Email: Jackie9x.spb@gmail.com Sử dụng vi phân hóa để giải bài toán tích phân A. Giới thiệu về vi phân hóa: Hiểu 1 cách đơn giản thì : Vi phân hóa hay còn có 1 tên gọi khác là đổi biến ngầm, tức là thay vì phải đặt ẩn để đổi biến thì ta sẽ ngầm biến đổi biểu thức trong vi phân cho giống với biểu thức trong hàm gốc và coi đó là một biến để áp dụng các công thức cơ bản. Ví dụ: Cách 1: Đổi biến Đặt Đổi cận: Cách 2: Vi phân hóa Ở ví dụ trên ta có, cách 1 là làm theo pp đổi biến, cách hai là vi phân hóa. Nhìn kỹ thì có thể thấy về bản chất 2 pp này giống nhau, chỉ khác về cách trình bày. Một cái chi tiết còn 1 cái ngắn gọn. Ở vi phân hóa (vph) thay vì đổi biến x sang biến t, ta sẽ coi ngầm trong đầu cả cái 2x là biến. Vậy muốn tính được tích phân với biến 2x thì sẽ phải làm xuất hiện d(2x). Mà theo công thức vi phân của hàm số thì df(x)=f’(x)dx hay dy=y’dx. Nên ta có d(2x)=(2x)’dx = 2dx. Vậy ta viết được tích phân theo ẩn 2x là => Một số ví dụ khác: Email: Jackie9x.spb@gmail.com Sau đây là các biểu thức vi phân quan trọng cần nhớ khi sử dụng phương pháp vi phân hóa: Email: Jackie9x.spb@gmail.com B. Nguyên hàm, tích phân từng phần có sử dụng vi phân hóa 1. Từng phần loại 1: Xen lẫn bình thường và sin, cos. Dạng ; Ta sẽ đưa lượng giác vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần. Quá trình này có thể thực hiện nhiều lần cho đến khi hết bình thường thì thôi. Ví dụ: Bài tập tự luyện : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 2. Từng phần loại 2: Xen lẫn bình thường và siêu việt Ta đưa siêu việt vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần cho tới khi nào hết bình thường thì thôi. Email: Jackie9x.spb@gmail.com Bài tập tự luyện : 1. 2. 3. Từng phần loại 3: Xen lẫn bình thường và logarit Dạng Ta đưa bình thường vào vi phân rồi thực hiện từng phần 4. Từng phần loại 4: Xen lẫn siêu việt và sinx, cosx Dạng ; Chọn siêu việt hoặc lượng giác đưa vào trong vi phân và thực hiện từng phần 2 lần. Khi đã chọn loại nào để đưa vào vi phân thì loại đó sẽ luôn được chọn cho bước kế tiếp. Sau khi đã xuất hiện biểu thức đầu tiên sau khi từng phần 2 lần thì thực hiện chuyển vế là ra kết quả. Ví dụ: + Cách 1: Đưa siêu việt vào trong vi phân Email: Jackie9x.spb@gmail.com + Cách 2: Đưa sinx, cosx vào trong vi phân Một số dạng nguyên hàm, tích phân cơ bản I. Dạng Phân thức này có tử là đa thức bậc n, mẫu là đa thức bậc m. Cách làm: 1. Nếu thì thực hiện chia đa thức tử cho đa thức mẫu để đưa về dạng 2. Nếu - Mẫu phân tích được thành tích: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. + B1: Phân tích mẫu thành nhân tử + B2: Dùng phương pháp hệ số bất định đưa phân thức về dạng : Email: Jackie9x.spb@gmail.com + B3: Tách phân thức đã cho thành tổng các phân thức thành phần - Mẫu ko phân tích được thành tích: thường thì sẽ gặp mẫu có dạng là đa thức bậc 2 không phân tích được thành tích. Bây giờ ta chú ý đến tử + Nếu tử là bậc 1, ta viết phân số về dạng (sử dụng đồng nhất hệ số để tìm A, B) sau đó tách phân số ra. + Nếu tử đã là bậc 0 rồi ta sẽ đưa mẫu về dạng và đặt X= a.tant II. Dạng + Nếu hàm lẻ với (tức ) + Nếu hàm lẻ với (tức ) + Nếu hàm chẵn với cả sinx và cosx (tức ) + Nếu hàm f không có tính chẵn, lẻ với sinx và cosx Khi đó : ; ; ; III. Dạng + Với f(x) là hàm số lẻ tức f(-x) = -f(x) => + Với f(x) là hàm số chẵn tức f(-x) = f(x) => Kết quả trên được rút ra từ việc biến đổi Email: Jackie9x.spb@gmail.com IV. Nếu trong tích phân có xuất hiện + + + + Khi đó : ; ; ; Lưu ý : Chỉ sử dụng các cách làm trên (lượng giác hóa) khi không còn cách biến đổi nào khác. Một số dạng nguyên hàm, tích phân đặc biệt 1. Dạng Đặt , Với k là bội chung nhỏ nhất của (n,m) 2. Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa tam thức bậc hai đầy đủ, sử dụng công thức Ơle: = 3. Dạng Biến đổi biểu thức trong căn về dạng tổng hoặc hiệu bình phương và áp dụng bảng nguyên hàm. Hoặc sử dụng CT Ơle nếu có thể. 4. Dạng Tách tử sao cho xuất hiện 2 (Là đạo hàm của tam thức bậc 2) Email: Jackie9x.spb@gmail.com 5. Dạng Hoặc với Đặt Bảng công thức nguyên hàm 0 1 . + B3: Tách phân thức đã cho thành tổng các phân thức thành phần - Mẫu ko phân tích được thành tích: thường thì sẽ gặp mẫu có dạng là đa thức bậc 2 không phân tích được thành tích. Bây giờ. các biểu thức vi phân quan trọng cần nhớ khi sử dụng phương pháp vi phân hóa: Email: Jackie9x.spb@gmail.com B. Nguyên hàm, tích phân từng phần có sử dụng vi phân hóa . 2. Nếu - Mẫu phân tích được thành tích: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. + B1: Phân tích mẫu thành nhân tử