Bài tập toán cao cấp ánh xạ tuyến tính

Tài liệu,Thư viện tài liệu, tài liệu online, tài liệu trực tuyến, tài liệu hay, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, luận văn tốt nghiệp, đồ án tốt nghiệp, bài giảng, giáo án, luận văn, đồ án, giáo trình, chuyên đề, đề tài, Tài liệu miễn phí, Thư viện số, Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, ebook, báo cáo thực tập, Slide bài giảng, Tài liệu hay, Tài liệu online, Tài liệu học tập, Tài liệu chia sẽ, Download tài liệu, Tài liệu download

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

Bài tập đại số áp dụng từ k60

(Kiểm tra giữa kỳ chung toàn khóa: Tự luận, 60 phút, sau khi học tám tuần, hệ số 0,3, nội dung : Các

chương 1 và 2)

Chương I Tập hợp – Logic – Ánh xạ - Cấu trúc đại số - Số phức

Bài 1 Lập bảng giá trị chân lý của các biểu thức mệnh đề sau

a) ABCC b) AB C B

Bài 2 Chứng minh các mệnh đề sau đây là đúng :

a) AACC

b) AB  BCAC

c) AABB d) AB  AC  BCC

Bài 3 Chứng minh rằng:

a) ABvà ABAB là tương đương logic

b) ABC và ABC không tương đương logic

c) AB và AB là tương đương logic

Bài 4 Cho A là tập hợp con của tập số thực, cận dưới đúng x của A kí hiệu 0 Inf(A) = x có thể xác định bởi 0 mệnh đề sau: “ Với mọi x trong A có x0xvà với x1 có tính chất là x1xvới mọi x trong A thì suy ra

x x ” Hãy dùng các kí hiệu để diễn tả mệnh đề trên và mệnh đề phủ định của nó Từ đó đưa ra cách chứng minh một số không phải là Inf(A)

Bài 5 Giả sử f (x), g(x) là các hàm số xác định trên  Kí hiệu Axf (x)0, Bxg(x)0 Xác định tập nghiệm phương trình:

C x x 5x 6 0 Xác định tập hợp sau: ABC và ABC

Bài 7 Cho A, B, C là các tập hợp bất kì, chứng minh:

a) AB \ C  AB \ A  C b) AB \ AAB

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

Bài 8 Cho hai ánh xạ

 

1 x

x



g :

2x x

1 x





a) Ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh Tìm g( )

b) Xác định ánh xạ h  g f

Bài 9 Chứng minh các tính chất của ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ f: X Y

a) f (AB)f (A)f (B); A, BX

b) f (AB)f (A)f (B); A, BX.Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không đúng

f (A B)f (A) f (B); A, B Y d) f (A1 B)f (A)1 f (B); A, B1 Y

f (A \ B) f (A) \ f (B); A, B  Y

f) Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi f (AB)f (A)f (B); A, B X

Bài 10 Cho ánh xạ f :    xác định bởi   2

Xác định các tập hợp f(A), f-1(A)

Bài 11 Cho Gf , f , f , f , f , f1 2 3 4 5 6là tập các ánh xạ từ \ 0;1 \ 0;1 xác định như sau:

Chứng minh G cùng với phép toán là phép hợp thành tích ánh xạ lập thành một nhóm không Abel

Bài 12 Nêu rõ các tập sau với các phép toán thông thường các lập thành một vành, trường không?

a) Tập các số nguyên lẻ

b) Tập các số nguyên chẵn

c) Tập các số hữu tỉ

d) Xab 2 a, b  

e) Yab 3 a, b  

Bài 13 Viết các số phức sau dưới dạng chính tắc:

(1 i 3) b) 81 i 3 c)

21 13

(1 i) (1 i)



 d)

(2 i 12) ( 3 i)

Bài 14 Tìm nghiệm phức của phương trình sau:

a) 2

z    b) z 1 0 z22iz 5 0 c) 4 2

z 3iz 40

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

z 7z  8 0 e)

4 4

(z i)

1 (z i)





 f)

