Trong bài viết này, tác giả chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân của phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính có xung và chuyển động Brown bậc phân số.
No.21_June 2021 |p.52-62 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ THE SOLVABILITY AND UNIQUENESS OF MILD SOLUTION OF IMPULSIVE NEUTRAL STOCHASTIC INTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONS DRIVEN BY A FRACTIONAL BROWNIAN MOTION Nguyen Nhu Quan1,* Electric Power University, Vietnam * Email address: quan2n@epu.edu.vn https://doi.org/10.51453/2354-1431/2021/552 Article info Recieved: 16/3/2021 Accepted: 3/5/2021 Keywords: Mild Solution; Stochastic Differential Equations; Fractional Brownian motion; Solvability and Uniqueness Abstract: In this work, the author studies the solvability and uniqueness of mild solution of impulsive neutral stochastic integrodifferential equations driven by a fractional Brownian motion No.21_June 2021 |p.52-62 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TRUNG TÍNH CĨ XUNG VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN BẬC PHÂN SỐ Nguyễn Như Quân1,* Đại học Điện lực, Việt Nam * Địa email: quan2n@epu.edu.vn https://doi.org/10.51453/2354-1431/2021/552 Thơng tin viết Tóm tắt Ngày nhận bài: Trong báo này, tác giả chứng minh tồn nghiệm tích phân phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính có xung chuyển động Brown bậc phân số 16/3/2021 Ngày duyệt đăng: 3/5/2021 Từ khóa: Nghiệm tích phân, Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Chuyển động Brown bậc phân số, Tính giải Mở đầu Trong báo ta nghiên cứu lớp phương trình vi tích phân có xung sau: t t d [ x(t ) g (t , xt , a1 (t , s, xs )ds] [ Ax(t ) f (t , xt , a2 (t , s, xs )ds)]dt 0 F (t )dB (t ), t [0, b], t ti , (1) H Q x(ti ) Ii ( x(ti )), t ti , i 1, 2, , x0 (t ) (t ) P C([r ,0], X ), r t 0, A tốn tử sinh nửa nhóm giải tích (T (t ))t 0 tốn tử bị chặn khơng gian Hilbert X , BQH chuyển động Brown bậc phân số, g , f :[0, ) P C X X , a1 , a2 :[0, ) [0, ) P C X , (2) (3) N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 F :[0, ) L0Q (Y , X ) hàm thích hợp định nghĩa sau Các thời điểm xung số khái niệm kết cần thiết cho việc chứng minh kết nghiên cứu Mục 2.2, ta trình bày kết báo ti thỏa t1 t2 ti , lim ti chứng minh tồn nghiệm tích phân tốn (1) – (3), Định lí 2.2.2 Cuối Ii : X X , x(ti ) độ lớn bước nhảy phần kết luận số kết đạt báo mãn i hàm trạng thái x thời điểm ti , định nghĩa Nội dung x(ti ) x(ti ) - x(ti ) , với x(ti ) x(ti ) 2.1 Kiến thức chuẩn bị tương ứng giới hạn phải giới hạn trái Ta trình bày số khái niệm liên quan x(ti ) ti P C { :[r,0] X , (t ) liên tục hầu khắp nơi trừ số hữu hạn điểm (t ) , (t ) tồn Khi cho hàm đến chuyển động Brown bậc phân số (fBm) tích phân Wiener tương ứng với fBm Ta nhắc lại t số kết sở nửa nhóm giải tích làm tảng cho nghiên cứu ( t ) = ( t )} P C , ta thấy X Y hai không gian Hilbert thực tách L( X , Y ) khơng gian tốn tử Cho ‖ ‖ P C sup ‖ ( s) ‖ Với hàm s[ r ,0] liên tục x t [0, b] , kí hiệu phần tử tuyến tính bị chặn từ xt Y đến X Để thuận tiện, ta sử dụng chung kí hiệu P C định nghĩa không gian xt ( ) x(t ), r ‖ ‖ chuẩn X , Y L( X , Y ) Giả sử (, F , P ) khơng gian xác suất đầy đủ Kí hiệu