hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp

hướng dẫn làm bài toán cao cấp cho các sinh viên trường cao đẳng, đại học và học viện9. 2 1arctan x xHd:   2x x F x dx xdxarctan 1 arctan ln   x x xI F x F    lim 1 ln 2   x 4 221122) Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau1.3.25) Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau1.3.2x edx2 1x ln 1 x 1x  3x x x        1sin dx1x. Hội tụ. Hd:2Phân kỳ. Hd:dxx e20 1   e 2ln 1 x 1x x1 1 1    x x x 1 2 x 2 t  2x2 2x x khi x  21dx. Hội tụ. Hd:1 2. Phân kỳ: Hd: Khi x   thì 1  và 1 1 sin ~x, mà 3 13 32     0dt hội tụ.2tx x

Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích Chúc em ôn tập thi đạt kết tốt GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai oo 1) Chương Ma trận - Định Thức - Hệ phương trình tuyến tính 1 3  Cho hai ma trận A   4   5  2 1  B  1 2  0 1  Hãy thực phép tính: A  B; A  B; A  B; At ; At  B t ; At  Bt Đáp số: 3) 1 2  Cho hai ma trận A        Đáp số: 3 4 At  Bt   4  3  1   3  B  2     2  AB; Bt At Hãy thực phép tính: 4)  1 2 1 A  B  1 2  ; 3 4   4 3 A  B  3 6 3 ; 3 6 3 0 14  A.B   2 25  ; 3 22   2  Bt At  ( AB)t    14 25 22  Hãy thực phép tính sau: 1  1  1  1      1    Đáp số: 9  6  ;   5  1  3 3  1   Đáp số: 11 1  0    0  n Giải  1 n  Dự đoán A  0  (1) 0   Với n = 1, công thức (1)  Giả sử (1) với n  k , ta có: n 3 6  6  3 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai A  k 1 1 k  1  1 k  1  A A     0   0  , (1) với n  k   0  0  0  k Theo phương pháp quy nạp toán học ta kết luận công thức (1) với n n 1 1 0 1    1   2    Đáp số: n Đáp số: n 5) 6) cos x  sin x  10  Đáp số:   sin x cos x  Hãy tính định thức ma trận sau: 1 1 n chẵn  ; 0 1  1 n lẻ    2  cos nx  sin nx   sin nx cos nx    1  A  1   2  Đáp số: A  1;  6  C   1   8  Đáp số: C  56 1 a bc  E  1 b ca  1 c ab  Đáp số: E   a  b  a  c  c  b  Hãy tính định thức ma trận sau: 7) 1 n  0    1 1 1 1 1 1 Hd: 3 2 1 1 1 1 cos c cos b cos c cos a cos b cos a 1 1 1 c1  c2  c3  c4  1 1 1 1 1 5 1  1 1 0 0 0 0  5; Đáp số: 80 (cộng cột vào cột đầu, ) Đáp số:  cos a  1 cos b  1 cos c  1 ; Tính định thức ma trận vuông cấp n : Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai x y x 0 y y 0 y x Hd: Khai triển định thức theo cột x y y x y x n A  x 0 x  (1) y  0 x 1 3 n n C  1 2 n Đáp số: y 0 x y 0  x n  (1)n y n  0 y C  n! 1 2 3 8) Tính hạng ma trận sau: 1 2 A  3  4 2 1 3  4 3  5 4 1 0 1 C  Đáp số: r  A   ; Hd: cột - cột 1; cột - cột 1; cột - cột Đáp số: Nếu n chẵn r  C   n , n lẻ r  C   n  0 1 0 9) 1 2 E 3  4 3 1 5  7 3  9 4 Đáp số: r  E   (Hd: tương tự câu 1.) Tùy theo giá trị tham số m tìm hạng ma trận sau:  a 1  A   1 a   1 Đáp số: r  A   a (Hd: Áp dụng biến đổi sơ cấp tính Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 1 C   a  a b b 1 c  c  Đáp số: a  b  c r  C   , a  b  c a  c  b b  c  a r  C   , b  c  a r  C   10) 11) Tìm ma trận nghịch đảo có ma trận sau:  cos a  sina  A    sin a cos a   3 C   3  2  0 1 E 1  1 1 1 1  1  1 0 Đáp số:  cos a sin a  A1      sin a cos a  Đáp số:  2  C   1,5 2,5 3  1 1 Đáp số:  2 1    1 2 1  E 1   3 1 2    1 2  1 Đáp số: 1  3 5  1 1 X      3  5    Đáp số:  1  3 2   2  X        5  5 4   4  1 Giải phương trình sau: 1 1 3  X   5  3 2   1  X   5 4   5   2 3 1   2 3  2  X  3  Đáp số: X   2           3 4    3 1 9   2   5  X 1   18 12         7 3 1 1   23 15 11  1 1 1   1 17 1  3    38  3 4   32 1  1 1 Đáp số: X   3  1 (Hd: Nghiệm pt AXB  C X  A1CB 1 A B khả nghịch.) 12) 0 1   5 1  X   1     1    Đáp số: 0 0 X    (Hd: AX  B  X  A1B )  1 Hãy tìm hạng ma trận nghịch đảo có ma trận sau 5 1 A  9 1 Đáp số: A    r  A  2; A1   1   9 5 17   A   45 16  Đáp số: 3   A  2   r  A   2; A1     22,5 8,5 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 13)  1  A   1  1  Đáp số:  1  A   1  1  Tương tự câu A  0; 1    r  A  Giải hệ phương trình sau  x1  x2  x3    x1  x2  x3  4 4 x  x  x   Hd: Áp dụng biến đổi sơ cấp:  1   1      A   5 4     1 5  r ( A)  r ( A) Hệ vô nghiệm  7   0 12   x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4  9x  x  x  x   Hd:  2    Áp dụng biến đổi sơ cấp: A  0 11 110   r ( A)  r ( A)   0 0 0    x1  9     Nghiệm hệ  x4  11  5  10 x   , x   ; ,   R   x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4  9 x  12 x  x  10 x  13  Hd:   3    Áp dụng biến đổi sơ cấp: A  0 0 1   r ( A)  r ( A)   0 0 0  Nghiệm hệ  x1   ; x2   ; x4    x3   3    ,   R  Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 14)  x1  x2  x3    x1  x2  x3  8 x  x  x   Đs: 146 339 42  ; ; 217   217 217  x1; x2 ; x3    Giải biện luận hệ hệ phương trình sau  x1  x2  x3    ax1  bx2  cx3  d  2 2  a x1  b x2  c x3  d Giải   D a b c  (b  a )(c  a )(c  b) a2 b2 c2 a, b, c đôi khác nhau, hệ có nghiệm   x1     x2     x3    D Dx2 D Dx3 a  b  c , ta có hệ 1  A a  a  Dx1 a a2 D  (b  d )(c  d ) (b  a )(c  a )  (d  a )(c  d ) (b  a )(c  b)  (d  a )(d  b) (c  a )(c  b)  x1  x2  x3    ax1  ax2  cx3  d  2 2  a x1  a x2  c x3  d  1  1 1    c d   0 c  a d a  2 c d  0 0 (d  c)(d  a )   Nếu d = c: hệ có vô số nghiệm: ( ;   ; 1) (  tùy ý)  Nếu d = a : hệ có vô số nghiệm: ( ;   ; 0) (  tùy ý)  Nếu d  a; d  c : hệ vô nghiệm Tương tự với trường hợp a  c  b b  c  a  ax1  x2  x3      x1  bx2  x3       x1  x2  cx3     Giải  a  b  c  , a  1; b  c  1; b  1; a  c  1; c  1; a  c  : hệ có vô số nghiệm (đơn giản) Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai  0; 0; 1 ; tương tự  a  1; b  1; c  hệ có nghiệm  a  1; b  1; c  : Giải x1; x2 theo x3 từ hệ   ,    thay vào    ta được:  x1  1  b  c  1 ; x A  1  c  a  1 ; x A  a  1; c  1; b  1; 1  b  a  1 A với đk: A  a  b  c  3abc    Khi a  b  c  3abc   : hệ vô nghiệm  ax1  x2  x3    x1  ax2  x3  a   x1  x2  ax3  a Giải   a 1  x1   a    Với a  1; a  2 : hệ có nghiệm nhất:  x2  a   (a  1)   x3   (a  1)(a  2)   Với a  : hệ có vô số nghiệm: ( x; y;  x  y ) với x; y  R  Với a  2 : hệ vô nghiệm  x1  x2  (a  1) x3  a  3a   x1  ( a  1) x2  x3  a  3a  ( a  1) x1  x2  x3  a  3a Giải   x1  a  2a  a   Với a  0; a  3 : hệ có nghiệm nhất:  x2  2a    x3   a  Với a  : hệ có vô số nghiệm:  Với a  3 : hệ có vô số nghiệm:  x; y;  x  y  với  x; x; x  x; y  R với x  R Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai Hàm số - Đạo hàm - Vi phân Chương 1) 2) 3) Tìm miền xác định hàm số sau y  1 x y  log y  ln  e x  e x  x 1 x Đs: D = (-∞; 1] y  arcsin Đs: D = [0; 1] y 2x  x2 x2   x2 Đs: D = R Đs: D = (-2; 2) Đs: D = (0; +∞) Tìm tập giá trị hàm số sau y  3sin x  4cos x Đs: Ry  [ 5; 5] (Hd: y  5sin  a  x  với a  arccos ) y  sin x  cos x Đs: Ry  [0; 1] y  arctan Đs:    Ry    ;   4 y  ln 1  x  Đs: Ry  [0;  ) y  2 x Đs: Ry  [0; 2] 2x  x2 x 1  Hd:  x  x   ;  4  Xét tính chẵn lẻ hàm số sau y  x arcsin x Đs: hàm chẵn (hình H1) y  sin x  cos3 x Đs: hàm không chẵn, lẻ (hình H2) y x3  x4 Đs: hàm lẻ (hình H3) H1 H2 H4 H3 H5 y e x  e x Đs: hàm lẻ y e x  e x e x  e x Đs: hàm lẻ (hình H5) (hình H4) Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 4) 6) 8) Xác định chu kỳ tuần hoàn hàm số sau (nếu có)     Hd : y   cos  x   4   y  sin x  cos x Đs: chu kỳ y  sin x  cos3 x Đs: chu kỳ 2 ln 1  cos x  Đs: chu kỳ 2 y  cos x Đs: chu kỳ y  sin x  cos x Đs: chu kỳ  2 Tìm giới hạn sau: x2  x 1 lim lim sin x   sin x x0 x   Đs: (Hd: đặt t  x ; x   t  )  xx 1 x  x ln x lim x lim  x   2 Đs: sin x  tan x x0 x3 lim Đs: Đs: (Hd: đặt t  x x ; x   t 1 ) x2  x  x2 (Hd: Xét ln   ) 2 Đs: Tính đạo hàm hàm số sau 1 x x  ; 1 x Đs: y ' 1   Đs: y'  y y  ln y  arcsin y  xln x y  ln 11 y  sin  ln x   cos  ln x  x  ; Đs: y ' 1  13 y  x arcsin x  ln x arcsin x  Đs: y '  x arcsin x    x   1 x 15 y  ln  sin x  cos x  x2  x2  sin x  sin x x ln x  x  ; x ln x  sin x  cos x  1  sin x 1  cos x  Đs: x  0; y '   Đs: y '  x ln x 1 ln x Đs: y'   x , y '     2; y '     2; x 1  x  cos x Đs: y '   ln x  1 x ln x  ( y xác định x ln x    x  1,763 nên dĩ nhiên không tồn y ' 1 ) Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 9) 10) 11) 12) 17 y  arcsin x  arccos x Đs: y '  x Cho y  Cho y  ln Cho y  x sin x , tính y  2010  (phải áp dụng ct Newton - Leibniz (không học)) Cho y  x ln x , tính y  2010 Đs: x2 , tính y 8  1 x x 1 , tính y  2010  x 1 8! (1  x)9 Đs: y   Đs: y (2010)  y (2010)  2009! 2009!  2010 ( x  1) ( x  1)2010 2008! x 2009 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: 1  x2 1 1 n! n! n n   y  n    1   1 n 1 n 1 x 1 x 1 2  x  1  x  1 y Hd: y  y  x  2 x Đs: y    x ln n   1 2 x ln n y  x ln x Đs: y  n   1 y  x3 ln x Hd: tương tự câu y  x 2e  x Hd: áp dụng công thức Newton - Leibniz (ngoài giới hạn chương trình) n n n3 2. n  ! x   n  2 n  Tính vi phân hàm số sau:  sin x  y    cos x  y  sin  x  1 y  x  arctan x y    2x y  ln x  x  x     sinx dx (1  cos x) Đs: dy  Đs: dy  6sin  x  1 cos  x  1 dx dx 4 x  Đs: dy  x  Đs: dy  12dx  Đs: dy  dx ( y không khả vi x  ) Tính tổng sau n 1   n  1 x n  nx n 1 Đs: S S   x  2.3 x  3.4 x   (n  1)nx n 1 Đs: S   x S  Cn1 x  2Cn2 x   kCnk x k   nCn x n Đs: S  nx  x  1 S   x  x  x   nx 1  x  d  x  x n 1    dx   x  n 1 10 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai  Giả sử hành trình người là: A  C  B Gọi x khoảng cách HC (km)   x  4,8   Hàm mục tiêu (thời gian từ A đến B): f  x   f ' x  x 3, 1,6  x f đạt cực tiểu  45)  AC BC 1,6  x 4,8  x    3, 4,8 3,2 4,8 1,6  x   1, 43 4,8 1,52  x  1, 43 ; f ct  1,37 (giờ) Trả lời: Người bơi tới điểm C cách H 1,43km đến B thời gian ngắn Giả sử số lượng bầy ruồi đục thời điểm t N  t   N 0ekt ; N số lượng bầy ruồi thời điểm t  , k số tăng trưởng Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau ngày Tìm số k Giả sử ban đầu bầy ruồi có 100 con, xác định số lượng bầy ruồi sau 41 ngày Sau ngày bầy ruồi có 800 Giải 47) 1 N    N 0ek  9  N  k  ln  0,077 N  100  N  41  100e Xét phương trình 100e kt  800  t  1   ln   41   2352 ln8 ln8   27 ngày k ln Một loại lon nước giải khát dạng hình trụ chứa 0,4 lít chất lỏng Xác định đường kính đáy đường cao hình trụ để vật liệu sử dụng làm lon Giải  Gọi x bán kính đáy ( x > 0), y chiều cao lon nước (đơn vị: dm) Thể tích lon:   V   x  y  0,  y  0,4  x2  Hàm mục tiêu (dt xung quanh): S   x    2 x  y  2 x  2 x  S '  4 