HUONG DAN GIAI BAI TAP TOAN CAO CAP DAI SO TUYEN TINH NGUYEN HUY HOANG

Phương pháp khử ẩn liỀn tiếpCác phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính: • Đổi chỗ hai phuơng trình trong hệ cho nhau; • Nhan hai vế của một phuong trình ưong hẹ với

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP■

T O Á N C Ạ O C Ấ P

CHO CÁC NHÀ KINH TÊ

(Phần i: Đại sô tuyên tính)

NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN

LỜI NÓI ĐẤU

Tiếp theo cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế*, do

Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên soạn cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”.Mục đích cùa cuốn sách nhảm giúp cho sinh viên có thể tự bọc tốt môn học, hoặc dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào Sau đại học

Kết CẨU cuốn sách gổm hại phẩn chính tương úng vói nội dung của giáo trình lý thuyết v& cuốn bài tập Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu Hướng dán phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và đáp số hoặc gợi ý để các bạn tự rèn luyện

Hy vọng cuốn sách sẽ giúp các bạn tự học và ôn tạp tót môn học

'T oán cao cấp cho các nhà kinh tế ”.

Lần đẩu biẽn soạn, cuốn sách khổng tránh k h a thiếu sót, rát mong nhân được sự góp ý của bạn dọc và đổng nghiệp aể lẩn xuỉt bản sau được hoàn thiện hơn

Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân

ĐT/Fax: (04) 6283007

Email: hoangtoancb@neu.edu.vn

Xin chân thành cảm ơn!

Trường Bộ môn Toán C a bản, ĐH KTQD.NGUYỄN HUY HOÀNG

Phấn 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Tái bản lần thứ 3

(C ó sử a ch ữ a b ổ su n g)

C h u ơ n g 1

K H Ô N G G IA N V EC T Ơ

§ 1 H ệ p h ư ơ n g tr ìn h tu y ế n tín h tổ n g q u á t

A T óm tá t lý th u y ế t và các ví d ụ m ẫu

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn:

a„x, + al2x 2 + — + aInx„ = b,

Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất

Cách giải: Từ phương trình cuối cùng giải được ẩn x„, thay ngược lên các phương trình ưên tìm các ẩn còn lại, nghiệm của hệ phưcmg trình là duy nhất

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

|2 x , + x j - X, =5

X j + 3 X j = 7

5x, = 2

Giải Lần luợt tìm giấ tĩị của ẩn x ,,x 2,x, Hẹ phuơng trình đă cho có nghiẹm duy nhít:

Phương pháp khử ẩn liỀn tiếp

Các phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính:

• Đổi chỗ hai phuơng trình trong hệ cho nhau;

• Nhan hai vế của một phuong trình ưong hẹ với một số khác khổng;

• Cộng v&o hai vế của một phuơng trinh hai vé tương úng của một phương trinh khỉc sau khi dã nhãn với một số

Bây giờ chung tôi Ún giới thiệu phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss dể giải hệ phuơng trình tuyến tính tổng quát

Nội đủng:

Chuyển hộ phương trình tuyến tính tổng quát vổ hệ tam giác hoặc

hệ hình thang, bằng các phép biến dổi tuơng dương dối với hệ phutmg trình tuyến tính

Chú ý:

Để giải hệ phương trình tuyến tính ta thường biên đổi ữên ma trận

mờ rộng tương ứng của hệ phương ưình đó

Cách giải: Tương ứng với hệ phương ưình tuyến tính tổng quát ta có

ma trận mờ rông và khổng mất tính tổng quát giả sử a,, * 0.

Bước 1: Khử ẩn X, bàng cách lấy dòng một nhân với và cộng

®IIvào dòng i, i = 2,3, ,m

• 0x, + Ox, + + 0xn = 0 thì có thể bỏ phưcmg trình này

Hệ phương trình ưẻn tương đương với hệ phương trình:

Chọn x ,,x ,,x , làcácẩncMnh; x.làấntựdo.gánchox,, =a, VaeR

Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau:

7 x , + 2 x , = a O ' K2 = | a <=> * 2 *= - f a

Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình là I - —0, -0, - a , a l , o e E

C hú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thuán nhất cỗ sỗ phuong trình

ít hơn sổ ẩn đểu có vô stf nghiệm (có nghiệm không tầm tliuùDg)

con cùa khổng gian R 2.

Vậy theo định nghĩa L, là khổng gian con của kbổng gian RJ

Ví dụ 3: Tập véc ta sau dây có phải là không gian con của khổng gian

véc tơ R 3 khổng?

