Bài giảng toán cao cấp chương 5 hoàng mạng dũng

CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ khơng gian véc tơ vào khơng gian véc tơ ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ phép nhân số với véc tơ Nhà toán học Peano (Italia) người đưa khái niệm ánh xạ tuyến tính (1888) 5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.1 Định nghĩa ví dụ Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả mãn với u, v  V,   R:  f (fu(vu))  f (fu()u) f (v) Tương ứng ánh xạ tuyến tính ma trận đẳng cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân số với ma trận phép nhân hai ma trận Hạng ánh xạ tuyến tính hạng ma trận Chính lý nên tốn ma trận, hệ phương trình tuyến tính giải phương pháp ánh xạ tuyến tính ngược lại 10/07/2017 gọi ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt đồng cấu) từ V vào W Khi V  W f gọi tự đồng cấu 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 6) Cho ma trận A   aij  Ví dụ 5.1 :V  W u  0(u )  1) Ánh xạ không 2) Ánh xạ đồng 3) Phép vị tự tỉ số k IdV : V  V u  IdV (u )  u f :V  V u a f (u )  ku T : n  m ( x1 , , x n ) a T ( x1 , , x n )  ( y1 , , y m )  y1   x1       a     ánh xạ tuyến tính Xác định bới    ij     ym   xn  Ngược lại ta chứng minh ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm có dạng 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 7) Phép quay góc  f:   5.1.2 Tính chất f (v )  ( X , Y ) ( x, y)  f ( x, y)  ( X , Y ) Định lý 5.1 Nếu f : V  W ánh xạ tuyến tính  v  ( x, y) (i) f (0)  (ii) với v  V : f (v)   f (v)  n  n  i 1  xivi    xi f (vi ) , X  iY  ei ( x  iy)  (cos  i sin  )( x  iy) (iii) f  X  iY  ( x cos  y sin  )  i( x sin   y cos ) Định lý 5.2  i 1 x1, , xn  , v1, , V Ánh xạ f : V  W ánh xạ tuyến tính  f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) với u, v  V,   R: Vậy phép quay góc  ánh xạ tuyến tính 10/07/2017 Ta kiểm tra đẳng thức Do ánh xạ Ánh xạ 1), 2), 3) ánh xạ tuyến tính; 2), 3) tự đồng cấu; 10/07/2017 mn   x1   x '1    x1   x '1    A              A      A     x    x 'n    xn   x 'n    n f ( u   v)   f (u )   f (v) 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hồn toàn xác định ảnh sở V f , g : V  W hai ánh xạ tuyến tính Hệ 5.4 B  {e1, … , en} sở V Nghĩa với sở B  {e1, … , en} cho trước V Tồn ánh xạ tuyến tính f : V  W cho  Tồn tại: Ví dụ 5.2 Giả sử f : V  W đồng cấu tuyến tính f (ei )  u i , i  1, , n Với v V , giả sử ( x1, , xn ) tọa độ sở v  x1e1   xnen Đặt f (v)  x1u1   xnun W v B , nghĩa f ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (ei )  ui , với i  1, ,n  Duy nhất: Giả sử g : V  W ánh xạ tuyến tính cho g (e )  u , với i i i  1, ,n với v V , v  x1e1   xnen B   e1, , en  sở W Tồn u1, , un V cho f (ui )  ei g f 10/07/2017 Chứng minh f toàn cấu tồn đồng cấu g : W  V cho f  g(v)  v, v W Giả sử f toàn cấu, g (v)  g ( x1e1   xnen )  x1g (e1)   xn g (en )  x1u1   xnun  f (v) Vậy f  g  f (ei )  g (ei ); i  1, , n Khi với hệ véc tơ u1, … , un  W Xét ánh xạ tuyến tính g : W  V xác định g (ei )  ui Vì f  g (ei )  ei ; ei  B f  g  IdW 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1.3 Các phép tốn ánh xạ tuyến tính Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính cơng thức ( f  g )(v)  f (v)  g (v) Ví dụ 5.3: Và phép nhân số với ánh xạ tuyến tính cơng thức Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3  R2 có cơng thức xác định ảnh (kf )(v)  kf (v) f ( x, y, z)  (3x  y  z,4 x  y  z) g ( x, y, z)  (2 x  y  z, x  5z)  f ( x, y, z)  (9 x  15 y  z,12 x  y  18z ) g ( x, y, z)  (4 x  12 y  14 z,2 x  10 z)  (3 f  g )( x, y, z)  (5x  27 y  20 z,10 x  y  8z) 10/07/2017 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ta ký hiệu Trong p( f )  a0 IdV    an f f n  f  f   CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH p(t )  a0    ant n Cho f đa thức bậc n Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính n f  IdV 10 Nhân f f  f Ker f  f 1 0  v V f (v)  0  V v V : v  Ker f  f (v)  n lÇn Ví dụ 5.4: Cho ánh xạ tuyến tính f : R2  R2 có công thức xác định ảnh Ảnh f f ( x, y)  (3x  y,4 x  y) u W : u  Im f  v V : u  f (v) f ( x, y)   3(3x  y)  5(4 x  y),4(3x  y)  (4 x  y)   (11x  20 y,16 x  19 y) Cho đa thức p(t )  50  9t  2t  Hạng f r ( f )  dim Im f Định lý 5.5   p( f )( x, y)  50IdV  f  f ( x, y)  ( x  y, 4 x  y) 10/07/2017 Im f  f (V )   f (v) v V   W Kerf không gian V, Im f kg W 11 10/07/2017 12 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.6 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Với ánh xạ tuyến tính f : V  W ta có S hệ sinh V f (S) hệ sinh Im f dimV  r ( f )  dimKer f Giả sử e1, , em  sở Ker f (khi Ker f  0 m = 0) Đặc biệt B  e1 , , en  sở V Ta bổ sung để e1, , em , em1, , em k  sở V hệ sinh Ta chứng minh  f (em1), , f (em k ) hệ sinh, độc lập tuyến tính Im f (do sở)  u  Im f , v V : u  f (v); v  x1e1   xmem  xm1em1   xm k em k u  f (v)  x1 f (e1)   xm f (em )  xm1 f (em1)   xm k f (em k )  u  xm1 f (em1)   xm k f (em k )  f (e1 ), , f (en ) Im f Do hệ độc lập tuyến tính tối đại  f (e1), , f (en ) sở Im f  y1 f (em1)   yk f (em k )   y1em1   yk em k  Ker f  y1em1   yk em k  z1e1   zmem  y1em1   yk em k  z1e1   zmem   y1   yk  10/07/2017 13 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Sử dụng phương pháp khử Gauss ta Ví dụ 5.5 Xét ánh xạ tuyến tính f : R4  R3 có cơng thức xác định ảnh: f ( x, y, z, t )   x  y  3z  5t ,3x  y  3z  4t , x  3z  6t  Tìm sở Im f, Ker f Từ suy hạng r ( f ) Giải: 14 Hệ phương trình có nghiệm (a, b, c)  Im f  ( x, y, z, t )  : (a, b, c)  f ( x, y, z, t ) 2 x  y 3z 5t  a  3x 2 y 3 z 4t  b x 3z 6t  c  Vậy Im f có sở Hạng r ( f )  10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 16 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.1 Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính 5.3 TỒN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU 5.3.1Toàn cấu B  {e1, … , en} sở V Ánh xạ tuyến tính tồn ánh gọi tồn cấu Có thể chứng minh { f(e1), … , f(en)} hệ sinh Im f hệ độc lập tuyến tính tối đại { f(e1), … , f(en)} sở Im f Ví dụ có hạng r ( f )  Vì ngồi sở (1, 2,0), (0, 1,1) sở Im f (1, 2,0), (0, 1,1) v  ( x, y, z, t )  Ker f (x,y,z,t) nghiệm hệ 2 x  y 3z 5t    x  3z  6t Vậy Ker f có sở 3x 2 y 3z 4t     y  3z  7t (3, 3,1,0), (6, 7,0,1) 3z 6t   x v  (3z  6t , 3z  7t , z, t )  z (3, 3,1,0)  t (6, 7,0,1) 15 hai véc tơ cột ma trận b  2a  c  u  (a, b, c)  Im f  u  (a, 2a  c, c)  a(1, 2,0)  c(0, 1,1) Nói cách khác (a, b, c)  Im f hệ phương trình sau có nghiệm 10/07/2017 c  1 c  1 a  1   2 b   0 1 3 7 a  2c   0 1 3 7 a  2c        1 c  0 1 3 7 b  a  c  0 0 b  2a  c   1   2    1  Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính Ba mệnh đề sau tương đương (i) f toàn cấu (ii) Ảnh hệ sinh V hệ sinh W (iii) r( f )  dimW (i)  (ii): S hệ sinh V f(S) hệ sinh f(V) f(V) = W f(S) hệ sinh W (ii)  (i): Giả sử  e1 , , en  sở V  f (e1), , f (en ) hệ sinh W W  span  f (e1 ), , f (en )  f (V )  f toàn cấu (i)  (iii) : f (V )  W  dim f (V )  dimW  r ( f )  dimW 10/07/2017 17 10/07/2017 18 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.3.2 Đơn cấu (i)  (ii): Hiển nhiên Ánh xạ tuyến tính đơn ánh gọi đơn cấu (ii)  (i): f (v1)  f (v2 )   f (v1)  f (v2 )  f (v1  v2 )  v1  v2   v1  v2 Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính (ii)  (iii) : Giả sử Bốn mệnh đề sau tương đương  x1v1   xmvm   x1   xm  (i) f đơn cấu Do (ii) Ker f  {0}  f (v1), , f (vm ) độc lập (iii)  (iv) : Giả sử e1, , en  sở (iii) Ảnh hệ độc lập tuyến tính V hệ độc lập tuyến tính W (iv)  (ii) : 10/07/2017 V  f (e1), , f (en ) hệ sinh độc lập tuyến tính f (V ) Do r ( f )  dimV (iv) r( f )  dimV 19 dimV  r ( f )  dim Kerf    dim Kerf   Kerf  0 dimV  r ( f )  10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 20 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 2 Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính f :    xác định 5.3.3 Đẳng cấu Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa tồn cấu gọi đẳng cấu Hai không gian V, W gọi đẳng cấu có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu f : V  W f ( x, y )   x  y , x  y  đơn cấu f ( x, y )  (0,0)   x  y, x  y   (0,0)   x, y   (0,0) f đẳng cấu Ví dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính f :   P2 xác định Định lý 5.8 Hai không gian V, W đẳng cấu dimV  dimW f ( x, y, z )  ( x  y  3z )  (2 x  y  z )t  ( x  z )t  x  y  3z   Định lý 5.9 Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính dimV  dimW Khi v1, , vm  độc lập x1, , xm 3 : x1 f (v1)   xm f (vm )   x1v1   xmvm  Ker f  0 Hệ phương trình  x  y  z  x  f đơn cấu f toàn cấu, đẳng cấu 10/07/2017 21  8z  có nghiệm tầm thường f đẳng cấu 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 22 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN Trường hợp tự đồng cấu f không gian véc tơ V 5.4.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận f sở B  {e1, … , en} V ký hiệu A   f B Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính B  {e1, … , en} sở V B’  {1, … ,  m} sở W Ma trận ánh xạ tuyến tính sở tắc gọi ma trận tắc Ma trận hệ véc tơ { f (e1), … , f (en)} sở B’ Được gọi ma trận f sở B Ký hiệu f ( x, y, z )  (2 x  y  z,3x  z ) A   f B Xác định sau 10/07/2017 Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : R3  R2 xác định B’ B' A   aij  f (1,0,0)  (2,3)  2(1,0)  3(0,1) f (0,1,0)  (1,0)  1(1,0)  0(0,1) f (0,0,1)  (4,5)  4(1,0)  5(0,1) m mn f (e j )   aij i ; j  1, , n i 1 23 10/07/2017  4  A  3  24 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.2 Bằng cách tính tốn ví dụ ta kiểm tra Ánh xạ tuyến tính f :  m   n với công thức xác định ảnh f ( x1, , xm )  (a11x1    a1m xm , , an1x1    anm xm )  a11  a1m  A         an1  anm  Có ma trận tắc Ví dụ 5.9 B  {e1, … , en} sở không gian véc tơ V B’  {1, … ,  n} sở không gian véc tơ W Định lý 5.10 ma trận tắc 25 r ( f )  r ( A) 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 26 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH f g V  V '  V " B  {e1, … , en}, B ’  {e’1, … , e’m}, B ”  {e”1, … , e”l} sở không gian véc tơ V, V’, V” Khi V  V’  V” ta chọn cố định sở V có tương ứng 1-1 tự đồng cấu V ma trận vuông cấp n Định lý 5.11 m  aij e 'i ; j  1, , n i 1 l A   f B có tính chất: B   g B ' B  bki  l m