x  0, 0,8  x   0, 40  S đạt cực tiểu x  0, 40 ; Sct  dm 2 x  Khi đường kính đáy d  0,8 dm , chiều cao y  49) 0, 0,8  2 x  x x 0,4  0,80  0, 42 Điểm B nằm cách đường sắt 60km Khoảng cách đường sắt từ điểm A tới điểm C gần điểm B 285km Cần xây dựng nhà ga cách điểm C khoảng để thời gian 14 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai lại A B nhỏ nhất, tốc độ chuyển động đường sắt 52km/h tốc độ chuyển động đường nhựa 20km/h Giải  Tương tự 43 Đặt x  CM (km) Ta có hàm mục tiêu (thời gian B  M  A): f  x   f ' x  60  x 285  x  20 52 x 20 60  x f đạt cực tiểu   60  x   25 (km) 52  52    1  20  x  25 ; thời gian nhanh nhất: f ct  8,25 (giờ) Cần xây nhà ga cách điểm C 25km 15 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai Chương 1) 2) Dùng tính chất bảng nguyên hàm, tính tích phân sau   tan 5)  x2  1 x dx  x  2.ln C 1 x x2  x x  dx  x dx  tan x  x  C  sin x dx   ln  cos x  C  cos x   1   x3   ln C   x3 x  x3  xe  dx xdx  3x  13  3x   11 C x2 dx  x 1   C x2 e C 2  ln x dx  x ln x  x  C Tính tích phân bất định sau phương pháp đổi biến dx   x  1  3 x   3ln x 1  1  4sin x  3cos x     dx  ln x dx  x dx   ex x 1 1  C C x tan  2  ex 1  ln 1  ln x 3  C  ex  C Tính tích phân bất định sau phương pháp tích phân phần  x  ln x  x  x sin 2 dx  2 1 x ln x  x ln x  x  C 2 sin xdx   x cos x  x sin x  2cos x  C xdx  1 x  x sin x  cos x  C 4 Cho I n   cos n x dx Lập công thức liên hệ In In - n Đáp số: I n  sin x cos n 1 x  6) Hãy tính tích phân bất định 4)  44  1   x x d x  x   C x x   1 3) Nguyên hàm tích phân n 1 In2 n Tính tích phân bất định sau x  x dx  ln x   ln x   C  3x  x3  x  B Cx  D  C D x  A dx     dx  A ln x   B ln x   ln x   arctan  K  x  81  x3 x3 x 9    với A   31 29 48 ;B ;C ; D 108 108 108 108 16 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai dx  cos 8) 9)  tan x  tan x  C x xdx x2   ln C x  3x  x 2  Tính tích phân sau x  cos  ln x  dx   cos  ln x   sin  ln x    C  sin x dx   ln cos x  2cos2 x   C cos x Tính tích phân sau cos x  cos x  sin x    sin x  cos x  dx  x  ln cos x  sin x  C  cos x  sin x dx    tan  cos x  ln  sin x  C  cos cos x  sin x 2 x dx  tan x  tan x  x  C dx dx   sin x 1 tan x  tan x  ln tan x   tan x  C (Hd: Đổi biến: t  tan x ) 2 10) Tính tích phân sau x  dx  x 1 44 x  ln 3 x3  dx  4x  4x  x  x  dx    x3   C x  x    ln x   x  x   C 4  x  1 x  x   ln x   x  x   C   tan   tan x  ln cos x  C x x cos x x dx    cot x  C 2 sin x sin x  arccos x 1   x2 dx   arcco s x  ln C x 1 1 x2 x2 dx 11 15) Tính tích phân sau  arcsin x dx   x.arcsin x      10  2    x x sin x 1  sin x  2 dx   ln  ln    3 cos x cos x  sin x   e /2 1  x2    /2 x e cos  ln x  dx    cos  ln x   sin  ln x     e /2  2    17 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai dx   x  2  x 1  2 x 1 1 1   ln x   arctan    ln  arctan  1 4 8  ln x dx   ln 2  ln x3 16   (tích phân phần lần) 16) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y  0; y   x  1 ; y   x S 1  x  1 dx     x  dx  32 y  x  16; y  24 x  48 Hướng dẫn: Đổi vai trò x , y ta đường: x  y  16; x  24 y  48 S  24  24 y  3x ; y  8x ; x  y  S 0,5  17)  2  32     x    x    dx    24    4 x  3x  dx   8x 2 0,5  x dx  55 54  Tính độ dài cung đường sau   y  ln  x ;  x  y  ln x; y  x  x  arcsin x 3x Hd: y '  2 x  x2  L  dx  ln  2  1 x 1 x Hd: y '   L x Hd: Miền xác định y :  x  ; y '  20)  x2 dx   ln x 2 