L = | x = ( x 1, X j , X j ) e R ’ : X, + X j + x , = l | c R 5

Oiải: Hiển nhiên L * 0 vì X = ( l,0 ,0 ) e L

Lấy X = (x ,,x „ x 3),Y = (y ,,y 2,y 5) b ắ t k ì c L tức là: x , + x , + * , = l ,

A Tóm tát lý thuyết và các vt dụ mẫu

Phép biểu diễn tuyến tính

Định nghĩa: Véc tơ X e R" được gọi là biểu diễn tuyến tính qua các

véc tơ n chiểu X I,X 2, ,X 1I1 nếu nó biểu diễn duới dạng:

x = a ,x , +a,X í + +a„X„.

ờ d ó a , , a 2 , , a 111 6 R

Vi dụ 1: Tìm X để véc tơ X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại.

x = ( 2 , - u ) , X, =(4,3,2), X2 = ( -1 ,-2 ,-3 ) Giải: G iảsử tồntại k ,,k j sao cho: X = k ,X |+ k 2X2

Để X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ c% lại thì hệ phuơng trình:

4k, - k , = 2

2k, - 3kj = X phải có nghiệm Ma trận mở rộng tương ứng là:

tuyến tính qua các véc tơ còn lại thì

ỉ«í=>A-hệ só với các CỘI là tọa độ cấc véc tơ còn lại và CỘI he số tụ do là tọa

độ cùa véc tơ X Nếu hệ phucmg trình này có nghiíím 'thì X biểu dién luyến tính qua các véc lơ còn lại, ngược lại thì không

Ví du 2: Tim X dể X biểu dién tuyén tính qua các véc tơ còn lại.

X = (X>2 ,5 ),X ,= (3 ,2 ,6 ), x 2 =(7,3,8), X, =(5,1,3).Giải: Xét hệ phưcmg trình có ma trận hệ số mở rộng sau:

Hệ phương trình luôn c ó nghiệm với mọi giá lộ c ủ a X Vậy VỚI

mọi X thì X đéu biếu diẻn tuyến tính qua các véc tơ còn

lạt-Sạ phụ thuộc tuyến tính và đỏc lập tuyên tímh của n ộ i hệ véc tơ

Cho một hệ góm m véc tơ n chiéu:

Xét hệ thức:

Nếu hệ thức (2) viết dưới dạng thinh phin, theo đinh nghĩa hai véc

tơ bảng nhau ta được hệ gổm n phưcmg trìnb tuyến tính thnín nhái với

m ẩn k)1k 2, ,kj- Nếu hệ phuong trình tuyín tính chuín nhất có vữ số nghiệm (tức có nghiệm không tầm thuờng) thì hí: véc tơ phụ thuộc tuyến tính, còn nếu hệ phương trình chì có nghiệm duy áhẳt là lám thường thì hệ véc tơ độc lập tuyến tínk

Vi dụ 3: Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc

cùng có dạng hình thang thì hẹ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, nếu có dạng tam giác thì hẹ véc tơ độc lập tuyến tính.

Vi dụ 4: Xét sự độc lạp tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc

tơ sau: X, = ( - 1,1, 2) ’ X2 = ( - 2, 1 - 1), X, = (3, - 1, 1).

Giải:

Xét hê thức; k ,x , + k , x , + k ,x , = 0,

ờ các phán sau ta có thể xét bài toán này theo phuơng pháp hạng cùa

hệ véc tơ thõng qua hạng của ma trận hay phương pháp dịnh thức (nếu

số véc tơ bằng số chiều cùa véc tơ)

Vi dụ 5: Tun X để hộ véc tơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc

ta ưén là phụ thuộc tuyến tính

Nếu X + 3 * 0 <=> X * -3 thì ma trận có dạng tam giác nên hệ véc

tơ độc lập tuyến tính

Ví dụ 6: Chứng minh rẳng hệ véc tơ Xp X ,, Xj phụ thuộc tuyến tính

mà Xj không thể biểu diễn tuyến tính qua X ,,X ; thì các véc tơ X,, x : tỳ lẹ với nhau.

