1507 nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hòa với đối số lệch

NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC HAI LOẠI TRUNG HÒA VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LÊ HOÀN HÓA*, LÊ THỊ HẰNG** TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng định lí điểm bất động của toán tử dạ[.]

Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC HAI LOẠI TRUNG HỊA VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LÊ HỒN HÓA*, LÊ THỊ HẰNG** TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi sử dụng định lí điểm bất động toán tử dạng Krasnoselskii để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hòa với đối số lệch sau: x′ ( t) + cx ′ +f ( t − τ) + p ( t ) x′ ( t) +q( t) x( t) ( t, x ( t − τ ( t ) ) , x ( t − τ ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) ) = (1) g( t) c < τ số Từ khóa: nghiệm tuần hồn, phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hòa với đối số lệch ABSTRACT Periodic solutions for a second – order nonlinear neutral differential equation with deviating argument In this paper, we use Krasnoselskii’s fixed point theorem to prove the existence of periodic solutions for a second – order nonlinear neutral differential equation with deviating argument: x′ ( t) + cx ′ +f ( t − τ) + p ( t ) x′ ( t) +q( t) x( t) ( t, x ( t − τ ( t ) ) , x ( t − τ ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) ) = (1) g( t) where c < and τ is a constant Keywords: periodic solutions, second – order nonlinear neutral differential equation with deviating argument Giới thiệu Năm 2010, Guo, O’Regan P.Agarwal [2] sử dụng định lí điểm bất động toán tử dạng Krasnoselskii để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình x ′ ( t ) + cx ′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g ))) ( t, x( t − τ ( t ) ) , x ( t − τ ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t = p( t) Trong báo trên, phương trình xét khơng chứa đạo hàm cấp x′ * PGS TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TPHCM ( t) , ** Số 43 năm 2013 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM HVCH, _Trường _ _ _Đại _ học _ _Sư _ phạm _ _ _TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ báo chúng tơi thiết lập số điều kiện để tồn nghiệm tuần hồn phương trình (1) Để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (1), trước tiên chúng tơi tìm hàm Green phương trình (1) để biến đổi phương trình (1) phương trình tích phân, sau tiếp tục biến đổi đưa dạng tổng ánh xạ co ánh xạ compact, từ áp dụng định lí điểm bất động kiểu Krasnoselskii Để tìm hàm Green cho phương trình (1) chúng tơi dựa vào kết Wang, Lian Ge [3] tác giả nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn phương trình x′ ( t) τ( t ) ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = r ( t ) x′ ( t − τ ( t ) ) ) + f ( t, x ( t ) , x ( t − Kiến thức chuẩn bị Trong suốt báo giả sử: (H1) p q hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì T, T ∫0 T p ( u ) du > ; (H2) f ∈ C (¡ tồn k > : n+1 ) ∫ q ( u ) du > ,¡ f , ) f ( t, x) − f ≤k ( t + T , x1, x2, , xn ( t, x1, x2, , xn ) = ( t, y ) chuẩn Euclide ¡ x− y ∀t ∈ ¡ f , n (H3) g hàm liên tục, tuần hồn với chu kì T (H4) τ i ( i = 1, 2, , n ) tuần hồn với chu kì T, khả vi ¡ t ∈¡ Hơn kí hiệu hàm ngược t − τ ( t) i Bổ đề ([3]) Giả sử điều kiện (H1) thỏa mãn   T   µ Đặt λ = max i i ¡ τ ′ i ( t) < 1, 1 − τ′ i ( µi ( t ) )  ∫    Q1 T R1  exp ( H5 ) p ( u ) du    −1 ≥1  t +T với R1 = max ) ds t∈[ 0,T ] ∫ s  exp ∫ p ( u )  du  t     T q( s T  Q1 =  + exp  exp ∫ p ( u )  du −1    t ∫    p( u)  du   R   Khi tồn hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì T a b cho T b( t) > 0; ∫ a ( u ) du > ; a ( t ) + b ( t ) = p ( t ) ; b′ ( t) + t ∈¡ a( t) b( t) = q( t) , Bổ đề ([3]) Giả sử điều kiện bổ đề thoả mãn φ hàm liên tục, tuần hồn với chu kì T Khi phương trình sau có nghiệm tuần hồn chu kì T : x′ ( t) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = ϕ ( t ) Hơn nghiệm có dạng : x( t ) t +T = ∫ ) G ( t, s ) ϕ ( s +T ds t u s+T  ∫ a ( v ) dv du u  t s ∫ với G ( t, s ) = t Hệ ([3]) ) s u exp  ∫ b ( v ) dv + dv  du +  t ∫ u    exp    T ∫ a( a( v ∫ ( exp  ∫ b v ) dv +  s  t    T u ) du −1  exp       Hàm Green G có tính chất sau G ( t,t + T ) = G ( t,t ) ; G ( t + T , s + T ) = G ( t, s ) ∫   b ( u ) du −1     ∂ ∂s G ( t, s ) = a( s  exp ∫ b ( v ) dv  t  s ) G ( t, s )  − T   exp ∫ b ( v ) dv −1      ∂ ∂t G s  exp ∫ a ( v ) dv  t  = −b ( t ) G ( t, s ) + T   exp ∫ a ( v ) dv −1     ( t, s ) Bổ đề ([3]) Đặt A = B=T T p ( u ) du , ∫  1T exp ln ( q ( u )  T ∫  ( H6 ) ) du  Nếu  A2 ≥ 4B ta có (  ∫ a ( u ) du, ∫ b ( u ) du  ≥ ) A − 4B := l −A T  T  0 max  ∫ a ( u ) du, ∫ ) du  ≤ T  b(u ( +A ) A − 4B := m  T  2  T   T   ta có đánh giá sau T (e −1) m  T T exp ∫ p ( u ) du   ( u ) du    = el − ≤ G ( t, s ) ( ≤ ( ) T em ≤ ) T exp   a ( u ) du exp   ∫   ( e − 1) l m e  em  =T = Tβ , với β =    ∫ b ) ( −1 Đặt Eb ( t, s ) có s exp ∫ b  t =   exp T  ∫  el −1  el   el −1  ( v )dv  Eb ( t, s ) ≤ β Khi ta  b ( v ) dv −1   Định lí Krasnoselskii Giả sử Ω tập khác rỗng, lồi, đóng bị chặn khơng gian Banach X Các ánh xạ U , S : Ω →X thỏa mãn điều kiện sau: i Ux+Sy ∈Ω với ii U ánh xạ co x, y ∈Ω iii S ánh xạ compact Khi tồn z ∈Ω cho z = Uz + Sz g0 = max g ( t ) Kết Kí hiệu: a0 = max a ( t ) , b0 = max b ( t) , [ 0,T ] [ 0,T ] f , ρ0 = max [ 0,T ] ( t,0,0, , 0) p0 = max p ( t ) , q0 = max q ( t ) [ 0,T ] Định lí [ 0,T ] [ 0,T ] Giả sử điều kiện từ (H1) – (H6) thoả mãn có thêm giả thiết sau c ( + a0βT ) ( 1+ b0βT ) n + kβ2T ∑λi < i=1 Khi phương trình (1) có nghiệm tuần hồn với chu kì T Chứng minh: Đặt { X = x x ∈C ( ¡ ,¡ ) ,x( t+T) x = max x ( t ) + max x′ [ 0,T ] [ 0,T ] ( 1) −f ( t) ( X, ) ⇔x ′ ( t) + p ( t ) x′ Khi = x( t) + max x ′ [ 0,T ] } với chuẩn ( t) không gian Banach ( t) + q ( t ) x ( t ) = −cx ′ ( t − τ) ( t, x ( t − τ ( t ) ) , x ( t − τ ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) ) + g( t) t +T ⇔x ( t ) = ∫ G ( t, s )  −cx ′ ))) ( s − τ) − f + g ( s )  ds t Áp dụng tích phân phần hệ quả, ta ( s, x ( s − τ ( s ) ) , , x ( s − τ n ( s t +T G ( t, ∫ s) x ′ ( s − τ ) ds = G ( t, s ) s=t t − t +T = ∫ ) ds − ∫ t ∫ ( s − τ) x t +T ( s − τ)  ∂G ∂s ( t, s ) t t +T x′ t +T ′ Eb ( t, s x ′ t ( s − τ ) a ( s ) G ( t, s ) ds x ( s − τ) ds + G ( t, s)  cx′ ∫ ( s) ) t ) ( s − τ ) a( s) − f ( s, x ( s − τ ( s) ) , , x ( s − τ n + g ( s )  ds Ta kiểm tra điều kiện định lí Krasnoselskii 1) Với x, y ∈ Ω ta chứng minh Uy + Sx ∈Ω ( Uy ) ( t ) ( Sx ) ( t ) = −cy ( t − τ ) ≤ c K1 ≤ c b0βTK1 + c a0β2T 2K2 t +T +∫ t G ( t, s )  f  ( s, x ( s − τ ( s ) ) , , x ( s − τ n ( s ) ) ) − ( s,0, , 0) ds  f t +T + G ( t, f ∫ t s) ( s,0, ,0) ds + g0β2T t +T ≤c b0βTK1 + c a0β 2T K2 ∫  kβ 2T )) t ∑x( s− τ ( s  2  ≤ c b0βTK1 + c a0β T K2 + kβ T ∫ t 2   2  i=1 x( u) n T  ds 0  2 2 +ρ0 β T + g0β T µ ( u ) du 1− i=1 2 2 ds +ρ 0β T + g0β T +ρ β 2T + g β 2T ∑ x ( s − τi ( s ) )  = c b0βTK1 + c a0β T K2 + kβ T ∑∫ τ ′ i i=1 t +T  n n  ( i i ) n ≤ c b0βTK1 + c a0β 2T K + kβ 2T K1 ∑λ i +ρ 0β 2T + g0β 2T i=1 Dẫn đến ( Uy ) ( t ) + ( Sx ) ( t ) ≤ ( Uy ) ( t ) + ( Sx ) ( t )   2 ≤ c + c b βT + kβ T n λ K +K c a β2T 2K + ( ρ + g ) β2T =   ∑ i=1 ( Uy ) ′ ( t ) ( Sx ) ′ ( t ) Eb ( t,t )   = −cy′ t t +T − ∫t ∂G ∂bE t+T ( t, s ) ∫ ds + c ∂ t x′ t  ( ∂G ( s − τ ) a ( s ) ( t, s ) ) ds ∂ t ( t, s )  f ( s, x ( s − τ ( s ) ) , , x ( = −b ( t )   ( Ux ) ( t ) + ( Sx ) ( t )   t+T = c   x ( t + T − τ ) b ( t + T ) Eb ( t,t + T ) − x ( t − τ ) b ( t ) x ( s − τ ) b ( s) ∫  ( t − τ) t +T +c i (2) ds ∂t s − τn (  s) )) − g( s Ea ( t,s)  cx′ + g( s)  ds + ∫ ( s − τ ) a( s) t ( Uy ) ′ ( t ) = −cy′ ( t − τ) ≤ c K2 − f s, x( s −τ ( s) ) , ,x( s −τ n ( s) ) ( Sx) ′ b K  ( t) ≤ Do TK β ca   KkT ( Uy ) ′ ( t ) + ( Sx) ′ ( t )  n ≤ λ + T ρ + Tg  ∑ i=1 i 0  ( Uy ) ′ ( t ) ( Sx ) ′ ( t ) + n  + b0βT K1 = K2 ≤ a0βT ) K2 + βT ( ρ0 + g0 ≤  b0 + kβT λi K1 + c )( 1+ i=1∑   βT ( Uy ) ′ ( t ) = −cy ′ ( t − τ ) ( Sx ) ′ ′( t ) =−b′ ( t )   ( Ux ) ( t ) + ( Sx ) ( t )   − b ( t )  ( Ux ) ′ + ( Sx ) ( t )   + ( Ea ( t,t + T ) − Ea ( t,t  ) −τn ( t ) ) + g ( t )  t +T ) ) ∫) + t = −b′ ) ) ∂ Ea ( t, s )  cx′ + g ( s )  ds  ∂t ( t) )  cx′ ( t − τ ) a ( t ) ( s −τ ) ( ( s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τ n ( s a( s) − f    ( Ux ) ( t ) + ( t −τ ) (t) − f t, x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t ( Sx ) ( t )   −b( t)  + cx′ (3)  ( Ux ) ′ ( t ) + ( Sx ) ′ (t  ( a ( t ) − f t, x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) )) +g( t) t+T −a ( t ) Ea ( t, s )  cx′ ∫ t ( s) ) ) ( s −τ ) a ( s ) ( − f s, x ( s − τ1 ( s ) ) , , x ( s − τ n + g ( s )  ds = −q ( t )   ( Ux ) ( (t) + ( Sx ) ( t)   − f t, x ( t − τ ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) −p(t) )) +g(t) Ta có ( f t, x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) )  ≤ ( Ux ) ′ ( t )  + ( Sx ) ′ ( t) ( f t, x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) + f ≤k + n  xt τ it  i1 ( t, 0, , 0) f )) − f ( t,0, ,0 ) ( t,0, , 0) Do ( Sx) ′ ( t ) ( p0K2 + ρ0 + g0 Dẫn đến ) ≤ q0K1 + p0K2 + k nK1 + ρ0 + g0 = q0 + k n K1 + ( Uy ) ′ ( t ) + ( Sx ) ′ ( t ) ( Uy ) ′ ( t ) ( ≤ + ( Sx ) ′ ( t ) ) (4) ≤ c K3 + q0 + k n K1 + p0K2 + ρ0 + c K3 + ( 1− c ) K3 = g0 = K3 Từ (2),(3) (4) ta có Uy + Sx ∈ Ω với x, y ∈Ω 2) U ánh xạ co Ω Ta có ( Ux ) ( t + T ) ) ( t ) Với = Ux − Uy ≤ c max x ( t − τ [ 0,T ] + c max x′ ′ y′ ′ ( t − τ ) [ 0,T ] ( t −τ ) − ) ( Ux x, y ∈ Ω − y ( t − τ ) + c max x′ [ 0,T ] =c x− y ( t −τ ) − y′ ( t −τ ) Vậy U ánh xạ co 3) S ánh xạ compact Ω  Trước tiên ta chứng minh S liên tục Ω Ta có ( Sx ) ( t + T ) = ( Sx ) ( t) V ới x ∈ Ω bấ t kì, gi ả sử xm ) ( dãy Ω cho m Với ε>0 cho trước, xm − x →0 xm − x →0 nên ∃m cho xm − x < ε n hay max x ε < [ 0,T ] ,∀m ≥ m0 ( t) − x( t) < m n ε max x′ ∀m ≥ m [ 0,T ] Với m ≥ m0 , từ giả thiết ( t+T ( Sxm ) ( t ) ) ≤c ∫ t+T +c ∫ t − ( Sx ) (t xm′ ( s − τ ) − x′ ( s − τ ) m n H2 ) ta có xm ( s − τ ) − x ( s − τ ) b( s) t a ( s ) G ( t, s ) ds Eb ( t, s ) ds ( t) − x′ ( t) t+ T + ∫t G ( t,s ) ( s, xm ( s − τ ( s) ) , , xm ( s −τ n ( s ) ) ) − f ( s, x( s −τ ( s) ) , , x ( s −τ n ( s ) ) ) ds f ≤ c max xm ( t ) − x ( t ) b0βT + c max xm′ ∈[ 0,T ] [ 0,T] [ 0,T] ε ≤ c n b0 β T + c ε n ( t)  n − ( Sx ) − x′ ( t ) a0β2T2 + kβ2T2ε , ∀t ∀t ∈[ 0,T ] a0 β 2T + k β 2T 2ε , ⇒max ( Sxm ) ( t ) − ( Sx ) ( t ) ≤ c [ 0,T ] ⇒max ( Sxm ) [ 0,T ] ( t) ∀m ≥ m0 a0β 2T + kβ 2T 2ε b0βT +  , c n →0 m →∞ ( t) Lập luận tương tự ta có max ( Sx ) ′ m [ 0,T ] ( t) − ( Sx) ′ max ( Sx ) ′ m [ 0,T ] ( t) − ( Sx ) ′ ( t) ( t) →0 m →∞ →0 m →∞ Dẫn đến Ω  Sxm − →0 , nghĩa S liên tục x ∈Ω Suy S liên tục Sx Ta chứng minh S ( Ω) tập compact tương đối X Trước tiên ta chứng minh S ( tập compact tương đối C2 Ω) với chuẩn x = max x ( t ) + max x′ [ 0,T ] [ 0,T ] ) ( t) ∀t ∈[ 0,T ] , x ∈ Ω ta có Sx t ≤ ω  + max x ′ [ 0,T ] 2 ( t) 2 n ( [ 0,T ] , ¡ 2 2  ( )( ) kβ T với ω =  c b0βT +  ∑λ i  T i=1  K1 + c a0β T K2 +ρ 0β  g0β T ( Sx) ′ ( t ) ≤ λ với λ = b K + β   ( Sx ) ′ ( t ) ≤θ với θ = (q  ∑λ + T ρ + Tg n 0 i i=1  c a TK + kTK ) + k n K1 + p0 K + ρ0 + g Do S ( Ω) bị chặn C ( [ 0,T ] , ¡ ) , ⋅  ... nghiệm tuần hồn phương trình (1) Để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (1), trước tiên chúng tơi tìm hàm Green phương trình (1) để biến đổi phương trình (1) phương trình tích phân, sau tiếp... động kiểu Krasnoselskii Để tìm hàm Green cho phương trình (1) chúng tơi dựa vào kết Wang, Lian Ge [3] tác giả nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn phương trình x′ ( t) τ( t ) ) + p ( t ) x′ ( t ) +... bổ đề thoả mãn φ hàm liên tục, tuần hồn với chu kì T Khi phương trình sau có nghiệm tuần hồn chu kì T : x′ ( t) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = ϕ ( t ) Hơn nghiệm có dạng : x( t ) t +T =