1511 nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch

NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LÊ HOÀN HÓA *, NGUYỄN NGỌC TRỌNG **, LÊ THỊ KIM ANH*** TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm mạnh của một dạng phư[.]

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VỚI ĐỐI SỐ LỆCH LÊ HỒN HĨA *, NGUYỄN NGỌC TRỌNG **, LÊ THỊ KIM ANH*** TÓM TẮT Trong báo này, nghiên cứu tồn nghiệm mạnh dạng phương trình vi tích phân với đối số lệch Công cụ sử dụng định lý điểm bất động tốn tử U + C , U toán tử Hoa-Schmitt co C toán tử compact ABSTRACT The strong solution of the retarded integro-differential equation In this paper, we study the existence of a strong solution of one form of retarded integrodifferential equation by using The fixed point Theorem of the operator U + C , whereas U is a HoaSchmitt operator and C is a compact operator X,D Các kết sử dụng Cho X không gian lồi địa phương P họ nửa chuẩn tách tập X U : D →X Với a ∈ X , ta định nghĩa U a : D →X Ua ( x) = U ( x) + a Toán tử U : D →X gọi Hoa-Schmitt co tập Ω X 1) Với a ∈Ω :Ua ( D ) ⊂ D * 2) Với a ∈Ω p ∈ P , tồn ka ∈ với tính chất∀ε > 0, ∃r ∈ ∃ δ > cho ∀x, y ∈ D thỏa α p ( x,ay ) < ε + δ (α p ( x,a y ) = max 2, , k }; { p(U i ( x) a a − Ua j ( y ) ) a α : i, j = 0,1, p a ar ( U ( x) ,U r ( y ) = { 0,1, 2, } ; ) * Ta ký hiệu chuẩn không gian Banach E Cr = C ( [ −r, 0] ,E) X0 =C ( chuẩn + ) { } { với chuẩn x = sup x ( t ) : t ∈[ −r, 0] , E không gian Frechet hàm liên tục từ định nghĩa n n { } vào E với họ nửa + } x n = sup x ( t ) : t ∈[ 0, n] , n ∈ * sau: Cho X = C ( E) Với x ∈ X xt ( θ ) [ −r, ∞) , không gian hàm liên tục từ ∞) t ≥ đặt xt ∈ Cr = x(t+θ ) ,θ ∈[ −r, 0] Xét phương trình định nghĩa [ −r, vào E t  ′ x t = A t x t + L t x +V t, x ( t ) ) + ∫ K ( t, s, x ( s ) , ( ) ( ) ( ) ( ) (  t xs ) ds + f ( t ) ; t ≥   x = ϕ ∈Cr Trong { A ( t ) t≥0 } họ tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào E , { L họ tốn tử tuyến tính liên tục từ →E liên tục vào E , f :  Cr Xét phương trình ) ( ) 2) V :  →E ( t, y ) ≤ ω ( t ) x − ∀x, y ∈ E,∀t ∈ y; 3) K : [ 0, ∞) × E × C →E r K ( t,.,.,.) : I × A × B →E [ 0, ∞) liên tục × E liên tục tồn hàm liên tục ω : V ( t, x) − V ( t ) t≥0} I với điều kiện sau 1) t  A ( t liên tục t  L ( t ) ( I) + + →  cho ánh xạ compact cho liên tục theo t đoạn bị chặn tùy ý , với tập bị chặn I ⊂ [ 0, ∞) , tập bị chặn A ⊂ E , tập bị chặn B ⊂ Cr , nghĩa là: Trên đoạn bị chặn tùy ý J của[ 0, ∞) , với ε > , tồn δ > , cho với t1,t2 thuộc J t1 − t2 < δ K ( t1, s, x, y ) − K ( t2 , s, < ε ∀( s, x, y ) ∈ I × A× B , x, y ) K ( t, s, x,u 4) lim = theo ( t, s đoạn bị chặn tùy ý x + u →∞ ) x+ u ) Định lý Nếu điều kiện 1), 2),3), 4) thỏa mãn tốn I) cho trước có nghiệm x : [ −r, ∞) →E ( [ 0, ∞) Chứng minh với ϕ ∈ Cr Đặt g : + × Cr →E với g ( t, x) = A ( t ) x ( ) + L ( t ) x Vậy viết lại t  ′ x t = g t, x + V t, x ( ) ( ) ( t) (  t  x = ϕ 0 ( I) ) ( I) + ∫ K ( t, s, x ( s ) , xs ) ds + f tương đương với phương trình tích phân sau ( t ) ; t ≥ Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ t t t   x ( t ) = ∫ g ( s, xs ) ds + ∫ V ( s, x( s) dσ  ds + ϕ ( 0) ; t ≥  0  x = ϕ Với x( _ _ _ _ ) ds + ∫  f ( s ) t s  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  ds + ∫  ∫ K ( s,σ , x( σ ) , xσ )  X n , đặt x : [ −r, ∞) → định