Giải Do X ,,X ,,X 3 phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại k r k ,,k j không

Mặt khác, ta có kj = 0, vì nếu k, * 0 thì từ (*) ta có :

Nghĩa là, X, biểu diễn tuyên tính qua X,, X2 mâu thuản với giàthiếl, suy ra k ,x , + k ,x , = 0 với k ,,k , không đổng thời bằng lchồng,

Biện luận theo X »ụ độc lạp tuyên tính, phụ thuồc la yên tinh cùa

hệ véctơ sau:

tính còn hệ véc tơ {X| t X ,, ,X k,X} với l < k í m phụ ihuộc tuyến tính thì véc tơ X là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ

II Đáp số

27 X = -24 28 x = 3 29 X *12 3 0 Khỏng tổn tại X

31 Phụ thuộc 32 Độc lập 33 Phụ thuộc 34 Độc lập

35 Độc lập 36 Phụ thuộc 37 Độc lập 38 Độc lập

39 Phụ thuộc tuyến tính với X = -6

40 Phụ thuộc tuyến tính với X = 4.

41 Phụ thuộc tuyến tính với X = -3

42 Phụ thuộc tuyến tính VỚI X = 4.

§ 4 C ơ sờ củ a k h ô n g g ia n véc tơ

A Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẩu

Cơ sờ của một không gian véc tơ, toạ độ của véc tơ trong một cơ sờ

+ Hệ gôm n véc tơ n chiếu, độc lập tuyến tính đuợc gọi là cơ sỡ cùa thống gian R \

+ Nếu PpP,, ,?,, là một C<J sờ của khổng gian R" thì mọi véc tơ

X e R’ đều biểu diễn duy nhất duới dạng:

+ Bổ n sô' thực có thứ tự ( a , , a 2, ,a„) thoả mãn hệ thức (1) được gọi

là toạ độ cùa véc tơ X trongcớsở P pP ,, ,?,

Chú ý: Với cơ sờ P |,P ,, ,P , và véc tơ X cho tiuớc thì hê thức (1) tương đương với hệ phương ưình tuyến lính gồm n phương trình và n

â n số là a ,,c t ,, ,a có ma ưận hệ sớ nhận tọa độ các véc tơ cơ sở là các cột và tọa độ véc tơ X là cột hệ số tự do Nghiệm duy nhất của hệ này là toạ độ cùa véc tơ X trong cơ sờ đã cho

* Chúng minh rằng hê véc tơ p, = (l,l,0 ), Pj =(1,0,1), Pj =(0,1,1) là

môt cơ sờ của không gian KJ

Xét hệ thức: k,P| + kjPj + k,Pj = 0,.

Hệ thức trên tương đuong với hẹ phương trình:

[k + = 0

k, + k, = 0 [k 2 + k, = 0

Dễ dàng thấy rẳng hệ phương trình này có nghiệm duy nhất

k, = k j = k , = 0 Suy ra hệ véc tơ p, = (1,1,0), Pj =(1,0,1), p, = (0,1,1)độc lập tuyến tính Do dó nó là một cơ sờ của khổng gian RJ

* Toạ độ của véc tơ X trong cơ sở P|, P,, Pj là bộ ba số thực thoả

mãn hẹ phương trình:

l'a, + a 2 = 1

j a , + a , = 5

{ a , + a , = 2Bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm duợc nghiệm duy nhít của hệ phương ưình là: a , = 2 ,a , = l ,a , = 3 Vậy toạ độ của véc tơ X

trong cơ sở P,,P2, Pj ở trên là (2,-1,3).

Hệ thúc trên tuơng dương với hệ phuơng trình:

kj - 3lt, + k4 = 0

k, - 2k, + k4 = 0 3k, + 2 k j + k< = 0

4k, + 3kj - 5k, = 0Giải hệ bầng phương pháp khử ẩn liên tiếp:

'01

10

-3-2

43-» 0

01

-2-3

3 '4

* Toạ độ cùa véc tơ X trong cơ sờ p,, P2> p,, p, là hẹ thđng bốn sổ thực thoả mãn hộ phương trình:

a , - 3a, + a 4 = -5

a , - 2a, + a 4 = -43a, + 2 a ; + a , = 124a, + 3(Xj - 5a, = 5 Giải hệ bầng phương pháp khử ân liên tiếp:

Từ ma trận cuối này ta dẽ thấy hộ phương ưình đã cho có nghiệm

duy nhất là (a , = 1, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = -1 ) Vậy toạ độ của véc tơ Xtrong cơ sờ p,, P,, p,, P4 ớ ư ê n là (1,2,1,-1)

Cơ sở của không gian con

Định nghĩa: Một hẹ véc tơ PpP,, ,Pr cùa không gian con L duợc gọi là cơ sờ của nó nếu nó thoà mãn hai điều kiện sau:

Định nghĩa: Số véc tơ ưong một cơ sờ của không gian con được gọi là

số chiều của không gian con dó

Ví dụ 3: Các tập véc tơ sau dây có phải là không gian con của khổng

gian véc tơ tương ứng hay không? Nếu đúng hãy tìm một cơ sò cùa khòng gian con đó

