Một số kết quả về tính giải được cho phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng

Bài viết Một số kết quả về tính giải được cho phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng trình bày các nội dung chính sau: Công thức nghiệm và tính chất toán tử nghiệm; Các tính chất của toán tử nghiệm.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH RAYLEIGH-STOKE SUY RỘNG Nguyễn Ngọc Huy1, Trần Phương Liên1, Đỗ Lân1 Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Trong hệ động lực chất lỏng, việc nghiên cứu dáng điệu chất lỏng khơng Newton có tính nén tính đàn hồi quan tâm nghiên cứu nhiều, ứng dụng cơng nghiệp kỹ thuật Theo hướng nghiên cứu này, mơ hình dịng chảy bậc hai nghiên cứu nhiều nhà toán học Trong báo này, với    d miền bị chặn với biên trơn, nghiên cứu phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng  t u  (1  t )u  f (u ) in , t  0, (1)  (2) (*) u  on , t  0, u (, 0)   in  (3)  đây,   ,   (0,1) ,  t   , t ký hiệu t đạo hàm Riemann-Liouville bậc  định nghĩa sau t v(t )  với h (t )  d t h1 (t  s )v( s)ds, dt 0 xác cho phương trình tuyến tính (xem [4]; [5]), phương pháp giải số (xem [1]; [2]; [3]), toán giá trị cuối (xem [6]) Trong báo này, dựa công thức nghiệm Zhou đưa cho phương trình RayleighStoke suy rộng (xem [7]), chúng tơi chứng minh số kết tính giải cho toán (*) trường hợp khác cho phần phi tuyến f NỘI DUNG CHÍNH Cơng thức nghiệm tính chất tốn tử nghiệm Gọi {n }n 1 sở tự nhiên L2 () tương ứng với giá trị riêng toán tử  với điều kiện biên Dirichlet nhất, tức là:  n  nn ,  t u  (1  t )u  F in , t  0,  u  on , t  0, u (, 0)   in ,  t  1 for   0, t  (  ) Phương trình Rayleigh-Stoke nghiên cứu từ thập niên 60 kỷ 20, nhiên, phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng (có thành phần đạo hàm bậc phân) W Tan [4] đưa năm 2006, sau kết nghiên cứu mở đường C Fetecau cộng (xem [5]) Từ đó, loạt cơng trình nghiên cứu lớp phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng công bố Tuy nhiên, quan tâm tới lớp phương trình chủ yếu khía cạnh: Biểu diễn nghiệm n ( x)  0, x  , dãy tăng, n  đó, ta giả sử { } n   n   Từ đó, ta có biểu diễn nghiệm tốn tuyến tính  n n 1 Trong đó, F  F ( x, t ) với F  L1loc (  ; L2 ())   L2 () Đặt: 57  u ( x, t )   un (t ) n ( x), n 1  F ( x, t )   Fn (t ) n ( x), n 1   ( x)    n n ( x) n 1 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 Khi đó, tồn   cho tốn (*) có nghiệm  0;T  với điều kiện ‖‖  Chứng minh: Với giả thiết trên, với   (0, 1   ) , tồn   cho Ta có: un (t )  n (1  t )un (t )  Fn (t ), un (0)   n Vậy: t un (t )   (t , n ,  ) n    (t  s, n ,  ) Fn ( s )ds t Nên u (, t )  S (t )  0 S (t  s) F (, s)ds, ‖ f (v)‖ (   )‖v‖, ‖v‖  Ta định nghĩa S (t ) : L ()  L () toán tử giải xác định 2  S (t )    (t , n ,  ) n n 1 Từ đó, ta có định nghĩa nghiệm tốn sau: Định nghĩa: Với   L2 () cho trước, hàm u  C ([0, T ]; L2 ()) gọi nghiệm tích phân toán (*) khoảng [0,T] t u (, t )  S (t )   S (t  s ) f (u (, s ))ds, t  [0, T ] Các tính chất tốn tử nghiệm Gọi B hình cầu C ([0, T ]; L2 ()) tâm gốc tọa độ, bán kính  Với   L2 () , xét toán tử  : B  C ([0, T ]; L2 ()) xác định sau t  (u )(, t )  S (t )   S (t  s) f (u (, s ))ds  S (t )   N f (u )(, t ), Trong N f (u )(, t )  f (u (, t )) Do f liên tục nên  liên tục Mặt khác, áp dụng tính compact tốn tử Cauchy Q , ta có  tốn tử compact Mặt khác, ta có đánh giá ‖ (u )(, t )‖ t   (t , 1 ,  )‖‖   (t  s, 1 ,  )(   )‖u (, s )‖ds Các tính chất sau tốn tử giải S (t ) có t   (t , 1 ,  ) ‖ ‖(   ) ‖u ‖  0  ( s, 1 ,  ) ds thể xem [1] [7] 1 Tính chất 1: Với v  L2 () , T  , ta có:   (t , 1 ,  ) ‖ ‖(   ) 1 (1   (t , 1 ,  )) i) S ()v  C ([0, T ]; L2 ( ))  C ((0, T ]; H ( )  H 01 ( ))   (t , 1 ,  )[‖ ‖(   ) 11 ]  (   ) 11 ii)‖S (t )v‖  (t , 1 ,  )‖v‖, với t  Do (   )11  , ta có ‖(u )‖   với Đặc biệt: ‖S (t )‖ với t  ‖‖  : 11 iii) S ()v  C ( m ) ((0, T ]; L2 ()) với m   , Do đó, với ‖ ‖  , xét  : B  B toán (m) m ‖S (t )v‖ Ct ‖v‖, C số tử liên tục compact Áp dụng Định lý dương điểm bất động Schauder,  có điểm bất iv)‖S ( m ) (t )v‖ Ct  m 1 ‖v‖ với t  động Tức là, tốn (*) có nghiệm tích phân Định lý chứng minh m   Ta có nhận xét rằng, định lý trên, Tính chất 2: Tốn tử Cauchy phần phi tuyến f tăng trưởng tuyến  : C ([0, T ]; L2 ())  C ([0, T ]; L2 ()) tính Trong Định lý 2, ta chứng minh t xác định  ( g )(t )  0 S (t  s) g ( s )ds, toán phần phi tuyến f có tăng trưởng tuyến tính, ta chứng minh tồn tử compact nghiệm toán (*) bỏ giả Các kết tính giải thiết tính đủ nhỏ điều kiện ban đầu Định lý 2: Giả sử f : L2 ()  L2 () liên Định lý 1: Giả sử f : L2 ()  L2 () tục thỏa mãn ‖ f (v)‖ a‖v‖b, đó, hàm liên tục thỏa mãn ‖f (v) ‖ tốn (*) có nghiệm khoảng  0;T  lim sup    [0, 1 ) ‖v ‖ ‖‖ v 0 với   L2 () 58 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 Chứng minh: Với   L2 () cho trước, xét toán tử nghiệm: Tiếp theo, ta chứng minh rằng, nghiệm nghiệm cổ điển Lược đồ chứng minh tính quy chia thành bốn bước sau Bước 1: Chứng minh u liên tục Holder (0, T ] Bước 2: Chứng minh u  C ((0, T ]; L2 ()) Bước 3: Chứng minh u  C1 ((0, T ]; L2 ()) Bước 4: Chứng minh t u  C ((0, T ]; L2 ()) Từ đó, ta thu tính quy nghiệm t  (u )(, t )  S (t )   S (t  s ) f (u (, s ))ds Gọi w nghiệm phương trình t w(t ) ‖ ‖bT  a  w( s )ds, D tập lồi đóng C ([0, T ]; L2 ()) xác định D  {u  C ([0, T ]; L2 ())‖ : u (, t )‖ w(t ), t  [0, T ]} Khi đó, với u  D , ta có t ‖ (u )(, t ) ‖ ‖ ‖  (a ‖ u (, s ) ‖b)ds TÀI LIỆU THAM KHẢO t ‖ ‖bT  a  ‖u (, s ) ‖ds  w(t ) Do đó, ( D)  D Áp dụng nguyên lý