1 1 x  L dx  x x Tính tích phân suy rộng sau hội tụ   x3e x dx Nguyên hàm f  x   x 3e  x F  x     x  x  x   e  x Hd: Do I  lim F  x   F    x  dx x  x2  Hd: Áp dụng phương pháp tích phân hàm hữu tỉ ta tính   F ( x)   dx  x2  x 1   2x 1   2x 1   ln  arctan   arctan     x  x 1  x  x 1      18 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai I  lim F  x   F    Do đó:  x  ln x dx x2  Hd: F  x      ln x 1 dx   ln x  (tích phân phần) x x x I  lim F  x   F 1  x arctan x dx x2  F x   Hd: arctan x x dx   arctan x  ln x2 x  x2   ln 22) Xét hội tụ hay phân kỳ tích phân sau I  lim F  x   F 1  x  25)     e x dx x2  ln  x Hội tụ  dx Phân kỳ Hd:  e Hd:   x2 e x 1   x x ln  x 1 x x x Xét hội tụ hay phân kỳ tích phân sau  dx 1 3 x  x  1 x   Hội tụ Hd: x  x  1 x      1 sin   dx  x Phân kỳ: Hd: Khi x   x   x  2  t , mà   dt t hội tụ 1  sin   ~ x x x 19 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai Hàm số nhiều biến số Chương 1) Tìm miền xác định hàm số: f ( x, y )  x2  y2 MXĐ D f  ( x , y )  | x  y   x   x  y  x (hình H1) H1 2) f ( x, y )  x  y   ln(4  x  y ) MXĐ D f  ( x , y )  |1  x  y  4 (H3) x2 x 2x 2 x x   f ' x ( x, y )   ; f ' y ( x, y )   2 y y y y y y f ( x, y )  f ( x , y )  arctan y  xy  x2  f ' ( x , y )  ; f ' ( x , y )  x y 2  x2 1  x   y 1  x   y Chứng tỏ hàm số f ( x , y )  y x sin y f f thỏa mãn x  xy  yf ( x, y ) x x y y Hướng dẫn: Đặt g ( x, y )  y x  f f ( x, y )  x x2 5) Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số: y 3) H3 Cho hàm số f  x, y   ln g y ln y y   yx; x x y  y  cot  ln x  x2  y  x x2  y2  x g  ln y yx  y y x f ( x, y )  y  f y ;    ln y  cot  x  x  y Hãy tính f x 1; 1 ; f y 1; 1 20 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai Hướng dẫn: 6) fx   2 x y ; fy  2x y x2  y2  f x (1; 1)   2; f y (1; 1)  Tìm vi phân toàn phần hàm số sau: y Đs: dz   z  ln tan   ydx  xdy  2y x x sin x 7) z  arctan 1, 02  0, 02 Đs:  1,004 2z  y 2 z 2z Đs:  ;  ; 0 x x xy x y z  y ln x  z 2( y  x )  z xy  z 2( x  y )  ;  ;  x ( x  y ) xy ( x  y )2 y ( x  y )2 Tìm đạo hàm hỗn hợp cấp hàm số sau: Đs: z  ln tan( x  y ) Đs: 2 z 4cos 2( x  y )  xy sin 2( x  y) z  arctan x y  xy Đs: 2 z 0 xy Chứng tỏ hàm số z  f ( x).g ( y ) thỏa mãn phương trình: z Đs: 13)   0,035 z  ln( x  y ) 11) Đs:  Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau: 9) x y x y Tính gần đúng: 1, 02 arctan 0,95 8) Đs: dz     y dx  x dy  x  y2  z z z  x  y x y z z 2 z  f '( x ).g ( y );  f ( x ) g '( y );  f '( x ).g '( y ) x y  x y Tìm cực trị hàm số sau: f ( x, y )  e x ( x  y  y ) Đs: cực tiểu  e  ; 1  2  f ( x, y )  x  y  x  y  y Đs: cực tiểu     1   ;1   ;1      f ( x, y )  e  ( x  y2 ) (2 x  y ) Hướng dẫn   f  x, y   x, y Dấu "="  x, y    0,0  nên f có cực tiểu (tuyệt đối)  0,  Đặt u  x  0; v  y  f  F  u , v   e  u  v   2u  3v  Hệ pt Fu  0; Fv  vô nghiệm nên F cực trị  u  0; v  21 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai  Xét u  , đặt g  v   F  0, v   3ve v ; g  v  đạt cực đại Tương tự, h  u   F  u,0   2ue u đạt cực đại  Kết luận: f đạt cực tiểu tại u  e  1;  ,  0; 1 e e f ( x, y )  xy ln( x  y ) Đs: cực tiểu  cực đại  0; 0 , đạt cực đại v  e 1    1 1    ; ;  ; 2e  2e 2e   2e 2e  1  1   1    ; ;   2e  2e 2e   2e 2e  f ( x, y )  ( x  y ) e  ( x  y2 ) Đs: cực tiểu  0;  ; cực đại e  x, y  mà x  y  (Hd: Đặt t  x  y  xét hàm F  t   te t ) f ( x, y )   