Điều kiện bị chặn của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến

Bài viết Điều kiện bị chặn của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến trình bày việc phát triển một số kĩ thuật tiếp cận đã có trong một số tài liệu tham khảo để áp dụng nghiên cứu bài toán về tính bị chặn và tính ổn định mũ của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ thuộc thời gian.

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 9, 2019 51 ĐIỀU KIỆN BỊ CHẶN CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN SOME CONDITIONS FOR BOUNDEDNESS OF NONLINEAR VOLTERRA INTEGRO-DIFFERENTIAL SYSTEMS Đặng Lệ Thúy1, Lê Trung Hiếu2, Lê Huỳnh Mỹ Vân1, Nguyễn Thị Thanh Trúc1 Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh Trường Đại học Đồng Tháp; lthieu@dthu.edu.vn Tóm tắt - Những năm gần đây, tốn tính bị chặn nghiệm hệ phương trình vi tích phân cịn nhiều hạn chế, đặc biệt lớp hệ phương trình phi tuyến tổng quát Trong báo này, nhóm tác giả phát triển số kĩ thuật tiếp cận có số tài liệu tham khảo để áp dụng nghiên cứu tốn tính bị chặn tính ổn định mũ nghiệm hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ thuộc thời gian Từ đó, thu số điều kiện đủ tường minh cho tính bị chặn mũ tới hạn tồn cục nghiệm số lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phụ thuộc thời gian Kết đạt mở rộng tổng quát số kết có trường hợp đặc biệt chúng tơi Cuối cùng, nhóm tác giả đưa ví dụ nhằm minh họa cho kết đạt Abstract - Recently, problem of boundedness of integrodifferential systems has many limitations, especially the classes of general nonlinear systems In this paper, by improving some existing techniques presented in the references, we study problem of ultimate boundedness and exponential stability of solutions to nonlinear time-varying Volterra integro-differential systems Then, we obtain some new explicit sufficient conditions for global ultimate boundedness of solutions to some classes of such timevarying Volterra integro-differential systems The obtained results generalize some existing results in the literature as our particular cases Ultimately, we present an example to illustrate the obtained results Từ khóa - Hệ phương trình vi tích phân Volterra; tính bị chặn nghiệm; ổn định mũ Key words - Volterra integro-differential system; ultimately bounded; globally exponentially stable Đặt vấn đề Phương trình vi tích phân nói chung phương trình vi tích phân Volterra nói riêng dành quan tâm nhà nghiên cứu, chúng có nhiều ứng dụng mơ hình tốn học, sinh học, kinh tế ngành khoa học ứng dụngkhác ([1], [2], [9]) Các tốn tính bị chặn tính ổn định nghiệm hệ động lực nói chung hệ phương trình vi tích phân Volterra nói riêng tốn định tính quan tâm nghiên cứu tác giả nước năm gần (xem [1], [2], [4]-[10], …) Năm 2015, tác giả [10] nghiên cứu đưa số điều kiện đủ cho tính bị chặn mũ tới hạn, định nghĩa mở rộng ổn định mũ, hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến có chậm Năm 2017, với cách tiếp cận khác, tác giả [1] đưa số điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ nghiệm hệ phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính phụ thuộc thời gian Gần đây, kết ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ phương trình vi tích phân phi tuyến nghiên cứu [6] Tuy nhiên, tốn tính bị chặn (tới hạn) nghiệm theo dạng định nghĩa [5] chưa nghiên cứu khai thác lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra Ngồi ra, kết tính ổn định thường địi hỏi phương trình vi tích phân cần có điểm cân Do đó, lớp hệ không thỏa mãn điều kiện này, việc nghiên cứu tốn ổn định khơng khả thi, cần nghiên cứu tính chất tổng quát bị chặn nghiệm Nhằm đóng góp phần vào giải hạn chế nêu trên, báo này, nhóm tác giả phát triển kĩ thuật tiếp cận [1] [10] để nghiên cứu tính bị chặn lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ thuộc thời gian Từ đó, đưa số điều kiện cho tính bị chặn mũ tới hạn lớp hệ Kết đạt mở rộng tổng quát số kết gần Sau số kí hiệu quy ước sử dụng suốt nội dung báo Gọi , tập hợp số tự nhiên, trường số thực trường số phức Cho số ngun dương l q, kí hiệu l khơng gian vectơ l q thực tập hợp tất ma trận cỡ l  q với số hạng l q thuộc Cho hai ma trận A   aij  B   bij  , A  B tương đương với aij  bij với i  {1, 2, , l}, j  {1, 2, , q} Đặc biệt, aij  bij với i  {1, 2, , l}, j  {1, 2, , q} ta viết A   l q A  aij  B Ma trận gọi ma trận không âm aij  với i  {1, 2, , l}, j  {1, 2, , q} Cách hiểu tương tự vectơ khơng âm Kí hiệu lq tập hợp tất ma trận thực không âm cỡ l  q Cho m số nguyên dương, ta kí hiệu  m ,  m m Im véctơ không m , mm ma trận không ma trận đơn vị Với lq T n P  p  ta định nghĩa x  ( x1 , x2 , , xn )   ij  giá trị môđun vectơ ma trận sau: x   x1 , x2 , , xn Trên n T  n    l q P  pij  , ta xét chuẩn véctơ sau x với  p   x n  p  n p x i 1 p i  max  xi  Ta có, chuẩn  1 i  n chuẩn đơn điệu ([1]), tức có Đặng Lệ Thúy, Lê Trung Hiếu, Lê Huỳnh Mỹ Vân, Nguyễn Thị Thanh Trúc 52 x, y  l q A x n x  y Cho ma trận , | x | | y | kéo theo , chuẩn tốn tử tuyến tính A : q  l , Ax xác định A : sup Ax , gọi chuẩn x 1 toán tử (operator norm) ma trận A (gọi tắt chuẩn ma trận A) Trong báo này, khơng giải thích thêm, chuẩn vectơ n đơn điệu chuẩn ma trận A  lq hiểu chuẩn toán tử liên kết với chuẩn vectơ đơn q điệu l n n Với M  , hồnh độ phổ (spectral abscissa) M kí hiệu   M   max Re  :     M  ,   M  :  z  : det  zI n  M   0 phổ ma nn trận M Ma trận A  gọi ma trận Metzler phần tử đường chéo A khơng âm Với   , đặt l  ( thỏa mãn điều kiện sau l ( n n   ) :  B()  C (  , nn  ) n n  họ hàm ma trận  ):   B(t ) e t dt     Điều kiện cho tính bị chặn nghiệm hệ phương trình vi tích phân Volterra Xét hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ thuộc thời gian có dạng sau x  t   F (t , x(t ))  đó, h:   F: n t  G(t, s) x(s)ds  h(t ), t  t   n  n ,G:     0, (2.1) hàm liên tục cho trước Gọi tập hợp hàm điều kiện đầu  : [0, t0 ]  n Với   , xét cho hệ (2.1) điều kiện đầu sau x  s   0 (s), s [0,t0 ] (2.2) Nghiệm hệ (2.1) với điều kiện đầu (2.2), kí hiệu x , t0 ,   , hàm véctơ khả vi liên tục t0 ,   với   t0 thoả mãn đẳng thức (2.1), (2.2) với t  t0 ,   Ngoài ra, t0 ,   khoảng lớn để tồn x , t0 ,   nghiệm x , t0 ,   gọi kéo dài (noncontinuable) Áp dụng Bổ đề Zorn ta có tồn nghiệm khơng thể kéo dài khoảng lớn để tồn x , t0 ,   khoảng mở ([6]) Trong suốt báo này, ta giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (H) F (t , x ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai (biến x) tập compact   n (2.1)-(2.2) thoả mãn x  t , t0 ,    Ke    t  t0   , t  t0 ,   Định nghĩa 2.2 Hệ phương trình vi tích phân Volterra (2.1) gọi bị chặn mũ tới hạn toàn cục (globally exponentially ultimately bounded, viết tắt GEUB) tồn số K ,   0,   cho với   , nghiệm x  t , t0 ,   (2.1)-(2.2) thoả mãn x  t , t0 ,    Ke    t  t0    , t  t0 ,   Số  gọi biên tới hạn (ultimate upper bound) hệ phương trình (2.1) Từ hai định nghĩa nêu ta thấy, GES trường hợp đặc biệt GEUB   Chú ý rằng,    (tức miền xác định nghiệm t  t0 ) Định nghĩa 2.1 Định nghĩa 2.2 trùng với định nghĩa GES [6, Definition 3.7] định nghĩa GEUB [10, Definition 4.1] tương ứng Bổ đề sau có vai trị quan trọng, sử dụng phép chứng minh định lí báo Bổ đề 2.3 ([1, Theorem 2.2]) Cho E  nn ma trận Metzler Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i)  ( E )  0; (ii) Tồn v  n n cho Ev ,v n ; (iii) E khả nghịch E  nn ; 1 nn  Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình vi tích phân Volterra (2.1) gọi ổn định mũ toàn cục (globally exponentially stable, viết tắt GES) tồn số K ,   0, cho với   , nghiệm x  t , t0 ,   Khi đó, từ giả thiết (H) hàm F ta có, với t0    cho trước, hệ phương trình vi tích phân (2.1) tồn nghiệm, thoả mãn điều kiện đầu (2.2) ([6]) (iv) Cho v  cho Ex  v   n ; n ,v n Khi đó, tồn x  n  (v) Cho x  n \  n  , vectơ hàng x E có phần tử âm Định lí sau kết báo này, cho ta số điều kiện cho tính GEUB hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến (2.1) Định lí 2.4 Cho (H) thỏa mãn với n , F (t ,  n ) t   , F  t ,  hàm khả vi liên tục T h(t ) hàm bị chặn A :  j   n n B(·)  l ( t  x  n  nn  ) Giả sử tồn (   ) cho với , ta có Fi F  t , x   aii , i  n, i t , x   j , i  j, i, j  n; (2.3) xi x j | G(t , s) | B(t  s), t , s  ,t s (2.4)  Khi đó, A   B(s)ds ma trận thỏa mãn điều kiện (i)-(v) Bổ đề 2.3 hệ phương trình vi tích phân (2.1) GEUB ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 9, 2019 Trường hợp đặc biệt, F (t , n )   n , h(t )   n , với t   hệ phương trình vi tích phân (2.1) GES Chứng minh Từ cách xác định A (2.4), ta có A ma trận Metzler Vì B ( s )   n , với s   nên  M : A   B(s)ds ma trận Metzler Vì điều kiện (i)-(v) Bổ đề 2.3 tương đương, nên từ giả thiết cho khơng làm tính tổng qt, ta giả sử ma trận Metzler M có  ( M )  x  t  : x  t; t0 ,   , t  t0 ,   , nghiệm kéo dài (2.1) (2.2) Ta cần chứng minh, tồn K ,   0,   cho với với k  đủ nhỏ đó, k  1, 2, Đặt G(t , s) : ( gij (t , s)) x  t , t0 ,    Ke    t  t0    , t  t0 ,   (2.5) K không phụ thuộc vào t , t0  Vì ma trận Metzler M có  ( M )  nên theo Bổ đề 2.3 (ii), tồn v : 1 ,  , ,  n   T n  , với  i  0, i  n , cho Mv   n (2.6) Hơn nữa, từ (2.6) B(·)  l ( nn ) , suy