Bài tập giải tích 1 toán cao cấp

Tài liệu,Thư viện tài liệu, tài liệu online, tài liệu trực tuyến, tài liệu hay, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, luận văn tốt nghiệp, đồ án tốt nghiệp, bài giảng, giáo án, luận văn, đồ án, giáo trình, chuyên đề, đề tài, Tài liệu miễn phí, Thư viện số, Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, ebook, báo cáo thực tập, Slide bài giảng, Tài liệu hay, Tài liệu online, Tài liệu học tập, Tài liệu chia sẽ, Download tài liệu, Tài liệu download

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG 1 Hình học vi phân

Ứng dụng trong hình học phẳng

1 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:

a) yx32x2 4x tại điểm ( 2;5)3 

b) ye 1 x 2 tại giao điểm của đường cong với đường thẳng y 1

c)

3

3

1

2 2

t

x

t

y

t t













tại điểm (2;2)A

d)

x y  tại điểm M(8;1)

2 Tính độ cong của:

a) y x3 tại điểm có hoành độ 1

2

x 

(1 cos )







(a 0) tại điểm bất kỳ

c)

x y a , (a 0) tại điểm ( , )x y bất kỳ

d) r ae b, ( ,a b 0) tại điểm bất kỳ

3 Tìm hình bao của họ các đường cong sau:

a) y x c2

c

  b) cx2 c y2  1 c) yc2(xc)2

Ứng dụng trong hình học không gian

1 Giả sử p t( )

, q t( )

, ( ) t là các hàm khả vi Chứng minh rằng:

a) d p t( ) q t( ) d p t( ) d q t( )

b) ( ( ) ( )) ( ) ( ) '(t)p(t)

dt

t p d t t

p

t

dt





c) d p t q t( ) ( ) p t( )d q t( ) q t( )d p t( )

d) d p t( ) q t( ) p t( ) d q t( ) d p t( ) q t( )

2 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

a)

2

2

sin

sin cos

cos

 













tại điểm ứng với

4

t 

 , ( , ,a b c 0)

b)

sin

2

1

cos

2

t

t

x

y

z

















 



tại điểm ứng với t 0

3 Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:

a) x2 4y2 2z2  tại điểm (2;2;3) 6

b) z2x2 4y2 tại điểm (2;1;12)

c) zln(2x y) tại điểm ( 1;3;0)

4 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

a)

10 25







tại điểm (1;3;4)A

b)

2







tại điểm ( 2;1;6)B 

CHƯƠNG 2 Tích phân bội Tích phân kép

1 Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau

a)

2

2

( , )

x

x

dx f x y dy



2

1 1 1

( , )

y

y

 



2

( , )

x

x x

dx f x y dy



d)

2

1

2

0 sin

( , )

y

y

dy f x y dx





2

4

y y

dy f x y dx dy f x y dx





2 Tính các tích phân sau

D

x x y dxdy

b)

2

D

x yx dxdy

 với D là miền giới hạn bởi các đường cong 2

x y và yx2 c) | |

D

x y dxdy

 với = {( , ) ∈ : | | ≤ 1 ; | | ≤ 1}

d) | 2|

D

yx dxdy

 , với = {( , ) ∈ : | | ≤ 1 ; 0 ≤ ≤ 2}

e) 2 3

D

yx dxdy

 , với = {( , ) ∈ : | | ≤ 1 ; 0 ≤ ≤ 2}

f) 2

D

xydxdy

 với D giới hạn bởi các đường x y x2;  1;y và 0 y 1

| | | | 1

| | | |

x y

x y dxdy

 



D

x y dxdy

 với D giới hạn bởi các đường 2 2

x  y  x  y 

3 Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của ( , )

D

f x y dxdy

 trong đó D là miền xác

định như sau:

a) ≤ + ≤ , ( , > 0)

c) + ≤ 1, ≥ 0, ( , > 0).

4 Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực, hãy tính các tích phân sau

a)  







2

2

0

2 2 0

) 1

ln(

x

R

R

dy y x

b)  











2

2

2 2 0

x

Rx

x

Rx

R

dy y x Rx

c) 

D

xydxdy, với

1) D là mặt tròn (x2)2 y2 1

2) D là nửa mặt tròn (x2)2 y2 1, y0

d)

D

xydxdy

 , với D là miền giới hạn bởi các đường tròn x2  y( 1)2 1 và

0 4

2

2





5 Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v:

a)  



x

x

dy y x

f

1

0

, nếu đặt















y x v

y x u

b) Áp dụng tính với f(x,y)  ( 2 xy) 2

6 Tính các tích phân sau

a)  

D x y

dxdy

2 2

2

) ( , trong đó



















x y x

y y x y D

3

8 4

:

2 2

b)   

D

dxdy y x

y x

2 2

2 2

1

1

, trong đó D: x2  y2  1

c)  

D

dxdy y

x

xy

2

2 , trong đó





























0 , 0

3 2 2 12

:

2 2

2 2

2 2

y x

y y

x

x y x

y x D

d)  

