ≤ Bp (t − a) N + mp E|g (τ )|p ∇τ ≤ Bp (t − a) N } ∫ t p p a p R |u| Υ (τ, du) ∇τ a Suy điều phải chứng minh Hệ 3.2.1 Lấy M ∈ M2 thỏa mãn điều kiện (3.1.2) (3.1.3) Giả sử (gn ) ⊂ L2 ((a, T ] ; M ) dãy trình ngẫu nhiên cho ∫ T lim E |gn (τ ) − g (τ )|p ∇τ = n→∞ (∫ Khi ∫ T lim E n→∞ a g (τ ) ∇Mτ − a )p T gn (τ ) ∇Mτ = a Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện (3.2.20) Lấy T ∈ Ta p ≥ trình ζ(t) nghiệm phương trình ∫ ∫ t t ψ (τ ) ζ (τ− ) ∇τ + ζ (t) = φ (t) + a χ (τ ) ζ (τ− ) ∇Mτ , t ∈ [a, T ] , (3.2.23) a với φ (t) , ψ (t) χ (t) trình (Ft )−phù hợp tồn số G cho với xác suất 1, ∥ψ (t)∥ ≤ G ∥χ (t)∥ ≤ G Khi đó, E sup ∥ζ (t)∥ ≤ p p−1 a≤t≤T ( ( )p E sup ∥φ (t)∥ eH (T, a) , a≤t≤T ) với H = 3p−1 Gp (T − s)p−1 + Cp 58 (3.2.24) Chứng minh Với n > 0, kí hiệu θn = inf {t > s : ∥ζ (t)∥ > n} Từ (3.2.23) ta có ( ∫ p a≤r≤t a≤t≤T ∫ r∧θn + E sup p) χ (τ ) ζ (τ− ) ∇Mτ a≤r≤t a ∫ +Gp (T − s)p−1 a Theo Định lý 3.2.2 ≤ 3p−1 E∥ζ (τ− )∥p ∇τ + Cp Gp a ( p (T − s)p−1 + Cp ) t∧θn ∫ a≤t≤T ) E∥ζ (τ− )∥p ∇τ t∧θn ) E∥ζ (τ− )∥p ∇τ a ∫ = 3p−1 E sup ∥φ (t)∥p + H a≤t≤T ( ( E sup ∥φ (t)∥p a≤t≤T ∫ E sup ∥φ (t)∥p + G ψ (τ ) ζ (τ− ) ∇τ a≤r≤t a ( = 3p−1 t∧θn p r∧θn E sup ∥ζ (r ∧ θn )∥ ≤ 3p−1 E sup ∥φ (t)∥ + E sup p t∧θn a ) sup E∥ζ (r)∥p ∇τ , a≤r≤τ− với H = 3p−1 Gp (T − s)p−1 + Cp Sử dụng Bổ đề 1.1.2 suy ( E )p sup ∥ζ (t ∧ θn )∥ ≤3 p−1 a≤t≤T ( )p E sup ∥φ (t)∥ eH (T, a) a≤t≤T Cho n → ∞ ta (3.2.24) Suy điều phải chứng minh 59 3.3 Tính ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian Mặc dù định nghĩa phương trình động lực ngẫu nhiên với ∇−tích phân ta thấy tốc độ hội tụ ∇−hàm mũ ep không tốt Hơn nữa, theo (1.1.4) ∆−hàm mũ ep nghiệm ∇−phương trình động lực Do đó, thay sử dụng ep , ta sử dụng ep để định nghĩa tính ổn định mũ Ta xét phương trình động lực (3.1.1) martingale bình phương khả tích M thỏa mãn (3.1.2), (3.1.3) (3.2.20) Giả sử với điều kiện ban đầu xa ∈ Rd , nghiệm Xa,xa (t) với Xa,xa (t) = xa phương trình (3.1.1) tồn xác định Ta Hơn nữa, f (t, 0) ≡ 0; g(t, 0) ≡ (3.3.25) Những giả thiết suy phương trình (3.1.1) có nghiệm tầm thường Xa,0 (t) ≡ Định nghĩa 3.3.1 Nghiệm tầm thường phương trình (3.1.1) gọi p−ổn định mũ tồn cặp số dương α K = K(a) > thỏa mãn E|Xa,xa (t)|p ≤ K|xa |p e⊖α (t, a) [a, ∞) , (3.3.26) với xa ∈ Rd Nếu ta chọn K khơng phụ thuộc a nghiệm tầm thường phương trình (3.1.1) gọi p−ổn định mũ ( ) Định lý 3.3.1 Giả sử tồn hàm V (t, x) ∈ C 1,2 Ta × Rd ; R+ số dương α1 , α2 , α3 thỏa mãn α1 ∥x∥p ≤ V (t, x) ≤ α2 ∥x∥p (3.3.27) Vt∇ (t, x) + AV (t, x) ≤ −α3 V (t, x) , ∀ (t, x) ∈ Ta × Rd (3.3.28) Khi E∥Xa,xa (t)∥p ≤ α2 ∥x∥p e⊖α3 (t, a) [a, ∞) α1 (3.3.29) với xa ∈ Rd Tức là, nghiệm tầm thường phương trình (3.1.1) p−ổn định mũ 60 Chứng minh Để đơn giản kí hiệu, ta viết X(t) thay cho Xa,xa (t) Với n > |xa |, ta định nghĩa thời điểm dừng θn := inf {t ≥ a : ∥X (t)∥ ≥ n} Hiển nhiên, θn → ∞ n → ∞ h.c.c Theo (3.3.28) tính tốn kì vọng ta E [eα3 (t ∧ θn , a) V (t ∧ θn , X (t ∧ θn ))] ∫ t∧θn = V (a, xa ) + E eα3 (τ− ∧ θn , a) [α3 V (τ, X (τ− )) + AV (τ, X (τ− ))] ∇τ a ≤ V (a, xa ) Sử dụng điều kiện (3.3.27) ta có α1 eα3 (t ∧ θn , a) E∥X (t ∧ θn )∥p ≤ E [eα3 (t ∧ θn , a) V (t ∧ θn , X (t ∧ θn ))] ≤ V (a, xa ) ≤ α2 ∥xa ∥p Cho n → ∞ ta thu α1 eα3 (t, a) E∥X (t)∥p ≤ α2 ∥xa ∥p Do đó, E∥Xa,xa (t)∥p ≤ α2 ∥x∥p e⊖α3 (t, a) α1 Ta có điều phải chứng minh Bây ta xét toán ngược cách nghiệm tầm thường (3.1.1) p−ổn định mũ hàm Lyapunov tồn Đầu tiên, ta nghiên cứu khác biệt nghiệm điều kiện ban đầu tính liên tục hệ số Bổ đề 3.3.1 Giả sử hệ số phương trình (3.1.1) liên tục theo s, x chúng có đạo hàm riêng cấp cấp hai liên tục, bị chặn điều kiện (3.2.20) với p ≥ Khi đó, nghiệm Xs,x (t), s ≤ t ≤ T phương trình (3.1.1) khả vi hai lần x Hơn nữa, đạo hàm riêng ∂ (Xs,x (t)) , ∂xi ∂2 (Xs,x (t)) ∂xi ∂xj liên tục bình phương trung bình theo x 61 ′ ′ ′′ ′′ Chứng minh Giả sử đạo hàm fx (t, x) , gx (t, x) , fxx (t, x) , gxx (t, x) bị chặn số λ Để đơn giản kí hiệu, ta đặt Ys,∆x (t) = Xs,x+∆x (t) − Xs,x (t) Sử dụng định lý Lagrange ta thấy với i = 1, d, tồn θi ∈ [0, 1] cho ( ) fi t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t) − fi (t, Xs,x (t)) = ( d ∑ ∂fi ( j=1 ) ∂xj ) t, Xs,x (t) + θi Ys,∆x (t) Yi,s,∆x (t), (3.3.30) gi t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t) − gi (t, Xs,x (t)) = d ∑ ∂gi ( j=1 ∂xj ) t, Xs,x (t) + ξi Ys,∆x (t) Yi,s,∆x (t) Kí hiệu As,∆x (t) ( tương ứng Bs,∆x (t)) ma trận gồm phần tử aij (t) ( tương s,∆x ứng bij (t)) xác định aij (t) = s,∆x s,∆x