Đang tải... (xem toàn văn)
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG CÓ TRỄ TRONG KHÔNG GIAN THỨ TỰ TRƯƠNG VĨNH AN*, NGUYỄN ANH TUẤN**, NGUYỄN ĐÌNH PHƯ*** TÓM TẮT Trong bài báo này chúng tôi sử dụng kết quả[.]
Trương Vĩnh An tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG CĨ TRỄ TRONG KHƠNG GIAN THỨ TỰ TRƯƠNG VĨNH AN*, NGUYỄN ANH TUẤN**, NGUYỄN ĐÌNH PHƯ*** TĨM TẮT Trong báo sử dụng kết lí thuyết điểm bất động giới thiệu [1] không gian hàm khoảng xếp thứ tự để chứng minh tồn tại, nghiệmcho lớp phương trình vi phân khoảng có trễ Từ khóa: phương trình vi phân khoảng; phương trình vi phân khoảng có trễ; Điều kiện co yếu ABSTRACT On the existence and uniqueness of solution to interval-valued delay differential equations in partially ordered metric spaces In this paper, we study the existence and uniqueness of solution to interval-valued delay differential equation in the setting of a generalized Hukuhara derivative and by using some recent results of fixed point of weakly contractive mappings on partially ordered sets Keywords: Interval-valued differential equations; Interval-valued delay differential equations; weakly contractive mapping; partially ordered space Giới thiệu Phương trình vi phân giá trị khoảng cơng cụ thích hợp để mơ hình hệ động lực tính tất định hay tính mơ hồ thâm nhập khắp nơi Nó phát triển theo nhiều hướng lí thuyết số ứng dụng nhiều toán thực tế khác nghiên cứu (xem [8,11,12], [3,4,5,6,7,13] Hiện nay, kết giải tích khoảng giới thiệu cách chi tiết Stefanini, L.và Bede, B [4] Ngồi ra, phương trình vi-tích phân khoảng có trễ (xem [5]) đề cập Phương trình vi phân có trễ đóng vai trị quan trọng nghiên cứu tính ứng dụng số mơ hình thực tế (xem [2,9]) Do đó, báo muốn sử dụng số kết định lí điểm bất động [1] để nghiên cứu cho lớp tốn phương trình vi phân khoảng có trễ sau: DgH X ( t ) = F ( t, X ( t ) , X t ) , (1.1) X ( t ) = ϕ ( t − a ) , t ∈[ a − σ , a] , * NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM, Email: truongvinhan@gmail.com PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM *** PGS TS, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TPHCM ** đó, DgH X đạo hàm Hukuhara tổng quát cho hàm khoảng X (được giới thiệu chi tiết mục 2) Hàm F : [ a, b] × KC ( □ ) × Cσ hàm khoảng Một số kiến thức 2.1 Một số định lí điểm bất động Gần đây, việc mở rộng lí thuyết điểm bất động nghiên cứu nhiều nhà toán học với nhiều cách thức