Trong đại số tuyến tính, định lý Cayley - Hamilton chỉ ra rằng mọi ma trận vuông trên vành giao hoán đều thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó. Định lý này là một trong những kết quả nền tảng của đại số tuyến tính và nó cũng là công cụ nghiên cứu của nhiều môn toán học cũng như các ngành khoa học khác. Trong bài báo này sẽ đưa thêm một ứng dụng khác của nó, đó là sử dụng định lý Cayley - Hamilton để giải một lớp các phương trình ma trận.
Mai Anh Đức nnk (2020) (20): 42 - 46 TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Khoa học Tự nhiên Công nghệ ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ CAYLEY - HAMILTON VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN Mai Anh Đức, Nguyễn Đình Yên, Trần Hữu La Trường Đại học Tây Bắc - TBU Tóm tắt: Trong đại số tuyến tính, định lý Cayley - Hamilton ma trận vng vành giao hốn thỏa mãn phương trình đặc trưng Định lý kết tảng đại số tuyến tính cơng cụ nghiên cứu nhiều mơn tốn học ngành khoa học khác Trong báo này, đưa thêm ứng dụng khác nó, sử dụng định lý Cayley - Hamilton để giải lớp phương trình ma trận Từ khóa: Định lý Cayley - Hamilton; Phương pháp giải phương trình ma trận I Đặt vấn đề Xét phương trình ma trận có dạng f ( X ) = B (1), f ( t ) đa thức bậc m ( m ≥ ) biến t với ∈ , dạng f ( t )= am t m + am −1t m −1 + + a1t + a0 X ma trận ẩn, cấp n, B ma trận thực vuông cho trước cấp với X Kí hiệu In ma trận đơn vị cấp n Ta có am X m + am −1 X m −1 + + a1 X + a0 I n = B ⇔ am X m + am −1 X m −1 + + a1 X = B − a0 I n Đặt B=' B − a0 I n ta phương trình am X m + am −1 X m −1 + + a1 X = B ', tồn báo xét phương trình (1) với f ( t ) đa thức bậc m thỏa mãn f ( ) = Giải phương trình (1) tìm tất ma trận thực vng X thỏa mãn phương trình (1) Khi m = , lời giải toán tầm thường Tuy nhiên câu chuyện trở nên khó khăn nhiều m ≥ Về lý thuyết, ta đưa việc giải phương trình ma trận bậc m giải n2 phương trình n2 ẩn bậc m Trong trường hợp tổng qt điều khơng thể phương trình ma trận bậc cao ( m ≥ ) hệ phương trình phi tuyến, mà hệ phi tuyến chưa có phương pháp giải tổng qt Chính mà thường dựa vào đặc điểm riêng phương trình mà đưa lời giải phù hợp Do đó, việc làm có ý nghĩa khơng việc tìm lời giải tổng quát phương trình ma trận bậc cao tìm 42 “phương pháp riêng” để giải lớp rộng tốt phương trình ma trận bậc cao, xem [1], [2] Trong báo đưa phương pháp giải cho lớp phương trình dạng (1) cách sử dụng định lý Cayley - Hamilton Chúng ta quen thuộc với định lý Cayley - Hamilton đại số tuyến tính Định lý đặt tên nhà toán học người Anh Arthur Cayley (1821 - 1895) nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton (1805 - 1865) Định lý khẳng định tất ma trận vng A vành giao hốn (như trường số thực trường số phức) thỏa mãn phương trình đặc trưng Điều cho thấy, định lý Cayley - Hamilton cung cấp cho mối liên hệ lũy thừa của ma trận A Đây sở giúp cho chúng tơi nghĩ đến việc giải phương trình ma trận dựa vào định lý Nói thêm rằng, định lý Cayley - Hamilton áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khơng liên quan đến tốn học, mà cịn lĩnh vực khoa học khác Vật lý, Công nghệ thông tin [5] Định lý sử dụng