( Lê Hoàn Hóa và tgk ) ( Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM ) ( ) TÍNH Rδ CỦA TẬP NGHIỆM MẠNH PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HOÀN HÓA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG** TÓM T[.]
Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ TÍNH Rδ CỦA TẬP NGHIỆM MẠNH PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HỒN HĨA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG** TĨM TẮT Trong báo này, chứng minh tập nghiệm mạnh S phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau tập Rδ t u ( t ) = A( t ) u( t ) + L( t ) ut +V ( t,u( t ) ) + ∫ K( t,s,u( s) ,us ) ds + f ( t) , t ≥ u = ϕ∈C r ( 1) Do S khác rỗng, compact, liên thơng Cơng cụ sử dụng định lý điểm bất động tốn tử dạng Krasnosel’skii khơng gian lồi địa phương, định lý tính Rδ tập điểm bất động ánh xạ hồn tồn liên tục Từ khóa: Tập Rδ , phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic ABSTRACT The Rδ property of a set of strong solutions of the nonlinear hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument In this paper, we prove the Rδ property of a set S of strong solutions of the following nonlinear Hyperbolic Voltera integro-differential equation with deviating argument t u ( t) = A( t) u( t) +L( t) ut +V( t,u( t) ) + ∫ K( t,s,u( s) ,us ) ds+ f ( t) , t ≥0 u = ϕ∈C 0 r ( 1) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ _ _ S _ is_ a_ non _ _ empty, _ _ _ compact, _ _ _ _ connected _ _ _ _ _set The _ _ Theorem _ _ _ _ of _ _a _fixed _ _ point _ _ _of _ the Hence, Krasnosel’skii-operator in a locally convex space and the Theorem about the Rδ property of a set of fixed points of completely continuous maps are mainly used Keywords: Rδ − set, nonlinear Volterra integro-differential equation with deviating argument * ** PGS TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM Học viên Cao học Trường Đại học Sư phạm TP HCM Giới thiệu Khi khảo sát phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu tồn nghiệm Khi phương trình có nghiệm câu hỏi tự nhiên đặt là: liệu nghiệm có hay khơng trường hợp phương trình có nhiều nghiệm tập nghiệm có tính chất gì? Năm 1942, N.Aronszajn chứng minh tập nghiệm S toán giá trị đầu x′ = f ( t, x ) , x ( ) = x0 (trong x ∈ □ ,t ∈ I = [ 0,T ] , f bị chặn liên tục n I × □ n ) tập Rδ không gian C ( I ) tất hàm liên tục từ I vào □ n Điều suy S khác rỗng, compact, liên thông Trong báo này, chứng minh tính Rδ tập nghiệm mạnh phương trình ( 1) Công cụ sử dụng định lý điểm bất động tốn tử dạng Krasnosel’skii khơng gian lồi địa phương, định lý tính Rδ tập điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục số định lý