Về tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàm Drygas trên không gian tựa chuẩn, trong đó f là ánh xạ từ X vào Y và x,y,x+y,x-y e X. Kết quả của bài viết là mở rộng các kết quả của Aiemsomboon và Sintunavarat (2016) về phương trình hàm Drygas trong không gian định chuẩn.

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 VỀ TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM DRYGAS Phạm Thị Mai Thắm1, Võ Thị Lệ Hằng2* Nguyễn Văn Dũng3 Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp Phịng Khoa học Cơng nghệ, Trường Đại học Đồng Tháp Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: vtlhang@dthu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 30/03/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 03/05/2021; Ngày duyệt đăng: 10/05/2021 Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng phương trình hàm Drygas f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) khơng gian tựa chuẩn, f ánh xạ từ X vào Y x, y, x  y, x  y  X Kết viết mở rộng kết Aiemsomboon Sintunavarat (2016) phương trình hàm Drygas khơng gian định chuẩn Từ khóa: Phương trình hàm, tính siêu ổn định, tựa chuẩn - ON THE HYPERSTABILITY OF THE DRYGAS FUNCTIONAL EQUATIONS Pham Thi Mai Tham1, Vo Thi Le Hang2*, and Nguyen Van Dung3 Student, Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University Office of Science and Technology Management, Dong Thap University Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: vtlhang@dthu.edu.vn Article history Received: 30/03/2021; Received in revised form: 03/05/2021; Accepted: 10/05/2021 Abstract In this paper we study the hyperstability of the Drygas functional equation of the form f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) in quasi-normed spaces, where f is a map from X into Y and x, y, x  y, x  y  X The obtained results are the extensions of the results of Aiemsomboon and Sintunavarat (2016) on the Drygas functional equation in normed spaces Keywords: Functional equation, hyperstability, quasi-norm DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.3.2021.864 Trích dẫn: Phạm Thị Mai Thắm, Võ Thị Lệ Hằng Nguyễn Văn Dũng (2021) Về tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 10(3), 21-30 21 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Mở đầu :XX  Ánh xạ f :  gọi thỏa mãn phương trình hàm Drygas f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) (1.1) với x, y  Lưu ý ánh xạ thỏa mãn phương trình hàm f ,g:  Drygas f  g thỏa mãn phương trình hàm Drygas Năm 1987, Drygas nghiên cứu phương trình (1.1) đưa đặc trưng khơng gian tựa tích (Drygas, 1987) Sau Ebanks cs (1992) mở rộng phương trình (1.1) f ( x)  A( x)  Q( x) A :  ánh xạ cộng tính Q :  phương trình hàm bậc hai, nghĩa với x, y  , A thỏa mãn A( x  y)  A( x)  A( y) Q thỏa mãn Q( x  y)  Q( x  y)  2Q( x)  2Q( y) Tính ổn định phương trình hàm Drygas quan tâm nghiên cứu qua nhiều tác giả (Faiziev Sahoo, 2007 2008; Jung Sahoo, 2002; Yang, 2004) Năm 2013, Piszczek Szczawinka đưa kết tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas (Piszczek Szczawinka, 2013) Dù kết tính siêu ổn định đưa Bourgin (Bourgin, 1949), thuật ngữ “siêu ổn định” sử dụng lần Maksa Pales (Maksa Pales, 2014) Từ kết Aiemsomboon Sintunavarat (2016) nghiên cứu tính siêu ổn định khơng gian định chuẩn, viết thiết lập chứng minh kết tính siêu ổn định không gian tựa chuẩn Trong viết n0 biểu diễn tập số nguyên lớn n0 , B A biểu diễn tập hợp tất hàm từ tập hợp A   đến tập hợp B   Định nghĩa 1.1 (Kalton, 2003) Giả sử X không gian vectơ trường ,   22 ánh xạ cho với x, y  X a  , x  x  ax  a x x  y   ( x  y ) Khi gọi tựa chuẩn ( X , ,  ) gọi không gian tựa chuẩn Định nghĩa 1.2 (Czerwik S., 1998) Giả sử X  ,   d : X  X   ánh xạ cho với x, y, z  X , d ( x, y)  x  y d ( x, y)  d ( y, x) d ( x, z)   (d ( x, y)  d ( y, z)) Khi d gọi b -metric X ( X , d ,  ) gọi không gian b -metric Dãy {xn }n gọi hội tụ đến x ( X , d ,  ) lim d ( xn , x)  n  Dãy {xn }n gọi dãy Cauchy lim d ( xn , xm )  n , m Không gian ( X , d ,  ) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Nếu ( X , ,  ) khơng gian tựa chuẩn d ( x, y)  x  y với x, y  X xác định b -metric X Nếu không giải thích thêm khơng gian tựa chuẩn ta ln dùng b -metric Khi khơng gian tựa chuẩn đầy đủ gọi không gian tựa Banach Định lí 1.3 (Paluszyński Stempak, 2009) Giả sử (Y , d ,  ) không gian b metric,   log 2 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 tồn ánh xạ  :U  Y điểm bất động thỏa mãn n Dd  x, y   inf{d  ( xi , xi 1 ) : i 1 x  x1 , x2 , , xn , xn1  y  X , n  1} với x, y  Y Khi Dd metric Y thỏa mãn  d ( x, y)  Dd ( x, y)  d  ( x, y) (1.3) với x, y  Y Đặc biệt, d metric   Dd  d Hệ 1.4 (Aiemsomboon Sintunavarat, 2017) Cho U  , (Y , ,  ) không gian tựa Banach f1 , , f k : U  U L1 , Lk : U   ánh xạ, k số nguyên dương Giả sử :Y Y U U ánh xạ thỏa mãn k  ( x)   ( x)   Li ( x)  ( fi ( x))   ( fi ( x)) (1.4) i 1  ( x)   ( x)   ( x)  (1.5) Với x U   log 2k 2, (1.6) i 1 k ( )( x)   Li ( x) ( fi ( x)) (1.7) i 1 với  :U    * ( x)  ( M  ( n )( x))   (1.10) n 1 điểm bất động thỏa mãn (1.9) Kết Trong mục chúng tơi thiết lập chứng minh số định lí tính ổn định phương trình hàm khơng gian tựa chuẩn Định lí 2.1 Giả sử X tập không gian tựa chuẩn ( Z , ,  Z ) trường cho Tồn n0  cho nx  X với x  X , n  n0 ánh xạ h : X   thỏa mãn M : {n  , n  n0 : Y (2s(n  1)  s(n) tập vơ hạn, s(n) : inf{t   : h(nx)  th( x)  x  X } s(n) thỏa mãn điều kiện sau với n , lim s(n)  lim s(n)  n  f ( x  y )  f ( x  y )  f ( x)  f ( y )  f ( y ) Với x  U , giới hạn x  Với x  U , tồn M  