8

z ( 3i)  g) 1 i 2

z (7 i)z 14 5i    0

z

z

Bài 16

a) Tính tổng các căn bậc n của 1

b) Tính tổng các căn bậc n của số phức z bất kỳ

n 1 m k

k 0





Bài 17 Cho phương trình

9

0 x



a) Tìm các nghiệm của phương trình trên

b) Tính môđun của các nghiệm

c) Tính tích của các nghiệm từ đó tính

8

k 1

k sin 9





Bài 18 Tìm nghiệm phức của phương trình sau:

a) 7

3

1024

z

z

 b) 4

z  z z

Bài 19 Cho x, y, z là các số phức có môđun bằng 1 So sánh môđun của các số phức x + y + z và xy + yz + zx

Chương II

Ma trận - Định thức - Hệ phương trình

Bài 1 Cho các ma trận

Tính các ma trận : A+BC, AtB-C, A(BC), (A+3B)(B-C)

Bài 2 Tìm ma trận X thoả mãn:



ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

b)

1

2

Bài 3 Cho ma trận



và hàm số f (x)3x22x 5 Tính f(A)

Tính n

A b) Cho



Tính n

A

Bài 5 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 thoả mãn:

X

b) 2 1 0

X

0 1

thoả mãn phương trình sau: 2

x (ad)xadbc 0

b) Chứng minh với A là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn thì k

A  0

Bài 7 Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:

a)

b)

2 2 2

 c)

Bài 8 Tính các định thức sau:

a)

A





2 2

c)

C



ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

d)

2

2

D





 e)

E











Bài 9 Chứng minh nếu A là ma trận phản xứng cấp n lẻ thì det(A)=0

Bài 10 Tìm hạng của các ma trận sau:

a)

A





b)





Bài 11 Biện luận theo a hạng của ma trận sau:

a)

A



b)

B





Bài 12 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

b)



c)

C





Bài 13 Chứng minh rằng ma trận A vuông cấp n thoả mãn a Ak k ak 1Ak 1 a A1 a E0 0, (a00) thì A là

ma trận khả nghịch

Bài 14 Cho

2 12 10

B C

Bài 15 Giải hệ phương trình sau:

a)









b)









ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

c)









d)













e)













Bài 16 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a)













b)









c)











Bài 17 Giải và biện luận các hệ phương trình :

a)

2









b)









c)

2

2

3







p(x)ax bx cx thoả mãn p(1) = 0; p(-1) = 4 ; p(2) = 5; p(-2) = -15 d

Bài 19 Cho phương trình ma trận:



a) Giải phương trình khi a = 0 b) Tìm a để phương trình có vô số nghiệm

Bài 20 Cho hệ phương trình











a) Giải hệ phương trình khi m = 2, k = 5

b) Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất

b) Tìm điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

Chương III Không gian véc tơ

Một vài ký hiệu thường gặp:

n

P x  a a xa x a , i 0, n

m n

M  = tập các ma trận kích thước mxn Đặc biệt M là tập các ma trận vuông cấp n n

Bài 1 Tập V với các phép toán có phải là không gian véc tơ không?

a) V(x, y, z) x, y, z  với các phép toán xác định như sau

(x, y, z) (x ', y ', z ') (x x ', y y ', z z ') k(x, y, z) ( k x, k y, k z)



V x(x , x ) x 0, x 0   với các phép toán xác định như sau:

k(x , x )(x , x ) trong đó k là số thực bất kỳ

Bài 2 Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của

chúng:

b) Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 (hệ số của x )của KGVT Pn[x]

c) Tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n

d) Tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n

e) Tập các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n (aij aji)

f) Tập các hàm khả vi trong không gian các hàm số xác định trên [a,b]

Bài 3 Cho V , V là hai không gian véc tơ con của KGVT V Chứng minh: 1 2

a) V1V2 là KGVT con của V

b) Cho V1V :2 u1u u2 1V , u1 2V2 Chứng minh V1V2 là KGVT con của V

Bài 4 Cho V , V là hai không gian véc tơ con của KGVT V Ta nói 1 2 V , V là bù nhau nếu 1 2