g (e 'i )   bki e "k ; i  1, , m B"  f  g B   f B   g B k 1    :   f B    f B       g  f (e j )  g   aij e 'i    aij g (e 'i )   aij   bkie "k      bki aij  e "k i 1  i 1  i 1  k 1  k 1 i 1  m m m l l m  f  g B   f B  g B  g  f B  BA   g B '  f B B" Vậy B" B' r ( f )  r ( f B ) 10/07/2017 27 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 28 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính f :  Hệ 5.12 Cho f  End(V), B sở V Đăt A  [ f ]B f tự đẳng cấu A khả nghịch Ma trận f 1 sở B có dạng [f 1]B  A1 Giả sử p(t )  a0    ant n đa thức bậc n Ma trận p( f )  a0 IdV    an f n sở  3 xác định f ( x, y, z )  ( x  y  z,3x  y  z, x  y  z )  4  1 2  1 1  Ma trận tắc f A  3  có A   1     4 5 1 1  Do f đẳng cấu ánh xạ ngược xác định sau f 1 ( x, y, z )  (6 x  y  z, x  y  z, 4 x  y  z ) Hệ 5.13 Cho đa thức p(t )   4t  3t B p( A)  a0 I    an An 10/07/2017 B' B' B'    :   f B    f B 1 2  A  3  1 1  10/07/2017 Giả sử B'  f  g BB '   f BB '   g BB ' f ( x, y, z)  ( x  y  z,3x  y  5z, x  y  z) B' A   f B A   aij  f (e j )  mn A   f B , B   g B ta có tính chất sau: Ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : Với 29 Ma trận tắc p( f ) 10/07/2017  25 2 34  p( A)  I  A  A2   21 28     7 8 30 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác B B1  e1, , en  sang B '1  e'1 , ,e'n  V ma trận chuyển sở P   pki B 2' B A   f B B A '   f B '2 B' B2  1, ,m  B '2  '1 , ,'m W ma trận f sở i 1 A '   f B '2   a 'ij  B' mn m i 1 P   pki B 2'   'i   pki k B m  f (e ' j )   a 'ij  'i T  tij  i 1 B '1, B '2 suy PA '  AT 10/07/2017 31 m n i 1 i 1  pki a 'ij   akitij ;  j  1, , n ; k  1, , m 32 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đặc biệt f tự đồng cấu khơng gian véc tơ V Ví dụ 5.14 Gọi A, A’ ma trận f hai sở B, B ’ T ma trận Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận chuyển từ sở B sang B ’ sở B  {e1, e2, e3, e4} A'  T 1 AT B B B' B  f B '   tij  B '   f B tij  B '  tij  B  f B tij  B '   1 Ta tìm ma trận A’ f sở Hai ma trận A, B gọi đồng dạng tồn ma trận không suy biến T cho B  T 1AT Hai ma trận tự đồng cấu hai sở khác đồng dạng Nếu A, B đồng dạng detA  det B Vì ta định nghĩa định thức tự đồng cấu f det f  det  f B 10/07/2017 33 Đặt A '  T 1 AT 1 0 1 A '  T AT   0  0 10/07/2017 0 01 0 0 01 0 0 00 0 00 1 00 0 10 0 0  1 0 3 AT   0 2  0  1 0 00 0 0 10 0  1 1  0   0   0 B’  {e1, e3, e2, e4} f (e '1 )  f (e1 )  e1  3e2  2e3  e4  e '1  2e '2  3e '3  e '4 f (e '2 )  f (e3 )  e2  3e3  e4  3e '2  e '3  e '4 f (e '3 )  f (e2 )  2e1  5e3  2e4  2e '1  5e '2  2e '4 1 2 A'    1  1 f (e '4 )  f (e4 )  e1  2e2  e3  3e4  e '1  e '2  2e '3  3e '4 10/07/2017 1 1  2  3 34 Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính f :   3 g : 3   f ( x, y)  ( x  y, x, 3x  y) sang sở B’  {e1, e3, e2, e4}  1 1   1  3 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Gọi T ma trận chuyển sở B  {e1, e2, e3, e4} 0 0 1 0  0  0 1 1 3 A 2  1 e '1  e1 , e '2  e3 , e '3  e2 , e '4  e4 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 0 T  0  0 PA '  AT 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Hoặc áp dụng công thức n B1 tij ei B '1  e ' j   i 1 m m m  mm  f (e' j )   a' ij ' i   a' ij   p ki  k      p ki a' ij  k  k 1  k 1 i 1  i 1 i 1 n  n  n  m  m n  f (e ' j )  f   tij ei    tij f (ei )   tij   aki k      aki tij  k i 1  k 1  i 1  i 1  k 1  i 1  B1 , B A '  P 1 AT Hoặc B Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính T  tij  B '1 m A   f B   aki mn  f (ei )   aki k T 1 0  0  0 1 0 0 0  0  0 1 0  1   32 31 05  0   23 31 50  0  1 1 21  12  3 35 g(x, y, z)  (x  y 5z,3x  y)  2  1 2 Ma trận tắc f g: A   0 B   3  3  14 22  BA     6  Ma trận tắc g◦ f : Định thức 10/07/2017 det( g  f )  5  14 22 6  70 36 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.3 Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính f sở B n v   xi ei Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính i 1 B  {e1, … , en} sở V (x1, … , xn)  (v)B tọa độ v  V sở B (y1, … , ym)  ( f (v))B ’ tọa độ f (v)  W sở B’  f BB '  aij  mn ma trận f sở B , B’ n v   xi ei i 1 m f (ei )   aki k k 1 m 37  y1   x1      a      ij  mn    ym   xn  Điều cho phép giải tốn ánh xạ tuyến tính thơng qua hệ phương trình tuyến tính 38 Giả sử f : V  W ánh xạ tuyến tính B  {e1, … , en} sở V B’  {1, … ,  m} sở W 39 b W , b  b11    bmm a11x1   a1n xn  b1  b  Im f  Hệ phương trình  có nghiệm a x   a x  b mn n m  m1 Tìm Ker f : v  x1e1    xnen V a11x1   a1n xn   v  Ker f   a x   a x  mn n  m1 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 40 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nhận xét 5.3: 5.5 CHÉO HỐ MA TRẬN Từ hai định lý 6.11, 6.12, hệ ví dụ ta thấy tốn ánh xạ tuyến tính chuyển sang tốn ma trận, tốn hệ phương trình tuyến tính ngược lại Chẳng hạn để chứng minh định thức ma trận A khác ta cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính f với A  [ f ]B đơn cấu toàn cấu, hệ phương trình tuyến tính tương ứng có nghiệm Trong phần ta giải toán: Với tự đồng cấu tuyến tính f khơng gian V, tìm sở V để ma trận f sở có dạng chéo 1       n   dimKer f chiều không gian nghiệm hệ phương trình có hạng ma trận hệ số hạng f Áp dụng định lý chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình ta nhận đẳng thức biết dimV  r ( f )  dimKer f 10/07/2017 f (v)  Av 10/07/2017 Tìm Im f :  y1  a11x1   a1n xn    y  a x   a x m1 mn n  m 10/07/2017 k 1 n CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.4.4 Ánh xạ tuyến tính hệ phƣơng trình tuyến tính viết dạng hệ phương trình tuyến tính f (v)   yk k  f (v)B '   f BB ' v B  k 1 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Đẳng thức k 1  y1   x1  n  yk   aki xi       aij         mn   i 1  ym   xn  f (v)   yk k 10/07/2017 f (ei )   aki k B’ m  m  m n  f (v)   xi f (ei )   xi   aki k      aki xi  k     i 1 i 1  k 1  k 1 i 1  n B’  {1, … ,  m} sở W m 41 Bài toán tương đương với tốn: Cho ma trận A tìm ma trận khơng suy biến T cho T 1AT có dạng chéo 10/07/2017 42 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng  gọi giá trị riêng tự đồng cấu f tồn véc tơ v  V, v  cho f (v)  v v véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   gọi giá trị riêng ma trận A  [ aij ]nn tồn x1, … , xn không đồng thời cho  x1   x1   x1  0  A         hay  A  I         (6.30)          xn   xn   xn  0  n Khi v  (x1, … , xn)R gọi véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  ma trận A Như véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  nghiệm khác không phương trình (6.30) Khơng gian nghiệm (6.30) gọi không gian riêng ứng với giá trị riêng a) Xét ánh xạ đồng IdV: V  V Với v  V, IdV(v)  v Vậy giá trị riêng IdV b) f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y) Dễ dàng thấy f (x,x)  2(x,x) Vậy giá trị riêng véc tơ v  (x,x); x  véc tơ riêng tương ứng  