cho Hàm f : X  Y thỏa mãn bất đẳng thức Khi ta có, lim( với x  U n  x  U  (1.9)  s(n)  s(2n  1))  1} k  * ( x) :  ( n ) ( x)    ( x)  ( x)  4 * ( x) x  X  x  X (Y , , Y ) không gian tựa Banach trường với  ,   Y U x  U Tồn hai ánh xạ  :U   :U  Y cho với x U  (1.2)  )( x)   ( x) n (1.8)  h( x )  h( y ) với x, y, x  y, x  y  X (2.1) Khi f thỏa mãn phương trình 23 Chuyên san Khoa học Tự nhiên f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) với x, y  X (2.2)   Li ( x) (   )( fi ( x)) i 1 Chứng minh Với x  X , m  M thay x (m  1) x y mx vào (2.1), ta có Bằng phép quy nạp toán học, với x  X , n  0, m  M ,  nm  m ( x)  Y [ s(m  1)  s(m)][2s(m  1)  s(m) f ((m  1) x  mx)  f ((m  1) x  mx)  s (m)  s (2m  1)]n h( x) 2 f ((m  1) x)  f (mx)  f (mx)  f ((m  1) x)  f (mx)  f (mx)  f ((2m  1) x)  f ( x)  h((m  1) x)  h(mx) (2.3) Xác định ánh xạ m :Y X  Y X với m  M ( m (2.5) Từ (2.4), ta suy (2.5) với n  Giả sử (2.5) cho n  l , với l  Với n  l  1, ta có lm1 m ( x)   m ( lm  m ( x))  )( x) : 2 ((m  1) x)   (mx)   (mx)  2Y lm  m ((m  1) x)  Y lm  m (mx)  ((2m  1) x), x  X ,   Y X  Y lm  m (mx)  Y lm  m ((2m  1) x) Ta có, với x  X  m ( x) : h((m  1) x)  h(mx)  [s(m  1)  s(m)]h( x) (2.4)  Y2l 2 [s(m  1)  s(m)][2s(m  1)  s(m)  s(m)  s(2m  1)]l [2h((m  1) x)  h(mx)  h(mx)  h((2m  1) x)] Khi bất đẳng thức (2.3) có dạng m f ( x)  f ( x)   m ( x) Điều chứng tỏ  Y2(l 1) [ s(m  1)  s(m)][2s(m  1)  s(m)  s(m) (1.5) thỏa mãn với   f ,    m Xác định ánh xạ  m : X   X  (m )( x) : Y (2 ((m  1) x)  (mx)  (mx)  ((2m  1) x)) với   X  , x  X Khi (1.7) thỏa mãn với k  4, f1 ( x)  (m  1) x, f ( x)  mx, f3 ( x)  mx, f ( x)  (2m  1) x, L1 ( x)  2Y L2 ( x)  L3 ( x)  L4 ( x)  Y Hơn nữa, với  ,   Y U , x  X , theo Định nghĩa 1.1 , ta có  ( x)  m m  ( x)  2 ((m  1) x)   (mx)   (mx)   ((2m  1) x)  s(2m  1)]l 1 h( x) Điều (2.5) với n  l  Do (2.5) với tất n  Theo định nghĩa M tổng cấp số nhân, với x  X m  M   ( n 0 n  m m  ) ( x)    Y n [ s(m  1)  s(m)] [2s(m  1)  s(m)  s(m) n 0  s(2m  1)] n h ( x) [s(m  1)  s(m)] h ( x)    (2.6)  Y2 [2s(m  1)  s(m)  s(m)  s(2m  1)] 2   m  1 x     mx     mx      2m  1 x  Từ (1.6) (2.6) ta suy  2Y (   )((m  1) x)  Y (   )(mx)  * ( x)  Y (   )(mx)  Y (   )((2m  1) x) 24 [s(m  1)  s(m)] h ( x)  Y2 [2s(m  1)  s(m)  s(m)  s(2m  1)] Do đó, theo Hệ 1.4, với m  M , tồn nghiệm Fm : X  Y phương trình Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 Fm ( x)  2Fm ((m  1) x)  Fm (mx)  Fm (mx)  Fm ((2m  1) x)  cho  Y 2n [2s(m  1)  s(m)  s(m)  s(2m  1)] n (h( x)  h( y))  f ( x)  Fm ( x)  [s(m  1)  s(m)] h ( x) (2.7)   [2s(m  1)  s(m)  s(m)  s(2m  1)] 2 Y Hơn theo (1.8), ta có n m lim n  (2.8) f ( x)  Fm ( x) f ( x  y)  n m f ( x  y)  n m f ( x)  n m f ( y)  n m f ( y)  Y2 n [2s(m  1)  s(m)  s(m)  s(2m  1)]n (h( x) + h( y)) (2.9) với