khác Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa: Cho Ω không gian metric đầy đủ B tập khác rỗng Ω B gọi co rút (contractible) tồn x0 ∈ B ánh xạ liên tục h : [ 0,1] × B →B thỏa h ( 0, x ) = x0 h ( 1, x) = x với x ∈ B B gọi Rδ B đồng phôi với giao dãy giảm ) ( Bn n , Bn co rút với n ∈ □ Một tập Rδ khác rỗng, compact, liên thơng Định nghĩa: Cho X ,Y không gian metric ánh xạ f : X →Y f gọi ánh xạ riêng (proper map) f liên tục với tập compact M Y ta có f −1 (M) tập compact X Điều kiện ( A) ( [2]) Cho X không gian lồi địa phương P họ nửa chuẩn tách X , D tập X U : D →X Với a ∈ X , ta định nghĩa U a : D →X Ua ( x) = U ( x) + a Toán tử U : D →X ( gọi thỏa điều kiện ( A) A.1) Với a ∈Ω :Ua ( D) ⊂ D tập Ω X ( A.2) Với a ∈Ω p ∈P , tồn ka ∈ □ với tính chất: Với ε > , tồn r ∈ □ δ > cho với x, y ∈ D thỏa α ap ( x, y ) < ε + δthì α ap ( Ua r ( x ) ,U r ( y ) ) < ε Ở a α ap ( x, y ) = max 2, , k },□ Định lý { p( Ui ( xa) −U j ( y ) a a ( B ) ( [2]) ) : i, j = 0,1, = { 1, 2, } , □ = { 0,1, 2, } Cho X không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách P giả sử U , C toán tử X cho ( B.1) U thỏa điều kiện ( A) X ( B.2) Với p ∈P , tồn kp ≥ (k p phụ thuộc vào p ( U ( x) − U ( y ) ) ) p) cho: ≤ k p p ( x − y x, y ∈ X với ( B.3) Tồn x0 ∈ X với tính chất: Với p ∈P tồn r ∈ □ λ ∈[ 0,1) (r, λ phụ thuộc vào cho p ( x) − x ( y ) ) ≤ λ p ( với x r p) x, y ∈ X U ( Ur x− y) ( B.4) C hoàn toàn liên tục p ( C ( A) ) < ∞ A ⊂ X , p ( A) < ∞ 0 với p ( A) = sup { p ( x) : x ∈ A} p( C( x) ) = với p ∈P ( B.5 p(lim x )→∞ p( ) x) Khi U + có điểm bất động C Chú ý 1: Từ chứng minh định lý Banach, tồn ( I − U ) 1 C ( B0 ( r) , U+C x ,r) ) cầu ( B) mở ⊂B ( x , ta thấy: Trong trường hợp X không gian B ( x0, r ) X thỏa mãn có điểm bất động B ( x0, r) điểm bất động U + C x0 , bán kính r thuộc B ( x0 , r ) , B ( x0, r ) cầu đóng tâm Định lý ( C ) ( [2]) Cho X không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P , D tập đầy đủ theo dãy X Cho U toán tử liên tục D (tức với p ∈P ε > , tồn δ > cho p ( x − y ) < δthì dẫn đến p ( U ( x ) −U ( y ) ) < ε ) ( Giả sử U thỏa điều kiện A) tập Ω X Khi tốn tử ( I − U ) 1 định nghĩa tốt liên tục Ω Với a ∈ Ω , tốn tử U có a điểm bất động D ( I − U ) 1 ( a ) limU n ( x ) = ( I − U ) 1 ( a ) với x ∈D Chú ý 2: n→∞ ( [2]) Nếu điều kiện ( A) , δ chọn độc lập với a ∈ Ω với ( I − U ) 1 giả thiết định lý ta có Định lý ) a ( D ( [1]) Cho liên tục Ω X khơng gian metric, ( E, • ) không gian Banach ánh xạ riêng f : X →E Giả sử có dãy ánh xạ riêng fk : X →E thỏa ( D.1 ) ( x) f < − f ( x) với x ∈ X k ( D.2) E k Với k ∈ □ u ∈ thỏa u ≤ , phương trình fk ( x ) k =u có nghiệm Khi tập M = f − R ( ) δ p Định