Về nghiệm ổn định của một lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÙY LINH VỀ NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 06 - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THÙY LINH VỀ NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Dương Anh Tuấn HÀ NỘI, 06 - 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức quan trọng 1.1.1 Bất đẳng thức H¨older 1.1.2 Bất đẳng thức Hardy 1.2 Nghiệm ổn định 1.2.1 Định nghĩa nghiệm ổn định 1.2.2 Ví dụ nghiệm ổn định Định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định trình elliptic nửa tuyến tính có trọng 2.1 Kết 2.2 Chứng minh kết 2.2.1 Chứng minh Định lí 2.1.1 2.2.2 Chứng minh Định lí 2.1.2 2.2.3 Chứng minh Hệ 2.1.1 2.2.4 Chứng minh Hệ 2.1.2 2.2.5 Chứng minh Định lí 2.1.3 7 10 12 12 16 phương 22 23 26 26 36 39 40 41 Kết Luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ trình học tập trình hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Dương Anh Tuấn, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình làm luận văn để luận văn hoàn thành thời hạn Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, bạn nhóm Giải tích có nhiều giúp đỡ góp ý cho trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Linh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận án kết nghiên cứu cá nhân Các số liệu tài liệu trích dẫn luận án trung thực Kết nghiên cứu không trùng với công trình công bố trước Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Linh Lời nói đầu Lý chọn đề tài Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng sống Là ngành khoa học phát triển đặc thù tư duy, toán học mang lại cho sống nhiều ứng dụng thực tiễn hữu ích, làm tảng cho phát triển ngành khoa học khác Phương trình vi phân chuyên ngành quan trọng Toán học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học công nghệ, coi cầu nối lí thuyết ứng dụng Vì Phương trình vi phân chuyên ngành phát triển rộng rãi nước Xét phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính RN −div(ω1 ∇u) = ω2 f (u), (1) f (u) có dạng eu , up với p > −u−p với p > Trong trường hợp ω1 = constant, kết tồn không tồn nghiệm phương trình (1) nghiên cứu tương đối đầy đủ năm gần Tuy nhiên trường hợp ω1 = constant, kết định tính cho phương trình (1) tương đối Dựa nghiên cứu gần C.Cowan M.Fazly "On stable entire solutions of semi-linear elliptic equations with weights, Proceedings of AMS 2012", chọn đề tài "Về nghiệm ổn định lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng" Mục đích nghiên cứu đối tượng nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu khái niệm nghiệm ổn định phương trình đạo hàm riêng elliptic quan tâm đến tồn hay không tồn tính ổn định nghiệm - nghiệm phương trình (1), RN với ω1 (x), ω2 (x) dương, trơn có trọng Chúng ta xét trường hợp f (u) = eu , up p > −u−p với p > Ta thu kết khác phụ thuộc vào số chiều N, p cách đưa ω1 , ω2 gần vô Hơn hàm ω1 đơn điệu nâng lũy thừa vài kết Chúng ta kiểm tra tính ổn định nghiệm α nghiệm trường hợp cụ thể trọng ω1 (x) = | x |2 +1 β ω2 (x) = | x |2 +1 g(x), g(x) hàm dương có giới hạn hữu hạn vô Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng phương pháp đưa A Farina kết hợp với bất đẳng thức Hardy có trọng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương với nội dung: Chương 1: (Kiến thức chuẩn bị) trình bày số bất đẳng thức quan trọng, khái niệm số ví dụ nghiệm ổn định phương trình elliptic nửa tuyến tính Chương 2: (Định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng) nội dung luận văn Trình bày tồn hay không tồn tính ổn định nghiệm - nghiệm lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng Do thời gian lực có hạn nên luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Linh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức quan trọng Trong phần ta trình bày bất đẳng thức H¨older bất đẳng thức Hardy trường hợp có trọng hệ quan trọng hai định lí 1.1.1 Bất đẳng thức H¨ older Bổ đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Young) Giả sử (p, q) cặp số mũ liên hợp, tức p1 + 1q = với p > 1, q > Khi với a, b > ta có ap bq a.b ≤ + p q Đẳng thức xảy ap = bq Chứng minh Bổ đề hiển nhiên a = b = Trong trường hợp lại, giả sử a, b > 0, xét hàm số t−q f (t) = + , (t > 0) p q Do f (t) = t−q−1 (tp+q − 1) = ⇔ t = f (t) < với < t < 1, f (t) > với t > nên f có giá trị cực tiểu f (1) = 1 + p q Như t−q + ≥ 1, ∀t > p q −1 Thay t = a q b p vào bất đẳng thức ta q p a q b−1 b p a−1 + ≥ p q (1.1) Nhân hai vế bất đẳng thức (1.1) với ab lưu ý p q + = p, + = q, q p ta ap b q + ≥ a.b p q Đẳng thức xảy t = 1, tức −1 1 a q b p = ⇔ a q = b p Suy q b =b pq p = a q pq = ap Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử p, q > cho p1 + 1q = Khi với f ∈ Lp (X), g ∈ Lq (X), (X ⊂ RN ), ta có X   p1  |f (x)g(x)| dx ≤  | f (x) |p dx  X  1q |g(x)|q dx (1.2) X Đẳng thức xảy tồn hai số thực m, n không đồng thời không cho m |f (x)|p = n |g(x)|q , ∀x ∈ X Chứng minh Ta xét hai trường hợp sau: Với < t < p + p(p − 1) ta thấy N