n  r  x, y, x  y, x  y  X , ta có  r m m   f ( x  y)  r m m r 1 m f ( y)  m r m m r m f ( x  y)  f ((m  1)( x  y ))   r m f ((2m  1)( x  y )   r m f (m( x  y ))   r m f (mx)  r m r m f ((m  1) y )  2 r m f ((m  1)(  y ))   r m r m f ( y)  r 1 m f ( y ) r m f (m( x  y ))  f m r m f ( m( x  y )) (( m  1)( x  y ))  r m r m r m f ( m( x  y )) r m f (( m  1) x) f ((2m  1) x)) f (my )  r m f (my )  f (m(  y ))  r m r m f ((2m  1) y ) f ((2m  1)(  y ))  2h(( m  1) y )  h( mx)  h( my )  h( mx)  h( my )  h((2m  1) x)  h((2m  1) y )] Suy (2.9) với n  r  Điều suy (2.9) với n  với x, y  Y Khi (Y , d , Y ) không gian b -metric Từ (2.9) (1.3) Định lí 1.3, ta có  Dd ( mn f ( x  y)  n m f ( x  y)  n m n m f ( x  y),2 mn f ( x)  f ( x  y),2 mn f ( x)  n m f ( y )  f ( x  y)  f ( x  y)  n m n m f ( x)  n m f ( y)  n m f ( y)   lim f ( x)  Fm ( x)  0, m n m n m suy lim f ( x)  Fm ( x)  Do m (2.11) lim Fm ( x)  f ( x) m lim(2Fm ( x)  Fm ( y)  Fm ( y))  f ( x)  f ( y)  f ( y) (2.12) m lim Dd ( n f ( y)  f ( y)  n m n m f ( x  y)  n m f ( x  y), n m f ( x)  n m f ( y))  f ( y) (2.13) Vì Dd liên tục, cho n   (2.10), sử dụng định nghĩa M (2.8), với x, y  X , ta có Dd ( Fm ( x  y)  Fm ( x  y),2Fm ( x)  Fm ( y)  Fm ( y))  n m n m f ( x  y)  f ( y)  n m n m f ( x  y), f ( y )) n m f ( x) (2.14) Kết hợp (2.13) (2.14), ta có  Y2( r 1) [2 s(m  1)  s(m)  s( m)  s (2m  1)]r 1 ( h( x)  h( y ))  d ( n m n  2r Y Đặt d ( x, y)  x  y f ( y)  (2.10)  lim Dd ( f ( m(  y ))   Y  [2 s (m  1)  s (m)  s (m)  s (2m  1)]r [2h(( m  1) x) n m Suy  f ( x) f ((2m  1)( x  y ))  2(2 f ( mx)  2 r m m f ( x)  n m Từ (2.10), ta suy r 1 m f ( x)  với f ( y) r m r m r 1 m f ( x  y)  f ( x  y)  Từ (2.11) với x, y  X , ta có Với n  0, (2.9) trở thành (2.1) Giả sử f ( x  y)  n m 0 (2.9) với x, y, x  y, x  y  X n  r 1 m f ( x  y)  Lấy giới hạn hai vế (2.7) m  , ta Tiếp theo chứng minh n m n m n m f ( y)) n m f ( y)) Dd ( f ( x  y)  f ( x  y), f ( x)  f ( y)  f ( y)  lim Dd ( Fm f ( x  y )  Fm f ( x  y ), Fm ( x) m   Fm ( y )  Fm ( y ))  Do f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) Điều chứng tỏ f nghiệm phương trình tuyến tính tổng quát (2.2)  25 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Định lí 2.2 Giả sử ( X tập không gian tựa chuẩn ( Z‖, ‖ ,  Z ) trường cho x  X  x  X (Y ,‖ ‖ , Y ) không gian tựa Banach trường Tồn n0  cho nx  X với x  X , n  n0 ánh xạ u, v : X   thỏa mãn M : {n  , n  n0 : Y [2s12 (n  1)  s12 (n)  s12 (n)  s12 (2n  1)]  1} tập vơ hạn,  )( x) : 2 ((m  1) x)   (mx)   (mx)   ((2m  1) x), x  X ,   Y X Ta có, với x  X  m ( x) : u((m  1) x)v(mx)  [s1 (m  1)s2 (m)]u( x)v( x) (2.18) Khi bất đẳng thức (2.17) có dạng m f ( x)  f ( x)   m ( x) Điều chứng tỏ (1.5) thỏa mãn với   f ,    m Xác định ánh xạ  m : m  M ,  X  X   X  với , x  X ( m )( x) : Y (2 ((m  1) x)   (mx)   (mx) s1 (n)s2 (n) : s12 (n), s1 (n) : inf{t   : u(nx)  tu( x) với x  X }, s2 (n) : inf{t   : v(nx)  tv( x) với x  X }, s1 (n), s2 (n) thỏa mãn điều kiện sau với n    ((2m  1) x)) (2.19) Khi (1.7) thỏa mãn với k  , f1 ( x)  (m  1) x, f ( x)  mx, f3 ( x)  mx, f ( x)  (2m  1) x, L1 ( x)  2Y L2 ( x)  L3 ( x)  L4 ( x)  Y với x  X Hơn với  ,   Y U , x  X theo Định nghĩa 1.1 khơng gian tựa chuẩn, ta có m  ( x)  m  ( x) (W1 ) lim s1 (n)s2 (n)  0; n (W2 ) lim s1 (n)  lim s2 (n)  n  m n  Hàm f : X  Y thỏa mãn bất đẳng thức f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y)  u( x)v( y) (2.15) với x, y, x  y, x  y  X  2 ((m  1) x)   (mx)   (mx)   ((2m  1) x)  2 ((m  1) x)   (mx)   (mx)   ((2m  1) x)  2Y (   )((m  1) x)  Y (   )(mx)  Y (   )(mx)  Y (   )((2m  1) x) Khi f thỏa mãn phương trình f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) (2.16) với x, y  X Chứng minh Với x  X , m  M thay x (m  1) x y mx vào (2.15) cho f ((m  1) x  mx)  f ((m  1) x  mx)  f ((m  1) x)  f (mx)  f (mx)  f ((m  1) x)  f (mx)  f (mx)  f ((2m  1) x)  f ( x)  u((m  1) x)v(mx) Xác định ánh xạ 26 m (2.17) : Y X  Y X với m  M   Li ( x)‖ (   )( fi ( x))‖ i 1 Bằng phép quy nạp tốn học, chúng tơi với x  X , n  0, m  M ,  nm  m ( x)  Y2 n [ s1 (m  1) s2 (m)][2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)]n u ( x)v( x) (2.20) Thật vậy, từ (2.18), ta suy (2.20) với n  Giả sử (2.20) cho n  l , l  , ta có Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 lm1 m ( x) f ( x)  Fm ( x)  [ s1 (m  1) s2 (m)] u ( x) v( x) (2.22)   [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)]   m ( lm  m ( x)) 4  2Y lm  m ((m  1) x)  Y lm  m (mx) với  ( x)  f ( x)  ( x)  Fm ( x) Hơn  Y lm  m (mx)  Y lm  m ((2m  1) x) 2 Y n   2Y  Y2l [s1 (m  1)s2 (m)][2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)]l [2s12 (m  1)u( x)v( x)  s12 (m)u( x)v( x)  s12 (m)u( x)v( x)  s12 (2m  1)u( x)v( x)]  Y2(l 1) [ s1 (m  1) s2 (m)][2s12 (m  1)  s12 (m) Điều (2.20) với n  l  Do (2.20) với n  Theo định nghĩa M tổng cấp số nhân, với x  X , m  M   log 2Y  ) ( x)    Y n [ s1 (m  1) s2 (m)] [2s12 (m  1)  s12 (m) n 0 n    s12 (m)  s12 (2m  1)] u ( x)v ( x)   f ( x  y)   [ s1 (m  1) s2 (m)] u ( x)v ( x)  2  Y [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)]   n m f ( x)  n m f ( y)  (2.21) Từ (1.6) (2.21) ta suy [s1 (m  1)s2 (m)] u ( x)v ( x)  * ( x)   Y2 [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)] Do đó, theo Hệ 1.4, với m  M tồn nghiệm Fm : X  Y phương trình Fm ( x)  2Fm ((m  1) x)  Fm (mx)  Fm (mx)  Fm ((2m  1) x) cho n m f ( y) (2.24) với x, y, x  y, x  y  X n  Thật với n  (2.24) trở thành (2.15) Do (2.24) với n  Với r  giả sử (2.24) với n  r với x, y, x  y, x  y  X , ta có r 1 