 

V V V, V V   Chứng minh rằng V , V bù nhau khi và chỉ khi mọi véc tơ u của V có biểu diễn 1 2 duy nhất dưới dạng uu1u , (u2 1V , u1 2V )2

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

Bài 5 Cho V là KGVT các hàm số xác định trên [a,b] Đặt

 

1

V  f (x)V f (x)f ( x), x   a, b ; V2 f (x)V f (x)  f ( x), x a, b 

Chứng minh V , V là bù nhau 1 2

Bài 6 Cho V , V là hai không gian véc tơ con của KGVT V, 1 2 v , v ,1 2 , vm là hệ sinh của V , 1 u , u ,1 2 , un

là hệ sinh của V Chứng minh 2 v ,1 , v , u , u ,m 1 2 , unlà hệ sinh của V1V2

Bài 7 Trong KGVT V, cho hệ véctơ u , u ,1 2 , u , un n 1 là phụ thuộc tuyến tính và u , u ,1 2 , unlà hệ độc lập tuyến tính Chứng minh un 1 là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u , u ,1 2 , un

Bài 8 Trong  xét xem các hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: 3

a) v1(1; 2;3), v2 (3; 6; 7)

b) v14; 2; 6 , v  2  ( 6; 3; 9)

c) v1(2;3; 1), v 2(3; 1;5), v 3   1;3; 4 

Bài 9 Trong  , chứng minh 3 v1(1;1;1), v2 (1;1; 2), v31; 2;3 lập thành một cơ sở Xác định ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở trên và tìm toạ độ của x(6;9;14) đối với cơ sở trên theo hai cách trực tiếp và dùng công thức đổi tọa độ

Bài 10 Trong các trường hợp sau, chứng minh Bv , v , v1 2 3 là một cơ sở của  và tìm 3  v B biết rằng: a) v1(2;1;1), v2(6; 2;0), v3 (7; 0; 7), v15;3;1

b) v1(0;1;1), v2(2; 3; 0), v3 1; 0;1 , v (2;3; 0)

Bài 11 Tìm cơ sở và số chiều của KGVT sinh bởi hệ véc tơ sau:

a) v1(2;1;3; 4), v2 (1; 2; 0;1), v3 ( 1;1; 3; 0) trong  4

b) v1(2; 0;1; 3; 1), v 2 (1;1; 0; 1;1), v 3(0; 2;1; 5; 3), v  4(1; 3; 2;9; 5)  trong  5

Bài 12 Trong  cho các véc tơ : 4 v1(1; 0;1; 0), v2 (0;1; 1;1), v 3(1;1;1; 2), v4 (0; 0;1;1) Đặt

V span{v , v }, V span{v , v } Tìm cơ sở và số chiều của các KGVT V1V , V2 1V2

v 1, v  1 x, v xx , v x x a) Chứng minh Bv , v , v , v1 2 3 4là một cơ sở của P x 3 

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

va a xa x a x đối với cơ sở trên

Bài 14 Cho KGVT P x với cơ sở chính tắc 3   2 3

B 1, ax, (ax) , (ax) Tìm

v2 2x x 3x đối với cơ sở B

1

2

1

v 2x3x ,

4

v   1 xx 2x

a) Tìm hạng của hệ véc tơ b) Tìm một cơ sở của không gian span v v v v{ ,1 2, , }3 4

Bài 16 Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau:

a)











b)









Bài 17 Cho A,B là các không gian hữu hạn chiều Chứng minh dim(A B) dim(A) dim(B) dim(A  B)

Chương IV Ánh xạ tuyến tính

Bài 1 Cho ánh xạ f :3  xác định bởi công thức 2 f (x , x , x )1 2 3 (3x1x2x , 2x3 1x )3

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc

c) Tìm một cơ sở của kerf

f :  xác định bởi công thức f (x , x , x )1 2 3 (x1x , x2 2x , x3 3x , x1 1x2x )3 a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc

Bài 3 Cho ánh xạ đạo hàm D : P xn P xn  xác định bởi

a) Chứng minh D là ánh xạ tuyến tính

E 1, x, x ,, x c) Xác định kerf và imf

2.

f (p) p x p, p P x

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

1

2

E  1, x, x , x , x của

 

4

P x

1

2

E  1, x, x , x , x của

 

4

P x

Bài 5 Xét  giống như tập các véc tơ thông thường trong mặt phẳng có gốc ở gốc tọa độ Cho f là phép quay 2 một góc .Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của  2



a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

của M2

Bài 7 Cho





là ma trận của axtt f : P x2 P x2  đối với cơ sở Bv , v , v1 2 3 trong đó:

v 3x3x , v   1 3x2x , v  3 7x2x

a) Tìm f (v ), f (v ), f (v ) b) Tìm 1 2 3 2

f (1 x )

Bài 8 Cho ánh xạ f :3 xác định bởi 3 f x , x , x 1 2 3(x1x2x , x3 1x2x , x3  1x2x )3 Tìm ma trận của f đối với cơ sở Bv1(1;0;0), v2 (1;1;0), v3(1;1;1) 

V Hom(V, R)={f: V  R, f là ánh xạ tuyến tính}

Giả sử V có cơ sở {e1,e2, ,en} Xét tập hợp {f1,f2, ,fn} *

V





 





Chứng minh {f1,f2, ,fn} là cơ sở của V*, và được gọi là cơ sở đối ngẫu ứng với {e1,e2, ,en}

Bài 10 Cho A là ma trận vuông cấp n Ta xác định ánh xạ f : MA n Mn như sau f (X)A AX

a) Chứng minh f là biến đổi tuyến tính A

b) Giả sử det(A) Chứng minh 0 fAlà đẳng cấu tuyến tính

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của A M là 2

Bài 11 Cho ma trận





f :  đối với cặp cơ sở

 1 2 3 4

B v , v , v , v của  và 4 B 'u , u , u1 2 3của  trong đó : 3

v (0;1;1;1), v (2;1; 1; 1), v  (1; 4; 1; 2), v (6;9; 4; 2) và u1 (0;8;8), u2  ( 7;8;1), u3 ( 6; 9;1) a) Tìm f (v )1  B', f (v )2  B', f (v )3  B', f (v )4 B'

b) Tìm f (v ), f (v ), f (v ), f (v )1 2 3 4

c) Tìm f (2; 2; 0; 0)

Bài 12 Cho toán tử tuyến tính trên [ ] xác định bởi:

Tìm ma trận của đối với cơ sở chính tắc của [ ] và tìm ( )

Bài 13 Cho V,V' là 2 KGVT n chiều và f : VV ' là ánh xạ tuyến tính Chứng minh các khẳng định sau tương đương:

a) f là đơn ánh b) f là toàn ánh c) f là song ánh

Bài 14 Tìm các giá trị riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận:

b) B 10 9



c)



d)

 

e)



f)

F



Bài 15 Cho ánh xạ tuyến tính f : P x2 P x2  xác định như sau:

f (a a xa x )(5a 6a 2a ) (a 8a )x(a 2a )x

a) Tìm giá trị riêng của f

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

b) Tìm các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng tìm được

Bài 16 Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P-1AP khi đó với:

20 17



b) B 1 0

c)



d)





Bài 17 Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có , tìm ma trận cheo đó:

a)

 

b)



c)



Bài 18 Cho ánh xạ tuyến tính f :3 xác định như sau: 3

f (x , x , x )(2x x x , x x , x x 2x ) Hãy tìm cơ sở để f có dạng chéo

f :  có dạng chéo trong đó

f (x , x , x )(2x x x , x 2x x , x x 2x )