tồn   đủ nhỏ cho bất đẳng thức sau xảy  ( A   B(s)e s ds)v  v   1 ,  , , n  T n (2.7) Đặt e1 : (1 1)T  n , ta có    t  t0  v v L ,  i   i  1 i  n với 1 i  n 1  t  t0 L  max  sup Fi  t , n   hi (t )  1 i  n   t t0    (2.8)   x  t   Fi  t , x  t    Fi  t , x  t    Fi  t , n   Fi t , n  n 1  F     i  t , sx  t   ds  x j  t   Fi  t , n    j 1  x j  n t j 1    gij (t , s) x j ( s)ds  hi (t ) Do đó, d xi  t   sgn  xi  t   x  t  dt  n  F    sgn  xi  t      i  sx  t   ds  x j  t    j 1  x j    n t   sgn  xi  t      gij (t , s ) x j ( s )ds   j 1   sgn  xi  t    f i  t ,  n   hi (t )   F     i  sx  t   ds  xi  t   xi  n  F   sgn  xi  t      i  sx  t   ds  x j  t    j 1, j  i  x j  n t j 1 n d xi  t   aii xi  t    j x j  t  dt j 1, j  i n t j 1   bij (t  s) | x j (s) | ds  fi t ,n   hi (t ), hầu khắp nơi theo t t0 ,   Kí hiệu x  t  : x  t , t0 ,   , từ ta có x  s    (s)   n n  , hầu khắp nơi theo t t0 ,   Từ (2.4) (2.5) suy 1 i  n u t    e B ( s ) : (bij ( s ))    | gij (t , s) || x j ( s) | ds  f i  t ,  n   hi (t ), v  ( s )   e1    i  Đặt t , s   Áp dụng định lí giá trị trung bình hàm véctơ, ta có với t  i  {1,2, ,n}, ta có Giả sử   t0  0, ta có 53  Ký hiệu D xi  t  đạo hàm Dini - phải v  u ( s ),  i  xi  t  t  t0 ,   , ta có 1 i  n với s  [0,t0 ] Tiếp theo ta cần chứng minh x  t   u  t  , t  t0 ,   Dùng phương pháp chứng minh phản chứng, giả sử ngược lại tồn t*  t0 cho x  t*   u  t*  Khi đó, ta đặt t1 : inf t*   t0 ,   : x  t*   u  t*  Bởi tính liên tục hàm u  t  x  t  nên t1  t0 tồn số D  xi  t  : lim sup  d xi  s  ds  t ds Theo hệ định lí giá trị trung bình tích  lim sup  0 phân, tồn c  t , t   cho t   t (2.9)  t  io  n cho:  x  t   u  t  , t  t0 , t1  ;    xi0  t1   ui0  t1  ;    xi0  t   ui0  t  , t   t1 , t1  k  , xi  t     xi  t   d d xi  s  ds = xi  c   ds ds Khi đó, D  xi  t   limsup  0 d d xi  c   xi  t  ds dt Đặng Lệ Thúy, Lê Trung Hiếu, Lê Huỳnh Mỹ Vân, Nguyễn Thị Thanh Trúc 54 n n t j 1  aii xi  t    j x j  t     bij (t  s ) | x j ( s) | ds j 1 j i D  xi0  t1    e  Fi  t ,  n   hi (t ) Xét bất đẳng thức vừa chứng minh i  i0 t  t1 , kết hợp với (2.9), ta có n n t1 j 1   e D  xi0  t1   ai0i0 ui0  t1    ai0 j u j  t1     bi0 j (t  s )u j (s )ds j 1 j  i0   e  Fi0  t1 ,  n   hi0 (t1 )  ai0i0  e  2.7  i    t1  t0   i   ai0i0 L 1 i  n n   ai0 j  e    t1  t0  t1 j 1 n t1 n j j   j L  i  j 1  i  j 1    bi0 j (t1  s )  e    s  t0  1 i  n j  io j ds  i  1 i  n     t1  t0  i0 j j 1 n t1 j 1  i   D ui0  t1  1 i  n Điều mâu thuẫn với (2.9) Do đó, x  t , t0 ,    u  t    e    t  t0  1 i  n n t1 j 1  v v L  i   i  1 i  n 1 i  n Vì tính đơn điệu chuẩn vectơ nên ta có v v   t t x  t , t0 ,    u  t    e   L , i  i  K n j j   j L  i  j 1  i  n a    t1  t0  i 1 i  n 1 i  n Đặt 1 i  n   e    t  t0 ,   j bi j (t1  s ) L ds  i     t1  t0  n   n  j z   ai0 j   0 bi0 j ( z )e dz  i  j 1  j 1  1 i  n    t1 t0   Fi0  t1 , n   hi0 (t1 )   e n t1  n  j z   ai0 j   0 bi0 j ( z )e dz  i  j 1  j 1  1 i  n  i  1 i  n 1 i  n    t1  t0    e i n t1  n  j   ( s  t1 ) ds    ai0 j   0 bi0 j (t1  s)e i  j 