x  y  4( x  y ) Đs: cực đại  2; 2  f ( x , y )  x  y  xe y Đs: cực trị f ( x, y )  xy  50 20  x y Đs: cực đại 30  5;  Phương trình vi phân Chương 1) Giải phương trình vi phân cấp sau: y 'sinx  ylny Nghiệm tổng quát: y  e  1 cos x  C   sin x  (phương trình vi phân biến số phân li)  x  y  1 dx   x  y  1 dy  Hd: Đặt z  y  x  phương trình biến số phân ly: dz z  dx z   Tích phân tổng quát: ln  y  x   y  x  C xy ' y  x biết x 1 y Nghiệm tổng quát: y = y'  x y biết x y2 y x 1 0 x (ln x  x  C ) x 1 x0 (Phương trình tuyến tính) 1 Hd: 22 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai a  b  Nghiệm hệ phương trình   a; b    1; 1 nên đặt a  b    phương trình đẳng cấp: Y '  x  X 1   y  Y 1 X Y X Y  Tích phân tổng quát: ( x  1)  2( x  1)( y  1)  ( y  1)2  C  xy ' y  x y 3  biết Nghiệm tổng quát: y  11  x3 y '  y y  x2   x  y cos  0 x4  C x2 (Phương trình Bernoulli với n  3 ) x2 C  ln x (Phương trình Bernoulli với n  3 ) y y  dx  x cos dy  x x y   x arcsin  ln x  C  (phương trình đẳng cấp) Nghiệm tổng quát: 15 x 1  Nghiệm tổng quát: y  13 y  x  y   dx   x  y   dy  biết y x 1 2 x  X 1 Hd: đặt  để đưa pt dạng pt đẳng cấp y  Y 3 Tích phân tổng quát: arctan 17 y'  y 1 2x  y2 y x 1 y 3   y 3   ln      ln x   C  x    x    1 Hd: Coi x  x  y  hàm ẩn phải tìm  phương trình tuyến tính x ' y2 x y 1 y 1 Nghiệm tổng quát: x    y  ( y  1) ln( y  1)  C ( y  1) 2 19  y  2 y'  x  y  2  x2 y x 1 1 Y  y  Y2 Hd: Đặt   phương trình đẳng cấp Y '  XY  X X  x Nghiệm tổng quát: 21 y2  ln y   C  x x2 y '  y x2  y Tích phân tổng quát: x  x  y  Cx  (phương trình đẳng cấp) 23 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 23 y'  x3 y  y x  xy Tích phân tổng quát: xy  C  x3  y  (phương trình đẳng cấp) 25 xy ' y  x arctan x   Nghiệm tổng quát: y  x  x.arctan x  ln 1  x   C  (phương trình tuyến tính)   27 xy '  y  x cos y x  x  Nghiệm tổng quát: y   x.arctan  ln  (phương trình đẳng cấp)  C  29   ydx  xy  x dy  Nghiệm tổng quát 2) 3) x  ln y  C y (phương trình đẳng cấp) Một phản ứng hóa học biến chất A thành chất B Tốc độ phản ứng thời điểm tỷ lệ với tích khối lượng chất A chất B thời điểm Tại thời điểm bắt đầu thí nghiệm có 800g chất A 200g chất B Sau chất A 400g Sau chất A Sau chất A biến đổi hoàn toàn thành chất B Giải  Gọi y  t  khối lượng chất A ( kg ) thời điểm t (giờ) thì: y '  ky 1  y   Giải pt biến số phân ly ta được:  Điều kiện đầu: y    0,8  C   y   Điều kiện bổ sung: y    0,  k  ln  0,8959 Vậy: Sau chất A còn: y     0,1 kg Khi t   khối lượng chất A y  Cekt 1 y 4  e  kt y  Khi t  24 h y  2.109 kg  0,000002 g Một bình nước nóng giảm từ 900 xuống 500 vòng 30 phút Hỏi giảm xuống 300 Biết nhiệt độ không khí 20 Giải  Gọi y  t  nhiệt độ nước bình thời điểm t (phút) Theo quy luật Newton: tốc độ giảm y tỷ lệ với độ chênh lệch nhiệt độ nước bình nhiệt độ không khí: y '  k  y  20   Giải pt biến số phân ly với điều kiện đầu y    90 ta nghiệm riêng: 24 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai y  20  70ekt 7) 3 ln  0,0282 30    Từ điều kiện bổ sung y  30   50 ta tính được: k   Giải phương trình y  t   20  70ekt  30 ta tìm được: t  1 ln    68,90 (phút) k 7 Giả thiết ống cấy vi khuẩn có 400 vi khuẩn xuất cuối thứ 1600 vi khuẩn xuất cuối thứ Hãy tìm: Số vi khuẩn lúc bắt đầu thí nghiệm? Sau số vi khuẩn lên tới 16 000 Giải (Đề không nói rõ số lượng vi khuẩn tăng trưởng theo quy