Tham khảo Đề thi kết thúc học phần học kì 2 môn Phương trình vi tích phân năm 2020-2021 có đáp án - Trường ĐH Đồng Tháp dành cho các bạn sinh viên tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Hi vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi.
Trang 1TRUONG DAI HOC DONG THAP
DE THI KET THUC HOC PHAN
(Đề số 1)
Học phần: Phương trình ơi tích phân, mã học phần: MA4120 Học kỳ 2, năm học 2020-2021 Khối lớp: DHSTOAN19A
Hình thức thị: Tự luận Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (3.0 điểm) a) Tìm tích phân riêng của bài toán Cauchy sau
z2dz + (1+ z?)dụ =0, (1) =1
b) Cho phương trình vi phan (23 + zy*)dx + (2?y + y°)dy = 0 Kiểm tra phương trình vi phân trên có là phương trình vi phân toàn phần hay không, từ đó giải phương trình đã cho
Câu 2 (2.5 điểm) Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
()
e Tìm nghiệm bổng quát ÿ của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất zy“—' =0 tương ứng với phương trình (1) (Hướng dẫn: Đặt z = 1)
e Tiếp theo, dùng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng * của (1) Từ
đó suy ra nghiệm tổng quát của (1) là = ÿ +1
Câu 3 (2.5 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân sau đây bằng phương pháp khử d „ =301+22 (x) =~ (+) Câu 4 (2.0 điểm) Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 2" — mự + ụ =0 (2)
Biết rằng phương trình (2) cd y, = z 1A mot nghiém riéng Ding cong thttc Ostrogradski- Louisville dé tim them mét nghiém riéng yy (y2 doc lập buyến tính với y¡) Từ đó, suy
ra nghiệm tổng quát của (2)
Ghỉ chú: Sinh uiên không được sử dựng tài liệu khả làm bài
Trang 2DAP AN DE THI KET THUC HOC PHAN
(Dé 86 1)
Môn học: Phương trành ơi tích phân, mã học phần: MA4120
Học kỳ 2, năm học 2020-2021 Lớp: ĐHSTOAN19A Hình thức thị: Tự luận Thời gian làm bài: 90 phút
Câu Nội dung Điềm
1 |a)e=0là 1 nghiệm Xét # 0 PT tương đương †;zd# + wedy =0 0.5 Tích phân TQ: ƒ aged + SỈ” yey =C, hay j In( + #?) — ÿ = C 0.5 "Thay z = 1, = 1, ta có Cị = -—1 Vậy tích phân riêng của PT đã cho là §In(1 +2?) — a =-l 0.5 OM _ ON b) Ta có, —— Oy On = 2zy Do dé la PTVP TP 0.5 Chon (0,40) = (0,0) € R*, Đ có TPTQ: U(x, y) = jist + s0)ds+ Fe (at + £!)dt = C 0.5 ee z 7 yf Hay T+ “2 + =C ï 0.5 2 | Véi « 4 0 PT đã cho tương đương #“ — xử =z? PT thuần nhất| 0.5 1 al tương ứng ” — ak = 0 Đặt ' = z, ta có z — xế” 0 có nghiệm z=V = Du:
Nghiệm TQ của PT thuần nhất là 7() = Œ¡z? + Œa 0.5 e Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất cé dang | 0.5+0.5
` = Ci(2)x? + Ca(+), voi C(x), Ca(x) được xác định từ hệ Œ{(z)z? + Œ(z) =0 Ci(2) = 5 { as + ty 0=# i(e)e + Cale) = Ch(e) = —Fa" 7 2 x (a) => al Co(z) = —3t* Vay y® = Ci(x)x? + Ca(a) = fa" 1 Nghiệm TQ của PT đã cho là ý = + y* = Cy? + Co + x 0.5 3 | Từ (*), (**), khử z, ta có /” — 3 + 2u =0 1.0 PT đặc trưng k° — 3k + 2 = 0, ta có & = l hoặc k = 2 Do dó| 0.75
y(t) = Cre! + Cre”
Từ (*®) ta c6 2() = — JyWdt = —Cye! — Be™ 0.75 4 | V6ix £0, dua vé PT da cho ve y” — ty + Sy =0
Ta có m(#) = —+ 0.5
Ap dung cong thức W (Mì, 2) = i2 — vie = Cre“ J = Cua, 05
Trang 3Thế ị = z,Ci = 1 vào đẳng thức trên ta được PTVP tuyến tính cấp 0.5
một ÿ2 — xỰa = 1
Ấp dụng CT nghiệm của PTVP TT cấp 1, tìm được 1 nghiệm riêng 0.5 1a —= z(1 + In|z|) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = Cy, + Coyg = Cha + Cow + Ca# In |z|
Ghi chú: Ta cũng có thể chọn + = #ln|z|, khi dé y = Cry + Cayo = Ciz + Coz In |z| | | Tổng toàn bài [ 100 |
Ghi chú: - Sinh viên có thể trình bày cách giải khác và nếu đúng kết quả và đạt
yêu cầu của câu hỏi thì vẫn được điểm tối đa cho ý đó
TP Cao Lãnh, ngày 11 tháng ö năm 2021
Ý kiến phản biện (nếu có) Người ra đề và đáp án