Bài giảng toán cao cấp 2 (giải tích) chương 3 vi phân hàm nhiều biến

Bài giảng TOÁN CAO CẤP A2, C2 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 27 tháng năm 2021 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2, C2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 Giới hạn liên tục 3.2 Vi phân hàm nhiều biến 3.3 Cực trị hàm nhiều biến Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2, C2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 Giới hạn liên tục 3.2 Vi phân hàm nhiều biến 3.3 Cực trị hàm nhiều biến Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 Nội dung Giới thiệu môn học Tốn cao cấp A2, C2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 Giới hạn liên tục 3.2 Vi phân hàm nhiều biến 3.3 Cực trị hàm nhiều biến Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 Nội dung Giới thiệu mơn học Tốn cao cấp A2, C2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 Giới hạn liên tục 3.2 Vi phân hàm nhiều biến 3.3 Cực trị hàm nhiều biến Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG 3-1 Giới hạn liên tục 3-2 Vi phân hàm nhiều biến 3-3 Cực trị hàm nhiều biến Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 3.1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC NỘI DUNG Giới thiệu không gian Euclide n chiều Hàm nhiều biến Các mặt cong thông dụng Giới hạn hàm nhiều biến Hàm số liên tục Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 3.1.1 Giới thiệu không gian Euclide n chiều ♥ = 2, ❞ (P , ◗ ) = (①1 − ②1 )2 + (①2 − ②2 )2 ♥ = 3, ❞ (P , ◗ ) = (①1 − ②1 )2 + (①2 − ②2 )2 + (①3 − ②3 )2 R♥ = {(①1 , ①2 , , ①♥ ) |①k ∈ R, ∀❦ = 1, 2, , ♥ } P (①1, ①2, , ①♥ ) , ◗ (②1, ②2, , ②♥ ) ∈ R♥ ❞ (P , ◗ ) = ||P − ◗ || = Thac si Nguyen Cong Nhut (①1 − ②1 )2 + (①2 − ②2 )2 + + (①♥ − ②♥ )2 Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 3.1.2 Hàm nhiều biến Định nghĩa Ánh xạ ❢ : R♥ → R gọi hàm số ♥ biến thực, hay gọi tắt hàm ♥ biến xác định tập hợp ❉ (❢ ) ⊂ R♥ ● (❢ ) = (① , ② , ❢ (① , ② )) ∈ R3 : (① , ② ) ∈ ❉ (❢ ) ♥ biến Hàm Ví dụ Đồ thị hàm ③= Thac si Nguyen Cong Nhut − ① − ② nửa mặt cầu tâm O, bán kính Hình: Tốn cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 / 51 3.1.3 Các mặt cong thông dụng Mặt phẳng Mặt phẳng đồ thị hàm hai biến tuyến tính ③ = ❛① + ❜② + ❝ , hay mặt phẳng (tức tập điểm) có phương trình ❆① + ❇② + ❈③ + ❉ = Mặt bậc suy biến Tập rỗng: chẳng hạn có phương trình Một điểm: ① = −1 ①2 + ②2 + ③2 = Một đường thẳng: ① + ② = Hai mặt phẳng song song: ① = Hai mặt phẳng giao nhau: ①② = Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 10 / 51 3.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao vi phân cấp cao Vi phân cấp cao Định nghĩa ③ = ❢ (① , ② ) có vi phân tồn phần ❞③ = ∂∂①③ · ❞① + ∂∂②③ · ❞② Vi phân lại hàm theo hai biến ① , ② Nếu ❞③ lại có vi phân tồn phần ta gọi vi phân tồn phần ❞③ vi phân tồn phần cấp hai, kí hiệu ❞ 2③ ❞ 2③ = ❞ 2❢ = ∂∂①2❢2 ❞① + ∂∂①2∂❢② ❞①❞② + ∂∂②2❢2 ❞② = ❢①① ❞① + 2❢①② ❞①❞② + ❢②② ❞② Xét hàm số Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 37 / 51 3.3 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG Cực trị địa phương (tự do) Cực