phổ biến nhiều vấn đề đại số tuyến tính tính định thức ma trận, tìm ma trận nghịch đảo ma trận, tính lũy thừa bậc m ma trận Nó đóng vai trò quan trọng việc giải phương trình vi phân thường hay Lý thuyết số [6]. II Nội dung Nhắc lại kiến thức sở Giả sử A ma trận thực vuông cấp n, ta kí hiệu det A định thức ma trận A Ta gọi đa thức đặc trưng A đa thức xác định công thức p= det ( A − λ I n ) A (λ ) Định lý 1: (Cayley-Hamilton) Giả sử A ma trận thực vuông cấp n p A ( λ ) đa thức đặc trưng A Khi p A ( A ) = Bạn đọc xem chứng minh định lý [3], [4], [6] Định lý 2: (Hệ định lý Cayley Hamilton) Giả sử A ma trận thực vuông cấp n p A ( λ ) đa thức đặc trưng A Giả sử f ( t ) đa thức tùy ý có bậc lớn n = f ( t ) p A ( t ) h ( t ) + r ( t ) , deg r (t ) < n Khi f ( A ) = r ( A ) Định lý 3: Nếu λ giá trị riêng ma trận vng A λ n giá trị riêng ma trận An Hệ quả: Nếu λ giá trị riêng ma trận vuông A f ( t ) đa thức với f ( ) = f ( λ ) giá trị riêng ma trận f ( A ) Việc chứng minh tính chất xem trong [3], [4], [6] Phương pháp giải phương trình ma trận Áp dụng Định lý Cayley - Hamilton số kết đại số tuyến tính nêu mục 1, ta xây dựng phương pháp giải phương trình ma trận dạng (1) sau: Bước 1: Tìm tất giá trị riêng ma trận B, giả sử giá trị a1 , , an , giá trị riêng trùng Bước 2: Gọi λ giá trị riêng ma trận X Khi theo Hệ Định lý ta có f ( λ ) giá trị riêng ma trận f ( X ) Do f ( X ) = B nên f ( λ ) giá trị riêng ma trận B Từ thiết lập phương trình f ( λ ) = với đôi phân biệt, i = 1, 2, , r Bước 3: Giải phương trình f ( λ ) = ta nghiệm giá trị riêng λi1 , λi , , λip Ta suy ( λ1 , λ2 , , λr ) với λi ∈ {λi1 , λi , , λip } giá trị riêng ma trận X f ( λi ) = với i = 1, 2, , r i i Bước 4: Gọi p X ( t ) đa thức đặc trưng X Từ giá trị riêng X Bước ta xác định đa thức p X ( t ) Bước 5: Giả sử = f ( t ) p X ( t ) h ( t ) + r ( t ) Áp dụng Định lý ta có f ( X ) = r ( X ) Tính ma trận X từ phương trình r ( X ) = B Thử lại kết tìm được, ma trận thỏa mãn phương trình cho trùng giá trị riêng nghiệm cần tìm Nhận xét: - Số ma trận X tìm khơng phụ thuộc vào bậc phương trình hay cấp ma trận mà phụ thuộc vào số giá trị riêng Bước - Việc chia phương pháp giải thành bước từ kinh nghiệm nhóm tác giả Do đó, thành thạo hiểu rõ chất, chia phương pháp giải với số bước - Việc tìm ma trận X từ phương trình r ( X ) = B không dễ dàng deg r ( X ) > Trong trường hợp này, nói phần đặt vấn đề, ta giải số phương trình trường hợp đặc biệt Một số ví dụ minh họa Sau số ví dụ minh họa cho phương pháp giải phương trình ma trận trình bày mục Ví dụ Tìm ma trận thực cấp hai X cho −1 X + 2X = 3 Lời giải: Trước hết ta thấy rằng, ta sử dụng đồng thức để tìm ma trận X (bạn đọc tự kiểm tra) Tuy nhiên lời giải theo cách dài Ở sử dụng phương pháp giải mục Bước 1: Tìm giá trị riêng ma trận −1 B= 3 Dễ thấy ma trận B có hai trị riêng −1 Bước 2: Đặt phương trình: f (t= ) t + 2t Ta có t + 2t = −1 t + 2t = (1) (2) 43 Bước 3: Giải phương trình (1), (2) Với phương trình (1) ta nghiệm kép λ = −1 Với phương trình (2) ta hai nghiệm λ = 1, λ = −3 trị riêng là 3, −1, Bước 2: Đặt f ( t ) = t + t + t Ta có phương trình: t3 + t2 + t = Như có khả cặp giá