D

dxdy y

x 4 |

9

9 4 :

2 2



 y

x D

e)  

D

dxdy y

x 2 )

4

( 2 2 , trong đó















x y x

xy D

4

4 1

:

Tích phân bội 3

Tính các tích phân bội ba sau

1

V

zdxdydz

 , trong đó miền V được xác định bởi: 0 1

4

x

  , x y2x,

0 z 1x y

2 ( 2 2)

V

x  y dxdydz

 , trong đó V xác định bởi: x2 y2 z2  , 1 x2  y2 z2  0

3 ( 2 2)

V

x  y zdxdydz

 , trong đó V xác định bởi: x2 y2  , 11   z 2

V

z x y dxdydz

a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2  y2 2x và các mặt phẳng: y  0,

0

z  , za, (a 0)

b) V là nửa của hình cầu x2 y2 z2 a2, z 0, (a 0)

c) V là nửa của khối elipxôit



  , z 0, ( ,a b 0)

5

V

ydxdydz

 , trong đó V là miền giới hạn bởi mặt nón: y x2 z2 và mặt phẳng

y h, (h 0)

6  2 2 2

2 2 2

y

V

dxdydz

 , trong đó V là miền giới hạn bởi

a  b  c  ,

( , ,a b c 0)

7 ( 2 2 2)

V

x  y z dxdydz

 , trong đó V : 1x2  y2z2  , 4 x2  y2 z2

V

x  y dxdydz

 , trong đó V là miền giới hạn bởi x2  y2 z2, z  1

9    

dxdydz

2 2 2

2

) ) 2 ( ( , trong đó V : x2  y2  , | | 11 z 

V

x  y z dxdydz

 , trong đó V là miền xác định bởi x2  y2 z2  z

Ứng dụng của tích phân bội

1 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y 2x, y2x, y 4

2 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường

2

y  , x y2 2x, x2  y, x2 2y

3 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi

0

y  , y2 4ax, x y3a, y 0, (a 0)

4 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi 2x  x2  y2  4x, 0  y  x

5 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường tròn r 1; cos

3

2



6 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường

a) (x2  y2 2) 2a xy2 , (a 0) b) x3 y3 axy, (a 0)

c) r a(1 cos )  , (a 0)

7 Chứng minh rằng diện tích miền D xác định bởi x2 (x y)2  không đổi 1



  

8 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt

3x y , 31 x2y  , 2 y  , 00     z 1 x y

9 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 4 x2 y2, 2z 2 x2 y2

10 Tính thể tích của miền giới hạn bởi 0  z 1 x2  y2, y , x y 3x

11 Tính thể tích của miền V giới hạn bởi mặt cầu x2  y2 z2 4a2 và nằm trong mặt trụ x2  y2  2ay 0, (a 0)

12 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 0,

z

2

a

( ,a b 0)

13 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt az x2  y2, z  x2  y2 , (a 0)

CHƯƠNG 3 Tích phân phụ thuộc tham số

1 Khảo sát sự liên tục của tích phân

1

0

( ) ( ) yf x





 với f x( ) là hàm số dương, liên tục trên đoạn [0,1]

2 Tính các tích phân sau

1

0

ln n

 , n là số nguyên dương b)

/ 2

2 0

ln(1 ysin x dx)





3 Tìm

1

0

lim

1

y

y

y

dx



4 Xét tính liên tục của hàm số

2 2 2 0

( )







5 Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số 







x

y x y

1

) arctan(

)

số liên tục, khả vi đối với biến y Tính '( )I y rồi suy ra biểu thức của ( )I y

6 Tính các tích phân sau

a)

1

0 ln

dx x



0

dx x

   

 , ( 0, 0)

c)

2 0

dx x

0 ( )n

dx







e)

0

sin( ) sin( )

x



0

cos( )

x





7 Biểu thị

/ 2

0

sinm xcosn xdx



 qua hàm ( , )B m n , ( ,m n; ,m n1)

8 Tính các tích phân sau

a)

/ 2

0

sin xcos xdx



0

a n

 , (a 0), (Gợi ý đặt xa t)

c) 10 2

0

x





2 2

0 (1 )

x dx x





3 0

1

1 x dx





f)

1

2

0 (1 )

n

n

x

dx x



1

0

1 1

n n dx x



 , (n*, n1)

CHƯƠNG 4 Tích phân đường

Tích phân đường loại 1

Tính các tích phân sau:

C

xy ds

 , C là đường tròn x2  y2 2x

2 2

C

y ds

 , C là đường có phương trình ( sin )

(1 cos )







(0 t 2 , a0)

C

x y ds

(sin cos )







(0 t 2 , a0)

Tính phân đường loại 2

Tính các tích phân sau:

AB

x  xy dx xyy dy

 , trong đó AB là cung parabol y x2 từ (1;1)A đến (2;4)

2 (2 )

C

xy dxxdy

(1 cos )







theo chiều tăng của , (0 t 2 , a0)