Gần đây, tác giả [2] nghiên cứu E () tốn tử kì vọng tốn tương ứng với xác tồn nghiệm tích phân phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính với chuyển động Brown bậc suất P Tốn tử khơng âm, tự liên hợp kí hiệu phân số hiệu ứng xung Phương trình vi tích phân Volterra ngẫu nhiên với chuyển động Brown Q L(Y , Y ) bậc phân số không gian Hilbert nghiên cứu [3] Tuy nhiên, thời điểm L(Y , X ) cho Q tốn tử Hilbert- L0Q khơng gian hàm Schmidt tại, vấn đề nghiên cứu tính giải với chuẩn định nghĩa hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính với hiệu ứng xung chuyển động Brown bậc phân | |2L0 (Y , X ) | Q |2HS tr ( Q * ) (kí hiệu tr ( A) số tốn chưa có lời giải Do đó, báo ta đặt vấn đề nghiên cứu tính giải đối vết tốn tử Q A ) Khi đó, gọi tốn tử Q-Hilbert-Schmidt từ với hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên trung tính với hiệu ứng xung chuyển động Brown bậc Y vào X Định nghĩa 2.1.1 Hai mặt fBm chiều với tham số Hurst H (0,1) phân số (1) - (3) trình Nội dung báo trình bày sau: Trong phần mục 2.1, tác giả đề cập đến trung tâm Bây giờ, ta ước lượng tích phân Wiener tương ứng với fBm chiều liên tục H RH (t ,s ) E[ H (t ) H ( s)] (| t |2 H | s |2 H | t s |2 H ), t , s H Gauss { (t ), t } với hàm hiệp phương sai H hàm bước (step function) với giá trị thực xác định [0, b] Cố định số thực b Kí hiệu khơng gian tuyến tính n 1 (t ) xi [t ,t ] (t ), t [0, b], i 1 i i 1 , nghĩa là, N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 với H t1 t2 tn b xi Định nghĩa tích phân Wiener hàm tương ứng với b n 1 ( s)d H ( s) xi ( H (ti 1 ) H (ti ) i 1 Bây ta kí hiệu khơng gian Hilbert H bao đóng tương ứng với tích vơ hướng [0,t ] , [0, s ] H RH (t , s) Khi đó, ta có n 1 xi [t ,t i i 1 i 1 ) b ( s)d H ( s) Ánh xạ đẳng cự không gian khơng gian tuyến Ta có ( K H* [0,t ] )(s) K H (t , s)* [0,t ] (s) tính span{ H , t [0, b]} , mở rộng thành đẳng cự tiên fBm span L2 ( ) { , t [0, b]} (xem [7]) Tích phân Wiener của phần tử K H* đẳng cự L2 ([0, b]) H với hỗn loạn Wiener đầu H ứng với H ảnh H đẳng cự Bây chúng tơi đưa mở rộng tích phân Xét hạt nhân mở rộng đến khơng gian W {W (t ), t [0, b]} , định H Xét nghĩa W (t ) H (( K H* )1 [0,t ] ) Ta thấy W trình Wiener H có biểu diễn tích phân Wiener sau: t K H (t , s) cH s t H ( s) H H H (t ) K H (t , s)d W ( s) d , t s, Và s với cH H (2 H 1) B (2 H , H ) B hàm b ( s)d H với Beta Dễ thấy b ( s) ( K H* )(t )d W (t ), H K H* L2 ([0, b]) Hơn nữa, kí hiệu L2H ([0, b]) { H , KH* L2 ([0, b])} Khi H K H (t , s) t H 1 cH ( ) (t s) t s Xét tốn tử tuyến tính K : L ([0, b]) , * H H , ta có L1/ H ([0, b]) L2H ([0, b]) , xem [6] cho Để chứng minh tồn nghiệm tích phân tốn đặt ra, ta cần sử dụng bất đẳng thúc sau K (t , s) ( K )( s) ( s) H dt s t * H t H (2 H 1) b b Bổ đề 2.1.2.