Bài 20 Cho f : VVlà toán tử tuyến tính Giả sử 2

f f f : V V có giá trị riêng 2

 Chứng minh một trong 2 giá trị  hoặc  là giá trị riêng của f

Bài 21 Cho D : P xn P xn  là ánh xạ đạo hàm, còn g : P [x]n P [x]n xác định bởi

g(a a xa x a x )(2x3)(a 2a xna x  ) Tìm các giá trị riêng của D và g

Bài 22 Cho A là ma trận kích thước m n , B là ma trận kích thước n p Chứng minh

rank(AB)min rank(A), rank(B) , với rank(A) = hạng của ma trận A

Chương V Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclide, đường mặt bậc hai

Bài 1 Cho f là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ 3 chiều V có ma trận đối với cơ sở = { , , }

là



Cho h : VV là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở B là



ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

b) Chứng minh ánh xạ g(u, v)f u, h(v)  là dạng song tuyến tính trên V Tìm ma trận của nó đối với cơ

sở B

Bài 2 Cho dạng song tuyến tính trên [ ] xác định bởi ( ), ( ) = (1) (2) Tìm ma trận và biểu thức của đối với cơ sở chính tắc

Bài 3 Trên  cho các dạng toàn phương 3  có biểu thức tọa độ:

1(x , x , x )1 2 3 x1 5x2 4x3 2x x1 2 4x x1 3

a) Bằng phương pháp Lagrange, đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

b) Xét xem các dạng toàn phương xác định dương , âm không?

Bài 4 Xác định a để các dạng toàn phương xác định dương:

Bài 5 Cho dạng song tuyến tính trên ℝ xác định bởi:

( là tham số) Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở chính tắc của ℝ và tìm điều kiện của

để dạng song tuyến tính là một tích vô hướng trên ℝ

Bài 6 Trong  trang bị một dạng song tuyến tính như sau: 3

t

f (x, y)(x , x , x )A(y , y , y ) với:

2



và x(x , x , x ), y1 2 3 (y , y , y )1 2 3 Xác định a để

f(x,y) là một tích vô hướng trên  3

Bài 7 Cho V là không gían Euclide Chứng minh:

b) uv uv 2  u 2 v , u, v2  V

Bài 8 Giả sử V là KGVT n chiều với cơ sở Be , e , , e1 2 n Với u, v là các véc tơ của V ta có

ua e a e a e ; vb e b e b e Đặt u, va b1 1a b2 2a bn n

a) Chứng minh u, v là một tích vô hướng trên V

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

V   , với e11;0;1 , e 2 1;1; 1 , e  30;1;1 , u 2; 1; 2 , v   2;0;5 Tính u, v

B 1; x; x , u 2 3x , v 6 3x 3x Tính u, v

B 1 x; 2x; x x , u2 3x , v  6 3x 3x Tính

u, v

Bài 9 Xét không gian P x3  Kiểm tra các dạng p, q sau có phải là tích vô hướng hay không?

a)p, qp(0)q(0)p(1)q(1)p(2)q(2)

b) p, qp(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2)  p(3)q(3)

c)

1

1



Trong trường hợp là tích vô hướng tính p, q với p 2 3x 5x 2x q3  4 x 3x 22x3

Bài 10 Cho cơ sở = {(1; 1; −2), (2; 0; 1), (1; 2; 3)} trong không gian ℝ với tích vô hướng chính tắc Trực giao hóa Gram-Schmidt cơ sở để thu được cơ sở trực chuẩn và tìm tọa độ của véc tơ = (5; 8; 6) đối với

cơ sở

Bài 11 Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ u lên không gian sinh bởi véc tơ v:

a) u1;3; 2; 4 , v  2; 2; 4;5 

b) u4;1; 2;3; 3 , v     1; 2;5;1; 4

Bài 12 Cho không gian ℝ với tích vô hướng chính tắc và các véc tơ = (3; −2; 1), = (2; 2; 1), =

Bài 13 Cho  với tích vô hướng chính tắc Cho 4 u16; 3; 3; 6 , u  25;1; 3;1  Tìm cơ sở trực chuẩn của không gian sinh bỡi u , u1 2

Bài 14 Trong P x định nghĩa tích vô hướng 2 

1

1



B 1; x; x để nhân được cơ sở trực chuẩn A