10/07/2017 Ví dụ 5.17 43 10/07/2017 44 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH c) Phép quay góc  Cho tự đồng cấu f V Với   R, ký hiệu f :    V  v V f (v)  v  Ker  f   IdV  ( x, y)  f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) f (v ) Định lý 5.14  1) v  giá trị riêng f V  {0} 2) Nếu  giá trị riêng f véc tơ v  V  Khi   , f  ánh xạ đồng Id : có giá trị riêng là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   Khi    , f  : có giá trị riêng 1  Khi   0, , f  khơng có giá trị riêng 10/07/2017 45 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.5.3 Đa thức đặc trƣng Nhận xét 5.4 Cho f  End(V), 46 B sở V Đăt A  [ f ]B  A ma trận vuông cấp n Định thức P ( )  det( A   I ) Khi v  V véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  f ( v )B véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  A đa thức bậc n  gọi đa thức đặc trưng A  Cho f  End(V), Nghĩa  x1  0  v  V ;  v  B  ( x1, , xn ), v  : f (v)  v   A  I              xn  0  B sở V Đăt A  [ f ]B Khi định thức P ( )  det  f   IdV   det( A   I ) không phụ thuộc vào sở V, gọi đa thức đặc trưng f 10/07/2017 47 10/07/2017 48 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.15 Ví dụ 5.18 0 giá trị riêng A (tương ứng f ) 0 nghiệm đa thức đặc trưng A (tương ứng f ) Tìm véc tơ riêng giá trị riêng tự đồng cấu không gian R2 (ví dụ 6.13) f : R2  R2 xác định bởi: f (x,y)  (3x  y, 2x  4y) 0 giá trị riêng V0  0 Điều tương đương với điều sau: a) Ánh xạ f  0 IdV không đơn cấu  x1  0  b) Hệ phương trình tuyến tính  A  0 I         có nghiệm   không tầm thường  xn  0  Vậy 0 giá trị riêng r  f  0 IdV   n Nghĩa P (0 )  10/07/2017 Đa thức đặc trưng P ( )  det  f  0 IdV   det  A  0 I   49 3 1 2 4 3  1   x  0 hay        2    y  0 Vậy v  (x,x)  x (1,1) , x   Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 2  nghiệm hệ hay  2 1  x  0  2 1  y   0      Ví dụ 5.19  2 1 5  (2  )(5  ) 50 Phép quay góc  có cơng thức xác định ảnh Đa thức đặc trưng P ( )  det  f   IdV    sin  sin  cos     (cos    )  sin        cos      sin           1 Vậy v  (x,  2x)  x (1,  2) , x  51 cos   Do f có giá trị riêng Hệ phương trình tương đương với phương trình x  y   y  2 x 10/07/2017 1 2 4 f ( x, y)  ( x cos  y sin  , x sin   y cos ) Hệ phương trình tương đương với phương trình x  y   y  x  x  0    y  0 2 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Véc tơ riêng v  (x,y) ứng với giá trị riêng 1  nghiệm hệ  A  2 I    10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  x  0  A  1I        y  0  1 A   2  có ma trận tắc 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 52 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định lý 5.16 Giả sử v1, … , vm véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc Tự đồng cấu f khơng gian véc tơ V chéo hố tồn sở V để ma trận f sở có dạng chéo Như f chéo hoá tồn sở V gồm véc tơ riêng f phân biệt 1, … , m tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) hệ véc tơ {v1, … , vm } độc lập tuyến tính Ta chứng minh quy nạp theo k hệ v1, , vk  độc lập tuyến tính với  k  m Giả sử hệ v1, , vk  với  k  m  độc lập tuyến tính x1v1   xk vk  xk 1vk 1  (*)  f ( x1v1   xk vk  xk 1vk 1 )   1x1v1   k xk vk  k !xk 1vk 1  Ma trận vng A chéo hố tồn ma trận không suy biến T cho T 1AT ma trận chéo (**) Nhân  k1 vào (*) trừ cho (**) ta (k 1  1) x1v1   ( k 1   k ) xk vk  Vì v1, , vk  độc lập 1, ,  m khác đôi suy x1   