m  r m m  r 1 m f ( x  y)  m f ( x  y)  f ( x  y)  r m f ( y)  r m m r m m  mr f ((m  1)( x  y))  n  m m (2.23)  Y2 n [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)]l 1 u ( x)v( x) n 0 n m  s12 (2m  1)]n (u ( x)v( y ))  Y2l 2[s1 (m  1)s2 (m)][2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  f ( x  y)  n m  u (mx)v(mx)  u ((2m  1) x)v((2m  1) x)]  ( f ( x)  Fm ( x) Tiếp theo chứng minh  Y2l  [ s1 (m  1) s2 (m)][2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)]l [2u ((m  1) x)v((m  1) x)  u (mx)v(mx) n m theo (1.8), ta có lim r m r 1 m f ( x)  r 1 m f ( x  y)  f (m( x  y))  r m f ((2m  1)( x  y)  mf ((m  1)( x  y))   r m f (m( x  y))   r m f (mx)   r m f (my)   r m r m f (my)  r m f ( x) r m f (m( x  y)) f ((2m  1)( x  y))  2(2 mr f ((m  1) x) f (mx)  f (m( y))  r m f ( y ) f (m( x  y)) r m r m m r 1 m f ( y )  r m f ( y)  r m r m f ((2m  1) x))  mr f ((m  1) y) f ((2m  1) y)  mr f ((m  1)( y)) f (m( y))  r m f ((2m  1)( y))    [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)] [2u((m  1) x)v((m  1) y) 2r Y Y r u(mx)v(my)  u(mx)v(my)  u((2m  1) x)v((2m  1) y)]  Y2 r  [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m  1)]r [2s12 (m  1)u( x)v( y)  s12 (m)u( x)v( y)  s12 (m)u( x)v( y)  s12 (2m  1)u( x)v( y)]  Y2(r 1) [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m)  s12 (2m 1)]r 1u( x)v( y) Suy (2.24) với n  r  Điều suy (2.24) với n  27 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Đặt d ( x, y)  x  y với x, y  Y Khi (Y , d , Y ) không gian b -metric Từ (1.3) Định lí 1.3 (2.24), ta có  Dd (  f ( y)  n m  d (  n m n m   f ( x  y)  n m f ( x  y)  f ( y)  n m f ( x  y)  n m f ( y)  n m f ( x  y ), n m n m f ( x  y)  n m f ( x) f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) Điều chứng tỏ f nghiệm phương trình tuyến tính tổng qt (2.16)  Hệ 3.1 Giả sử f ( y ) n m  s12 (2m  1)] n (u ( x)v ( y ))  (2.25) Suy f ( x  y)  n m Một số trường hợp đặc biệt f ( x)  Y n [2s12 (m  1)  s12 (m)  s12 (m) n m  Fm ( y )  Fm ( y ))  Do f ( y )) n m m  f ( x) f ( y )) n m n m f ( x  y ), n m Dd ( f ( x  y)  f ( x  y), f ( x)  f ( y)  f ( y)  lim Dd ( Fm f ( x  y)  Fm f ( x  y ), Fm ( x) f ( x  y)  n m f ( x)  n m f ( y)  n m f ( y) Lấy giới hạn hai vế (2.22) m    ta  lim f ( x)  Fm ( x)  m Suy lim f ( x)  Fm ( x)  Do X tập không gian tựa chuẩn ( Z , ,  Z ) trường cho x  X  x  X (Y , , Y ) không gian tựa Banach trường , c  p  Tồn n0  với nx  X , x  X , n  n0 ánh xạ f : X  Y thỏa mãn bất phương trình f ( x  y )  f ( x  y )  f ( x )  f ( y )  f (  y )  c( x  y ) p m lim Fm ( x)  f ( x) (2.26) m với x, y, x  y, x  y  X Khi f thỏa mãn phương trình Từ (2.26), ta có lim(2Fm ( x)  Fm ( y)  Fm ( y))  f ( x)  f ( y)  f ( y) (2.27) m Từ (2.25), ta suy lim Dd ( n   n m n m f ( x  y)  f ( y)  n m n m f ( x  y), n m f ( y ))  f ( x) (2.28) Vì Dd liên tục, cho n   (2.25), sử dụng Hệ 1.4 định nghĩa M , với x, y  X , ta có Dd ( Fm ( x  y)  Fm ( x  y),2Fm ( x)  Fm ( y)  Fm ( y)  lim Dd ( n   n m n m f ( x  y)  f ( y)  n m n m f ( x  y ), f ( y )) Kết hợp (2.26) (2.29), ta có 28 p n m f ( x) (2.29) f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) với x, y  X Chứng minh Định nghĩa h : X  định h( x) : c x p với c    xác , x  X Với n  , c  0, p s(n)  inf{t   : h(nx)  th( x), x  X } | n | Tương tự, ta có s(n) | n | p | n | p Suy Do lim s(n)  lim s(n)  lim | n | p  n n n Y (2s(n  1)  s(n)  s(n)  s(2n  1))  Khi đó, tất điều kiện Định lí 2.1 Do đó, f thỏa mãn phương trình f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y)  Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30 Hệ 3.2 Giả sử X tập không gian tựa chuẩn ( Z , ,  Z ) trường cho x  X  x  X (Y , , Y ) không gian tựa Banach trường , c  p, q  với p  q  Tồn n0  với nx  X , x  X , n  n0 ánh xạ f : X  Y thỏa mãn bất phương trình f ( x  y )  f ( x  y )  f ( x )  f ( y )  f (  y )  c( x  y ) p p với x, y, x  y, x  y  X f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) với x, y  X minh Định nghĩa ánh p u ( x) : s x với u, v : X   v( x) : r x , s, r  q  , xạ sr  c, p, q  , p  q  0, với x  X Theo định nghĩa s1 (n), s2 (n) Định lí 2.2 c  0, ta có s1 (n)  inf{t   : u(nx)  tu( x), x  X } | n | p Tương tự, ta có s1 (n) | n | p | n | p s2 (n) : inf{t   : v(nx)  t (vx), x  X } | n |q s2 (n) | n |q | n |q Với p, q  , p  q  0, p  q  Khi lim s1 (n)  lim s2 (n)  n  f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) ./ Tài liệu tham khảo Aiemsomboon L and Sintunavarat W (2016) Two new generalised hyperstability results for the Drygas functional equation Bull Aust Math Soc., 12 pages Aiemsomboon L and Sintunavarat W (2016) On generalized hyperstability of a general linear equation Acta Math Hungar 149(2), 413-422 Aiemsomboon L., Sintunavarat W (2017) A note on the generalised hyperstability of the general linear equation Bull Aust Math Soc., 96(2), 263-273 Khi f thỏa mãn phương trình Chứng Khi điều kiện Định lí 2.2 Do đó, f thỏa mãn phương trình n  Với c  r  s  Từ định nghĩa s1 s2 , ta có lim s1 (n) s2 (n)  n Suy Y (2s12 (n  1)  s12 (n)  s12 (n)  s12 (2n  1))  Bourgin D G (1949) Approximately isometric and multiplicative transformations on continuous function rings Duke Math J., 16, 385-397 Brzdek J (2013) Stability of additivity and fixed point methods Fixed Point Theory Appl., 2013, Article ID 285, pages Brzdek J (2015) Remarks on stability of some inhomogeneous functinal equations Aequationes Math., 89, 83-96 Brzdek J., Chudziak J and Pales Zs (2011) Fixed point approach to stability of functional equations Nonlinear Anal., 74, 