ABCA

x  y dxx y dy

 , trong đó ABCA là đường gấp khúc đi qua (0;0) A , (1;1)

B , (0;2)C

4

| | | |

ABCDA





 , trong đó ABCDA là đường gấp khúc đi qua A(1;0), B(0;1), ( 1;0)

C  , (0; 1)D 

5

4

2

C

x y dx

dy





 , trong đó C là đường cong sin

cos

 









theo chiều tăng của

0 ≤ ≤ /4

6 Tính tích phân sau

C

xy x y dx xy x y dy



bằng hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là

đường:

a) x2  y2 R2

b) x2  y2 2x

c)

a b  , ( ,a b 0)

7

2 2

 

OABO

e  y dx y y dy

(0;0)

O , (1;1)A , (0;2)B

9

2 2

2

 

10

3

3

C

x

xy x y xy dx xy  x x xy dy

sin











(a 0)

11 Dùng tích phân đường loại 2 tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp xycloit: ( sin )

xa t t ; ya(1 cos ) t và trục Ox, (a 0)

12

(3;0)

( 2; 1)

 

13

(2;2 ) 2

2 (1; )

(1 y cos )y dx (sin y ycos )y dy

x





14 Tìm hằng số  để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định

AB

xy 



15 Tìm các hằng số ,a b để biểu thức

(y axy ysin(xy dx)) (x bxyxsin(xy dy))

là vi phân toàn phần của một hàm số ( , )u x y nào đó Hãy tìm hàm số ( , ) u x y đó

16 Tìm hàm số ( )h x để tích phân

2

AB

h x xy dx xyx dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với ( )h x vừa tìm được, hãy tính tích phân trên từ A(1;1) đến (2;3)B

17 Tìm hàm số ( )h y để tích phân

AB

h y y xy dxx x y dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với ( )h y vừa tìm được, hãy tính tích phân trên từ (0;1)A đến ( 3;2)B 

18 Tìm hàm số (h xy) để tích phân

AB

h xy yx y dx xx y dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với (h xy) vừa tìm được, hãy tính tích phân trên từ (1;1)A đến (2;3)B

CHƯƠNG 5 Tích phân mặt Tính các tích phân mặt loại 1 sau đây

3

S

y

S x y z    x y z

2 ( 2 2)

S

x  y dS

 , trong đó S {( , , ) :x y z z x2  y2,0 z 1}

Tính các tích phân mặt loại 2 sau đây

3 ( 2 2)

S

z x  y dxdy

 , trong đó S là nửa mặt cầu: x2  y2z2  , 1 z 0, hướng của S

là phía ngoài mặt cầu

S

ydzdxz dxdy

 , trong đó S là phía ngoài của mặt elipxoit:

2

4

y

x  z  , 0

x  , y 0, z 0

5 2 2

S

x y zdxdy

 , trong đó S là mặt trên của nửa mặt cầu: x2  y2 z2 R2, z 0

6

S

xdydz ydzdxzdxdy

 , trong đó S là phía ngoài của mặt cầu: x2  y2 z2 a2

S

x dydz  y dzdxz dxdy

x  y z R

S

y zdxdyxzdydzx ydzdx

 , trong đó S là phía ngoài của miền: x 0, y 0,

x  y  , 0 z x2 y2

9

S

xdydz ydzdxzdxdy

 , trong đó S là phía ngoài của miền: (z1)2  x2 y2,

1

a  z

10 Gọi S là phần mặt cầu x2  y2z2  nằm trong mặt trụ 1 x2  x z2  , 0 y 0,

hướng của S là phía ngoài của mặt cầu Chứng minh rằng:

S

x y dxdy yz dydz zx dzdx

CHƯƠNG 6

Lý thuyết trường

1 Tính đạo hàm theo hướng l

của hàm u x3 2y33z3 tại điểm A(2;0;1) với

l AB

, (1;2; 1)B 

2 Tính môđun của grad u

, với

3

ux  y z  xyz

tại (2;1;1)A Khi nào thì grad u

vuông góc với Oz , khi nào thì grad u 0

?

3 Tính grad u

, với

2 1

ln

r

   , r  x2  y2 z2

4 Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số uxsinz ycosz từ gốc (0;0;0)O là lớn nhất?

5 Tính góc giữa hai vectơ grad z

của các hàm số z  x2  y2 và z x 3y 3xy

tại (3;4)

6 Trong các trường sau đây, trường nào là trường thế:

a) a5(x2 4xy i)(3x2 2 )y jk

b) a yzi xzj xyk

c) a(x y i)(x z j)(z y k)

7 Cho Fxz i2 yx j2zy k2

Tính thông lượng của F

qua mặt cầu S :

x  y z  , hướng ra ngoài

8 Cho F  x y(  z i) y z(  x j) z x(  y k)

, L là giao tuyến của mặt trụ

x  y  y  và nửa mặt cầu x2 y2 z2  , 2 z 0 Chứng minh rằng lưu số của

F



dọc theo L bằng 0