trị riêng X ( −1;1) ; ( −1; −3) (1) t + t + t =−1 (2) t3 + t2 + t = (3) Bước 4: Gọi p X ( t ) đa thức đặc trương X Ta có trường hợp sau: Bước 3: Giải phương trình (1) ta nghiệm −1 ± i Trường hợp 1: Nếu X có hai giá trị riêng −1 X có đa thức đặc trưng Giải phương trình (2) ta nghiệm −1 ±i Giải phương trình (3) ta nghiệm p X ( t ) = ( t − 1)( t + 1) = t − Trường hợp 2: Nếu X có hai giá trị riêng −1 −3 X có đa thức đặc trưng p X ( t ) = ( t + 1)( t + 3) = t + 4t + Bước 5: Trường hợp 1: Ta có t + 2t = t − + 2t + Do X + X = X + I hay ta có phương B Từ ta tìm ma trận X trình X + I = là= X ( B − I ) Dễ dàng kiểm tra X thỏa mãn phương trình cho Trường hợp 2: Ta có t + 2t = t + 4t + − 2t − 2 −2 X − 3I hay ta có phương Do X + X = B Từ ta tìm ma trận trình −2 X − 3I = − ( B + 3I ) Dễ dàng kiểm tra X X X = thỏa mãn phương trình cho Như có hai ma trận thỏa mãn yêu cầu toán −1 −1 X = X = 1 −2 −3 Ví dụ Tìm tất ma trận X ∈ Mat3 () thỏa mãn phương trình 0 X + X + X = −1 0 0 Lời giải: Bước 1: Tìm giá trị riêng ma trận 0 = B −1 Dễ thấy ma trận B có ba giá 0 0 44 −1 ± i Do X ma trận vuông cấp với phần tử thực, nên có hai khả sau: X có ba giá trị riêng thực, có giá trị riêng thực hai giá trị riêng phức liên hợp Ngoài trị riêng X tương ứng nghiệm phương trình (1), (2), (3) khơng có hai giá trị riêng nghiệm phương trình phương trình Từ nghiệm suy khơng có hai giá trị riêng thuộc hai phương trình khác số phức liên hợp Như có khả giá trị riêng X (1; −1;0 ) Bước 4: Gọi p X ( t ) đa thức đặc trương X Ta có đa thức đặc trưng p X ( t ) = t (t − 1)(t + 1) = t − t Bước 5: Ta có t + t + t = t − t + t + 2t Do X + X + X = X + X hay ta có phương trình X + 2X = B Gọi X nghiệm phương trình X + 2X = B ta ln có BX = XB a1 a2 a3 Giả sử X = b1 b2 b3 ta có c c c 3 3a3 a a BX = −b1 −b2 −b3 ; 0 3a1 XB 3b1 = 3c −a2 −b2 −c2 0 Từ BX = XB ta suy a2= a= b= b= c= c2= 3 Vậy X ma trận chéo dạng a1 0 X = b2 0 c 3 Thay vào phương trình X + X = B ta thu đẳng thức: 0 0 g (a1 ) 0= g (b2 ) −1 , g (c3 ) 0 g ( x= ) x + x Từ ta có phương trình: a12 + 2a1 = −1 b2 + 2b2 = c + 2c = Giải phương trình ta a1 = a1 = −3 ; b2 = −1 c3 = c3 = −2 Như ta có trường hợp ma trận X là: 1 0 1 0 X =− ; X =− ; 0 0 0 −2 −3 0 −3 0 X= −1 ; X = −1 0 0 0 −2 Do ma trận X có giá trị riêng không kể đến thứ tự (1; −1;0 ) nên có 1 0 X −1 thỏa mãn ma trận= 0 0 Vậy phương trình có nghiệm 1 0 = X −1 0 0 Ví dụ (Quyển kỷ yếu Olympic Tốn Sinh viên 2016, đề xuất Trường ĐH GTVT) 1 −1 Cho ma trận M = Tìm ma trận thực 1 −1 6M vuông cấp hai X cho X 2016 − X 2010 = Bước 1: Đa thức đặc trưng M f M (t ) = t nên M có giá trị riêng Dễ thấy không gian riêng ứng với trị riêng có chiều nên M khơng chéo hóa Bước 2: Đặt f = ( t ) t 2016 − t 2010 Ta có phương trình t 2016 − t 2012 = Bước 3: Giải phương trình t 2016 − t 2010 = ta nghiệm λ = 0, λ = ±1 hai phương trình t ± t + =0 Do ma trận X 2016 − X 2010 khơng chéo hóa nên X khơng chéo hóa X có giá trị riêng Từ suy trường hợp t ± t + =0 bị loại Vậy X có giá trị riêng λ = 0, λ = ±1 Bước 4: Gọi p X ( t ) đa thức đặc trương X Ta có ba trường hợp ứng với ba giá trị riêng Trường hợp 1: p X ( t ) = t Trường hợp 2: p X ( t = ) Trường