tiếp cận khác nhau, cách tiếp cận đáng ý dựa vào tính đơn điệu hàm số không gian tập xếp thứ tự Trong [1], nhóm tác giả giới thiệu số kết lí thuyết điểm bất động ứng dụng điều kiện co yếu không gian tập xếp thứ tự tồn nghiệm cho lớp phương trình vi phân thường với điều kiện biên tuần hoàn nghiên cứu Theo sau, chúng tơi trình bày thật ngắn gọn số kết nghiên cứu [1] ứng dụng nghiên cứu phương trình vi phân khoảng Định nghĩa 2.1 [1] Ta gọi ψ : [ 0, ∞) →[ 0, hàm biến đổi khoảng cách ∞) thỏa điều kiện theo sau (i) ψ liên tục không giảm; (ii)ψ (t) = t = Định nghĩa 2.2 [1] Xét không gian mê tric đầy đủ ) ( ℵ, d hàm thực f :ℵ→ℵ Khi đó, f gọi co yếu ψ ( d ( f ( x) , f ( y ) ) ) ≤ψ ( d (x, y)) −γ ( d (x, y) ) , ∀x, y ∈ℵ, đó, ψ γ hai hàm biến đổi khoảng cách Xét không gian xếp thứ tự ≤) f đơn điệu không giảm x ≤ y ( ℵ, hàm f :ℵ→ℵ Ta nói hàm suy f ( x ) ≤ f ( y) , x, y ∈ℵ; hàm f đơn điệu không tăng x ≤ suy f ( x ) ≥ f ( y ) Kết sau trình bày số định lí y điểm bất động mở rộng [1] ý hàm f không cần liên tục Định lí 2.1 [1] Xét khơng gian xếp thứ tự ≤) ( ℵ, giả sử có tồn mê tric d ℵsao cho ( ℵ, d ) không gian metric đầy đủ Xét hàm không giảm thỏa f :ℵ→ℵ đơn điệu ψ( d ( f( x) , f( y) ) ) ≤ ψ ( d (x, y)) − γ ( d (x, y) ) , với x ≥ y , ψ γ hai hàm biến đổi khoảng cách Giả sử không gian ℵ điều kiện sau thỏa: ( k dãy x không giảm hội tụ x xk ≤ x với k ∈□ f liên tục Khi đó, k∈□ ) có tồn x0 ∈ℵ cho x0 ≤ f x0 ) ( f có điểm bất động Định lí 2.2 [1] Xét khơng gian xếp thứ tự ≤) ( ℵ, giả sử có tồn metric d ℵsao cho ( ℵ, d ) không gian metric đầy đủ Xét f :ℵ→ℵ đơn hàm điệu không giảm thỏa bất đẳng thức Định lí 2.1 Giả sử khơng gian ℵ điều kiện sau thỏa: dãy ( xk ) k∈□ khơng tăng hội tụ x x ≤ xk với k ∈□ f liên tục Khi đó, có tồn x0 ∈ℵ cho x0 ≥ f ( x0 ) f có điểm bất động Định lí sau đảm bảo tồn điểm bất động hội tụ toàn cục phương pháp xấp xỉ Tức là, cho hàm f :ℵ→ℵ ( ℵ, ≤ ) tập xếp thứ tự (x)) ( f k x∈□ hội tụ đến điểm bất động f với x ∈ℵ Định lí 2.3 Dưới giả sử Định lí 2.1 Định lí 2.2, cặp phần tử ℵ có chặn chặn f có điểm bất động Hơn nữa, x0 điểm bất động f lim f k ( x) = x với x ∈ℵ k →∞ 2.2 Kiến thức giải tích khoảng Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm tích phân vi phân hàm khoảng Cho KC (R) A= B tập A, A , B = B, ∈ K C (R) khoảng compact khác rỗng phép cộng Minkowski nhân vô hướng định λ A, λ A nghĩa A + B = A, A + B, B = A + B, A + B λ A = λ A, A = λ A, λ A Nếu λ = −1 Hiệu