bij (t) = s,∆x ∂fi ∂xj ( ) ∂fi ∂xj ( ) t, Xs,x (t) + θi Ys,∆x (t) ( tương ứng t, Xs,x (t) + ξi Ys,∆x (t) ) Khi đó, phương trình (3.3.30) viết lại thành ( ) ( ) f t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t) − f (t, Xs,x (t)) = As,∆x (t) Ys,∆x (t) , g t, Xs,x (t) + Ys,∆x (t) − g (t, Xs,x (t)) = Bs,∆x (t) Ys,∆x (t) Do đó, ∫ ∫ t t As,∆x (t) Ys,∆x (t) ∇τ + Ys,∆x (t) = ∆x + Bs,∆x (t) Ys,∆x (t) ∇Mτ a a Chú ý As,∆x (t) Bs,∆x (t) bị chặn số λ Sử dụng Định lý (3.2.3) ta có E sup Ys,∆x (t) ≤ 3∥∆x∥2 eH2 (T, s) , (3.3.31) s≤t≤T H2 = 3λ2 (T − s + C2 ) Suy E sup Ys,∆x (t) P →0 ∥∆x∥ → s≤t≤T Lấy ζs,x (t) nghiệm phương trình động lực biến phân ∫ t ∫ ′ t fx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∇τ + ζs,x (t) = I + s ′ gx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∇Mτ , s ′ ′ với s ≤ t ≤ T Bởi fx gx bị chặn số λ nên ta có E sup ∥ζs,x (t)∥4 ≤ 27eH3 (T, s) , s≤t≤T 62 (3.3.32) ( ) H3 = 27λ3 (T − s)3 + C4 Ta định nghĩa ζ∆x (t) = Ys,∆x (t) − ζs,x (t) ∆x ∀s ≤ t ≤ T Khi đó, q trình ζ∆x (t) thỏa mãn phương trình ∫ ∫ t t As,∆x (τ− ) ζ∆x (τ− ) ∇τ + ζ∆x (t) = ϕ∆x (t) + a Bs,∆x (τ− ) ζ∆x (τ− ) ∇Mτ a ∫ t [( ϕ∆x (t) = ) ′ ] As,∆x (τ− ) − fx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∆x ∇τ s ∫ t [( + ) ′ ] Bs,∆x (τ− ) − gx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∆x Mτ s Áp dụng Định lý 3.2.3 ta thu E sup ∥ζ∆x (t)∥2 ≤ 3E sup ∥ϕ∆x (t)∥2 eH2 (T, s) s≤t≤T ′ (3.3.33) s≤t≤T ′ Bởi fx (t, x), gx (t, x) liên tục E sup Ys,∆x (t) P →0 ∥∆x∥ → 0, nên ta có s≤t≤T P − lim ( ∆x→0 ′ ′ As,∆x (t) − fx (t, Xs,x (t)) + Bs,∆x (t) − gx (t, Xs,x (t)) ) = Do đó, tính bị chặn A, B, f ′ , g ′ , ta thu ( E sup s≤t≤T ∫ T ∥ϕ∆x (t)∥2 ∥∆x∥2 E +4 ( ) ∫ T E ≤ (T − s) ( ′ ) As,∆x (τ− ) − fx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) s ) ′ Bs,∆x (τ− ) − gx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) 2 ∇τ ∇⟨M ⟩τ → ∥∆x∥ → s Từ (3.3.33) suy E sup s≤t≤T ∥ϕ∆x (t)∥ = ∆x → ∥∆x∥ Điều có nghĩa ζs,x (t) = ∂ Xs,x (t) ∂x ∀s ≤ t ≤ T Tính liên tục bình phương trung bình ζs,x (t) x suy tính liên tục ′ ′ fx (t, Xs,x (t)) gx (t, Xs,x (t)) ∂ Xs,x (t) Để đơn giản kí hiệu, F ∂ 2x ánh xạ song tuyến tính ta viết F h2 thay cho F (h, h) Lấy ánh xạ song tuyến tính Tiếp theo, ta chứng