X = (xl,x j) = (x,,0) = x,(l,0) Vx, € R , nghĩa là véc tơ X = (x ,,)tj)e L,

bất kì luôn biểu diẻn tuyến tính quí véc lơ p = (1,0) Mặt khác, hệ chì gổm một véc tơ p = (lắ0) luổn Hộc lập tuyến tính Vậy cơ sở cùa khững gian L, là Ịp = (l,0 ) j.

b Lj là khổng gian con xin dàr.h cho bạn đọc tự chứng minh Bây giờ chúng ta tìm một cơ sờ của không gian con đó

Xét véc tơ X=(x,,x,,x,)eL, bất ki

Khi đó, X =(x1,x j,x ,)= (x 1,2x1,3x,) = x1(l,2,3) Vx, e R, nghĩa là véc tơ X = ( x ,,x j ,x ,) e Lj bất kì luôn biểu diễn tuyến tính qua véc tơ

p = (1,2,3) Mặt khác, hệ chì gổm một véc tơ p = (1.2,3) luôn độc lập tuyến tính Vậy cơ sờ cùa không gian L, là Ịp = (1,2,3)Ị

Các tập véc lơ sau đây có phài là khổng gian con cùa khổng gian véc tơ tương ứng hay không? Nếu đúng hãy tìm mộl cơ sò không gian con đó.

56 b = 0, Phải, X = (l,a ); b * 0, Không 57 Không

58 Phải, x = (l,a,a: ) 59 Phải, x = (1,2,3).

60 Phải, {x, =(0,1,-1), Xj =(1,0,-1)}

§ 5 H ạ n g cùa m ột hệ véc tơ

A Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẫu

Cho một hệ gổm m véc tơ n chiểu x , , x , Xm (1)Định nghĩa: Cơ sờ cùa một hệ véc tơ là một hệ con của nó thoả mãn hai diều kiện sau:

Một sô' tính chát về hạng của hệ véc tơ

Gọi r là hạng của hộ (1), khi đó ta có:

• r < m, r < n; (hạng không vuợt quá số véc tơ và sở' chiéu

cùa véc tơ)

• Mọi hệ con gổm r véc tơ độc lập tuyến tính đểu là cơ sờ của hệ véc tơ đã cho

• Nếu r = m (số véc tơ bằng hạng của hệ véc tơ) thì hệ véc

tơ (1) độc lập tuyến tính^i

• Nếu r < m (hạng nhò hơn sô' véc tơ) thì hệ véc tơ (1) phụ thuộc tuyến tính

Để tìm hạng của một hệ véc tơ ta có thể làm như sau:

Cách 1 Tìm một cơ sò bất kì cùa hộ véc tơ đó, hạng của hệ véc tơ là số véc tơ ưong cơ sờ dó

Cách 2 Tim một hệ con lớn nhất cùa hệ véc tơ dó ma dọc lặp tuyẾn tính, số véc tơ ưong hệ con đó là hạng cùa hệ véc tơ đã cho-

Các phép biến đổi không làm thaj dổi hạng của một bệ véc tơ

Phép biến dổi thèm, bớt véc tơ:

Phép biến đổi sơ cáp:

2 Nhận một véc tơ cùa hệ với một số k * 0;

3 Công vào một véc to cùa hệ tích của một véc tơ khác ữong cùng hệ với một số bất kì

Ví dụ I: Tìm hạng của hệ véc tơ :

X, = (2 ,-3 )

• = (- 4 ,6 )

X, = (-3,4)Giãi:

Cách 1 Dễ dàng tháy hệ hai véc tơ X,, X, độc lập tuyến tính do chúng khổng tỷ lệ Mạt khác, X, = X ,+ 0 X „ X, = ox, + X3,

X, = -2X, + 0 X j Vậy hệ hai véc tơ X ,, X, là cơ sở cùa hệ ba véc tơ

X ,,X ,,X j Vậy hạng của hẽ véc tơ trên băng 2

Cách 2 Ta cũng de dàng thấy rằng hệ 3 véc tơ hai chiéu

X ,,X ,,X j là phụ thuộc tuyến tính vì só véc tơ trong hệ lớn hơn sổ' chiểu Mạt khác, hệ hai véc tơ X,,Xj độc lập tuyến tính do chúng không tỳ lẹ và nó là hệ véc tơ con có SÖ véc tơ Iđn nhất độc lập tuyến tính Vây hạng của hẹ cùa véc tơ đã cho bầng 2

Ví dụ 2ế Tìm hạng cùa hệ véc tơ sau:

