Bài viết Các bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân với đạo hàm phân số g-Caputo đưa ra một ví dụ để minh họa việc dùng bất đẳng thức kiểu Lyapunov chứng minh bài toán đang xét không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường. Mời các bạn cùng tham khảo!
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU LYAPUNOV CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐẠO HÀM PHÂN SỐ G-CAPUTO Lê Quang Long1 Khoa Sư phạm Email: longlq@tdmu.edu.vn, TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi xét phương trình vi phân với đạo hàm phân số g-Caputo 𝐶 𝛼,𝑔 𝐷 𝑦(𝑡) + 𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) = 0, 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, { 𝑎+ 𝑦(𝑎) = 𝑦 ′ (𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, với < 𝛼 ≤ 3, 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏], 𝑞: [𝑎, 𝑏] ⟶ 𝑅 hàm liên tục Chúng thu bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho toán sau: 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ Γ(𝛼) 𝑎 Kết chưa cơng bố trước Từ khố: bất đẳng thức kiểu Lyapunov, đạo hàm phân số Caputo, hàm Green GIỚI THIỆU Xét phương trình vi phân cấp { y"(t) + r(t)y(t) = 0, a < t < b, (1.1) 𝑦(𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, với r(t) hàm liên tục đoạn [a,b] Lyapunov (1907) chứng minh y(t) nghiệm không tầm thường phương trình (1.1) 𝑏 ∫|𝑟(𝑡)|𝑑𝑡 > 𝑎 (1.2) 𝑏−𝑎 Bất đẳng thức (1.2) gọi bất đẳng thức Lyapunov Gần đây, hướng nghiên cứu đạo hàm phân số trọng, nhiều nhà nghiên cứu tìm cách xây dựng bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân với đạo hàm phân số đạo hàm phân số Riemann-Liouville, đạo hàm phân số Caputo, đạo hàm phân số Hilfer,… (xem thêm S K Ntouyas (2019), S K Ntouyas (2021)) Năm 2014, Ferreira thay đạo hàm cấp toán (1.1) thành đạo hàm phân số Caputo 𝐶𝑎𝐷𝛼 ( ) Cụ thể, Ferreira xét toán 𝐶 {𝑎 𝐷 𝛼 y(t) + q(t)y(t) = 0, a < t < b, < 𝛼 ≤ 2, (1.3) 𝑦(𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, 718 với q(t) hàm liên tục đoạn [a,b], thu bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho toán (1.3) sau (Ferreira (2014)) : 𝑏 Γ(𝛼)𝛼 𝛼 (1.4) [(𝛼 − 1)(𝑏 − 𝑎)]𝛼−1 ∫|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 > 𝑎 Trong báo này, thay đạo hàm phân số Caputo toán (1.3) đạo hàm phân số bên trái g-Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼,𝑔 ( ), xét trường hợp bậc 𝛼 cao hơn, bổ sung thêm điều kiện ban đầu Cụ thể, xét toán: 𝐶 𝛼,𝑔 𝐷 y(t) + q(t)y(t) = 0, a < t < b, < 𝛼 ≤ 3, (1.5) { 𝑎+ 𝑦(𝑎) = 𝑦 ′ (𝑎) = 𝑦(𝑏) = với g ∈ C+ [a, b], q: [a, b] ⟶ R hàm liên tục Chúng thu bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho toán (1.5) sau (xem Định lý 3.3): 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ Γ(𝛼) (1.6) 𝑎 Kết chưa cơng bố trước Và để kết thúc báo cáo, đưa ví dụ (Ví dụ 3.5) để minh hoạ việc dùng bất đẳng thức kiểu Lyapunov chứng minh tốn xét khơng có nghiệm khác ngồi nghiệm tầm thường CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này, nhắc lại số khái niệm kết bản, khái niệm kết tìm thấy I Podlubny (1999), R Almeida (2017), S K Ntouyas (2021), T.J Osler (1970) Trước hết, thuận tiện, ta ký hiệu: 𝐶+1 [𝑎, 𝑏] = {𝑔 ∈ 𝐶 [𝑎, 𝑏]: 𝑔′ (𝑡) > 