1  j 1  1 i  n o j 1 j  i0 n    t1  t0  bi0 j (t1  s )e   ( s  t1 ) 1 i  n j ds  i  1 i  n j bi j (t1  s ) L ds  i  v i  , L 1 i  n v i  1 i  n Vậy ta x  t , t0 ,    u  t   K  e    t  t0   , t  t0 ,   Sau cùng, ta cần chứng tỏ nghiệm x  t , t0 ,   xác định [t0 , ) , tức cần chứng minh    Khi đó, (2.1) GEUB Giả sử ngược lại    Khi đó, (2.5) nên nghiệm x t , t0 ,  bị chặn t0 ,   Ngồi ra, điều 1 i  n  Fi0  t1 ,  n   hi0 (t1 ) với (2.1) suy x   bị chặn t0 ,   Do đó, x   liên tục t0 ,   Vậy lim x  t  tồn x   mở Mặt khác, ta có n t1  n  j L   ai0 j    bi0 j (t1  s )ds  i  j 1  j 1  1 i  n t  rộng tới hàm liên tục t0 ,   Khi đó, tìm nghiệm (2.1) qua   , x     bên phải  Điều mâu thuẫn  Fi0  t1 , n   hi0 (t1 ) với giả thiết kéo dài nghiệm x   Vậy    n t1  n  j  L   ai0 j    bi0 j ( z )dz  n  i  j 1  j 1  mi 1 i  n Trường hợp đặc biệt, F (t ,  n )   n h(t )   n với t  t0 , ta có  Fi0  t1 , n   hi0 (t1 ) v v 1  L  max  sup  Fi  t ,0   hi (t )   n   n  j i  1i  n   t t  1i  n i  1 i  n  L   ai0 j    bi0 j ( z )dz   Fi0  t1 , n   hi0 (t1 ) i  j 1  j 1  Khi đó, hệ phương trình vi phân (2.1) GES Định lí 1 i  n chứng minh (2.7), (2.8) i0 i0  L(   )  Fi0  t1 ,n   hi0 (t1 ) Nhận xét 2.5 Trong trường hợp bất đẳng thức (2.4) i  i  1i  n 1 i  n (2.5) xảy dấu “=’’, F (t , n )  h(t )   n với t  t0 , i0 i0 đó, (2.1) trở thành hệ phương trình vi tích phân Volterra  L    L  tuyến tính Khi đó, Định lí 2.3 đặc biệt hóa trở i  i  1 i  n 1 i  n Định lí 4.3 [1] Do đó, Tiếp theo, xét hệ phương trình vi tích phân Volterra   ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 9, 2019 tuyến tính phụ thuộc thời gian, dạng tích chập x  t   F (t ) x(t )   G (t , s ) x( s )ds  h(t ), t  t0  0, (2.10) t F :  nn G :   nn , h :   n hàm liên tục cho trước Ta có hệ sau tính GEUB (2.10), tính chất suy trực tiếp từ Định lí 2.3 đó, Hệ 2.6 Giả sử h(·) hàm bị chặn tồn ma trận A   aij   n n , B()  l ( nn  ) với   0, cho Fii  t   aii , Fij  t   aij , i  j , i, j  n, t  | G (t , s) | B(t  s), t , s   ,t  ; (2.11)  s (2.12)    Khi đó,   A  B( s)ds   hệ phương trình     vi tích phân Volterra (2.10) GEUB Trường hợp đặc biệt, h(t )   n , với t   hệ phương trình vi tích phân Volterra (2.10) GES Nhận xét 2.7 Khi bất đẳng thức (2.11) (2.12) xảy dấu “=’’ h(t )   n với t  t0 , đó, Hệ 2.6 đặc biệt hóa trở Định lí 4.3 [1] Ví dụ 2.8 Xét phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ thuộc thời gian xác định sau:  a tet  s cos( x(t ))   x(s)ds bsin 5t  , (2.13) t 1 1 t t  t0  a tham số thực khơng âm Phương trình (2.13) có dạng (2.1) với a f  t , x  : 3x  cos( x); 1 t2 te t  s G (t , s) : ; h(t ) : b sin  5t  , t 1 với t  t0  0, x  Ta thấy (H) thỏa mãn f (t , x ) liên tục   thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x Ngồi ra, ta có f a (t , x)  3  sin( x)  3  a, t   , x  ; x 1 t2 t x(t )  3x(t )  G(t , s)  B(t  s) : et s , t , s  ; Với   [0,1), ta có    0 t  | B(t ) | e dt  t  t  e e dt  e | h(t ) | b; F (t ,0)  ( 1) t a 1 t2 dt  (1   ) 1  ;  a, t , s  55   Áp dụng Định lí 2.4, 3  a  e t dt  hay 0  a  phương trình (2.13) GEUB Ngồi ra, a  b  phương trình (2.13) GES Chú ý kết [1] hồn tồn khơng áp dụng cho phương trình vi tích phân Volterra (2.13) Kết luận Nhóm tác giả phát triển kĩ thuật tiếp cận dựa tính chất ma trận Metzler, từ nghiên cứu đưa số điều kiện tường minh cho tính bị chặn nghiệm hệ phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính phi tuyến phụ thuộc thời gian Hướng phát triển vấn đề nghiên cứu báo phát triển kĩ thuật tiếp cận để nghiên cứu điều kiện bị chặn nghiệm số lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phức tạp hơn, chẳng hạn hệ phương trình với chậm vơ hạn, hệ phương trình có yếu tố ngẫu nhiên Xa nghiên cứu áp dụng kết đạt tính bị chặn nghiệm hệ phương trình vi tích phân Volterra vào số mơ hình thực tế Ghi Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh khn khổ đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở mã số D1-2019-06 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anh, T T and Ngoc, P H A., “New stability criteria for linear Volterra time-varying integro-differential equations”, Taiwanese Journal of Mathematics, 21, no (2017): 841-863 [2] Burton, T A., Volterra Integral and Differential Equations, Academic Press, New York, 1983 [3] Dieudonne, J Foundations of Modern Analysis Academic Press: New York, 1988 [4] Hale, J K and Lunel, S M V., Introduction to functional differential equations, Vol 99, Springer Science & Business Media, 2013 [5] Ngoc, P H A., Naito, T., Shin, J S and Murakami, S., “On stability and robust stability of positivelinear Volterra equations”, SIAM J Control Optim., 47, (2008), 975-996 [6] Ngoc, P H A and Anh, T T., “Stability of nonlinear Volterra equations and applications”, AppliedMathematics and Computation, 2019, Vol 341, 1-14 [7] Peuteman, J., Aeyels, D., and Sepulchre, R., “Boundedness properties for time-varying nonlinear systems”, SIAM Journal on Control and Optimization, 39(5), 2000, 1408-1422 [8] Shen, T and Ian, R P., “An ultimate state bound for a class of linear systems with delay”, Automatica, 87 (2018), 447-449 [9] Volterra, V., Theory of functionals and of integral and integrodifferential equations, Courier Corporation, 2005 [10] Xu, L and Ge, S S (2015), “Exponential ultimate boundedness of nonlinear stochastic difference systems with time-varying delays”, International Journal of Control, 88(5), 983-989 (BBT nhận bài: 22/7/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 23/9/2019) ... thuật tiếp cận để nghiên cứu điều kiện bị chặn nghiệm số lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phức tạp hơn, chẳng hạn hệ phương trình với chậm vơ hạn, hệ phương trình có yếu tố ngẫu nhiên...  Khi đó,   A  B( s)ds   hệ phương trình     vi tích phân Volterra (2.10) GEUB Trường hợp đặc biệt, h(t )   n , với t   hệ phương trình vi tích phân Volterra (2.10) GES Nhận xét 2.7... tính chất ma trận Metzler, từ nghiên cứu đưa số điều kiện tường minh cho tính bị chặn nghiệm hệ phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính phi tuyến phụ thuộc thời gian Hướng phát triển vấn