Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính (2019)

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, ma trận của ánh xạ tuyến tính, giá trị riêng và vecto riêng, đa thức đặc trưng, không gian con riêng,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

10/11/2019 KHÁI NIỆM Một ánh xạ f : Rn  Rm gọi tuyến tính thỏa mãn: f ( x  y )  f ( x)  f ( y ), x, y  R n f ( x)   f ( x), x  R n ,   R ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 10/10/2019 VÍ DỤ 10/10/2019 VÍ DỤ Kiểm tra điều kiện Đối với điều kiện thứ ta kiểm tra tương tự Kết luận: f ánh xạ tuyến tính 10/10/2019 VÍ DỤ 10/10/2019 MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH f : Rn  Rm Các ánh xạ sau có phải ánh xạ tuyến tính hay khơng? a) f : R  R , f ( x, y )  ( 2 x  y;6 x  y ) b) f : R  R , f ( x, y )  ( 2 x  y;6 x  y  5)  A ,   f 1   10/10/2019 10/10/2019  f     f  n    10/11/2019 XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F VÍ DỤ f : R3  R , f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  3x3 ,2 x1  x3 ) E  (1,1,1);(1,0,1);(1,1,0) F  (1,1);(1,2)  f  x     A ,  x  10/10/2019 GIẢI 10/10/2019 VÍ DỤ f : R3  R , f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x3 , x1  x2 ,  x2  x3 ) ( )  1  (1,1,1);  (1,1,2);  (1,2,3) (  )  1  (0,1,1);   (1,0,1); 3  (1,1,0) Ma trận cần tìm: 10/10/2019 VÍ DỤ 10 VÍ DỤ f :R R , n f ( x1 , x2 , 10/10/2019 , xn )  (a11x1  a12 x2  , m  a1n xn , a21x1  a22 x2  , am1 x1  am x2   a2 n xn ,  amn xn ) Cho ánh xạ tuyến tính: f : R  R Biết ma trận f cặp sở: E  1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0  Là: 2 AE , F   0 F  1,1 ,  2,1  3  A) Tìm f(3,1,5) B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3) 10/10/2019 11 10/10/2019 12 10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua sở (E) 10/10/2019 13 VÍ DỤ 10/10/2019 14 VÍ DỤ Cho ánh xạ tuyến tính: f : R3  R3 f  x   f  x1 , x2 , x3    x1  x2  x3 ,2 x1  x2  x3 ,3x1  x2  x3  A) Tìm f(2,1,5) B) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở: E  1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2  C) Tính f(2,1,5) theo cơng thức so sánh với a) 10/10/2019 15 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG  a11 a12 a a22 A   21    an1 an 10/10/2019 16 VÍ DỤ a1n  a2 n     ann  A.x  .x 10/10/2019 17 10/10/2019 18 10/11/2019 VÍ DỤ GIÁ TRỊ RIÊNG – VEC TƠ RIÊNG 10/10/2019 19 ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG PA ( )  10/10/2019 20 TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG a11   a21 a12 a22   a1n a2 n an1 an ann   PA ( )  10/10/2019 21 KHÔNG GIAN CON RIÊNG 10/10/2019 10/10/2019 22 BỘI ĐẠI SỐ - BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG 23 10/10/2019 24 10/11/2019 3 1 2   1 3 VÍ DỤ 10 Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng ma trận A   10/10/2019 25 VÍ DỤ 10 10/10/2019 VÍ DỤ 11 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng ma trận Định lý Các vec tơ riêng ứng với giá trị riêng khác độc lập tuyến tính 2  A   1     10/10/2019 27 CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VNG 10/10/2019 26 28 CHÉO HĨA MA TRẬN - Tìm véc tơ riêng độc lập tuyến tính A - Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ n  ma trận A khơng chéo hóa - Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính A chéo hóa Ma trận T cần tìm ma trận mà cột T véc tơ riêng độc lập tuyến tính T 1 AT  D Định lý Ma trận A vng cấp n chéo hóa bội hình học giá trị riêng ln bội đại số chúng 10/10/2019 29 10/10/2019 30 10/11/2019 VÍ DỤ 12 VÍ DỤ 13 Hãy chéo hóa ma trận sau Ma trận sau chéo hóa được? 1 A   3 3   3 1 B   7 1    6 2  5 6 A     4 4 5 10/10/2019 31 VÍ DỤ 13 5 3  3   10/10/2019 32 VÍ DỤ 13 10/10/2019 33 10/10/2019 34 VÍ DỤ 14 VÍ DỤ 15 Hãy chéo hóa ma trận sau A) Hãy chéo hóa ma trận A được: 2 A   4 3  6 3  3   B) Tính A100 5 0 0 0 0  A  3     1 2 3  Giải 10/10/2019 35 10/10/2019 36 10/11/2019 VÍ DỤ 15 VÍ DỤ 15 B) Ta có: Sinh viên tự tính kết sau 10/10/2019 37 VÍ DỤ 16 10/10/2019 10/10/2019 38 MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO 39 10/10/2019 40 ĐỊNH LÝ MA TRẬN ĐỐI XỨNG – MA TRẬN TRỰC GIAO Chú ý - Ma trận vng tùy ý chưa chéo hóa - Ma trận đối xứng thực ln chéo hóa ma trận trực giao P - Ma trận chéo hóa trực giao đối xứng 10/10/2019 41 10/10/2019 42 10/11/2019 CÁC BƯỚC CHÉO HĨA TRỰC GIAO VÍ DỤ Chú ý Ma trận đối xứng thực ln chéo hóa nên khơng cần kiểm tra Để tìm sở trực chuẩn ta chọn sở tùy ý dùng trình Gram-Schmidt 10/10/2019 43 10/10/2019 44 45 10/10/2019 46 VÍ DỤ 10/10/2019 DẠNG TỒN PHƯƠNG Định nghĩa Dạng tồn phương khơng gian Rn hàm số thực: f: n Được xác định bởi: f x xT Ax, x1 x x2 n xn Với A ma trận đối xứng (thực) gọi ma trận dạng tồn phương (trong sở tắc) 10/10/2019 47 10/10/2019 48 10/11/2019 DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG R3 VÍ DỤ Cho: x1 x A x2 Thường ghi dạng sau: f x f x1, x2 , x3 Ax12 Bx22 Cx32 2Dx1x2 2Ex2 x3 2Fx3 x1 Ta có dạng tồn phương R2 Ma tận dạng toàn phương: T x1 T x12 x Ax x Ax x2 3x1x2 3 x1 2 3x1x2 x2 x22 x1 3x2 3x1 x2 2 x12 x1x2 x1 x2 M x22 Dễ thấy: Nhận xét phần tử A hệ số dạng tồn phương 10/10/2019 f x 49 VÍ DỤ A D F D B E A x1 x2 x3 D F F E C D B E 10/10/2019 F x1 E x2 C x3 xT Mx 50 DẠNG CHÍNH TẮC Cho dạng toàn phương R3 q( x)  x12  3x22  x32  x1 x2  x2 x3  x1 x3 Tìm ma trận A q(x) Đáp án    A         3    1   10/10/2019 51 DẠNG CHÍNH TẮC 10/10/2019 52 ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Bằng phép biến đổi trực giao Trong dạng tắc, số hạng có dạng bình phương Ma trận A dạng tồn phương ban đầu ma trận xét sở tắc Ma trận D ma trận dạng toàn phương xét sở khác (cơ sở trực giao) 10/10/2019 53 10/10/2019 54 10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Ma trận dạng tồn phương: Chéo hóa ma trận trực giao: 10/10/2019 55 VÍ DỤ 56 ĐƯA VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Dạng tắc cần tìm: Phép biến đổi Lagrange f  y1 , y2 , y3   y12  y22  y32 - Sử dụng phép biến đổi không suy biến đưa dạng tồn phương dạng tắc - Dễ thực dùng phép biến đổi sơ cấp, khơng cần tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận Phép biến đổi cần tìm:  x1   y1      x  Py   x2   P  y2  x  y   3  3 10/10/2019 - Cơ sở trực chuẩn nên khó khăn Chú ý Phép biến đổi x=Py gọi không suy biến ma trận P không suy biến 57 PP LAGRANGE xi  yi  y j 10/10/2019 10/10/2019 xk  xk , 10/10/2019 58 VÍ DỤ x j  yi  y j k  i, j 59 10/10/2019 60 10 10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Một cách tương tự: Bước Lập thành dạng tổng bình phương nhóm + Chọn số hạng: + Tạo nhóm: Ta có: + Lập dạng tổng bình phương: Bước Lặp lại cho dạng toàn phương sau: 10/10/2019 14 x2 61 VÍ DỤ 10/10/2019 62 VÍ DỤ Ta có dạng: Phép biến đổi cần tìm: Dạng tồn phương khơng có số hạng bình phương Ta đổi biến trước (chọn 4x1x2): Dạng tắc cần tìm: 10/10/2019 63 VÍ DỤ 10/10/2019 64 DẤU CỦA DẠNG TỒN PHƯƠNG Ta có: f  x   0, x  f  x   0, x  10/10/2019 65 10/10/2019 f  x   0, x x1 : f  x1   f  x   0, x x1 : f  x1   x1 , x2 : f  x1   0, f  x1   66 11 10/11/2019 DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 10/10/2019 LUẬT QUÁN TÍNH 67 ĐỊNH THỨC CON CHÍNH 10/10/2019 68 TIÊU CHUẨN SYLVESTER Ký hiệu định thức chính: 10/10/2019 69 VÍ DỤ 10/10/2019 10/10/2019 70 VÍ DỤ 71 10/10/2019 72 12 10/11/2019 ỨNG DỤNG TRONG ĐƯỜNG BẬC 10/10/2019 VÍ DỤ 73 VÍ DỤ 10/10/2019 74 KIỂM TRA 45PH Hãy chéo hóa ma trận sau (nếu được) A 10/10/2019 75 10/10/2019 1 7 4 B 3 3 76 13 ... 10/10/2019 14 VÍ DỤ Cho ánh xạ tuyến tính: f : R3  R3 f  x   f  x1 , x2 , x3    x1  x2  x3 ,2 x1  x2  x3 ,3x1  x2  x3  A) Tìm f(2,1,5) B) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở: E  1,1,1... lập tuyến tính 2  A   1     10/10/2019 27 CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VNG 10/10/2019 26 28 CHÉO HĨA MA TRẬN - Tìm véc tơ riêng độc lập tuyến tính A - Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính. .. khơng chéo hóa - Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính A chéo hóa Ma trận T cần tìm ma trận mà cột T véc tơ riêng độc lập tuyến tính T 1 AT  D Định lý Ma trận A vng cấp n chéo hóa bội