X, =3X , + 0X„ Theo định nghĩa suy ra hệ hai véc tơ X ,,X 4 là mội

cơ sở của hệ véc tơ đã cho Vây hạng cùa hệ véc tơ X pX j.X jjX ,, dã cho bẳng hai

Chú ý: Trong chương này mới chi giới thiệu cách giải bài toán tìm hạng của hệ véc tơ bằng định nghĩa, ờ chương sau chúng ta có thể giải bài toán này dẻ dàng hem thông qua hạng cùa ma ưận

Ví dụ 3: Biện luân theo k hạng cùa hệ véc tơ:

X p X j.X , phụ thuộc tuyến tính mà hệ hai véc tơ X ,,X 2 luôn độc lập tuyến tính với mọi k và dây cũng là hệ véc tơ lớn nhất dộc lạp tuyến tính Dân hạng cùa hệ véc tơ là 2

S c S ' nên hệ ỊxỊ,X !,, ,X ỊnỊ c S ' suy ra mọi véc tơ trong hẹ

Ị x Ị ,X j, ,X ^ Ị déu biểu diên tuyến tính qua cơ sờ Ị x f ,X Ị , ,X 'Ị

cùa S', theo định lý về sự phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ

|X ¡,X2, ,X¡n| là phụ thuộc tuyên tính, điểu này mâu thuán với

{x |,x j, ,x ^ ,} là một cơ sở của hộ véc tơ s, (dpcm).

Ma (rận đ ã : Ma trận đối của ma ưận A là ma trận cùng cấp m ì mỗi

phán tử của nó là số đối của phẩn tử tưcmg ứng của ma trâo A

-A = ( - a J' ^/niKn

Ma tràn chuyển vị: Ma trận chuyển vị cùa ma trận A cấp m X n là

mỏi ma ưận cấp n X m mà các dòng cùa nó là các CỘI tuơng ứng của

ma trận A (hoặc ngược lại)

Ma trận bằng nhau: Hai ma trận được gọi lì bằng nhau thi và chi

khi chúng cùng cấp và các phần tử ở các VỊ trí tuơng úng cùa chúng

• Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cùng cáp m X n, dươc

kí hiệu và xác định như sau:

Chú ý: Hiệu hai ma ưận A và B được tính nhu sau:

A - B = A + (-B ) = A + (-l)B

Ví dụ 1: Cho hai ma ưận

(2 -1 5^ (7 4 - 1 0 '|

A Tóm tat lý thuyết và các ví dụ mầu

Hoán vị của n số tự nhiên dầu tiên

• Có n! hoán vị của tập hợp Ịl,2 , ,n } , mỗi hoán vị được biếu diễn

Định lý: Nếu từ một hoán VỊ, ta dổi chõ hai số và giữ nguyên vị tri các

số còn lại thì tính chẵn - lẻ cùa hoán vị thay đổi

Vi dụ 1: Tìm số nghịch thê cùa hoán vị 1, 3, 5, 2, 4.

Giải: Các hoán vị có trong nghịch thế trên là: (3, 2),(5, 2).(5, 4) Vậy hoán vị ưẽn có sô nghịch thê là 3

a l l a 3 ■

» 2 , “ 22 • • “ 2 n

, a n • ■

Lập tích ( - l ) h ala a 3ai a , trong đó a , , a 2, ,a „ là một hoán

vị của n sô' tự nhiên đầu tiên và h là sô' nghịch thế cùa hoán vị dó Tổng

cùa n ! tích trên được gọi là định thức cấp n của ma trận A Kí hiệu:

3 nghịch thế, vậy dấu cùa tích là dấu (- )

b Tương tự, hoán vị 1, 2,3, 4, 5 có 0 nghịch thế, vậy dấu của tích là dấu (+)

Định thức cấp hai bẵng tích hai phấn lủ trên đường chéo chính trứ di tích hai phẩn lử trên đường chéo phụ.

• Định thức cấp3:

= a na 22a » + a i2a 23a 5l + a i5a n a3J

-aijajjBji - a ,2a21a„ - a |,a a a,j

Quy lắc đường chéo:

- Các Ihành phẩn mang dấu (+) gỗm: tích các phán tủ nằm trin

đường chéo ehính; tích các phắn tử nằm trẽn các đường song song với đường chéo chính với phán tử nằm ở góc dối diện.

+ Công thúc khai triển:

d = a„All+ ajJAàí + + a^Ail

(cóng thức khai triển theo dòng i)

d = alJAlj + aJJAJj + + a,,Al,

(công thức khai triển theo cột j)