lý ( E ) ([1]) Cho ,π , □ hệ ngược Nếu X X R } { ngược lim← Xn n n giới hạn δ n Rδ Kết 3.1 Giới thiệu tốn Cho r > Ta ký hiệu • chuẩn khơng gian Banach E □ Cr = C ( C( E) [ −r, 0] , E ) [ −r, ∞) , { } với chuẩn u = sup {u( t) không gian hàm liên tục từ ∞) : t ∈[ −r, 0] [ −r, + = [ 0, ∞) } vào E với họ nửa chuẩn • n n định nghĩa sau: x n = sup Với u ∈ C ∈ Cr ( [ −r, ∞) , E ) { x ( t ) : t ∈[ −r, n] } , n ∈□ t ≥ đặt ut định nghĩa ut ( θ ) = u ( t + θ ) với θ ∈[ −r,0 ] Với u ∈ C ut ∈ C r ( [ −r, d ] , E ) t ∈[ 0, d ] đặt định nghĩa ut ( θ ) = u ( t + θ ) với θ ∈[ −r,0 ] Với u ∈ X , đặt u : [ −r, ∞) → định nghĩa sau E u (s = ) u ( s ) + ϕ ( 0) − u ( 0) , ] , s ∈[ −r, 0] ϕ ( s) Với u ∈ C ( s≥0 [ 0, d ] , E ) , đặt u : [ −r, d định nghĩa sau →E ( ) u s = u ( s ) + ϕ ( ) s ∈ 0, d [ ] − u ( 0) , , s ∈[ −r, 0] ϕ ( s) Với n ∈□ , đặt X n = C E) ( [ 0, n] , không gian Banach gồm hàm liên tục u : [ 0, n] →E với u n = sup u ( t ) : t ∈[ 0, n] chuẩn X = C ( □ + , không gian Frechet hàm liên tục từ □ E) { chuẩn } { } định nghĩa sau: { = sup u ( t ) : t ∈[ 0, n] n n • u Xét phương trình )} { A( t t ≥0 tục } ∫ K ( t,s,u ( s ) ,us họ tốn tử tuyến tính liên tục từ E vào E,{ L ( t t A( t ) với n ∈□ t )} →E liên tục, liên tục t L ( t ) liên tục tuyến tính liên tục từ Cr vào E , f : □ ( i) ( ii ) vào E với họ nửa n u ( t ) = A( t ) u ( t ) + L ( t ) ut + V ( t,u ( t ) ) + ) ds + f ( t ) , t ≥ 0 u = ϕ ∈C r + + V : □ + × E →E liên tục tồn hàm liên t≥0 () họ toán tử ω : □ + →□ cho + V ( với t, x) −V ( t, y) ≤ω (t ) x −y x, y ∈ E t ∈ □ + ( iii) K : □ + × □ + × E × Cr →E hồn toàn liên tục ( iv ) lim x + y →∞ K ( t, s, x, y ) = theo ( t, đoạn bị chặn tùy ý s) □ +×□ + x+ y Định nghĩa: u : [ −r,∞) → gọi nghiệm mạnh phương trình E ( 1) u [ 0,∞) ∈ C1 ( E) [ 0,∞) , u thỏa phương trình gian hàm khả vi liên tục u : [ 0,∞) →E 3.2 Các định lý Định lý ( 1) , C1 ( E) [ 0,∞) , khơng Khi ( C ( Ω) ) ( t ) n ⊂ n2 ( conv( B) ) + ϕ ( 0) Do B tập compact nên ta có ( C ( Ω) ) ( t ) n tập compact tương đối Vậy C ( Ω) tập compact tương đối Suy C hoàn toàn liên tục Do nên với ε > ( iv) x+ y tồn m > ε > m K ( t, s, x, y ) < y ( x+ cho với x ∈ E y ∈ Cr mà ) với ( t, s ) ∈[ 0, n ] 12n2 Do K hoàn toàn liên tục nên tồn ρ > cho với x ∈ E x+ y y ∈ Cr mà ≤ m K ( t, s, x, y ) ≤ ρ với ( t, s ) ∈[ 0, n] Vậy K ( t, s, x, y ) < ρ + ε 12n2 x( + y ) với ( t, s ) ∈[ 0, n ] , x ∈ E, ry ∈ C Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Khi với t ∈[ 0, n] u ∈ ta có : X Cu ( t ) ≤t ∫ 0 ≤∫ ρ+ ∫ ∫ ( ( ) ) K s, σ , u ( σ ) , u dσ ds + ϕ ( ) σ )2 + u ( σ u dσ ds + ϕ ( ) ( )( ) σ t ε 12n s ε≤ n2 ρ + u Chọn μ n n Q= } {( x ) s Ω⊂ X ε Ω thỏa : x ∈ Ω, s ∈[ 0, n n < ∞ n Cu n cho ( với ( t, s ) ∈[ 0, n ] ,u ∈Ω ≤γ C ( u ) ≤ γ n2 + ϕ ( 0) ( ) K t, s,u ( s ) , u ) Vậy >μ 4n2 ϕ,ρ ,ϕ 0 Khi u > max ε Lấy + ϕ ( 0) εϕ + 12 với u ∈Ω Do C ( Ω) < ∞ n Ta chứng minh định lý qua hai bước n Bước Ta chứng minh ∆ ≠ ∅ Theo bổ đề bổ đề ta có U ,C thỏa điều kiện định lý ( B ) Vậy ∆ ≠ ∅ Bước Ta chứng minh ∆ tập Rδ Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ _ _ _ Đặt hiệu ta đặt _ _ _ _ { ∆n = u _ _ [ 0,n] _ _ _ _ _ _ _ _ _ } : u ∈ ∆ Ta chứng _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∆n Rδ Để đỡ nặng nề mặt ký minh P, H ,V , G : X n →X n định Pu ( s ) = g ( ( ) s s, u ) + V ( s,u ( s ) ) + f ( s ) , Hu ( t ) ( ) ( u) ( t) ( ) ds, = t K t, ∫ s,u ( s ) , u t V _ s t = ∫ Pu ( s) ds,G ( u ) ( t) = ∫ Hu ( s ) ds + ϕ ( ) với t ∈[ 0, n ] Tương tự chứng minh U ,C ta có V ,G thỏa kết luận bổ đề bổ đề Vậy với z, u, v ∈ Xn V thỏa điều kiện ) 1 18 ncnj ta có V j ( u ) −V j ( v ) ( B.1) − ( j! u − v với j ∈ □ Do ( B) , V liên tục đều, ≤ z n B.3) định lý n ( I −V định nghĩa tốt liên tục X n Đặt A = tục Ta gọi tập điểm bất động A ∆□ Bổ đề ∆ = ∆□ ( I − V ) 1 G Khi A hồn tồn liên n Chứng minh bổ đề : Khi u ∈ ∆ u [ 0,n] điểm bất động A Vậy ∆ n ⊂ ∆□ t Lấy y ∈ ∆□ Ta có t y ( t ) = ∫ Py ( s ) ds + ∫ Hy ( s ) ds + ϕ ( 0) với t ∈[ 0, n ] 0 Xét phương trình t u ( t ) = g ( t, ut ) + V ( t, u ( t ) ) ds + f ( t ) , t ≥ n u ( t ) = y ( t ) Tương tự phương trình xt y ( t ) , t ∈[ 0, n] xKhi x ∈ ∆ u t≥0 lim Bởi (n j→∞ ) p p! K ( t, s, u ( s ) ,u s ( ncn )j < τ = ncn Đặt β = ( − λ) ( 2) , t ∈[ − r, n] có nghiệm u Đặt = y Do y ∈ ∆ Tức ∆□ ⊂ ∆ [ 0,n] =0 j! c n ∫ ( 2) (t), λ= + ta thấy phương trình ( 1) ( ) ) n nên tồn p ∈ □ cho ( ncn )j với j ≥ p Đặt Ta có i n z0 V G ( x) lim n = nên tồn R > cho x− z0 Đặt M = : i=0 G ( ≥ R1 n {x ∈X n n x) < β x − z n } x− z0 ≤ R1 Khi cho G ( x < R2 với x ∈ Xn ) Lấy x n →∞ x − z0 G( M ) n n < ∞ nên tồn R2 > n thỏa mãn x − z0 n ≤ R1 n ε > , ) 1 ( I − V ) 1 ( x ) ) 1 ( y ) − ( I −V ( liên tục X n , nên tồn δ > n I−V < ε n với x, y ∈ X n mà x − y < δ thỏa mãn ( 3) ... sát phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu tồn nghiệm Khi phương trình có nghiệm câu hỏi tự nhiên đặt là: liệu nghiệm có hay khơng trường hợp phương trình có nhiều nghiệm tập nghiệm có tính. .. chúng tơi chứng minh tính Rδ tập nghiệm mạnh phương trình ( 1) Cơng cụ sử dụng định lý điểm bất động toán tử dạng Krasnosel’skii không gian lồi địa phương, định lý tính Rδ tập điểm bất động ánh... tùy ý s) □ +×□ + x+ y Định nghĩa: u : [ −r,∞) → gọi nghiệm mạnh phương trình E ( 1) u [ 0,∞) ∈ C1 ( E) [ 0,∞) , u thỏa phương trình gian hàm khả vi liên tục u : [ 0,∞) →E 3.2 Các định lý Định lý