6728-6732 Brzdek J and Cieplinski K (2013) Hyperstability and superstability Abstr Appl Anal, 2013, Article ID 401756, 13 pages Czerwik S (1998) Nonlinear set-valued contraction mappings in b -metric spaces Atti Semin Mat Fis Univ Modena, 46, 263-276 Drygas H (1987) Quasi-inner products and their applications, in: Advances in 29 Chuyên san Khoa học Tự nhiên Multivariate Statistical Analysis (ed K Gupta) (Springer, Netherlands, 13-30 Dung N V and Hang V T L (2018) The generalized hyperstability of general linear equations in quasi-Banach spaces, J Math Anal Appl., 462, 131-147 Ebanks B R., Kannappan Pl and Sahoo P K (1992) A common generalization of functional equations characterizing normed and quassi-inner-product spaces Canad Math Bull., 35(3), 321-327 Maksa Gy and Pales Zs (2001) Hyperstability of a class of linear functional equations Acta Math Acad Paedagog Nyhazi (N.S), 17, 1007-112 Paluszyński M., Stempak K (2009) On quasimetric and metric spaces Proc Amer Math Soc., 137(12), 43074312 Piszczek M (2015) Hyperstability of the general linear functional equation Bull Korean Math Soc., 52, 1827-1838 Faiziev V A and Sahoo P K (2007) On the stability of Drygas functional equation on groups Banach J Math Anal., 1(1), 43-55 Piszczek M and Szczawinka J (2013) Hyperstability of the Drygas functional equation J Funct Spaces Appl., 2013, Article ID 912718, pages Faiziev V A and Sahoo P K (2007) Stability of Drygas functional equation on T (3, ) Int J Math Stat., 7, 70-81 Yang D (2004) Remarks on the stability of Drygas equation and the Pexider-quadratic equation Aequationes Math., 64, 108-116 Jung S M and Sahoo P K (2002) Stability of a functional equation of Drygas Aequationes Math., 64, 263-273 Zhang D (2015), On hyperstability of generalised linear functional equations in several variables Bull Aust Math Soc., 92, 259-267 Kalton N (2003) Quasi-Banach spaces, in: Johnson W.B., Lindenstrauss J (Eds.), Handbook of the Geometry of Banach Spaces 2, Elsevier, 1099-1130 30 Zhang D (2016) On Hyers-Ulam stability of generalized linear functional equation and its induced Hyers-Ulam programming problem Aequationes Math., 90, 559-568  ... Szczawinka đưa kết tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình hàm Drygas (Piszczek Szczawinka, 2013) Dù kết tính siêu ổn định đưa Bourgin (Bourgin, 1949), thuật ngữ ? ?siêu ổn định? ?? sử dụng lần... thỏa mãn phương trình hàm Drygas f ( x  y)  f ( x  y)  f ( x)  f ( y)  f ( y) (1.1) với x, y  Lưu ý ánh xạ thỏa mãn phương trình hàm f ,g:  Drygas f  g thỏa mãn phương trình hàm Drygas. .. cứu tính siêu ổn định không gian định chuẩn, viết thiết lập chứng minh kết tính siêu ổn định khơng gian tựa chuẩn Trong viết n0 biểu diễn tập số nguyên lớn n0 , B A biểu diễn tập hợp tất hàm