minh tồn 63 ηs,x (t) nghiệm phương trình động lực biến phân bậc hai ∫ t ∫ ′′ fxx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∇τ ηs,x (t) = s t ′ fx (τ, Xs,x (τ− )) ηs,x (τ− ) ∇τ + s ∫ t ∫ ′′ gxx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∇Mτ + t ′ gx (τ, Xs,x (τ− )) ηs,x (τ− ) ∇Mτ + s s với s ≤ t ≤ T Sử dụng Định lý 3.2.3 (3.3.32) ta có E sup ∥ηs,x (t)∥2 ≤ ∞ (3.3.34) s≤t≤T Định nghĩa η∆x (t) = ζs,x+∆x (t) ∆x − ζs,x (t) ∆x − ηs,x (t) (∆x)2 , ∀s ≤ t ≤ T Quá trình η∆x (t) thỏa mãn phương trình ∫ t ′ ( ) fx τ, Xs,x+∆x (τ− ) η∆x (τ− ) ∇τ η∆x (t) = ψ∆x (t) + s ∫ t ′ ( ) gx τ, Xs,x+∆x (τ− ) η∆x (τ− ) ∇Mτ , + s đó, ψ∆x (t) ∫ t [( = ′ ( ( s ∫ t [( = s ) ′ ) ′′ fx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − fx (τ, Xs,x (τ− )) − fxx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∆x ζs,x (τ− ) ∆x ′ ( ) ) ′ ] + fx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − fx (τ, Xs,x (τ− )) ηs,x (τ− ) (∆x)2 ∇τ ′ ( ) ′ ) ′′ gx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − gx (τ, Xs,x (τ− )) − gxx (τ, Xs,x (τ− )) ζs,x (τ− ) ∆x ζs,x (τ− ) ∆x ( ′ ( ) ′ ) + gx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − gx (τ, Xs,x (τ− )) ηs,x (τ− ) (∆x) ] ∇Mτ Sử dụng Định lý 3.2.3 ta thu E∥η∆x (t)∥2 ≤ E sup ∥ψ∆x (t)∥2 eH2 (T, s) , s≤t≤T H2 = 3λ2 (T − s + 4N ) Dễ dàng thấy 64 (3.3.35) ∫ t [( • E sup s s≤t≤T ( ′ ) ′′ ′ fx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − fx (τ, Xs,x (τ− )) − fxx (τ, Xs,x (τ− )) ∫ T × ζs,x (τ− ) ∆x) ζs,x (τ− ) ∆x] ∇τ ∥ ≤ (T − s) E ′ ( fx τ, Xs,x+∆x (τ− ) −fx (τ, Xs,x (τ− )) − fxx (τ, Xs,x (τ− )) Yx,∆x (τ− ) ζs,x (τ− ) ∆x ∫ T ( ( ′′ + (T − s) E ) s ) ′′ ′ ( ∇τ ) fxx (τ, Xs,x (τ− )) Yx,∆x (τ− ) − ζs,x (τ− ) ∆x ζs,x (τ− ) ∆x ) ∇τ s = o ∥∆x∥4 ; • ∫T s E ( ′ ( ) ) ′ fx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − fx (τ, Xs,x (τ− )) ηs,x (τ− ) (∆x)2 ∫ t [( • E sup s s≤t≤T ( ′ ) ′ ′′ ∫ ( T × ζs,x (τ− ) ∆x) ζs,x (τ− ) ∆x] ∇Mτ ∥ ≤ 4N E ′ ( ) gx τ, Xs,x+∆x (τ− ) s ′ ′′ ) −gx (τ, Xs,x (τ− )) − gxx (τ, Xs,x (τ− )) Yx,∆x (τ− ) ζs,x (τ− ) ∆x T ( ′′ + 4N E ( ) gx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − gx (τ, Xs,x (τ− )) − gxx (τ, Xs,x (τ− )) ∫ ( ∇τ = o ∥∆x∥4 ; ) s ∇τ ) gxx (τ, Xs,x (τ− )) Yx,∆x (τ− ) − ζs,x (τ− ) ∆x