SLIDE bài giảng toán cao cấp đại số tuyến tính

ĐạI HọC KINH Tế QUốC DÂN LOGO BàI GIả GIảNG ĐIệN Tử TOáN CAO CấP - đại số tuyến tính Giảng viên: Đoàn Trọng Tuyến Mobile: 0989-355-056 Email: doantrongtuyen@gmail.com ðề kiểm tra: http://doantrongtuyen.wordpress.com Tài liệu học tập: • Tốn Cao Cấp (Tập – ðại số tuyến tính), Bộ mụn Toỏn C Bn Nội dung chơng trình toán cao cấp Chơng Ma trận - Định thức Ma trận phép toán ðịnh thức Phương pháp tính định thức Ma trận nghịch đảo Chơng Hệ phơng trình tuyến tính Cỏc khỏi niệm hpt… Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Gauss) Hệ phương trình H Cramer Chơng Không gian vectơ Vect n chiều không gian vectơ Các mối liên hệ tuyến tính KGVT Cơ sở khơng gian vect Chơng Ma trận - định thức Bi Các khái niệm ma trận I II III Các khái niệm ma trận Khái niệm ma trận ðẳng thức ma trận Ma trận khơng ma trận đối Các dạng ma trận Ma trận vuông Ma trận tam giác Ma trận ñường chéo ma trận ñơn vị Các phép biến ñổi ma trận Các phép biến ñổi sơ cấp Phép chuyển vị ma trận I Các khái niệm ma trận Khái niệm ma trận ðN: Ma trận bảng số xếp theo hình chữ nhật, ma trận có m dòng, n cột gọi có cấp m × n Ký hiệu:  a11 a12 a a 22 21  A= ⋯ ⋯   a m1 a m2 ⋯ a1n  ⋯ a 2n   ⋯ ⋯  ⋯ a mn m×n a ij phần tử nằm dòng i, cột j ma trận A Ký hiệu dạng thu gọn: Ví dụ: A = ( a ij ) m×n Xét ma trận: Cấp A bao nhiêu?  −4  A =  −6 −9    8   3× Trong đó: a12 = −4 a 32 = a 24 = −9 I Các khái niệm ma trận Khái niệm ma trận Một câu hỏi ñặt là: Ma trận ñược thường ñược dùng nào? TRONG THỐNG KÊ KINH TẾ Ví dụ: Thơng tin lợi nhuận quý hệ thống cửa hàng (A, B, C) ñược cho thành bảng sau: Quý C-Hàng A 30 - 25 43 12 B 21 37 - 24 52 C -4 14 17 - 26 Thông tin tóm tắt cách ngắn gọn ma trận số sau:  30 −25 43 12  A =  21 37 −24 52     −4 14 17 −26    I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Trong khơng gian ℝ n cho m vectơ X1 , X ,…, X m m số thực α1 , α ,…, α m α1X1 + α X +⋯ + α m X m ∈ ℝ n ðN: ( ) * Mỗi tổng ( ) , α1 , α ,…, α m số thực cho trước * gọi tổ hợp tuyến tính vectơ X1 , X ,… , X m Các số α1 , α ,…, α m ñược gọi hệ số tổ hợp tuyến tính ñó ðịnh lý: Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính vectơ n chiều X1 , X ,…, X m cho trước không gian không gian ℝ n I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính ðN: Ta nói vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ X1 , X ,… , X m vectơ tổ hợp tuyến tính hệ vectơ Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ X1 , X ,… , X m Nếu tồn m số α1 , α ,…, α m cho: X = α1X1 + α X + … + α m X m Ví dụ 1: Cho vectơ X1 = ( 2, −4 ) X = ( 3,5 ) X = ( 5,1)    ⇒ X = 1.X1 + 1.X   Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ {X1 , X } hay không? Trả lời: Biểu diễn Ví dụ 2: Cho vectơ X1 = ( 3, −1,0,5 ) X = ( 4, −2,0,3) X = ( 7, −1,0, ) X = ( 2, −4,7, −3) Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ {X1 , X , X } hay không? Trả lời: Không biểu diễn ñược ∀α1 , α , α3 NX: ⇒ X ≠ α1.X1 + α X + α3 X Vectơ khơng ln biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ chiều: 0n = 0.X1 + 0.X + ⋯ + 0.X n Biểu diễn ñược gọi biểu diễn tầm thường II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính ðN: Ta nói hệ vectơ X1 , X ,… , X m phụ thuộc tuyến tính tồn m số thực α1 , α ,…, α m , có số khác 0, cho: α1X1 + α X + ⋯ + α m X m = 0n ( ) * Ngược lại, ñẳng thức ( ) thỏa mãn tất hệ số vế trái * ( α1 = α = ⋯ = α m = ) ta nói hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Xem xét hệ thức ( ) dạng biểu diễn vectơ 0n qua hệ X1 , X ,… , X m * Có α i ≠ ⇒ Phụ thuộc tuyến tính 0n = α1X1 + α X + ⋯ + α m X m α1 =α2 =⋯=αm = ⇒ ðộc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính BT: Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Xét xem hệ vectơ X1 , X ,… , X m ñộc lập hay phụ thuộc tuyến tính α1X1 + α X + ⋯ + α m X m = 0n Xét hệ thức: ( ) * Viết lại (*) dạng ñẳng thức vectơ dạng cột:  a11   a12   a1m    a  a  a  0 α1  21  + α  22  + ⋯ + α m  2m  =    ⋮   ⋮   ⋮  ⋮         a a a  n1   n2   nm    X1 X2 Có α i ≠ ⇒ PT α1 =α2 =⋯=αm = ⇒ ðL 0n Xm ðưa hệ vectơ hệ nhất:  a11α1 a α  21   ⋯ a n1α1 X1 + a12 α + a 22 α ⋯ + a n 2α2 X2 + ⋯ + a1m α n = + ⋯ + a 2m α n = ⋯ ⋯ + ⋯ + a nm α n Xm ⋯ = 0n Hệ TN có ma trận hệ số:  a11 a12 ⋯ a1n  a  a ⋯ a 22 2n  A =  21 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯    a a ⋯ a n2 nm  n×m  n1 = ( X1X ⋯ X m ) II Sự phụ thuộc – ñộc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Thuật tốn xét hệ vectơ X1 , X ,… , X m độc lập – phụ thuộc tuyến tính: Bước 1: Lập ma trận A, với cột vectơ X1 , X ,… , X m Bước 2: Sử dụng phép biến ñổi sơ cấp, ñưa A dạng (tam giác hình thang), A đưa tam giác (có nghiệm nghiệm 0) hệ độc lập; Ngược lại, A đưa dạng hình thang (vơ số nghiệm), hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 1: Xét hệ vectơ không gian vectơ ℝ n E1 = (1,0,0,… ,0 ) E = ( 0,1,0,…,0 ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ E n = ( 0,0,0,…,1) Lời giải: Lập ma trận A: 1 0 A= ⋯  0 E1 ⋯ E2 ⋯ 0 ⋯  ⋯ ⋯  ⋯ 1 En Hệ vectơ độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 2: Xét hệ vectơ không gian vectơ ℝ X1 = ( 2, −1,6 ) , X = ( 3, 2, −5 ) , X = ( 2,6, −3) Lời giải: Lập ma trận A: 2 2 A =  −1     −5 −3    Biến ñổi sơ cấp A ta ñược: ×1 ×(−3) 2 2  → A =  −1  ×2    −5 −3  ×1    → 2   14     0 19    ⇒ 2 2  14  ×2    −14 −9  ×1    → Hệ vectơ cho độc lập tuyến tính II Sự