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]} Định nghĩa 2.1 (I Podlubny, 1999) Cho hàm 𝜙(𝑡) ∈ 𝐶 𝑛 [𝑎, 𝑏], 𝑛 ∈ 𝑁 + , 𝛼 ∈ (𝑛 − 1, 𝑛) Khi đó, đạo hàm phân số Caputo bậc 𝛼 định nghĩa 𝑡 𝐶 𝛼 𝑎𝐷 𝜙(𝑡) = ∫(𝑡 − 𝑠)𝑛−𝛼−1 𝜙 (𝑛) (𝑠)𝑑𝑠, 𝛤(𝑛 − 𝛼) 𝑎 với 𝛤( ) hàm Gamma Định nghĩa 2.2 (T.J Osler, 1970) Cho 𝛼 > 0, 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏], 𝜙 ∈ 𝐶 [𝑎, 𝑏] Tích phân phân số hàm 𝜙 tương ứng với hàm g định nghĩa 𝑡 𝛼,𝑔 𝐼𝑎+ 𝜙(𝑡) = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝜙(𝑠)𝑑𝑠 𝛤(𝛼) 𝑎 719 Định nghĩa 2.3 (R Almeida, 2017) Cho 𝛼 > 0; 𝑛 ∈ 𝑁 + ; 𝑔, 𝜙 ∈ 𝐶 𝑛 [𝑎, 𝑏] hai hàm thoả 𝑔′ (𝑡) > 0, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] Đạo hàm phân số bên trái g-Caputo hàm 𝜙 với bậc 𝛼 định nghĩa 𝐶 𝛼,𝑔 𝜙(𝑡) 𝑎+𝐷 = 𝑛−𝛼,𝑔 𝐼𝑎+ 𝑑 𝑛 ( ) 𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡 1 𝑑 𝑛 𝑛−𝛼−1 ′ (𝑠) = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)] 𝑔 ( ′ ) 𝜙(𝑠)𝑑𝑠, 𝛤(𝑛 − 𝛼) 𝑔 (𝑠) 𝑑𝑠 𝑎 với 𝑛 = [𝛼] + 𝛼 ∉ 𝑁, 𝑛 = 𝛼 𝛼 ∈ 𝑁 Trường hợp 𝑔(𝑡) = 𝑡, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] đạo hàm phân số bên trái g-Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼,𝑔 ( ) trở thành đạo hàm phân số Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼 ( ) Bổ đề 2.4 (R Almeida, 2017) Cho 𝑛 ∈ 𝑁 + , 𝑛 − < 𝛼 < 𝑛 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏] Với 𝜙 ∈ 𝐶 𝑛 [𝑎, 𝑏], ta có 𝑛−1 𝛼,𝑔 (𝐼𝑎+ 𝑎+𝐶𝐷 𝛼,𝑔 𝜙)(𝑡) = 𝜙(𝑡) + ∑ 𝑐𝑘 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)]𝑘 , 𝑐𝑘 ∈ 𝑅, (𝑘 = 0, … , 𝑛 − 1) 𝑘=0 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Bổ đề 3.1 Cho < 𝛼 ≤ 3, 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏] Giả sử 𝑦(𝑡) nghiệm tốn (1.5) Khi đó, 𝑦(𝑡) có dạng 𝑏 𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑠)[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠, 𝛤(𝛼) 𝑎 với 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) ( ) −( ) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) 𝐺(𝑡, 𝑠) = { , 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) ( ) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 𝑏 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) (3.1) Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.4, ta 𝛼,𝑔 𝑦(𝑡) = −𝐼𝑎+ 𝑦(𝑡)𝑞(𝑡) + 𝑐0 + 𝑐1 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] + 𝑐2 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)]2 , (𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝑅) 𝑡 −1 = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 + 𝑐0 + 𝑐1 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] + 𝑐2 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)]2 Γ(𝛼) 𝑎 Từ điều kiện 𝑦(𝑎) = 0, ta phải có 𝑐0 = Mặt khác: [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑎)𝑞(𝑎)𝑦(𝑎) 𝑦 ′ (𝑡) = Γ(𝛼) 𝑡 𝑔′ (𝑡) − ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−2 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 + 𝑐1 𝑔′ (𝑡) Γ(𝛼) 𝑎 + 𝑐2 𝑔′(𝑡)[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] 720 Vì 𝑔′ (𝑡) > 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦′(𝑎) = nên 𝑐1 = Từ 𝑦(𝑏) = 0, ta 𝑏 −1 0= ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 + 𝑐2 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)]2 , Γ(𝛼) 𝑎 hay 𝑏 𝑐2 = ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)]2 Γ(𝛼) 𝑎 Suy 𝑡 −1 𝑦(𝑡) = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 Γ(𝛼) 𝑎 𝑏 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) +( ) ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) Γ(𝛼) 𝑎 𝑏 = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑠)[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 Γ(𝛼) 𝑎 với 𝐺(𝑡, 𝑠) = 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) ( ) −( ) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) , 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) ( ) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 𝑏 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) { Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.2 Cho hàm Green xác định (3.1) Khi đó, 𝑚𝑎𝑥 |𝐺(𝑡, 𝑠)| = 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] Hơn nữa, |𝐺(𝑡, 𝑠)| = t=s= b 𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎) Chứng minh Trường hợp 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 𝑏 𝐺(𝑡, 𝑠) = (𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)) Dễ thấy ≤ 𝐺(𝑡, 𝑠) ≤ 1, G(t,s)=1 t=s= b (3.2) Trường hợp 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, xét hàm 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) ℎ(𝑡, 𝑠) = ( ) −( ) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) , 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, < 𝛼 ≤ Cố định 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] lấy đạo hàm ℎ(𝑡, 𝑠) theo biến 𝑠, ta 𝛼−2 𝜕ℎ 𝑔′ (𝑠)[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑡)] 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) (𝑡, 𝑠) = (𝛼 − 1) ( ) 𝜕𝑠 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]2 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) 721 ≥ 0, ∀ 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏 Từ đó, ℎ(𝑡, 𝑠) hàm đồng biến theo biến 𝑠, hay ℎ(𝑡, 𝑎) ≤ ℎ(𝑡, 𝑠) < ℎ(𝑡, 𝑡) = 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] Suy 𝑚𝑎𝑥 |ℎ(𝑡, 𝑠)| = |ℎ(𝑡, 𝑎)| (3.3) 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] Kết hợp (3.2) (3.3), ta max |𝐺(𝑡, 𝑠)| = max{1, max |ℎ(𝑡, 𝑎)| } 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] 𝑡∈[𝑎,𝑏] Để tìm max |ℎ(𝑡, 𝑎)| ta xét hàm: 𝑡∈[𝑎,𝑏] 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) ℎ(𝑡, 𝑎) = ( ) −( ) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) , 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], < 𝛼 ≤ Ta có 𝛼−2 𝜕ℎ 𝑔′ (𝑡)[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) (𝑡, 𝑎) = [2 − (𝛼 − 1) ( ) 𝜕𝑡 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) ], 𝜕ℎ 𝜕𝑡 (𝑡, 𝑎) = ⇔ 𝑡 = 𝑎 𝑡 = 𝑡 ∗ , với 𝑡 ∗ xác định từ 𝛼−2 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] + 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡 ∗ ) = ( ) 𝛼−1 Lưu ý, 𝑔′(𝑡) > 0, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] nên 𝑎 < 𝑡 ∗ < 𝑏 Vì ℎ(𝑎, 𝑎) = ℎ(𝑏, 𝑎) = nên 𝛼−3 𝛼−2 𝛼−2 max |ℎ(𝑡, 𝑎)| = |ℎ(𝑡 ∗ , 𝑎)| = | ( ) [1 − ( ) ] | < 1, (𝛼 < < 3) 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] 𝛼−1 𝛼−1 |ℎ(𝑡 ∗ , 𝑎)| = 𝛼 = Vậy max |𝐺(𝑡, 𝑠)| = 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] |𝐺(𝑡, 𝑠)| = 𝑡 = 𝑠 = 𝑏 Định lý 3.3 Giả sử tốn (1.5) có nghiệm khơng tầm thường 𝑦(𝑡) Khi 