xk   xk 1  10/07/2017 53 10/07/2017 54 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH () : Trong Vi ta chọn sở gồm mi véc tơ Hệ 5.17 Nếu đa thức đặc trưng tự đồng cấu f không gian n chiều V (hoặc ma trận A vng cấp n) có n nghiệm thực phân biệt f (tương ứng ma trận A) chéo hố Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tương ứng với n giá trị riêng hệ độc lập, sở V gồm véc tơ riêng f Vậy f chéo hoá Hệ 5.18 Giả sử ( )  (1) (  1 ) (  k ) m1  …  mk  n giá trị 1, … , k khác đôi n P mk m1 Khi f (tương ứng ma trận A) chéo hoá dimVi  mi ;  i  1, , k Hệ n véc tơ gộp lại từ véc tơ sở vừa chọn hệ độc lập tuyến tính, hệ sở V gồm véc tơ riêng f Vậy f chéo hoá () : Giả sử f chéo hoá được, tồn sở gồm véc tơ riêng để ma trận f có dạng chéo  1       n   Do giá trị riêng 1 , , n phải trùng với 1 , , k 1 , , n có mi giá trị i , với i  1, , k có mi véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng i Vì giá trị riêng Nói cách khác 10/07/2017 55 dimVi  mi 10/07/2017 56 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 2: Với giá trị riêng riêng Vi 5.5.5 Thuật toán chéo hoá Bƣớc 1: Viết đa thức đặc trưng dạng  Nếu m1    mk  n (khi bậc Q()  ): khơng chéo hóa  Nếu m1    mk  n chéo hóa 1, ,  k giá trị riêng; tiếp tục bước  x1        A   I  i        x n 0   Nếu d i  mi với i đó,  i  k f khơng hoá chéo 57 10/07/2017 58 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 3: Với giá trị riêng CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH i ; i  1, … , k ta chọn Đa thức đặc trưng A mi véc tơ riêng độc lập tuyến tính Gộp tất véc tơ ta hệ gồm m1  …  mk  n véc B’ cần tìm P ( )  2 1 4 8 3   Ma trận T có cột tọa độ hệ véc tơ B’  3  4 8 3   5   8  1  A     8 3 3   (3   ) Ví dụ 5.21 10/07/2017 dimVi  di  n  r  A  i I   Nếu d i  mi , i :1  i  k Tiếp tục bước 10/07/2017 Chéo hóa ma trận  x1 , , xn  nghiệm hệ phương trình k Q() đa thức khơng có nghiệm thực tơ riêng độc lập, sở i tìm sở không gian Các véc tơ riêng v  x1e1   xnen có P ( )  (1   )m (k   )m Q( )  P ( )  (1)n (  1 ) (  n ) 3  (3   ) 5 3   5 3  5   (3   ) (  25)  24  (  1)(  1)(3   ) Do A có giá trị riêng 59 10/07/2017 1  1, 2  1, 3  60 10 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng    có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ phương trình Ta có  1   x  0    y   0       8 2   z  0   1   1  3     0   0       8 2   8 2  4 Ta có 1  0   Vậy hệ phương x  y    y  3x v   x,3x,4 x   x(1,3,4) trình tương   đương với hệ 4 x  z  z  4 x chọn e'1  (1,3,4) 10/07/2017 Giá trị riêng phương trình 61   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ  1   x  0    y   0       8 4   z  0   1   1  1             8 4   2 1   2 Vậy hệ phương trình tương đương với hệ  1 1   x  0     y   0        8 6   z  0  10/07/2017 62 Cơ sở gồm véc tơ riêng e'1  (1,3,4) Ta có x   y 0  x y    4 x  z    z  x 4  x  v   x,  x, x   (3, 3, 4) chọn e '3  (3, 3, 4)   63 Ma trận chéo Xét tự đồng cấu f :3 3 3 Giá trị riêng phương trình  1 3 T   3     4 2 4   1 0  T 1AT       0  64   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ  2 2   x  0   2 2   y   0        0 4   z  0   2  A   2     0  Đa thức đặc trưng   2   2 P ( )  2        0 1 0    2     (5  )(  1) 0 1 Ma trận tắc 10/07/2017 e '3  (3, 3, 4) CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH xác định f ( x, y, z )  3x  y, 2 x 3 y, z B '  e '1, e '2, e'3  10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ví