phụ thuộc – ñộc lập tuyến tính Một số ví dụ Ví dụ 3: Xét hệ vectơ không gian vectơ ℝ X1 = ( 4, −2,3) , X = ( −1,5,3) , X = ( 2, −4, −1) Lời giải: Lập ma trận A:  −1  A =  −2 −4     3 −1    Biến ñổi sơ cấp A ta được: ×1 ×(−3)  −1   → A =  −2 −4  ×2    3 −1  ×4    →  −1   −6    0 0    ⇒  −1   −6  ×(−5)  →    15 −10  ×3   Hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính Bài Cơ sở khơng gian vectơ ðịnh nghĩa sở Tọa ñộ vectơ sở ðịnh nghĩa sở ðN: n Trong không gian vectơ ℝ , hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính gọi sở Muốn chứng minh hệ vectơ X1 , X ,… , X r sở ℝ n : Số vectơ = Số chiều (r = n) Hệ vectơ X1 , X ,… , X r phải ðLTT ⇐ Dùng khử Gauss ðịnh nghĩa sở n Ví dụ 1: Trong khơng gian ℝ , hệ vectơ sau độc lập tuyến tính E1 = (1,0,…,0 ) E = ( 0,1,… ,0 ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ E n = ( 0,0,… ,1) n Hệ vectơ {E1 , E ,…, E n } sở ℝ , ñược gọi hệ sở ñơn vị ðịnh nghĩa sở Ví dụ 2: Trong khơng gian ℝ hệ vectơ sau có sở khơng? X1 = ( 3, −1, ) , X = ( −1, 4,3) , X = (1, 2, −1) Hệ ba vectơ có sở ℝ hay khơng? ×1 ×( −2)  −1   → A =  −1  ×3    −1 ×3    →  −1   11     0 −12    ⇒  −1   11  ×(−1)  →    11 −5  ×1   Hệ vectơ cho sở ℝ Tọa ñộ vectơ sở ðL: n Trong không gian vectơ ℝ , cho trước sở Khi đó, vectơ biểu diễn tuyến tính cách qua sở n n Cụ thể: Giả sử P1 , P2 ,…, Pn sở ℝ , với X ∈ ℝ , tồn n số thực α1 , α ,…, α n cho: X = α1P1 + α P2 + ⋯ + α n Pn ðN: α1P1  a11α1 a α  21   ⋯ a n1α1 P1 ( ) * Bộ gồm n số thực ( α1 , α ,… , α n ) ( ) ñược gọi tọa ñộ + α P2 + ⋯ + α n Pn = X * Hệ có ma trận mở rộng: vectơ X hệ sở P1 , P2 ,… , Pn + a12 α + a 22 α ⋯ + a n 2α2 P2 + ⋯ + a1n α n + ⋯ + a 2n α n ⋯ ⋯ + ⋯ + a nn α n Pn = b1 = b2 ⋯ = bn X  a11 a12 a a 22 21  A= ⋯ ⋯   a n1 a n ⋯ a1n ⋯ a 2n ⋯ ⋯ ⋯ a nn b1  b  ⋯  bn  Tọa ñộ vectơ sở Ví dụ 3: Trong khơng gian vectơ ℝ , cho hệ sở: P1 = ( 2,0, −3) , P2 = ( −1,0, ) , P3 = ( 4,3,0 ) Tìm tọa độ vectơ X = ( 5,6,7 ) hệ sở ðáp số: Giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng A  −1  A =  0 6    −3    ñược nghiệm tọa ñộ X hệ sở ñã cho: ( α1 = −1, α = 1, α3 = ) ... liệu học tập: • Tốn Cao Cấp (Tập – ðại số tuyến tính) , Bộ mơn Tốn Cơ Bản Nội dung chơng trình toán cao cấp Chơng Ma trận - Định thức Ma trn v cỏc phép tốn ðịnh thức Phương pháp tính định thức Ma... Các dạng ma trận Ma trận vuông ðN: Ma trận vng ma trận có số dòng số cột Một ma trận có số dòng số cột n gọi ma trận vng cấp n Ma trận vng cấp n có dạng tổng quát:  a11 a12 a a 22 A =  21 ⋯...  2   − −   Bài I II Các phép toán ma trận Phép cộng ma trận nhân ma trận với số ðịnh nghĩa phép tốn Các tính chất Phép nhân ma trận với ma trận ðịnh nghĩa phép toán Các tính chất I Phép