luật nào, với điều kiện cho, ta áp dụng mô hình tăng trưởng tự nhiên (Natural equation (Mô hình Malthusion))  Gọi số lượng vi khuẩn thời điểm t y  t  (đơn vị t giờ) Ta có phương trình: 9) y '  ky  y  Cekt  Từ đk đầu y 1  400 đk bổ sung y    1600 ta tính được: C  100; k  ln  Giải phương trình: 16000  100et  ln 4  t  ln160  3,66 (giờ) ln Giải phương trình vi phân cấp sau: y '' y ' y  sin x ; Nghiệm tổng quát: y  C1 cos x  C2 sin x  e x y  C1 cos x  C2 sin x  3x 1 e  x  x 13 4 y '' y ' y  xe x  x 2e x   1  y  e 2 x  C1  C2 x   e x  x    e x   x  x   27  16 128  9  16 Nghiệm tổng quát: 11 cos x  sin x 74 74 y '' y  e3 x  x  x Nghiệm tổng quát: y  C1e x  C2e6 x  y '' y  e x  x  1 Nghiệm tổng quát: cos x  sin x 17 17 y '' y ' y  sin x Nghiệm tổng quát: y  e x  C1 cos x  C2 sin x   y '' y '  e x x  x    Nghiệm tổng quát: y  C1e x  C2   x  x  e x ; Nghiệm riêng: y  e2 x   x  x  e x biết y    2; y '        25 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 15 17 y '' y  sin x  cos x biết y    0; y '    Nghiệm tổng quát: x x y  C1 cos x  C2 sin x  cos x  sin x ; 4 Nghiệm riêng: x x y  sin x  cos x  sin x 4 y '' y  sin x  2cos x ; x y  C1 cos x  C2 sin x  cos x  x sin x Nghiệm tổng quát: 19   y '' y '  sin x  x  x  e x   1  y  C1  C2e x    cos x  sin x   e x  x  x   2     Nghiệm tổng quát: 21 y '' y ' y  sin x Nghiệm tổng quát:  x      1  y '  e  C1 cos  x   C2 sin  x      cos x  sin x           Hd: Viết 23 sin x  1  cos x 2 áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm y '' y ' y  x  sin x Nghiệm tổng quát:     y  C1e6 x  C2e  x    x     cos x  sin x  36   74 74   Hd: Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm với f1  x   x; f  x   sin x 26 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai Chuỗi số chuỗi lũy thừa Chương 1) Tìm tổng riêng Sn từ tìm tổng chuỗi sau  1  n  n  1 n   Đs: 3n  2n  6n n 1 Đs: 1,5 n 1 1 1    n n  n  1 n   2n n   n   Hd:  2) Chứng tỏ chuỗi sau phân kỳ  n  100n  Hd: lim un  n 1  3)  n     n  1 n   n Hd: lim un     2n  1 2 n 1 Hd: lim un 1 Hd: lim un 1 n 1   n 1 n un un  1 Dùng tiêu chuẩn Đa lăm be khảo sát chuỗi sau  1   2n  1! Hd: lim n 1  n sin n 1 5) e Dùng tiêu chuẩn so sánh khảo sát chuỗi sau 4) 100  n un 1 un 0 Hd: lim un   Dùng tiêu chuẩn tích phân khảo sát chuỗi sau  1   n  1 ln  n  1   n ln n  x ln Đs: phân kỳ Hd:  x ln x dx  ln  ln x   C n 1  6) Chứng minh chuỗi   1 n 1 C ln x Hd: n 1 Đs: hội tụ n 1 x dx   1 hội tụ tính tổng xác tới 0,01 nn Hướng dẫn  Đây chuỗi đan dấu thỏa định lý Leibniz nên hội tụ  Xấp xỉ S  K   1 n1 n 1  1 n 1 sai số R   1 n có RK   K n K 1 n n n  K 1  K  1 27 Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 1 1   0,01;   0,01 nên K    K  3 27 256  Ta có  1 85 Vậy: S      0,79 xác đến 0,01 108 n 1  1 n  n n   2n  1  7) Cho chuỗi Cần phải lấy từ để tính tổng xác tới 0,01? Đs: Tương tự 6, ta cần lấy số hạng S  8) 19  0,05 (Giá trị xác: S  0,0535) 375 Khảo sát hội tụ chuỗi sau:  sin na n n 1     1 Đs: n 1 n 1 9) n 1 n hội tụ Hd: un  2n Đs: phân kỳ Tìm miền hội tụ chuỗi sau   n! x n Đs chuỗi phân kỳ  x  n 0   n 1  x  1 n.2n xn  n  n! n Đs: Miền hội tụ: 1  x  Hd: đặt x   t  Đs: Miền hội tụ:  28 [...]