trị có điều kiện Thac si Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 38 / 51 3.3.1 Cực trị địa phương (tự do) Định nghĩa ③ = ❢ (① , ② ) xác định (①0, ②0 ) Ta nói ❢ đạt cực đại địa phương (①0, ②0 ) với điểm (① , ② ) gần (①0 , ②0 ) ta có ❢ (① , ② ) < ❢ (①0 , ②0 ) ❢ đạt cực tiểu địa phương (①0, ②0 ) với điểm (① , ② ) gần (①0 , ②0 ) ta có ❢ (① , ② ) > ❢ (①0 , ②0 ) Cho hàm số Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung cực trị địa phương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 39 / 51 3.3.1 Cực trị địa phương (tự do) Định lí (điều kiện cần cực trị) Nếu hàm ③ = ❢ (① , ② ) có cực trị địa phương (①0 , ②0 ) giả sử đạo hàm riêng cấp ❢① (①0 , ②0 ), ❢② (①0 , ②0 ) tồn hữu hạn ❢① (①0, ②0 ) = ❢② (①0, ②0 ) = Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 40 / 51 3.3.1 Cực trị địa phương (tự do) Quy tắc tìm cực trị hàm z = f(x, y) (có đạo hàm riêng hữu hạn) Bước Tính đạo hàm riêng Bước Giải hệ phương trình sau để tìm điểm dừng ❢① ( ① , ② ) = ❢② ( ① , ② ) = Bước Ứng với điểm dừng (①0 , ②0 ), ta đặt ❆ = ❢①① (①0, ②0 ) , ❇ = ❢①② (①0, ②0 ) , ❈ = ❢②② (①0, ②0 ) , ∆ = ❆❈ − ❇ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 41 / 51 3.3.1 Cực trị địa phương (tự do) Quy tắc tìm cực trị hàm z = f(x, y) (có đạo hàm riêng hữu hạn) Bước Ứng với điểm dừng (①0 , ②0 ), ta đặt ❆ = ❢①① (①0, ②0 ) , ❇ = ❢①② (①0, ②0 ) , ❈ = ❢②② (①0, ②0 ) , ∆ = ❆❈ − ❇ Nếu ∆ > ❢ đạt cực trị địa phương (①0 , ②0 ) ❆ > đạt cực tiểu địa phương (①0, ②0 ) ❆ < ❢ đạt cực đại địa phương (①0, ②0 ) Nếu ∆ < khơng đạt cực trị địa phương (①0 , ②0 ) Nếu ∆ = ta chưa có kết luận Cần sử dụng định nghĩa để xét Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 42 / 51 3.3.1 Cực trị địa phương (tự do) Quy tắc tìm cực trị hàm z = f(x, y) (có đạo hàm riêng hữu hạn) Ví dụ 10 Tìm cực trị địa phương hàm số Ta tìm điểm tới hạn ❢① ❢② ❢ (① , ② ) = −① − ② + 2① + 4② + = − 2① + = ⇔ = − 2② + = ① =1 ② =2 Ta có ❢①① = −2, ❢①② = 0, ❢②② = −2 Tại ▼ (1; 2) ta có ❆ = ❢①① (1; 2) = −2, ❇ = ❢①② (1; 2) = 0, ❈ = ❢②② (1; 2) = −2 ⇒ ∆ = > ❆ = −2 < nên ❢ đạt cực đại địa phương (1; 2), ❢max (1; 2) Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 43 / 51 3.3.2 Cực trị có điều kiện Định nghĩa ③ = ❢ (① , ② ) với điều kiện ràng buộc ϕ(① , ② ) = Ta nói ❢ đạt cực đại (①0, ②0 ) với điều kiện ϕ(① , ② ) = với điểm (① , ② ) thỏa mãn ϕ(① , ② ) = gần (①0 , ②0 ) ta có ❢ (① , ② ) < ❢ (①0, ②0 ) ❢ đạt cực tiểu (①0, ②0 ) với điều kiện ϕ(① , ② ) = với điểm (① , ② ) thỏa mãn ϕ(① , ② ) = gần (①0 , ②0 ) ta có ❢ (① , ② ) > ❢ (①0, ②0 ) Cực đại hay cực tiểu với điều kiện ϕ(① , ② ) = gọi chung cực trị với điều kiện ϕ(① , ② ) = Cho hàm số Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 44 / 51 3.3.2 Cực trị có điều kiện Trường hợp ϕ(① , ② ) = rút ① theo ② ② theo ① Ví dụ 11 Tìm cực trị hàm số ③ = − ① − ② với điều kiện ① + ② = Ta có ② = − ① , thay vào ta ③ = − ① − (1 − ① )2 = ① − ① ⇒ ③ = 2(1 − 2① ) = ⇔ ① = Ta thấy ③ = 21 , 12 ① − ①2 Thac si Nguyen Cong Nhut đạt cực đại ② = 21 ① = 12 Do ③ = ❢ (① , ② ) đạt cực đại Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 45 / 51 3.3.2 Cực trị có điều