điểm bất động Schauder, ta thu điều phải chứng minh Định lý 3: Giả sử f : L2 ()  L2 () thỏa mãn f (0)  điều kiện Lipschitz cục ‖ f (v1 )  f (v2 )‖  (r )‖v1  v2‖, ‖v1‖,‖v2‖ r , đó,  () hàm không âm thỏa mãn lim sup  (r )    [0, 1 ) Khi đó, tồn   r 0 cho tốn (*) có nghiệm cổ điển đoạn  0;T  với T  , ‖‖  Chứng minh: Ta nhận thấy, điều kiện định lý kéo theo điều kiện định lý 1, đó, tốn (*) có nghiệm nhẹ tồn cục Nghiệm thỏa mãn phương trình t u (, t )  S (t )   S (t  s) f (u (, s ))ds   [ (t , n ,  ) n    (t  s, n ,  ) f n ( s )ds] n , t n 1 Trong  n  ( , n ) f n ( s )  ( f (u (, s )), n ) Sau đây, ta chứng minh tính nghiệm toán Giả sử u1 u2 hai nghiệm tốn, ta có t ‖u1 (, t )  u2 (, t ) ‖   ‖S (t  s)[ f (u1 (, s))  f (u2 (, s ))] ‖ds t   (r )  ‖u1 (, s)  u2 (, s ) ‖ds, Trong ‖S (t )‖ r  max{‖u1 ‖ u2 ‖  ,‖ } , với t  ) ‖u1 (t )  u2 (t ) ‖  với t  [0, T ] (do Vậy, [1] E Bazhlekova, B Jin, R Lazarov, Z Zhou, An analysis of the Rayleigh-Stokes problem for a generalized second-grade fluid, Numer Math 131 (2015), no 1, 1-31 [2] C.M Chen, F Liu, K Burrage, Y Chen, Numerical methods of the variable-order Rayleigh-Stokes problem for a heated generalized second grade fluid with fractional derivative, IMA J Appl Math 78 (2013), no 5, 924-944 [3] C.M Chen, F Liu, V Anh, Numerical analysis of the Rayleigh-Stokes problem for a heated generalized second grade fluid with fractional derivatives, Appl Math Comput 204 (2008), no 1, 340-351 [4] F Shen, W Tan, Y Zhao, Y Masuoka, The Rayleigh-Stokes problem for a heated generalized second grade fluid with fractional derivative model, Nonlinear Anal Real World Appl (2006), no 5, 1072-1080 [5] C Fetecau, M Jamil, C Fetecau, D Vieru, The Rayleigh-Stokes problem for an edge in a generalized Oldroyd-B fluid, Z Angew Math Phys 60 (2009), no 5, 921-933 [6] N H Tuan, Y Zhou, T.N Thach, N.H Can, Initial inverse problem for the nonlinear fractional Rayleigh-Stokes equation with random discrete data, Commun Nonlinear Sci Numer Simul 78 (2019), 104873, 18 pp [7] Yong Zhou, Jing Na Wang, The nonlinear Rayleigh-Stokes problem with RiemannLiouville fractional derivative, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2019 59 ... g ( s )ds, toán phần phi tuyến f có tăng trưởng tuyến tính, ta chứng minh tồn tử compact nghiệm toán (*) bỏ giả Các kết tính giải thiết tính đủ nhỏ điều kiện ban đầu Định lý 2: Giả sử f : L2... dụng tính compact tốn tử Cauchy Q , ta có  tốn tử compact Mặt khác, ta có đánh giá ‖ (u )(, t )‖ t   (t , 1 ,  )‖‖   (t  s, 1 ,  )(   )‖u (, s )‖ds Các tính chất sau tốn tử giải. .. minh t u  C ((0, T ]; L2 ()) Từ đó, ta thu tính quy nghiệm t  (u )(, t )  S (t )   S (t  s ) f (u (, s ))ds Gọi w nghiệm phương trình t w(t ) ‖ ‖bT  a  w( s )ds, D tập lồi