nghĩa sau E + ϕ ( 0) − x s ≥ x ∈X x ( s ) ( ) , s) =  ϕ , s ∈[ −r, ] ( s) [ −r, Khi x liên tục ∞) Đặt t H : X →X với Hx ( t ) = s) , ( x) ∫ ( ) ds,∀t ≥ K t, s, x ( s Đặt U ,C : X →X xác định t Ux ( t ) = t ∫ ( ( x ) ) ds + ∫ V ( s, x ( s ) ) ds + ∫ g s,s ( s ) ds + ϕ ( ) t f ( s) ds;Cx ( t ) = ∫ Khi t 0 x ∈ X điểm bất động U + C x nghiệm ( I) Vậy vấn đề trở thành chứng minh tồn điểm bất động U + C Ta cần bổ đề sau Bổ đề g : [ 0, ∞) × Cr → ánh xạ liên tục E ∀n ∈ * , ∃k = sup A( t + sup L ( t thỏa t∈[ 0,n] ) t∈[ 0,n] ) Hx Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ g ( t, x) − g ( t, ≤ y) kn _ _ _ x− y , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∀x, y ∈ Cr ,∀t ∈[ 0, n ] Chứng minh bổ đề Sử dụng giả thiết t  A ( t ) liên tục t  L ( t ) liên tục ta có g liên tục ∀x, y ∈ Cr ,∀t ∈[ 0, n] : g ( t, x ) − g ( t, y ) = A ( t ) ( x− y) ≤ sup A ( t ) x t∈[ 0,n ] −y + sup L ( t ) x t∈[ −y 0,n ] Bổ đề ∀s ∈[ 0, n ] ,∀x, y ∈ X0 ( x) ( y) s − ) +L(t) x− y ≤2x−y ,x− y ≤2x−y ,x ≤2x + ϕ n − y ( 0) ta có n Chứng minh bổ đề Sử dụng định nghĩa ta có bổ đề = kn ( x ( 0) n n n ( x) ≤2x + ϕ , s n Hx n Bổ đề H : X →X ánh xạ compact lim =0 xn x n →∞ Chứng minh bổ đề Ta chứng minh H : X →X ánh xạ liên tục 0 Lấy Khi x0 ∈ X ( xk ) k ⊂ X kmà →∞ lim xk = x0 B = { xk : k = 0,1, tập compact X 2, } Đặt G = n] Khi } { y ( s ) : y ∈ B, s ∈[ 0, F = {( y ) } : y ∈ B, s ∈[ 0, n ] s ε > Do K liên tục tập compact G, F tập compact Lấy [ 0, n] × G nên ×F tồn x− y cho K t, s, x ( s ) , } K s ( [ 0, n] × P × Q ) bị chặn ≤ M n ;∀t, s ∈[ 0, n ] ,∀x ∈Ω n liên tục theo t [ 0, n ] × P ×Q nên ∀ε > 0, ∃ δ > 0, * Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ _ _ _ _ _ _ _ ε δ < _ _ _ _ _ _ _ _ ,∀t ,t ∈[ 0, n] : t −t 4M n ( K t1, s, x ( s ) , _ _ _ ( x) s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ < δ ) _ ( ,( x) ) ε ; 4n − K t2 , s, x ( s ) < ∀x ∈Ω,∀s ∈[ 0, n ] s Vậy ∀x ∈Ω,∀t1 ,t2 ∈[ 0, n ] ,t1 ≤ t2 : t2 − t1 < δ ta có t1 t2 ( Hx ( t1 ) − Hx ( t2 ) = ∫ K t1, s, x ( s ) , K t2 , s, x ( s ) ,s x ( t1 ( ≤ ∫ K t1, s, x ( s) , x ( ) ε ≤ ε s ) ( ) ( − K t2 , s, x ( s) , x < ε Do ( ) ( x ) ) ds − ∫ ) ds ) t2 ( ds + ∫ K t2 , s, x ( s) , x ( ) t1 ) ds s A đẳng liên tục X +M δ < n  Đặt I = co K ×P×Q ) ( [ 0, n] × P × Q ) n  Do K ( [ 0, n] n compact tương đối n n n n   không gian Banach E nên I tập compact Mà ∀t ∈[ 0, n ] : An ( t ) ⊂ t.I Do An ( t) compact tương đối E với t ∈[ 0, n ] Vậy theo định lý ta có Ta có lim x + u →∞ [ 0, ∞) Lấy ε ∈C H ( Ω) tập compact tương đối K ( t, s, x,u ) = theo s) > 0, x∃ β+ >u 0,∀x ∈ E,∀u r ( t, mà x + u X đoạn bị chặn tùy ý > β 11 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Số 24 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ _ _ _ _ _ _ _ K ( t, s, x,u ) _ _ _ _ ε < + ( _ _ _ x u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16n K ( t, s, x,u ≤ ρ, ) n] ε ( u , x+ 16n ) ∀t, s ∈[ 0, n ] ,∀x ∈ E,∀u ∈ Cr ta có ( ( (( )x ) ) Hx ( t ) ≤ K t, s, x ( s ) , t   ∫ s  ds ≤ t ∫  12 ≤ β x+ u ∀t, s ∈[ 0, n ] cho ∀x ∈ E,∀u ∈ C r mà Vậy K ( t, s, x,u _ _ _  16 n ε ρ+ x s + x )  ds () s   _ Do Hx n ≤ nρ + ε ( ) 4x +2 16 ϕ = nρ + ε xn + ε ϕ n ε  8nρ  ,ϕ n + + ε ϕ Chọn µ > max n   n x ≤ xn xn  ε  n lim = 0;∀n ∈ > µ ε ε ε Hx = : x − ny < Hx − Hy < δ n Do lim x = x nên tồn k ∈ k →∞ k Hx Vậy k 0 ε − Hx0 < n] n * x ε 2n