dụ 5.22 e'  (1,1,2) Ma trận chuyển sở Vậy hệ phương trình tương đương với hệ 10/07/2017 0 0  1  CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ  1 1  1     0 0       8 6  4  x  y 0 x  y v   x, x,2 x   x(1,1,2)   x  z   z  2x chọn e'  (1,1,2) CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng phương trình 1 Vậy hệ phương trình tương đương với hệ 0 x  y  z0  v   y, y,0  y(1,1,0) 65 10/07/2017 x   y   z  chọn e'1  (1,1,0) 66 11 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giá trị riêng phương trình CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH   có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu f : P2  P2 có cơng thức xác định ảnh f (a0  a1t  a2t )  (a0  a1  a2 )  (a0  a1  a2 )t  (a0  a1  a2 )t  2   x  0  Vậy hệ phương trình  2   y   0  tương đương với x  y  0;       phương trình z tuỳ ý  0   z   0 v   x, x, z   x(1,1,0)  z (0,0,1) chọn e '2  (1,1,0) e '3  (0,0,1) Chọn sở B '  e '1, e '2 , e '3 f (e '1 )  5e '1 , f (e '2 )  e '2 , f (e '3 )  e '3 Ma trận f sở Ma trận tắc 5 0  0  0  67  a0  a2  a0  a2   a0  a1  a0  a1 p V1  p  a0  a0t  a0t  a0 (1  t  t ) chọn p '1   t  t  Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  ứng với giá trị riêng Xét sở B '   p '1, p '2 , p '3 f ( p '1 )  p '1 Ma trận f sở p '2  1  t , p '3  1  t 10/07/2017 69 P ( )  1   3 5   3 1    1  (1   ) 1   7   Đa thức đặc trưng có nghiệm 0 1   (kép) 2  Giá trị riêng    có véc tơ riêng v  (x,y,z) nghiệm hệ phương trình 7     2 1    (1   ) 7 7 7   8  (1   ) B ’ có dạng 70 Đa thức đặc trưng có nghiệm Đa thức đặc trưng 3 f ( p '3 )  2 p '3 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1 3  A   7     7  1  f ( p '2 )  2 p '2 p '3  1  t 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH p '2  1  t 1 0  A '   f B '  0 2    0 2  p V2  p  a1  a2  a1t  a2t  a1 (1  t )  a2 (1  t ) 3 1   2 1   2 1   1   2    3 0   1 0        1 2  0 0  0 0 p '1   t  t Thỏa mãn 1  1   68 Hệ phương trình tương đương với phương trình: a0  a1  a2  Xét ma trận 1  (1   )(  2)2 10/07/2017 2  2 1 1  a0 0  1 1  a   0     1   1 1  a2 0  Ví dụ 5.24 Gồm véc tơ riêng nghiệm khác không hệ phương trình chọn 1   CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Vậy hệ phương trình tương đương với  1 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1    Véc tơ riêng p  a0  a1t  a2t  ứng với giá trị riêng nghiệm khác khơng hệ phương trình  2 1   a0 0   2   a   0     1    2  a2  0 B ’ có dạng A '   f B '  0 10/07/2017 Đa thức đặc trưng  1 1  A   1     1 1 1 7   1  (3   )(  1)2 4   1   (kép) 2   3   x  0   6   y   0        7   z   0  y  2z hệ có nghiệm  x  z Không gian riêng  3 4  3   2   6    0    0         4  7   2  v   z, z, z   z(1, 2,1) V1   z (1,2,1) z  , dimV1   Vì ma trận khơng chéo hố BÀI TẬP 10/07/2017 71 10/07/2017 72 12 ... riêng Nói cách khác 10/07/2017 55 dimVi  mi 10/07/2017 56 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bƣớc 2: Với giá trị riêng riêng Vi 5. 5 .5 Thuật toán chéo hoá Bƣớc 1: Viết đa... riêng 10/07/2017 45 10/07/2017 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. 5.3 Đa thức đặc trƣng Nhận xét 5. 4 Cho f  End(V), 46 B sở V Đăt A  [ f ]B  A ma trận vuông cấp n Định thức... sở W m 41 Bài toán tương đương với toán: Cho ma trận A tìm ma trận khơng suy biến T cho T 1AT có dạng chéo 10/07/2017 42 CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5. 5.2 Véc tơ