hợp 3: ( t − 1) pX ( t = ) ( t + 1) Bước 5: Trường hợp 1: Ta có t 2016 − t 2010 = t 2t 2008 ( t − 1) Điều khơng Do X 2016 − X 2010 = xảy Trường hợp 2: Giả sử t 2016 − t 2010 = (t − 1) q (t ) + at + b Cho t = suy a + b = Lại lấy đạo hàm hai vế t = suy a = Từ ta có t 2016 − t 2010 = (t − 1) q (t ) + 6t − Do X 2016 − X 2010 = X − I hay ta có M Từ ta tìm phương trình X − I = ma trận X X= M + I Dễ dàng kiểm tra X thỏa mãn phương trình cho Trường hợp 3: Thực tương tự trường − M − I Dễ dàng kiểm tra hợp ta X = X thỏa mãn phương trình cho Bài tập đề nghị Bài tập Tìm tất ma trận thực vng cấp có lập phương ma trận đơn vị 45 Bài tập Giải phương trình 1 X2 + X = 1 Bài tập (Olympic sinh viên 2009) Tìm ma trận thực X thỏa mãn: 1 X − 3X = −2 1 Bài tập Tìm tất ma trận X ∈ Mat3 () thỏa mãn phương trình 0 2017 X + 2016 X = −2017 0 III Kết luận 2017 Bài báo phương pháp giải cho lớp phương trình ma trận Mặc dù phương pháp báo không đưa công thức nghiệm cụ thể không áp dụng trường hợp tổng quát phương pháp giúp định hướng cách tường minh việc tìm lời giải lớp đủ rộng phương trình ma trận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính: Qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Hội Toán học Việt Nam, Kỷ Yếu Olympic Tốn học sinh viên Tồn quốc qua năm [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2011), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. [4] Ngơ Việt Trung (2001), Đại số tuyến tính, (Bộ sách Toán cao cấp - Viện Toán học), NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Vasile Pop Ovidiu Furdui (2017), Square Matrices of Order 2: Theory, Applications, and Problems, Springer International Publishin [6] Teguia, Alberto Mokak (2005), Extensions of the Cayley-Hamilton Theorem with Applications to Elliptic Operators and Frames Electronic Theses and Dissertations AN APPLICATION OF THE CAYLEY-HAMILTON THEOREM TO SOLVE MATRIX EQUATIONS Mai Anh Duc, Nguyen Dinh Yen, Tran Huu La Tay Bac University Abstract: In linear algebra, the Cayley - Hamilton theorem states that every square matrix over a commutative ring satisfies its own characteristic equation The theorem is one of foundational results of linear algebra and it is also the research tool of many mathematical subjects as well as other sciences In this paper, we will propose another application of the theorem that is using the theorem to solve a class of matrix equations Keywords: The Cayley - Hamilton theorem; Method for solving matrix equations _ Ngày nhận bài: 6/3/2020 Ngày nhận đăng: 2/5/2020 Liên lạc: maianhduc@utb.edu.vn 46 ... trong [3], [4], [6] Phương pháp giải phương trình ma trận Áp dụng Định lý Cayley - Hamilton số kết đại số tuyến tính nêu mục 1, ta xây dựng phương pháp giải phương trình ma trận dạng (1) sau:... Áp dụng Định lý ta có f ( X ) = r ( X ) Tính ma trận X từ phương trình r ( X ) = B Thử lại kết tìm được, ma trận thỏa mãn phương trình cho trùng giá trị riêng nghiệm cần tìm Nhận xét: - Số ma. .. họa cho phương pháp giải phương trình ma trận trình bày mục Ví dụ Tìm ma trận thực cấp hai X cho −1 X + 2X = 3 Lời giải: Trước hết ta thấy rằng, ta sử dụng đồng thức để tìm ma trận X