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ 𝛤(𝛼) 𝑎 Chứng minh Từ Bổ đề 3.1, ta có |𝑦(𝑡)| ≤ 𝑏 ∫ |𝐺(𝑡, 𝑠)|[𝑔(𝑏) Γ(𝛼) 𝑎 722 − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)||𝑦(𝑠)|d𝑠, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], ≤ ||𝑦|| 𝑏 ∫ [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|d𝑠 Γ(𝛼) 𝑎 Suy ||𝑦|| ≤ ||𝑦|| 𝑏 ∫ [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|d𝑠, Γ(𝛼) 𝑎 hay 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ Γ(𝛼) 𝑎 Xét 𝑔(𝑡) = 𝑡, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] , đạo hàm bên trái g-Caputo hàm Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼 ( ) Từ Định lý 3.3, ta hệ quả: 𝐶 𝛼,𝑔 ( ) 𝑎+𝐷 trở thành đạo Hệ 3.4 Xét toán 𝐶 𝛼 𝐷 𝑦(𝑡) + 𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) = 0, 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, < 𝛼 ≤ 3, { 𝑎+ (3.4) 𝑦(𝑎) = 𝑦 ′ (𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, với 𝑞: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 hàm liên tục Nếu 𝑏 ∫(𝑏 − 𝑠)𝛼−1 |𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 < 𝛤(𝛼) 𝑎 tốn (3.4) khơng có nghiệm khác ngồi nghiệm tầm thường Ví dụ 3.5 Xét toán { 5𝑡 𝑦(𝑡) = 0, < 𝑡 < 1, (3.5) 𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 𝑦(1) = 𝐶 1,5 0+𝐷 𝑦(𝑡) + Ta thấy ∫ (1 − 𝑠)0,5 𝑠𝑑𝑠 = < Γ(1,5) ≈ 0.88623 nên theo Hệ 3.4, tốn (3.5) có nghiệm tầm thường KẾT LUẬN Trong báo cáo này, xây dựng bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho toán (1.5) (Định lý 3.3) Kết chưa cơng bố trước Hướng phát triển tiếp theo, thử thay đổi điều kiện toán (1.5), thay đạo hàm phân số khác đạo hàm phân số Hilfer, đạo hàm phân số Hadamard, Chúng xin cảm ơn nhận xét, góp ý người đọc cho chúng tơi, đặc biệt góp ý hữu ích Nguyễn Minh Điện báo cáo 723 TÀI LIỆU THAM KHẢO M Ferreira (2013) A Lyapunov-type inequality for a fractional boundary-value problem Fract Calc Appl Anal, 16, 978-984 M Ferreira (2014) On a Lyapunov-type inequality and the zeros of a certain Mittag-Leffler function J Math Anal Appl, 412, 1058-1063 M Lyapunov (1970) Problémegénéral de la stabilité du mouvement Ann Fac Sci Univ Toulouse 2, 203-407 Podlubny (1999) Fractional differential equations New York: Academic Press R Almeida (2017) A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 44, 460–481 S K Ntouyas, B Ahmad, T P Horikis (2019) Recent Developments of Lyapunov–Type Inequalities for Fractional Differential Equations Springer Optimization and Its Applications, in: Dorin Andrica , Themistocles M Rassias (ed.), Differential and Integral Inequalities, 619-686 S K Ntouyas, B Ahmad, T P Horikis (2021) Lyapunov-type Inequalities for Fractional Differential Equations: a Survey Surveys in Mathematics and its Applications, 16 T.J Osler (1970) Fractional derivatives of a composite function SIAM J Math Anal, 1, 288–293 724 ... dựng bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho toán (1.5) (Định lý 3.3) Kết chưa cơng bố trước Hướng phát triển tiếp theo, thử thay đổi điều kiện toán (1.5), thay đạo hàm phân số khác đạo hàm phân số Hilfer,.. .với q(t) hàm liên tục đoạn [a,b], thu bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho toán (1.3) sau (Ferreira (2014)) :