ζs,x (τ− ) ∆x ∇τ = o ∥∆x∥4 ; ∫ t [( • E sup s s≤t≤T ∫ ( T ′ ( ) ) ′ ] gx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − gx (τ, Xs,x (τ− )) ηs,x (τ− ) (∆x)2 ∇Mτ ′ ( ) ) ′ gx τ, Xs,x+∆x (τ− ) − gx (τ, Xs,x (τ− )) ηs,x (τ− ) (∆x)2 ≤ 2N 2 ( s ( ) Kết hợp kết ta có: E sup ∥ψ∆x (t)∥2 = o ∥∆x∥4 , điều suy s≤t≤T ( ) E∥η∆x (t)∥2 = o ∥∆x∥4 Do đó, ∥η∆x (t)∥ ∥∆x∥2 = ∂2 Xs,x (t) = ηs,x (t) ∂x2 Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.3.2 Cho p ≥ ≤ β ≤ p Khi đó, ánh xạ F (ϕ) : ϕ → ∥ϕ∥β từ Lp (Ω, F, P) tới R khả vi hai lần ϕ0 ̸= ′ β−1 F (ϕ0 ) ϕ = β Eϕo ϕ; ′′ F (ϕ0 ) ϕ.ψ = β (β − 1) Eϕβ−2 ϕψ o 65 ) ∇τ = o ∥∆x∥4 Chứng minh Ta có F (ϕ0 + ∆ϕ) − F (ϕ0 ) − β E|ϕ0 |β−1 ∆ϕ = E|ϕ0 + ∆ϕ|β − Eϕβ − β E|ϕ0 |β−1 ∆ϕ o [ = β (β − 1) E |η| β−2 (∆ϕ) ] [ ≤ β (β − 1) E|η| m(β−2) ]m [ ]2 E (∆ϕ)p p , η ∈ (ϕ0 ; ϕ0 + ∆ϕ) ϕ0 + ∆ϕ > ϕ0 η ∈ (ϕ0 + ∆ϕ; ϕ0 ) ϕ0 > ϕ0 + ∆ϕ Do đó, với m + p = ta có [ ]1 ]2 m(β−2) m [ E (∆ϕ)p p F (ϕ0 + ∆ϕ) − F (ϕ0 ) − β E|ϕ0 | ∆ϕ ≤ β (β − 1) E|η| [ ]1 ]2 m(β−2) m [ E (∆ϕ)p p ≤ β (β − 1) E max {|ϕ0 | ; |ϕ0 + ∆ϕ|} β−1 Từ hệ thức m + p = suy m (β − 2) < p Do đó, E max {|ϕ0 | ; |ϕ0 + ∆ϕ|}m(β−2) < ∞ Như vậy, F (ϕ0 + ∆ϕ) − F (ϕ0 ) − β E|ϕ0 |β−1 ∆ϕ [ ≤ β (β − 1) E|η| m(β−2) ]m [ ]2 E (∆ϕ)p p = O(1) ∥∆ϕ∥2 ∥∆ϕ∥p → p ′ Điều có nghĩa là: F (ϕ0 ) ϕ = β Eϕβ−1 ϕ Tương tự ta chứng minh tồn o ′′ tính liên tục đạo hàm cấp hai F Bổ đề 3.3.3 Lấy hệ số phương trình (3.1.1) liên tục theo t, x thỏa mãn điều kiện (3.3.25) Giả sử điều kiện Bổ đề 3.3.1 thỏa mãn ≤ β ≤ p Khi đó, với t > a cố định, hàm số u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β ; a < s < t khả vi liên tục hai lần theo x ngoại trừ x = Chứng minh Theo Bổ đề 3.3.1, ánh xạ x → Xs,x (t) khả vi hai lần theo x Ánh xạ X → ∥X∥ từ Rd tới R ánh xạ F (ϕ) = E|ϕ|β từ Lp (Ω, F, P) tới R khả vi hai lần Do theo quy tắc chuỗi, ánh xạ u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β khả vi hai lần Hơn nữa, ′ [ ux (s, x) h = β E ∥Xs,x (t)∥β−2 ⟨Xs,x (t) , ζs,x (t) h⟩ ′′ ] (3.3.36) [ uxx (s, x) h2 = β E (β − 2) ∥Xs,x (t)∥β−4 ⟨Xs,x (t) , ζs,x (t) h⟩2 ⟨ +∥Xs,x (t)∥β−2 ∥ζs,x (t) h∥2 + ∥Xs,x (t)∥β−2 Xs,x (t) , ηs,x (t) h2 66 ⟩] Định lý 3.3.2 Giả sử M có gia số độc lập điều kiện Bổ đề 3.3.1 ≤ β ≤ p Khi đó, hàm số u(s, x) = E∥Xs,x (t)∥β ; a < s < t ∇−khả vi theo s, khả vi liên tục hai lần theo x thỏa mãn phương trình u∇ (s, x) + AV (s, x) = s (3.3.37) Chứng minh Theo Bổ đề 3.3.1, u(s, x) khả vi hai lần theo x Từ (3.3.26), (3.3.31), (3.3.32), (3.3.34) (3.3.36), ta suy ∫t s Au (h, Xs,x (τ− )) ∇τ khả tích Do ∫ r u (h, Xs,x (r)) − V (h, x) − Au (h, Xs,x (τ− )) ∇τ , s≤r≤h≤t s Fr −martingale Suy ra, ∫ h Eu (h, Xs,x (h)) − u (h, x) = EAu (h, Xs,x (τ− )) ∇τ s Bởi Mt có gia số độc lập nên Xh,y (t) độc lập với Xs,x (t) s ≤ h ≤ t, điều suy Eu (h, Xs,x (h)) = u (s, x) Do đó, u (s, x) − u (h, x) = s−h s−h ∫ h EAu (h, Xs,x (τ− )) ∇τ s Cho h → s ta thu u∇ (s, x) = −Au (s, x) s Ta có điều phải chứng minh Định lý 3.3.3 Giả sử điều kiện Bổ đề 3.3.1 ≤ β ≤ p Giả sử với T > cố định, tồn hàm γT : T → T với γT (s) ≥ s + T , ∀s ∈ T cho γT (s) − T ∇ ∇−đạo hàm γT (s) bị chặn Nếu nghiệm tầm thường phương trình (3.1.1) β−ổn ( ) định mũ tồn hàm V (s, x) ∈ C1,2 Ta × Rd ; R+ thỏa mãn bất đẳng thức (3.3.27) (3.3.28) Chứng minh Theo Bổ đề 3.3.3 Định lý 3.3.2, hàm số ∫ γT (s) E∥Xs,x (τ )∥β ∇τ V (s, x) = ( s ) thuộc lớp C1,2 Ta × Rd ; R+ Từ (3.3.26), ∫ γT (s) N ∥x∥β e⊖α (τ− , s) ∇τ = α1 ∥x∥β , V (s, x) ≤ s 67 α1 = N ⊖α (e⊖α (γT (s) , s) − 1) ∇ Theo giả thiết, nghiệm tầm thường phương trình (3.1.1) β−ổn định mũ γT (s) bị chặn nên ta chọn T > cho 2 ∇ E∥Xs,x (γT (s))∥p < ∥x∥p , E∥Xs,x (γT (s))∥β γT (s) < ∥x∥p (3.3.38) Hơn nữa, hệ số f, g có đạo hàm riêng theo x bị chặn f (t, 0) = 0, g(t, 0) = nên ta có đánh giá ∥f (t, x)∥ ≤ G ∥x∥ ; ∥g (t, x)∥ ≤ G ∥x∥ [ ] A ∥x∥p (s, x) < c∥x∥p (3.3.39) với số c Do đó, áp dụng cơng thức Ito cho hàm số ∥x∥p sử dụng (3.3.39) suy ∫ γT (s) E∥Xs,x (γT (s))∥ − ∥x∥ = p p s ∫ EA∥Xs,x (τ− )∥p ∇τ γT (s) ≥ −c E∥Xs,x (τ− )∥p ∇τ = −cV (s, x) s Kết hợp với (3.3.38) ta có bất đẳng thức V (s, x) > α2 ∥x∥p với α2 = 2c Do đó, V thỏa mãn điều kiện (3.3.27) Lấy ∇−đạo hàm V theo s áp dụng Định lý 3.3.2 ta có ∇ Vs∇ (s, x) + AV (s, x) = E∥Xs,x (γT (s))∥β γT (s) − ∥x∥β , Sử dụng (3.3.38) ta thu 1 Vs∇ (s, x) + AV (s, x) ≤ − ∥x∥p ≤ − V (s, x) 2α1 Suy Vs∇ (s, x) + AV (s, x) ≤ −α3 V (s, x) α3 = 2α1 Như vậy, hàm V thỏa mãn điều kiện (3.3.27), (3.3.28) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.3.1 Xét phương trình