... y ) x x y y Hướng dẫn: Đặt g ( x, y )  y x  f f ( x, y )  x x2 5) 2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số: y 3) H3 Cho hàm số f  x, y   ln g y ln y y   2 yx; x x y  y  cot  ln x  x2  y 2  x x2  y2  x g 1  ln y yx  y y x f ( x, y )  y  f y ;   1  ln y  cot  x  x  y Hãy tính f x 1; 1 ; f y 1; 1 20 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn... ga cách điểm C một khoảng là bao nhiêu để thời gian đi 14 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai lại giữa A và B là nhỏ nhất, nếu tốc độ chuyển động trên đường sắt là 52km/h và tốc độ chuyển động trên đường nhựa là 20km/h Giải  Tương tự như bài 43 Đặt x  CM (km) Ta có hàm mục tiêu (thời gian đi B.. .Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 13) 14) Áp dụng vi phân tính gần đúng: Hd: Xét f  x   3 x tại x0  1; x  0,02 1 3 3 arcsin 0,02 0,98 Hd: Xét f  x   arcsin x tại x0  0; x  0,02 Chứng minh: 1 ab ab  tan a  tan b  2 cos b cos 2b   (*)  0  b  a   2  Hướng dẫn  3... 2  3 f ( x, y )  e  ( x 2  y2 ) (2 x 2  3 y 2 ) Hướng dẫn   f  x, y   0 x, y Dấu "=" khi  x, y    0,0  nên f có cực tiểu (tuyệt đối) tại  0, 0  Đặt u  x 2  0; v  y 2  0 thì f  F  u , v   e  u  v   2u  3v  Hệ pt Fu  0; Fv  0 vô nghiệm nên F không có cực trị  u  0; v  0 21 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website:...  1) 2 2 2 19  y  2 y'  x  y  2  x2 y x 1 1 Y  y  2 Y2 Hd: Đặt   phương trình đẳng cấp Y '  XY  X 2 X  x Nghiệm tổng quát: 21 y2  ln y  2  C  0 x x2 y '  y x2  y 2 Tích phân tổng quát: x  x 2  y 2  Cx 2  0 (phương trình đẳng cấp) 23 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai... 300 Biết nhiệt độ không khí là 20 0 Giải  Gọi y  t  là nhiệt độ nước trong bình tại thời điểm t (phút) Theo quy luật Newton: tốc độ giảm của y tỷ lệ với độ chênh lệch giữa nhiệt độ nước trong bình và nhiệt độ không khí: y '  k  y  20   Giải pt biến số phân ly này với điều kiện đầu y  0   90 ta được nghiệm riêng: 24 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn... Hd: n 1 2 1 Đs: hội tụ n 1 2 x dx   1 1 hội tụ và tính tổng của nó chính xác tới 0,01 nn Hướng dẫn  Đây là chuỗi đan dấu thỏa định lý Leibniz nên hội tụ  Xấp xỉ S  K   1 n1 n 1  1 1 n 1 1 thì sai số là R   1 n có RK   K n K 1 n n n  K 1  K  1 27 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai... y2 y x 1 0 x (ln x  x  C ) x 1 x0 (Phương trình tuyến tính) 1 Hd: 22 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai a  b  0 Nghiệm của hệ phương trình  là  a; b    1; 1 nên đặt a  b  2  0  phương trình đẳng cấp: Y '  x  X 1   y  Y 1 X Y X Y  Tích phân tổng quát: ( x  1)... đối diện với A qua dòng sông là 4800m Biết người đó có thể bơi với vận tốc 3200m/s và đi bộ với với vận tốc 4800m/s Hãy xây dựng phương án để người đó tới B với thời gian nhỏ nhất Giải 13 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai  Giả sử hành trình của người đó là: A  C  B Gọi x là khoảng cách HC (km)... (0, x0 ) (đpcm) 17) Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng với mọi x  0 1 ( x  1)ln( x  1)  arctan x Giải Xét hàm f ( x)  ( x  1) ln( x  1)  arctan x với x  [0, ) có 11 Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp – Giải tích GV: Nguyễn Hải, Email: nhhai@vnua.edu.vn Website: http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/nhhai 1 x2  ln( x  1)   0 x  0 x2  1 x2  1 Vậy f đồng biến trên [0, )  f ( ... nhiên vận tốc lúc tiếp đất 112 v  t   32t  112  v 1  80; v    16 (vận tốc < ứng với giai đoạn vật rơi trở lại) a  t   32  const 43) ft (đề ngụ ý không tính lực cản không khí)