kiện Trong trường hợp ϕ(① , ② ) = khơng tính ① theo ② ② theo ① Bước Lập hàm Lagrange ▲(① , ② ) = ❢ (① , ② ) + λϕ(① , ② ) (λ tham số thêm vào) Bước Tính ▲① = ❢① + λϕ① ; ▲② = ❢② + λϕ② Giải hệ phương trình    ▲① ( ① , ② ) = ▲② ( ① , ② ) =   ϕ(① , ② ) = Bước Tính ❞ 2▲ (①0, ②0 ) = ▲①① (①0, ②0 ) ❞① + 2▲①② (①0, ②0 ) ❞①❞② + ▲②② (①0, ②0 ) ❞② Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 46 / 51 3.3.2 Cực trị có điều kiện Trong trường hợp ϕ(① , ② ) = khơng tính ① theo ② ② theo ① Từ ϕ(① , ② ) = ⇔ ❞ ϕ (①0 , ②0 ) = ϕ① (①0 , ②0 ) ❞① + ϕ② (①0 , ②0 ) ❞② = ta tính ❞② theo ❞① ❞① theo ❞② Thay vào biểu thức ❞ ▲ (①0 , ②0 ), ta có trường hợp sau Nếu ❞ ▲ (①0 , ②0 ) > với đạt cực tiểu (①0 , ②0 ) ❞① ❞② không đồng thời hàm Nếu ❞ ▲ (①0 , ②0 ) < với đạt cực đại (①0 , ②0 ) ❞① ❞② không đồng thời hàm Nếu dấu (①0 , ②0 ) Thac si Nguyen Cong Nhut ❞ 2▲ (①0, ②0 ) khơng xác định hàm khơng đạt cực trị Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 47 / 51 3.3.2 Cực trị có điều kiện Trong trường hợp ϕ(① , ② ) = khơng tính ① theo ② ② theo ① Ví dụ 12 Tìm cực trị hàm số ③ = − 4① − 3② với điều kiện Ta có ϕ(① , ② ) = ① + ② − Lập hàm Lagrange ▲ = ▲(① , ② , λ) = − 4① − 3② + λ ① + ② − Tìm điểm tới hạn   ▲① = −4 + 2λ① = ▲② = −3 + 2λ② =   ① + ②2 = ①2 + ②2 = Ta thấy λ = khơng nghiệm nên Thac si Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 48 / 51 3.3.2 Cực trị có điều kiện Trong trường hợp ϕ(① , ② ) = khơng tính ① theo ② ② theo ①   ① = λ ② = 2λ3   ① + ②2 = ⇔ λ = 52 ⇒ ① = 45 , ② = 53 ⇒ ▼ 45 ; 35 λ = 52 λ = − 25 ⇒ ① = − 45 , ② = − 35 ⇒ ◆ − 54 ; − 35 λ = − 52 Ta có ▲①① = 2λ, ▲①② = 0, ▲②② = 2λ, ϕ① = 2① , ϕ② = 2② Tại ▼ 45 ; 53 λ = 52 ta có ❞ ▲(❞① , ❞② ) = 5❞① + 5❞② 85 ❞① + 65 ❞② = ⇒ ❞② = − 43 ❞① ❞ ▲(❞① , ❞② ) = + 16 ❞① > Vậy ▼ 45 ; 53 điểm cực tiểu có điều kiện Thac si Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 49 / 51 3.3.2 Cực trị có điều kiện Trong trường hợp ϕ(① , ② ) = khơng tính ① theo ② ② theo ① Tại ◆ − 54 ; − 35 λ = − 52 ta có ❞ ▲(❞① , ❞② ) = −5❞① − 5❞② − 85 ❞① − 65 ❞② = ⇒ ❞② = − 43 ❞① ❞ ▲(❞① , ❞② ) = −5 + 16 ❞① < Vậy ◆ − 54 ; − 35 điểm cực đại có điều kiện Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 50 / 51 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG Bài tập Cho hàm ẩn ② = ❢ (① ) xác định phương trình + ①② − ln ❡ ①② + ❡ −①② = Tính ② Bài tập Cho hàm ẩn Tính ③① , ③② ② = ❢ (① , ② ) xác định phương trình ① + ② + ③ + 6①②③ = Bài tập Tìm cực trị địa phương hàm số ❢ (① , ② ) = ① + ② − 6①② Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 2021 51 / 51 ... học Tốn cao cấp A2, C2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3. 1 Giới hạn liên tục 3 .2 Vi phân hàm nhiều biến 3. 3 Cực trị hàm nhiều biến Bài tập... học Tốn cao cấp A2, C2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3. 1 Giới hạn liên tục 3 .2 Vi phân hàm nhiều biến 3. 3 Cực trị hàm nhiều biến Bài tập... BIẾN VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3. 1 Giới hạn liên tục 3 .2 Vi phân hàm nhiều biến 3. 3 Cực trị hàm nhiều biến Bài tập ôn tập chương Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2, C2 Ngày 27 tháng năm 20 21