tuyến tính { d∇ X (t) = aX (t− ) d∇ t + bX (t− ) d∇ M (t) X (t0 ) = ∀t ∈ Ta (3.3.40) a, b hai số, M martingale liên tục có gia số độc lập thỏa mãn điều kiện (3.1.2), (3.1.3) 68 Bằng cách sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 3.1.3 áp dụng công thức Itô, ta thu X (t) ∫ = 1+ t( ) 2a (τ ) (1 − 1I (τ )) + b2 (τ ) Kτ + a2 (τ ) ν (τ ) + 2a (τ ) ν (τ ) X (τ− ) ∇τ +B (t) t0 với t ∈ [t0 , T ], B(t) Ft −martingale Lấy kì vọng hai vế, ta có ∫ EX (t) = + t( ) 2a (1 − 1I (τ )) + b2 Kτ + a2 ν (τ ) + 2aν (τ ) EX (τ− ) ∇τ t0 Đặt q (t) = 2a (1 − 1I (t)) + b2 Kt + a2 ν (t) + 2aν (t) ∀t ≥ t0 Khi q ∈ R+ Điều suy EX (t) = eq (t, t0 ) Kí hiệu Xs,x (t), t ≥ s nghiệm phương trình (3.3.40) với giá trị ban đầu s Xs,x (s) = x Khi E∥Xs,x (t)∥2 = eq (t, s) x2 Dễ dàng thấy u (s, x) = E∥Xs,x (t)∥2 hàm số không âm xác định T × Rd thỏa mãn ∇−khả vi liên tục lần theo t khả vi liên tục lần theo x Với T > cố định, lấy γT (s) xác định Định lý 3.3.3 Đặt ∫ γT (s) V (s, x) = E∥Xs,x (τ− )∥2 ∇τ s Khi đó, ta có Vs∇ (s, x) + AV (s, x) ∇ = E∥Xs,x (γT (s))∥2 γT (s) − E∥Xs,x (s)∥2 ( ) ∇ = eq (γT (s) , s) γT (s) − eq (s, s) x2 ∫ γT (s) ( = ) 2a (1 − 1I (τ )) + b2 Kτ + a2 ν (τ ) + 2aν (τ ) eq (τ− , t0 ) x2 ∇τ s Từ Định lý 3.3.1 3.3.3 ta suy rằng: Nghiệm tầm thường phương trình (3.3.40) ổn định mũ bình phương trung bình thỏa mãn điều kiện sau i) Nếu q (t) = 2a (1 − 1I (t)) + b2 Kt + a2 ν (t) + 2aν (t) q ∈ R+ , ii) 2a (1 − 1I (t)) + b2 Kt + a2 ν (t) + 2aν (t) < ∀t ≥ t0 69 Kết luận Qua đề tài nghiên cứu này, luận văn trình bày kết sau: Trình bày tích phân ngẫu nhiên thang thời gian theo martingale bình phương khả tích Phát biểu chứng minh công thức Itô d−semimartingale thang thời gian Trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian với nhiễu martingale bình phương khả tích, định nghĩa nghiệm điều kiện tồn nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên Phát biểu tốn martingale, trình bày cơng thức ước lượng moment nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên Trình bày điều kiện cần đủ tính ổn định mũ phương trình động lực ngẫu nhiên thang thời gian qua hàm Lyapunov Hà nội - 2015 70 Tài liệu tham khảo [1] M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic equations on time scale, Birkhauser Boston, Massachusetts [2] M Bohner and A Peterson (2003), Advances in Dynamic equations on time scale, Birkhauser Boston, Basel, Berlin [3] A.Cabada anh D.R.Vivero (2006), Expression of the Lebesgue ∇-integral on the time scale as an usual Lebesgue integral: Application to the calculus of ∇-antiderivatives, Mathematical and Computer Modeling 43, 194 - 207 [4] A.Deniz and U.Ufuktepe (2009), Lebesgue-Stieltjes measure on time scale, Turk J Math 33, 27 – 40 [5] I I Gihman and A V Skorokhod (1996), Introduction to the theory of random processes, W B Saunders Company, Philadelphia London Toronto [6] N Ikeda and S Wantanabe (1981), Stochastic differential equations and diffusion processes, North Holland, Amsterdam [7] X Mao (1997), Stochastic differential equations and their applications, Horwood Publishing Chichester [8] P Medvegyev (2007), Stochastic dynamic equations, Oxford University Press Inc, New York [9] S Sanyal (2008), Stochastic integration theory, Ph.D Dissertation, Applied Mathematics, Missouri University of Science and Technology [10] H P McKean Jr (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, New York [11] L C G Rogers and D William (1987), Diffusions, Markov process and martingales, Volume 2: Itô’s Calculus, John Wiley & Sons Ltd 71 [12] N H Du and N T Dieu (2012), Stochastic dynamic equation on time scale, Acta Mathematica Vietnamica.38, 317 - 338 [13] N H Du and N T Dieu (2012), On the P −exponential stability of stochastic dynamic equation on disconnected sets, Journal of Stochastic Analysis and Application (submitted) [14] A Tartakovsky (1998), Asymptotically optimal sequential tests for nonhomogeneous processes, Sequential Analysis.17, 33 - 61 [15] K B Athreya and S N Lahiri (2006), Measure Theory and Probability Theory, Springer Science Business Media, LLC [16] D Kannan and B Zhan (2002), A discrete - time Itô’s formula, Stochastic Analysis and Application 20, 1133 - 1140 [17] I I Gihman and A V Skorokhod (1972), Stochastic differential equations, Springer - Verlag, Berlin [18] N H Du and N T Dieu (2011), The first attempt on the stochastic calculus on time scale, Stochastic Analysis and Application 29, 1057 - 1080 72