Minkowski Nếu − A := (−1) A = (−1) Tổng quát, A, A = − A, − A λ>0 λ=0 λ>0 A + (− A) ≠ A − B = A + (−1)B = KC (R) A − B, A − B Với phép tốn trên, khơng gian nửa tuyến tính Hiệu Hukuhara tổng quát Hiệu Hukuhara tổng quát hai khoảng định nghĩa sau A, A { } { Ta định nghĩa độ rộng khoảng A w( A) = A − A Khi đó, A ! B = (i)A = B + C w( A) ≥ w(B) (ii)B = A + (−1)C g } ! g B, B = A − B, A − B , max A − B, A − B w( A) ≤ w(B) Mêtric Hausdorff-Pompeiu H KC (R) định nghĩa sau: H[ A, B] = max B, { (2.1) −B A− } A Các tính chất khác liên quan tới phép toán KC (R) xem S Markov[7], khoảng cách Hausdorff-Pompeiu H xem L Stefanini B Bede [4] Ta nhận thấy (KC (R), H ) không gian mê tric địa phương đầy đủ, tách Nhận xét 2.1 Nếu X m ! g ( X m ) m∈ ⊂ K (R) A∈ KC (R) X m →X m →∞ A m →∞ A →X ! Cho X ∈ KC (R), ta xét hai quan hệ thứ tự riêng KC (R) : Định nghĩa 2.1 Cho X≤ Y X ° Y ( X ± Y X ≤ Y X ,Y ∈ KC (R) Ta nói ) ( Xk )k∈N ⊆ KC (R) ( X ≥ Y X ≥ Y ) Ta nói dãy khơng giảm X k ° X k +1, ∀k ∈ N Xét hàm X ,Y :[a,b] →KC (R) Quan hệ thứ tự riêng ° khoảng thể mở rộng cho không gian hàm khoảng sau: X ° Y X (t) ≥ Y (t) ∀t ∈[a, b] , X (t) ≤ Y (t) Cho C([a,b], KC (R)) tập hàm khoảng từ [a,b] vào KC (R) liên tục Khi đó, C([a,b], KC (R)) HC [ X ,Y ] = có X! Y không g C gian mê tric đầy đủ với mêtric tương ứng := supa≤t≤b H [ X (t), 0] , X C t0∈[a,b] Ta định nghĩa X ′ (t 0) ∈ K (□ ) Đạo hàm Hukuhara [4] Cho X :[a,b] →KC (□ ) hàm khoảng (nếu tồn tại) D X (t ) = lim X (t0 + h) ! g X (t0 C (2.2) ) gH h→0 h Ta gọi X ′ (t ) đạo hàm Hukuhara tổng quát (viết tắt gH-derivative) X t 0 Cho X :[a,b] →KC (□ ) hàm khoảng thỏa X (t) = [ X (t), X (t)], X and X khả b tích Riemann [a,b] Khi đó, ta định nghĩa (t)dt ∫ a ∫ a X (2.3) b X (t)dt = ∫ b X (t)dt, ∫ b X (t)dt a a X gọi khả tích Riemann [a,b] Nếu X :[a,b] →KC (□ ) hàm khoảng thỏa X (t) = [ X (t), X (t)]và X X khả tích Lebesgue [a,b] X gọi khả b tích Lebesgue [a,b] tích phân Lebesgue (2.3) ∫ a X (t)dt định nghĩa Kết Trong mục này, chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm cho dạng tổng qt phương trình khoảng có trễ cách sử dụng kết gần định lí điểm bất động cho ánh xạ co yếu tập quan hệ thứ tự Với số dương σ , ta kí hiệu Cσ không gian C([− σ , 0], KC (□ trang bị mê tric )) Hσ [ X ,Y sup H [ X (t),Y (t)] Đặt I = [a, a + p], J = [a − σ , a] ∪ I = [a − σ , a Khi ] t∈[ −σ , = 0] + p] đó, với t ∈ I , ta kí hiệu phần tử Cσ định nghĩa Xt (s) = X (t + s) , s ∈[− σ , 0] Xt Hàm khoảng X : [ a, b] →KC gọi w-tăng (w-giảm) (□) [ a, b] hàm thực t w( X (t)) không giảm (không tăng) khoảng X thỏa w-tăng w-giảm [ a, b] [ a, b] ta nói X w-đơn điệu Nếu hàm [ a, b] Phương trình tích phân khoảng có trễ: Xét phương trình tích phân khoảng có trễ sau: X (t) = ϕ(t − t ∈[a − σ , a), a], (3.1) t X (t) g ϕ(0) = ! ∫ F (s, X (s), )ds, Xs a t ∈[a, a + p], với σ > 0,α ∈(0,1) Ta nói hàm khoảng liên tục X :[a − σ , a + p] →K (□ nghiệm C ) phương trình tích phân có trễ (3.1) thỏa phương trình (3.1) Giả sử X ∈C([a, a + p], KC (□ w-đơn điệu [a, a + p] thỏa (3.1) Ta ý hàm )) Y (t) := X (t) ! g ϕ(0) tạo hai nghiệm (3.1): nghiệm w-tăng (3.1) nghiệm w-giảm (3.1) [a,a+p] Đặc biệt, (3.1) viết X (t ) = ϕ(t − a),t ∈[a − σ , a], t )ds, t ∈[a, a + p], lại (3.2) F (s, X (s), X (t ) = ϕ(0) ∫ Xs a + X ∈C([a,b], KC (□ )) w-tăng [a,a+p]; X (t) = ϕ(t − a),t ∈[a − σ , a], Và viết lại dạng t )ds, F (s, X (s), X (t) = ϕ(0) ∫ Xs a ! X ∈C([a,b], KC (□ )) w-giảm [a,a+p] t ∈[a, a + p], (3.3) Định nghĩa Một hàm khoảng w-đơn điệu X L ∈ C([a, b], K (□ )) nghiệm C t ∈[a, a + p], t (3.4) X L (t) g ϕ(0) L L F (s, X (s), sX ) ∫ (3.1) ° ! ds, a L X (t) = ξ (t − a) ϕ(t − a), t ∈[a − σ , a], ° với X U ∈ C([a, b], K (□ )) nghiệm ξ (t − a) ∈Cσ Một hàm khoảng w-đơn điệu C (3.1) thỏa bất đẳng thức ngược lại (3.4) Tiếp theo, với k > , ta xét Bk X ∈C([a − σ , a + p], KC (□ )) Bk tập hàm khoảng liên tục thỏa X (t) = ϕ(t − a) sup {H[ X (t), 0]exp(−kt)} < ∞ Trên [a − σ , a] ta định nghĩa mê tric sau t∈[ a−σ ,a+ p] (3.5) Hk [X ,Y ] = sup {H[ X (t),Y (t)]exp(−kt)}, X ,Y ∈C([a − σ , a + p], KC (□ )), t∈[a−σ ,a+ p] Trong k > đủ lớn thỏa (1/ kα ) < Mê tric (3.5) tương đương với mê tric H Hk (X ,Y ) ≤ H (X ,Y ) ≤ exp(k(a + p))Hk (X ,Y ) vớimọi X ,Y ∈C([a − σ , a + p], KC (□ )) Hơn nữa, (C([a − σ , a + p], KC (□ )), Hk ) khơng gian mê tric đầy đủ Định lí 3.1 Cho F ∈ C([a, b]× KC (□ ) × Cσ , KC (□ )) giả sử F(t, A, B) không giảm theo A,B với t ∈[a,b], nghĩa là, A ± and B ± F (t, A, B) ± F (t, C, D) Hơn C D nữa, giả sử điều kiện sau thỏa: (A1) tồn nghiệm w-đơn điệu X L ∈ C([a, b], K C (□ )) (3.1) cho toán (A2) F (t, A, B) co yếu với phần tử so sánh, tức là, với hàm khoảng cách T1 T2 , bất đẳng thức sau T1 (H[F (t, A, B), F (t,C, D)]) ≤ [T1 (H[A, C]) + T1 (Hσ [B, D])] −[T2 (H[ A,C]) + T2 (Hσ [B, D])], A ± C B ± D t ∈[a, a + p].Khi đó, tồn nghiệm w- đơn điệu X cho toán (3.1) khoảng [a − σ ,T], với T ≤ a + p Chứng minh Đặt X (t) := X (t) ! g ϕ(0), t ∈[a − σ , a + p] Ta định nghĩa toán tử □ : C([a − σ , a + p], KC (□ )) →C([a − σ , a + p], KC (□ )) xác định ϕ (t − a) ! g ϕ (0),t ∈[a − σ , a], (□ X )(t)= t ∫ F (s, X (s), s )ds, t ∈[a, a + p] X a Ta kiểm tra điều kiện Định lí 2.1 Thật vậy, lấy Y [a − σ , a + p] ( X s ± Ys ,∀s ∈[a, a + p]) t ∈[a − σ , a], (□ X )(t) = ϕ (t − a) ! g ∫ a ϕ(0) = (□ Y)(t), với t ∈[a, a + p], t (□ X )(t) = X± t F (s, X (s), X s )ds ± a □ X ± □ Y X ± Y giờ, điều kiện (A2) cho thấy ∫ F (s,Y (s),Ys )ds = (□ Y)(t) trên[a − σ , a + p], tốn tử □ khơng giảm Bây H[F (t, X (t), Xt ), F(t,Y (t),Yt )] ≤ H[X (t),Y (t)] + Hσ [ Xt ,Yt ], (3.6) với X ± Y với t ∈[a, a + p] Thật vậy, từ (A2) ta T1 ( H[F(t, X (t), X t ), F(t,Y (t),Yt )]) ≤ T1 (H[ X (t),Y (t)]) + T1 (Hσ [X s ,Ys ]), (3.7) với X ± Y Nếu bất đẳng thức (3.6) khơng đúng, với X ± Y H[ X (t),Y (t)] + Hσ [ Xt ,Yt ] < H[F(t, X (t), Xt ), F(t,Y (t),Yt )] ta có Khi đó, T1 khơng giảm, nên với X ± Y ta có T1 (H[ X (t),Y (t)]) + T1 (Hσ [ Xt ,Yt ]) ≤ T1 (H[F (t, X (t), Xt ), F (t,Y (t),Yt )]) Do đó, từ (3.7), T1 (H[X (t),Y (t)]) + T1(Hσ [ Xt ,Yt ]) = T1 (H[F(t, X (t), Xt ), F (t,Y (t),Yt )]) , với X ± Y Từ (A2), ≤ −T2 (H[ X (t),Y (t)]) + T2 (Hσ [ Xt ,Yt ]), suy T2 (H[ X (t),Y (t)]) + T2 (Hσ [ Xt ,Yt ]) = Khi T2 hàm khoảng cách thay đổi, ta có H[ X (t),Y (t)] = H[ Xt ,Yt ] = với X ± Y Điều mâu thuẫn, tức là, H[F (t, X (t), Xt ), F (t,Y (t),Yt )] = Vậy bất đẳng thức (2.6) Tiếp theo, với X ± Y , t ∈[a − σ , a] , H[(□ X )(t), (□ Y)(t)] = H [ϕ(t − a) ! g ϕ(0),ϕ(t − a) ! g ϕ(0)] = , t ∈[a, a + p], t H[(□ X )(t), (□ Y)(t)] = H[∫ F (s, X (s), X s )ds, ∫ F (s,Y (s),Ys )ds] a a ≤ t k sup θ∈[ s−σ ,s] H[ X (θ ),Y (θ )])ds Từ (3.5) suy Vậy được: H[ X (s),Y (s)] ≤ H ( X ,Y )eks với s ≥ a −σ sup H[ X (θ ),Y (θ )] ≤ Hk θ∈[ s−σ , s] ( X ,Y ) eks với s ≥ a Hơn nữa, với t ≥ a, ta H[(□ X )(t), (□ Y)(t)] ≤ ∫ (H k a [ X ,Y ]eks + H [ X ,Y ]eks )ds Hk [□ X , □ Y] ≤ Hk [ X ,Y ] sup t 1− exp(−k (a + p)) k ( s−t ) ∫ds ≤e H k [ X ,Y ] k t∈[ a,a + p ] a Vậy 1− exp(− k (a + p)) T (H [□ X , □ Y]) ≤ T ( H [ X ,Y ]) k k k 1− exp(− k (a + p)) = T (H [ X ,Y ]) − [T (H [ X ,Y ]) − T ( H [ X ,Y ])] k Khi ấy, T (t) = T (t) − T ( k − exp(− k (a + p)) t) k k k T1 (Hk [□ X, □ Y]) ≤ T1 (Hk [X ,Y ]) − T2 (Hk [ X ,Y ]), với X ± Y Cuối cùng, sử dụng tồn nghiệm dưới, ta kiểm tra X thỏa X L ° □ X L ° Thực vậy, X L (t) = ξ (t − a) ϕ(t − a) , với t ∈[a − σ , a], với t t ∈[a, a + p], X (t ) g ϕ(0) L L ∫a F (s, X (s), sX )ds Sau ! ° X L (t) := X L (t) ϕ(0) ϕ (t − a) ϕ(0) = □ X L (t), t ∈[a − σ , a], ! ° ! g g t ∈[a, a + p] t L X (t) F (s, X L (s), Xs L )ds = □ X L ∫ ° (t), a L Khi toán tử □ thỏa tất giả thiết Định lí 2.1, □ có điểm bất động C([a − σ , a + p], KC (□ )).Hơn nữa, cặp hàm khoảng C([a − σ , a + p], KC (□ )) có chặn trên, áp dụng Định lí 2.3 ta suy tốn tử □ có điểm bất động X X nghiệm (3.1) Nhận xét 3.1 Kết luận Định lí 3.1 tồn nghiệm w− đơn điệu toán (3.1) thay tồn nghiệm w− đơn điệu tốn (3.1) Phương trình vi phân khoảng có trễ: Xét phương trình vi phân khoảng có trễvới điều kiện đầu: DgH X ( t ) = F ( t, X ( t ) , X t ) , X ( t ) = ϕ ( t − a ) , t ∈[ a − σ , a] F : [ a, b] × KC (□) , ( □ ) × Cσ →KC ϕ ∈Cσ Kí hiệu C1 ( (3.8) [ a, b] , K ( □ ) ) C gian hàm giá trị khoảng khả vi liên tục với đạo hàm Hukuhara tổng quát không Bổ đề 3.1 Giả sử F ∈ C ( đơn điệu X ∈C ( [ a, b] × KC ( □ ) × Cσ , KC ( □ ) ) [ a, b] , KC ( □ ) ) Một hàm giá trị khoảng w- nghiệm toán giá trị đầu (3.8) X thỏa mãn phương trình tích phân khoảng trễ (3.1) Định nghĩa 3.2 Cho X : a − σ , a + p →KC [ ] giá trị khoảng w-tăng (w-giảm) ( □ ) hàm khả vi Hukuhara tổng quát [ a, a + p ] Nếu X đạo hàm thỏa mãn tốn (3.8), ta nói X (i)- nghiệm ((ii)-nghiệm) toán (3.8) Định nghĩa 3.3 Một hàm X L ∈ C ( [ a − σ , a + p] , K C (i)-nghiệm (3.8) D X L ( t ) ° F ( t, X L ( t ) , X L ) ,t ∈[ a, a + p] gH t (□)) ∩ C1,F ( [ a, a + p] , K ( □ ) ) (3.9) L X ( t ) = ξ ( t − a ) ° ϕ ( t − a ) , t ∈[ a − σ , a ] Trong X L w-tăng Một hàm X U ∈C ( K [ a, a + p] ξ ( t − a) ∈ Cσ [ a − σ , a + p] , K ( □ ) ) (□)) ∩ C1 ( [ a, a + p] , (i)- C nghiệm (3.8) thỏa mãn bất đẳng thức ngượccủa (3.9) Tương tự, ta định nghĩa (ii)-nghiệm (ii)-nghiệm (3.8) Định nghĩa 3.4 Một hàm Y U ∈ C ( )) [ a − σ , a + p] , CK ( □ ) ) ∩ C1 ( [ a, a + p] , K ( □ (ii)-nghiệm (3.8) D X U ( t ) ± F ( t,Y U ( t ) ,Y U ) , t ∈[ a,b] gH t (3.10) Y U ( t ) = ψ ( t − a ) ± ϕ ( t − a ) , t ∈[ a − σ , a ] , Trong YU w-tăng ψ t − a ∈ Cσ ( ) Một hàm Y ∈C ( L K [ a − σ , a + p] ,CK ( □ ) ) (□)) ∩C ( [ a, a + p] , (ii)- nghiệm (3.8) thỏa mãn bất đẳng thức ngược (3.10) Định lí 3.2 Giả sử F ∈C ( F ( t, A, B khơng giảm theo ) [ a, b] × KC ( □ ) × Cσ , KC ( □ ) ) thỏa mãn điều kiện (A2) A, B với t ∈[ a, b ] , nghĩa là, A ± B ± C D F ( t, A, B ) ± F ( t,C, D) Hơn nữa, giả sử điều kiện sau thỏa mãn : (A3) tồn (i)-nghiệm X L ∈C ( [ a − σ , a + p ] , KC ( □ ) ) (i)-nghiệm X U ∈ C ( )) ∩ C1 ( [ a, a + p] , KC ( □ ) ) [ a − σ , a + p] , KC ( □ ) ) ∩ C1 ( ) toán (3.8) ; (A4) tồn (ii)-nghiệm (một [ a, a + p] , KC ( □ Y L ∈C ( [ a − σ , a + p] ,C K ( □ ) ) ∩ C1 ( [ a, a + p] , K ( □ ) ) (một (ii)-nghiệm YU ∈ C ( [ a − σ , a + p] ,CK ( □ ) ) ∩ C1 ( [ a, a + p] , K ( □ ) ) toán (3.8) t ∫ w ( F ( s, X ( s ) , X ) ) ds ≤ w s ∀t ∈[ a, a + p ] ( ϕ ( 0) ) , a Khi đó, tồn (i)-nghiệm X toán (3.8) với điều kiện (A3) (ii)-nghiệm Y toán (3.8) với điều kiện (A4) khoảng [ a − σ , T] đó, với T ≤ a + p Chứng minh Vì cách chứng minh hai trường hợp tương tự nên ta xét trường hợp điều kiện (A4) Tương tự chứng minh Định lí 3.1, ta định nghĩa tốn tử P : C ( [ a − σ , a + p ] , KC ( □ ) ) →C ( [ a − σ , a + p] , KC ( □ ) ) ( PY ) ( ϕ ( t − a ) , t ∈[ a − σ , a] , t) = ∫a F ( s,Y ( s ) ,Ys ) ds, t ∈[ a, a + p ] ϕ ( 0) ! Theo (A4), hiệu Hukuhara tồn với t ∈[ a, a + p ] Bây giờ, với Y ≤ Z , t ( PY ) ( t ) ) = ϕ ( 0) ! t ( −1) ∫ F ( s,Y ( s ) ,Ys ) ds ≤ ϕ ( ) ! ( −1) ∫ F ( s, Z ( s ) , Z s ds a = a ( PZ ) ( t ) , t ∈[ a, a + p] , giữ tốn tử P khơng giảm Vì F thỏa mãn (A2), ta có H F ( t,Y ( t ) ,Yt ) , F ( t, Z ( t ) , Z t ) ≤ H Y ( t ) , Z ( t ) + H σ [ Yt , Z t ] Do đó, Y ≤ [ PY , PZ ] [ Yk , Z ] H Z ≤ ( 1/ k ) α H T1 ( H k [ PY , PZ ] ) ≤ T1 ( H k [ PY , PZ ] ) − T2 ( H k [ PY , PZ ] ) , T ( Hk [ PY , PZ ] ) (H k = T1 [ PY , PZ ] ) −T kα ) H ( ( 1/ dụng tồn (ii)-nghiệm Bổ đề 3.1,ta có [ PY , PZ ] ) k Cuối cùng, sử t Y L ( t ) =ψ = ( 0) ! ( −1g ) ∫ H a t D Y L ( s ) ds ≤ ϕ ( ) ! ( PY ) ( t ) , t ∈[ a, a + p ] L a ∫ s F ( s,Y L ( s ) ,Y L ) ds Vì vậy, Y L ≤ PY L Vì tốn tử P thỏa mãn tất giả thiết Định lí 2.1, P có điểm bất động C ( khoảng C ( (□)) [ a − σ , a + p ] , KC ( □ ) ) [ a − σ , a + p] , KC Hơn nữa, cặp hàm giá trị có chặn trên, áp dụng Định lí 2.3 ta suy ... 3.1 Kết luận Định lí 3.1 tồn nghiệm w− đơn điệu toán (3.1) thay tồn nghiệm w− đơn điệu tốn (3.1) Phương trình vi phân khoảng có trễ: Xét phương trình vi phân khoảng có trễvới điều kiện đầu: ... [1] Xét không gian xếp thứ tự ≤) ( ℵ, giả sử có tồn metric d ℵsao cho ( ℵ, d ) không gian metric đầy đủ Xét f :ℵ→ℵ đơn hàm điệu khơng giảm thỏa bất đẳng thức Định lí 2.1 Giả sử không gian ℵ điều... [ a, b] [ a, b] ta nói X w-đơn điệu Nếu hàm [ a, b] Phương trình tích phân khoảng có trễ: Xét phương trình tích phân khoảng có trễ sau: X (t) = ϕ(t − t ∈[a − σ , a), a], (3.1) t X (t)