SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HOÀN HÓA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG** TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại ng[.]
Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HỒN HĨA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG** TĨM TẮT Trong báo này, chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau : u ( t) = A( t) ( t) , t ≥ uϕ∈C r = t ( u ( t ) ,u t ) + ∫ L ( t,s,u ( s ) , us ) ds + f ( T) Từ khóa: nghiệm tuần hồn, phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic ABSTRACT The existence of periodic solutions for the nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument In this paper, we prove the existence of periodic solutions for the following nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument t u ( t ) = A( t ) ( u ( t ) ,ut ) + ∫ L( t,s,u ( s) ,us ) ds+ f ( t ) , t≥0 u =ϕ∈C r ( T) Keywords: periodic solution, nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument Giới thiệu Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 40 năm Trong [3], chúng tơi xem xét tính khác rỗng, tính continuum tính R δ tập nghiệm 2012 phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có xuất đối số lệch * ** PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM t u ( t ) = A( t ) u ( t ) + L( t ) ut + V( t,u ( t ) ) + t ≥ 0, u0 = ϕ∈Cr ∫ K ( t,s,u ( s) ,us ) ds + f ( t ) , Trong báo [1], nghiên cứu phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng ( T ) Kết điểm tựa cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình (T) Trong báo này, chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình (T) Kết sử dụng Điều kiện ( A ) ([4]) Cho X không gian lồi địa phương họ nửa chuẩn P tách X, tập X U: D →X Với a ∈ X , ta định nghĩa D Ua : D →X Ua ( x ) = U ( x ) + a Toán tử U : D →X gọi thỏa điều kiện ( A.1) ( A.2) ( A) tập Ω X nếu: Với a ∈Ω : Ua ( D ) ⊂ D , Với bất a ∈Ω p ∈ P , tồn kì ka ∈ □ với tính chất: Với ε > , tồn r ∈ □ δ > cho với x, y ∈ D thỏa αp ( x, y) < ε + δ αpa ( Ur ( x ) , Ur ( y ) ) a a theo t f : □ + → liên tục, tuần hồn với chu kì ω> Hơn ta E giả thiết: liên tục ; (E.1) t A( t) (E.2) L: ∆× F →E hàm L1 − Caratheodory , nghĩa (E.2.1)Với z ∈ F hàm τ L τ , z Borel đo ; ( ) (E.2.2)Với hầu hết τ∈ ∆ hàm z L ( τ , liên tục ; z) (E.2.3)Với n ∈ □ số C > , tồn hàm không âm h ∈ L1 C ( [ 0, n ] ) K z ∈ BF ( 0, C) tập compact E cho L ( t,s, z ) ∈ hC ( t,s ) KC với C với hầu hết ∆n ( t,s ) ∈ (trong L1 ( Ω) không gian hàm u: Ω→ □ khả tích Ω ) Hơn n ≥ω với ω ∫ t ∈[ ω, n] ; hC ( t,s ) ds =0 (E.3) hầu tuần hồn với chu kì ω theo ( t,s ) , tức L L ( t + ω,s + ω, z ) = L ( t,s, z ) với z ∈ F hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ ; L ( t,s, lim z) = theo z →∞ z Sự tồn nghiệm tuần hoàn (E.4) ( t,s ) Tương tự [2], ta đặt họ toán tự bị chặn tập bị chặn ∆ { S( t,s) ( t,s) ∆ } với S ( t,s ) : Cr →Cr phụ ∈ thuộc liên tục theo ( t,s ) ∈∆ định nghĩa S ( t,s ) = yt nghiệm phương trình y′ ( t ) = A ( t ) ( y ( t ) , y t ) , t ≥ s ≥ 0, ( ϕ) ys = ϕ Giả sử { V( t,s) mạnh theo ∂V (chú ý yt ( ϕ ) := s≥0,t≥−r } y ( ϕ ) ( y ( ϕt ) ) ) họ toán tử toán tử tuyến tính bị chặn E , liên tục ( t,s ) thỏa phương trình ( t,s ) = A ( t ) ( V ( t,s ) , V ( ,s ) ) , t ≥ s ≥ 0, I, ∂t V ( t,s ) = 0, t t=s , s−r≤t S ( t,s ≤ cho ) với ( t,s ) ∈∆ −a t−s be ( ) Khi phương trình sau có nghiệm tuần hồn chu kì ω □ + t u′ ( t) = A( t) ( u ( t ) , ut ) + ∫ L ( t,s, u ( s) , us ) ds + f ( t) , t ≥ ( E ) Chứng minh: Với t ≥ đặt T ( t ) : Cr →Cr định T ( t ) ( ϕ) = xt ( ϕ ) với xt ( ϕ) ( E) có nghiệm tuần hồn chu kì nghiệm phương trình ( T) Đặt T ≡ T ( ω) Bổ đề Nếu T có điểm bất động ψ phương trình ω x ( ψ) Chứng minh bổ đề 3: Đầu tiên ta chứng minh T ( t + ω) = T ( t ) T ( ω) Với T ( t + ω) ϕ∈C r ( ϕ) ta có = xt+ω ( ϕ ) T ( t ) ( T ( ω) ( ϕ ) ( ϕ) ) ) = T( t) ∫ L ( t,s,x ( s ) , xs ) ds + f ( t ) = xt ( xω t Đặt H ( t,x ) = ( xω ( ϕ) ) Ta có x′ ( ϕ ) ( t ) = A ( t ) x0 ( ϕ) = ϕ Vậy ta có ( x ( ϕ) ( t ) , x t ( ϕ) ) x′ ( ϕ ) ( t + ω) = A ( t + ω) ( ϕ ) ) , t ≥ 0, x0 ( ϕ) = ϕ + H ( t, x ( ϕ ) ) , t ≥ 0, ( x ( ϕ) ( t + ω) , x t+ω ( ϕ) ) + H ( t + ω, x Ta thấy với ( ϕ) ( x ( ϕ ) ( s ) , xs ( ϕ ) ) x t > tồn n ∈ □ , n > t + ω cho ≤ n với s ∈[ 0, n ] Vậy theo (E.2.3) tồn hàm không âm h ∈ L1 ( [ 0, n ] ) ( cho ( s, τ ) ( ϕ) ) ) ( s, τ ) M > L s, τ , ( x ( ϕ ) ( τ ) , xτ ≤ Mh với hầu hết ∈ ∆n ω Ta có ∫ L ( t + ω,s, x ( ϕ ) ( s ) , xs ( ϕ) ) ω ω,s Vậy ) ds = (vì ω ds ≤ M ∫ h ( t + t + ω∈[ ω, n ] ) ∫0 L ( t + ω,s, x ( ϕ ) ( s ) , xs ( ϕ) ) ds = Do H ( t + ω,x ( ϕ ) + ∫ ) ω = t+ω ∫ L ( t + ω,s,x ( ϕ ) ( s ) , xs ( ϕ) ) ds L ( t + ω,s, x ( ϕ ) ω ( s ) , xs ( ϕ ) ) ds + f ( t + ω) ω Vì f tuần hồn chu kì ω t ∫ L ( t + ω,s, x ( s ) , xs ) ds = nên H ( t + ω,x ( ϕ ) ) = ∫ L ( t + ω,s + ω,x ( ϕ ) ( s + ω) , xs+ω ( ϕ) ) ds + f ( t ) Từ (E.3) ta có H ( t + ω, x ( ϕ ) ( t) ) = Vì A ( t ∫ L ( t,s, x ( ϕ) ( s + ω) , xs+ω ( ϕ) ) ds + f ) tuần hồn chu kì ω theo t nên ta có t x′ ( ϕ) ( t + ω) = A ( t ) xs+ω ( ϕ) ) ds + f ( t) ( x ( ϕ ) ( t +ω) ,x t+ω ( ϕ) ) + ∫ L ( t,s,x ( ϕ ) ( s + ω) , Đặt y ( ϕ ) ( t) = x ( ϕ) ( t + ω) = xω ( ϕ) yt ( ϕ) = xt+ω ( ϕ ) Vậy ta có t y ( ϕ) ( t) = A ( t ) ( y ( ϕ ) ( ϕ) ) ds + f ( t ) , t ≥ 0, y0 ( ϕ) = xω ( ϕ ) Vậy y ( ϕ x ( x ω ) với t ∈[ −r, ∞) Khi ta có y0 ( ϕ ) ( ϕ) ) ( t ) , yt ( ϕ ) ) + ∫ L ( t,s,y ( ϕ ) ( s ) , ys nghiệm phương trình t u ( t) = A( t) u0 = xω ( ϕ ) ( u ( t ) ,u t ) + ∫ L ( t,s,u ( s ) , us ) ds + f ( t ) , t ≥ 0, Vì phương trình có nghiệm nên x t+ω ( ϕ ) = y t ( ϕ ) = x t ( x ω ( ϕ ) y ( ϕ) = x ( x ω ( ϕ) ) Vậy T ( t ) T ( ω) ) Do = T ( t + ω) ω Đặt U: C →C r r định U ( ϕ ) = Vω ( ,s ) H ( s, x ( ϕ ) ∫ ) ds Vì T ≡ T ( ω) nên từ bổ đề ta có ω T ( ϕ ) = xω ( ϕ) = S( ω, ) ϕ + ds s Vω ( ,s) ∫ L ( s, τ , x ( τ ) , xτ ) + f ∫ ( s) Vậy T = S + U Nếu T có điểm bất động ψ ta có ψ = T ( ψ) = T ( ω) Vậy T ( t ) T ( ω) ( ψ) = T( t) ( ψ) T ( t + ω) ( ψ) ( ψ) Do = T( t) ( ψ) , tức xt+ω ( ψ) = xt ( ψ) Vậy phương trình (E) có nghiệm tuần hồn chu kì ω x ( ψ) Bổ đề U thỏa điều kiện (B.4) (B.5) Chứng minh bổ đề 4: Ta cố định n ∈ □ , n > ω Ta chứng minh U liên tục Lấy { ϕk} k ϕk →ϕ Ta đặt ánh xạ liên tục ζ : □ + × X →□ + × F định ζ ( t, x ) = ( t, x ( t ) , x t ) Do tính phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình (T) nên ta có lim x ( ϕk ) = x ( ϕ) k→∞ Vậy ta đặt Ω = { x ( ϕk ) : k ∈ □ } { x Ω tập compact X Vậy ( ϕ) } ζ( [ 0, n ] ×Ω) tập compact Do tồn C > cho us ) tồn hàm không âm h C ∈ L1 n] ) với u ∈Ω hầu hết Đặt ρk ( s, τ) = ( ( u ( s) , < C với ( s, u ) ∈[ 0, n ] × Ω Khi ( [ 0, ( s, τ ) M > cho L ( s, ζ ( τ , u ) ( s, τ ) ∈ ∆n L s, ζ ( τ , x ( ϕk ) ) ) ( − L s, ζ ( τ , x ( ϕ ) )) ) ≤ MhC Ta có ρk ( s, τ ) ≤ 2MhC ( s, lim ( x ( ϕk ) ( s ) , x s ( ϕk ) ) ( ϕ ) ( s ) , xs ( ϕ ) ) = k→∞ τ ) Ta ý ζ liên (x với tục nên ta có lim ρ ( s, τ ) =0 k s ≥ Vậy theo điều kiện ( E.2.2) ( t,s ) V ( t,s ) t ∈[ −r, 0] Vì U ( ϕk ) k→∞ ∈ ∆n ρk ( s, τ ) dsdτ = ∫ lim ( s, τ ) k→∞ Vậy theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta có ∆n V ( t + ω,s) L ≤ m liên tục nên tồn m > để với s ∈[ 0, n] Mặt khác với t ∈[ −r, 0] ta có ( t) ω − U( ϕ) ( t) ≤ 0 ω ≤ m∫ s 0 Vậy với hầu hết U ( ϕk ) − U ( ϕ ) r ∫ ∫ s ρk V ( t + ω,s) L∫ ρk ( s, τ ) dτ ds ( s, τ ) dτ ds ≤ m ∫ ρk ( s, τ ) dsdτ ∆n lim U ( ϕk ) − U ( ϕ ) ≤ m ∫ ρk ( s, k→∞ τ ) dsdτ Do = r ∆n Lấy Φ tập bị chặn Cr Chứng minh tương tự bước định lí [1] ta thấy { ( x ( ϕ) ( s ) , xs ( ϕ) ) Do tồn C> cho ( x ( ϕ ) ( s ) , xs ( ϕ) ) Khi tồn hàm khơng âm h ∈ L1 C } : s ∈[ 0, n ] , ϕ∈Φ ( [ 0, n ] ) bị chặn < C với ( s, ϕ) ∈[ 0, n ] × Φ tập compact E cho K C ( L t, ζ ( s, x ( ϕ ) )) ∈ hC ( t,s ) KC với ϕ∈Φ hầu hết ( t,s ) ∈ ∆n Từ [2] ta có ánh xạ liên tục Vậy B = W( ) [ 0, n ] × KC W : [ 0, ω] × E → định W ( s, e) = Vω Cr ( ,s ) ( e ) ( [ 0, n] × f ( [ 0, n] ) ) tập compact Do G=W tập D = B G compact ( Ta có Vω ( ,s ) L s, ζ ( τ , x ( ϕ ) ( s, τ ) D ) ) ∈ h C ( s, τ ) Vω ( ,s ) ( KC ) ⊂ hC với ϕ∈Φ hầu hết ( s, τ ) ∈ ∆n Hơn Lấy nửa khơng gian đóng Vω ( ,s ) f ( s ) với s ∈[ 0, n ] ∈D { z ∈Cr : b* ( z) chứa ( } ≤R b* ∈ ( Cr *) D, với R > Để cho gọn ta đặt z ( s, τ , ϕ) = Vω ( ,s ) L s, ζ ( τ , x ( ϕ ) )) Vậy b* ( z ( s, τ , ϕ) ( s, τ ) b* ( Vω ( ,s ) f ( s ) ) b Vậy nửa ≤ RhC với ϕ∈Φ hầu hết thời ( s, τ ) ∈ ∆n Đồng ≤ R với s ∈[ 0, n ] τ ) dτ ds + ω > Ta thấy hC s, ( ∫∫ 0 ω s * ω * ( U ( ϕ ) ) = ∫ ∫ b ( z ( s, τ , ( Vω ( ,s ) f ( s ) ) ds ϕ) ) dτ ds + ∫ b 0 ω s ≤ R ∫ ∫ hC ( s, τ ) dτ ds + ωR = aR 0 b* U ( ϕ ) ≤ R tức U ( ϕ ) ∈ z ∈C : b* ( z ) ≤ R Vì giao tất r a a nên ta có khơng gian đóng chứa D bao lồi đóng conv ( D) Ta đặt a = * ω ) s { } U ( ϕ ) ∈conv ( D ) U Φ ⊂ a.conv D Do U Φ ( ) ( ) ( compact tương đối Do Vậy ) a U hồn tồn liên tục Với ε > , tương tự [3] ta thấy tồn R> hàm không âm h ∈ L1 n] cho L ( t,s, z ) ≤ Rh ( t,s ) + ε z với z ∈ F hầu hết ( ) ≤ ≤q+ f ( s) ≤q ( ϕ) ∫ ( Rh ( s, τ ) ∫( s r + 2ε xτ ( ϕ) Rh ( s, τ ) + 2ε xτ ) dτ với s ∈[ 0, n ] r ) t,s ) ∈ ∆n Vậy s K ( s, x ( ϕ ) ( [ 0, ) dτ + f ( s) với s ∈[ 0, n] , Chứng minh tương tự bước định lí [1] ta thấy tồn r cho xt ≤α ϕ ( ϕ) 1+ β ε ( exp ( mε ) α,β > với t ∈[ 0, ω] −1) r Ta thấy tồn Vω ( ,s) = sup ( θ ,s ) { Vω M > cho Vω ( ,s) r : θ∈ [ −r, 0] } Ta có ≤ M với s ∈[ 0, ω] , ω U( ϕ) ≤ ∫ ω ) ≤ M ∫ q + ∫ Rh ( s, τ ) + 2ε xτ ( ϕ ) ω 0 s ω s ≤ Mqω + MR ∫ Ta lại có xτ ( ϕ) Do s ( ∫ r ϕr r r ≤ ≤α ϕ r d r Cho ε→ ta r ) dτ ds h ( s, τ ) dτ ds + 2ε M∫ ∫ xτ 0 0 U ( ϕ ≤ d + dε ϕ ) U( ϕ) Vậy K ( s, x ( ϕ ) Vω ( ,s) r ( ϕ) r dτ ds + β ε ( exp ( mε ) −1) + β ε ( exp ( mε ) −1) r + dε 1+ βε ( exp ( mε ) − 1) lim U ( ϕ ) ϕ →∞ r ϕ =0 r Theo định lí (B) ta thấy T có điểm bất động ψ Vậy x ( ψ) nghiệm tuần hoàn phương trình ( E) Định lí chứng minh Chú ý Tương tự [3] ta thấy ta áp đặt thêm tính Lipschitz địa phương lên tốn tử L phương trình ( T ) có nghiệm với ϕ∈ Cr TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồn Hóa, Nguyễn Ngọc Trọng, Lê Thị Kim Anh (2012), “Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, (36) , tr 22 - 31 Chu Văn Thọ (1997), Phương trình vi phân hàm với đối số trễ vô hạn không gian Banach, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm TPHCM Nguyễn Ngọc Trọng (2011), Tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TPHCM L.H.Hoa, K.Schmitt (1994), “Fixed point theorems of Krasnosel’skii type in locally convex space and applications to integral equation”, Results in Mathematics, vol.25, pp 291 - 313 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 22-5-2012; ngày phản biện đánh giá : 28-10-2012 ; ngày chấp nhận đăng: 31-10-2012) ... tục nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng ( T ) Kết điểm tựa cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình (T) Trong báo này, chứng minh tồn nghiệm tuần. .. (2012), ? ?Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic? ??, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, (36) , tr 22 - 31 Chu Văn Thọ (1997), Phương trình vi phân. .. hàm với đối số trễ vô hạn không gian Banach, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm TPHCM Nguyễn Ngọc Trọng (2011), Tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic,