Trong [1], nhóm tác giả giới thiệu một số kết quả lí thuyết điểm bất động mới của ứng dụng điều kiện co yếu trong không gian các tập được sắp xếp thứ tự và sự tồn tại của nghiệm duy [r]
(1)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016
_
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG CĨ TRỄ TRONG KHƠNG GIAN THỨ TỰ
TRƯƠNG VĨNH AN*, NGUYỄN ANH TUẤN**, NGUYỄN ĐÌNH PHƯ***
TĨM TẮT
Trong báo chúng tơi sử dụng kết lí thuyết điểm bất động giới thiệu [1] không gian hàm khoảng xếp thứ tự để chứng minh tồn tại, nghiệmcho lớp phương trình vi phân khoảng có trễ
Từ khóa: phương trình vi phân khoảng; phương trình vi phân khoảng có trễ; Điều kiện co yếu
ABSTRACT
On the existence and uniqueness of solution
to interval-valued delay differential equations in partially ordered metric spaces In this paper, we study the existence and uniqueness of solution to interval-valued delay differential equation in the setting of a generalized Hukuhara derivative and by using some recent results of fixed point of weakly contractive mappings on partially ordered sets
Keywords: Interval-valued differential equations; Interval-valued delay differential equations; weakly contractive mapping; partially ordered space
1 Giới thiệu
Phương trình vi phân giá trị khoảng cơng cụ thích hợp để mơ hình hệ động lực tính tất định hay tính mơ hồ thâm nhập khắp nơi Nó phát triển theo nhiều hướng lí thuyết số ứng dụng nhiều toán thực tế khác nghiên cứu (xem [8,11,12], [3,4,5,6,7,13] Hiện nay, kết giải tích khoảng giới thiệu cách chi tiết Stefanini, L.và Bede, B [4] Ngồi ra, phương trình vi-tích phân khoảng có trễ (xem [5]) đề cập
Phương trình vi phân có trễ đóng vai trị quan trọng nghiên cứu tính ứng dụng số mơ hình thực tế (xem [2,9]) Do đó, báo chúng tơi muốn sử dụng số kết định lí điểm bất động [1] để nghiên cứu cho lớp toán phương trình vi phân khoảng có trễ sau:
, , ,
, , ,
gH t
D X t F t X t X
X t t a t a a
(1.1)
*
NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM, Email: truongvinhan@gmail.com
**
(2)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Vĩnh An tgk
_
trong đó, D XgH đạo hàm Hukuhara tổng quát cho hàm khoảng X (được giới thiệu chi tiết mục 2) Hàm F:a b, KC C hàm khoảng
2 Một số kiến thức
2.1 Một số định lí điểm bất động
Gần đây, việc mở rộng lí thuyết điểm bất động nghiên cứu nhiều nhà toán học với nhiều cách thức tiếp cận khác nhau, cách tiếp cận đáng ý dựa vào tính đơn điệu hàm số không gian tập xếp thứ tự Trong [1], nhóm tác giả giới thiệu số kết lí thuyết điểm bất động ứng dụng điều kiện co yếu không gian tập xếp thứ tự tồn nghiệm cho lớp phương trình vi phân thường với điều kiện biên tuần hoàn nghiên cứu Theo sau, chúng tơi trình bày thật ngắn gọn số kết nghiên cứu [1] ứng dụng nghiên cứu phương trình vi phân khoảng
Định nghĩa 2.1 [1] Ta gọi : 0, 0, hàm biến đổi khoảng cách thỏa điều kiện theo sau
(i) liên tục không giảm;
(ii) ( ) t 0 t 0
Định nghĩa 2.2 [1] Xét không gian mê tric đầy đủ ,d hàm thực f : Khi đó, f gọi co yếu
d f x , f y d x y( , ) d x y( , ) , x y, ,
trong đó, là hai hàm biến đổi khoảng cách
Xét không gian xếp thứ tự hàm , f : Ta nói hàm f đơn điệu khơng giảm x y suy f x f y , ,x y ; hàm f đơn điệu không tăng x y suy f x f y Kết sau trình bày số định lí điểm bất động mở rộng [1] ý hàm f không cần liên tục
Định lí 2.1 [1] Xét khơng gian xếp thứ tự giả sử có tồn mê tric ,
d cho , dlà không gian metric đầy đủ Xét hàm f : đơn điệu không giảm thỏa
d f x , f y d x y( , ) d x y( , ) ,
với x y, hai
hàm biến đổi khoảng cách Giả sử không gian điều kiện sau thỏa: dãy
xk k không giảm hội tụ x xk với k x f liên tục Khi đó,
(3)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016
_
Định lí 2.2 [1] Xét không gian xếp thứ tự , giả sử có tồn metric d cho ,dlà không gian metric đầy đủ Xét hàm f : đơn điệu khơng giảm thỏa bất đẳng thức Định lí 2.1 Giả sử không gian điều kiện sau thỏa: dãy xk k không tăng hội tụ x xxk với k
hoặc f liên tục Khi đó, có tồn x cho 0 x0 f x 0 f có điểm bất
động
Định lí sau đảm bảo tồn điểm bất động hội tụ toàn cục phương pháp xấp xỉ Tức là, cho hàm f : , tập xếp thứ tự k( )
x f x
hội tụ đến điểm bất động f với x
Định lí 2.3 Dưới giả sử Định lí 2.1 Định lí 2.2, cặp phần tử
có chặn chặn f có điểm bất động Hơn nữa, x0
điểm bất động f lim k( ) 0
k f x x với x 2.2 Kiến thức giải tích khoảng
Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm tích phân vi phân hàm khoảng
ChoKC( )R tập khoảng compact khác rỗng Nếu
(
, , , C )
AA A BB B K R phép cộng Minkowski nhân vơ hướng định
nghĩa bởiABA A, B B, AB A, Bvà
,
, 0
,
A A
A A A
A A
Nếu A: ( 1) A ( 1)A A, A,A Tổng quát, A ( A)0 Hiệu Minkowski A B A ( 1)BAB,A B Với phép toán trên, KC( )R khơng gian nửa tuyến tính
Hiệu Hukuhara tổng quát Hiệu Hukuhara tổng quát hai khoảng định nghĩa
như sau
, g , , ,max ,
A A B B A B A B A B A B
!
Ta định nghĩa độ rộng khoảng A w A( ) AA Khi đó,
( ) ( )
( ) ( 1) ( )
( ) ( )
g
i A B C w A
A B
i
w B
A w w
i B C A B
!
( )
(4)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Vĩnh An tgk
_
max
[A, ] A B, A B
H B (2.1)
Các tính chất khác liên quan tới phép toán KC( )R xem S Markov[7], khoảng cách Hausdorff-Pompeiu H xem L Stefanini B Bede [4] Ta nhận thấy
(K R H không gian mê tric địa phương đầy đủ, tách C( ), )
Nhận xét 2.1 Nếu Xmm N KC( )R AKC( )R
m
X X m Xm! g AX !g Akhi m
ChoXK RC( ), ta xét hai quan hệ thứ tự riêng trênKC( )R :
Định nghĩa 2.1 Cho X Y, K RC( ) Ta nói X ° Y X ± Y XY X Y (X Yvà X Y) Ta nói (Xk)kN KC( )R dãy không giảm
1,
k k
X ° X k N Xét hàm khoảng X Y, :[ , ]a b K RC( ) Quan hệ thứ tự riêng ° có
thể mở rộng cho không gian hàm khoảng sau:
X ° Ynếu X t( )Y t( ) X t( )Y t( ), t [ , ]a b
Cho C a b K R tập hàm khoảng từ [a,b] vào ([ , ], C( )) KC( )R liên tục Khi đó,
([ , ], C( ))
C a b K R không gian mê tric đầy đủ với mêtric tương ứng
[ , ]
C g C
H X Y X! Y , : supa t b ( ),0
C
X H X t
Đạo hàm Hukuhara [4]
ChoX:[ , ]a b KC( )hàm khoảng t0[ , ]a b Ta định nghĩaX t( )0 KC( )
(nếu tồn tại) 0
0
( ) ( )
( ) lim g
gH
h
X t h X t
D X t
h
! (2.2)
Ta gọiX t( )0 là đạo hàm Hukuhara tổng quát (viết tắt gH-derivative) X
0
t Cho X:[ , ]a b KC( ) hàm khoảng thỏaX t( ) [ ( ), X t X t( )], X and X khả tích Riemann [a,b] Khi đó, ta định nghĩa b ( )
a X t dt
( ) ( ) , ( )
b b b
a X t dt a X t dt a X t dt
(2.3)
và X gọi khả tích Riemann [a,b] NếuX:[ , ]a b KC( )là hàm khoảng thỏa ( ) [ ( ), ( )]
X t X t X t X X khả tích Lebesgue [a,b] X gọi khả tích Lebesgue [a,b] tích phân Lebesgue b ( )
a X t dt
định nghĩa
(5)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016
_
3 Kết
Trong mục này, chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm cho dạng tổng quát phương trình khoảng có trễ cách sử dụng kết gần định lí điểm bất động cho ánh xạ co yếu tập quan hệ thứ tự Với số dương , ta kí hiệu C khơng gian C([, 0],KC( )) trang bị mê tric
,0
, sup ( ), ( )
t
H X Y H X t Y t
ĐặtI [ ,a a p J], [a, ]a I [a,ap] Khi
đó, với t , ta kí hiệu phần tử CI được định nghĩa X st( )X t( s),
[ , 0]
s Xt Hàm khoảngX:a b, KC gọi w-tăng (w-giảm) a b, hàm thực tw X t ( ) không giảm (không tăng) a b, Nếu hàm khoảng X thỏa w-tăng w-giảm a b, ta nói X w-đơn điệu a b,
Phương trình tích phân khoảng có trễ:
Xét phương trình tích phân khoảng có trễ sau:
( ) ( ), [ , ],
( ) (0) ( , ( ), ) , [ , ], t
g s
a
X t t a t a a
X t F s X s X ds t a a p
! (3.1)
với 0,(0,1) Ta nói hàm khoảng liên tục X:[a,ap]KC( ) nghiệm phương trình tích phân có trễ (3.1) thỏa phương trình (3.1) Giả sử
([ , ], C( ))
XC a ap K w-đơn điệu [ ,a ap] thỏa (3.1) Ta ý hàm
( ) : ( ) g (0)
Y t X t ! tạo hai nghiệm (3.1): nghiệm w-tăng (3.1) nghiệm w-giảm (3.1) [a,a+p] Đặc biệt, (3.1) viết lại
( ) ( ), [ , ],
( ) (0) ( , ( ), ) , [ , ], t
s a
X t t a t a a
X t F s X s X ds t a a p
(3.2)
nếuXC a b K([ , ], C( ))là w-tăng [a,a+p];
Và viết lại dạng
( ) ( ), [ , ],
( ) (0) ( , ( ), ) , [ , ], t
s a
X t t a t a a
X t F s X s X ds t a a p
! (3.3)
(6)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Vĩnh An tgk
_
Định nghĩa Một hàm khoảng w-đơn điệu XLC a b K([ , ], C( ))là nghiệm
(3.1) ( ) (0) ( , ( ), ) , [ , ],
( ) ( ) ( ), [ , ], t
L L L
g s
a L
X t F s X s X ds t a a p
X t t a t a t a a
°
° !
(3.4)
với ( t a )C.Một hàm khoảng w-đơn điệu XUC a b K([ , ], C( ))là nghiệm (3.1) thỏa bất đẳng thức ngược lại (3.4)
Tiếp theo, với k , ta xét 0 Bk tập hàm khoảng liên tục
([ , ], C( ))
XC a ap K thỏa X t( )(ta) [a, ]a
[ , ]
sup { [ ( ), ]exp( )}
t a a p
H X t kt
0 Trên Bk ta định nghĩa mê tric sau
[ , ]
[ , ] sup { [ ( ), ( )]exp( )}, , ([ , ], ( )),
k C
t a a p
H X Y H X t Y t kt X Y C a a p K
(3.5)
Trong k 0đủ lớn thỏa (1/k) 1 Mê tric (3.5) tương đương với mê tric H
( , ) ( , ) exp( ( )) ( , )
k k
H X Y H X Y k ap H X Y vớimọiX Y, C a([ ,ap K], C( )) Hơn nữa, ( ([C a,ap K], C( )),Hk)là không gian mê tric đầy đủ
Định lí 3.1 ChoFC a b([ , ]KC( )C K, C( ))và giả sử ( , , )F t A B không giảm theo A,B với mỗit[ , ],a b nghĩa là, nếuA± C and B± D ( , , )F t A B ± F t C D( , , ).Hơn nữa, giả sử điều kiện sau thỏa:
(A1) tồn nghiệm w-đơn điệu XLC a b K([ , ], C( )) cho toán (3.1)
(A2) ( , , )F t A B co yếu với phần tử so sánh, tức là, với hàm khoảng cáchT1 vàT2, bất đẳng thức sau
1( [ ( , , ), ( , , )]) [ ( [ , ])H F t A B F t C D H A C 1(H B D[ , ])] [ 2( [ , ])H A C 2(H B D[ , ])],
T T T T T
nếuA± C vàB± D vàt[ ,a a p].Khi đó, tồn nghiệm w- đơn điệu X cho toán (3.1) khoảng [a, ],T vớiT a p
Chứng minh Đặt X( ) :t X t( )! g(0),t[a,a p].Ta định nghĩa toán tử : ([C a,ap K], C( ))C a([ ,ap K], C( ))xác định
( ) (0), [ , ], ( )( )
( , ( ), ) , [ , ] g
t
s a
t a t a a
t
F s X s X ds t a a p
(7)TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016
_
Ta kiểm tra điều kiện Định lí 2.1 Thật vậy, lấy X ± Y [a,ap] (Xs±Ys, s [ ,a ap]) t[a, ],a
( X)( )t (ta)! g(0)( Y)( ),t vớit[ ,a a p],
( )( ) ( , ( ), ) ( , ( ), ) ( )( )
t t
s s
a a
t F s X s X ds± F s Y s Y ds t
X Y
±
X Ymỗi X± Y trên[a,a p], tốn tử khơng giảm Bây giờ, điều kiện (A2) cho thấy
[ ( , ( ), t), ( , ( ), )]t [ ( ), ( )] [ t, ],t
H F t X t X F t Y t Y H X t Y t H X Y
(3.6) với X± Y với t[ ,a a p] Thật vậy, từ (A2) ta
1(H F t X t X[ ( , ( ), t), ( , ( ), )]F t Y t Yt ) 1( [ ( ), ( )])H X t Y t 1(H X Y[ s, ]),s
T T T (3.7)
với X ± Y Nếu bất đẳng thức (3.6) khơng đúng, với X ± Y ta có [ ( ), ( )] [ t, ]t [ ( , ( ), t), ( , ( ), )].t
H X t Y t H X Y H F t X t X F t Y t Y
Khi đó, T1khơng giảm, nên với mọiX± Yta có
1( [ ( ), ( )])H X t Y t 1(H[X Yt, ])t 1( [ ( ,H F t X t X( ), t), ( , ( ), )]).F t Y t Yt
T T T
Do đó, từ (3.7),
1( [ ( ), ( )])H X t Y t 1(H[X Yt, ])t 1( [ ( ,H F t X t X( ), t), ( , ( ), )])F t Y t Yt
T T T , với mọiX ± Y
Từ (A2), 0 T2( [ ( ), ( )])H X t Y t T2(H[X Yt, ]),t suy
2( [ ( ), ( )])H X t Y t 2(H[X Yt, ])t 0
T T
KhiT hàm khoảng cách thay đổi, ta có H X t Y t[ ( ), ( )]H X Y[ t, ]t với
mọiX ± Y Điều mâu thuẫn, tức là, H F t X t X[ ( , ( ), t), ( , ( ), )]F t Y t Yt 0.Vậy bất
đẳng thức (2.6) Tiếp theo, vớiX ± Y , nếut[a, ]a ,
[( )( ), ( )( )] [ ( ) g (0), ( ) g (0)]
H X t Y t H ta ! ta ! , nếut[ ,a ap],
[ , ]
[( )( ), ( )( )] ( , ( ), ) , ( , ( ), )
[ ( ), ( )] sup [ ( ), ( )]
[ ]
( )
t t
s s
a a
t
s s a
H t t H F s X s X ds F s Y s Y ds
H X s Y s H X Y ds
X Y
Từ (3.5) suy H X s Y s[ ( ), ( )]Hk( , )X Y eks với mọis a Vậy
[ , ]
sup [ ( ), ( )]
s s
H X Y
( , ) ks k
H X Y e