([5]) Với L1/ H ([0, b]) , | (v) || ( ) || v |2 H 2 dvd cH ‖ ‖ 2L1/ H ([0,b]) Giả sử dãy hai mặt fBm chiều { n (t )}n độc lập (, F , P ) xét chuỗi sau H N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 n 1 Ở H n (t )un , t BQH L2 (, Y ) Tại thời điểm đó, BQH (t ) Q - sở trực chuẩn đầy đủ {un }n Y Chuỗi không thiết hội tụ không gian Y Xét trình ngẫu nhiên nhận giá trị H Q Y , B (t ) xác định hình trụ fBm nhận giá trị Y với toán tử hiệp phương sai Q Chẳng hạn, {n }n dãy số thực không âm bị chặn cho Qun nun , giả sử Q toán tử hạch BQH (t ) nH (t )Q1/2un , t n 1 n 1 Chuỗi hội tụ n Y (cụ thể ), q trình ngẫu nhiên Y Q thuộc lớp tốn tử vết khơng âm tự liên hợp Rõ ràng, ta có 2 B (t ) (t )Q un (n ) nH (t )un , t 0, H Q n 1 H n n 1 định nghĩa Q - hình trụ fBm nhận giá trị Cho :[0, b] L0Q (Y , X ) cho ‖ K n 1 Định nghĩa 2.1.3 Cho số nhận giá trị t * H (Q un ) ‖ L2 ([0,b ]; X ) (s), s [0, b] hàm Wiener L0Q (Y , X ) Khi đó, tích phân Y (4) tương ứng với BQH định nghĩa t 1 ( s)dBQH ( s) ( s)Q un d nH ( K H* (( K H* (Q un ))( s)dW ( s), t n 1 t n 1 Lưu ý ‖ Q u n 1 n ‖ L1/ H ([0,b ]; X ) , (4) thỏa mãn, điều suy từ L1/ H ([0, b]) L2H ([0, b]) (5) Bổ đề 2.1.4 Với :[0, b] L0Q (Y , X ) cho (5) thỏa mãn, với Bổ đề sau mệnh đề quan trọng để chứng minh kết chúng tơi, xem ứng với , dụng đơn giản Bổ đề 2.1.2 Chứng minh bổ đề nêu [1] E | ( s)dBQH ( s) |2X cH (2 H 1)( ) H 1 | ( s)Q un |2X ds, c c( H ) Nếu, thêm nữa, n 1 | (t )Q un |X hội tụ với t [0, b] , n 1 E | ( s)dBQH ( s) |2X cH (2 H 1)( ) H 1 | ( s) |L0 (Y , X ) ds Q , [0, b] N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 Tiếp theo, cho A : D( A) X ( D( A) : miền ‖ ( A) T (t ) ‖ xác định toán tử A ) toán tử sinh nửa nhóm giải tích tốn tử tuyến tính bị chặn (T (t ))t 0 X Giả sử tồn số Bất đẳng thức tích phân sau chìa khóa để chứng minh tính ổn định mũ nghiệm tích M cho ‖ T (t ) ‖ Met , với t Chúng giả thiết (T (t ))t 0 bị chặn nửa nhóm giải tích cho ( A) Ở ( A) tập giải A Khi đó, ta định nghĩa phân hệ trung tính với xung, chứng minh Bổ đề 3.1 [8] 2.2 Sự tồn nghiệm Trong mục này, ta sử dụng lí thuyết điểm bất ( A) với động để chứng minh tồn nghiệm , tốn tử tuyến tính đóng với miền xác định D( A) tương ứng với chuẩn tích phân hệ (1) - (3) Trước hết ta trình bày khái niệm nghiệm tích phân cho tốn xét ‖ ‖ Kí hiệu X ( ) không gian Định nghĩa 2.2.1 Một D( A) với chuẩn ‖ ‖ , ta có bổ đề sau phân toán Cauchy tổng quát (1) – (3) , X không (1) gian Banach (2) Nếu , phép nhúng , ta có x() P C([r, b], L2 (, X )) ; (2) Với t [r ,0], x(t ) (t ) ; X X liên tục (3) Tồn số X - trình ngẫu nhiên x(t ), t [r , b] gọi nghiệm tích Bổ đề 2.1.5 [4] Giả sử có giả thiết (1) Nếu M t e , t 0, t (3) Với t [0, b], x(t ) thỏa mãn phương M cho với trình tích phân sau t t s 0 x(t ) T (t )[ (0) g (0, , 0)] g (t , xt , a1 (t , s, xs )ds) AT (t s) g ( s, xs , a1 ( s, , x )d )ds t s 0 T (t s ) f ( s, xs , a2 ( s, , x )d )ds T (t t ) I ( x(t i 0ti t i i )) t T (t s ) F ( s )dBQH ( s ) P a.s (6) X thỏa mãn ( A) Do đó, từ Bổ đề 2.1.5, Để đạt kết phần này, chúng tơi đưa giả thiết sau: (H1) tích tồn số M , M1 cho A tốn tử sinh nửa nhóm giải (T (t ))t 0 tốn tử tuyến tính bị chặn ‖ T (t ) ‖ M ‖ ( A)1 T (t ) ‖ (H2) Ánh xạ thỏa (i) Hàm mãn điều g :[0, ) P C X X kiện Lipschitz t 1 , với t [0, b] , P C a1 :[0, ) [0, ) P C X thỏa t1 mãn điều kiện Tồn số sau [a (t, s, ) a (t, s, M1 )]ds k1 , t [0, b] k1 , cho với N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 k2 cho với j , j P C , j 1, , cho hàm g (ii) Tồn số nhận giá trị X thỏa mãn với t [0, b] ‖ ( A) g (t , , 1 ) ( A) g (t , , 2 ) ‖ k2 ‖ ‖ ‖ 1 2 ‖ Ngoài ra, đặt (C.1) k1 b sup ‖ a1 (t , s,0) ‖ , k2 sup ‖ ( A) g (t ,0,0) ‖ s t b 1/2 n 1 un ‖ L2 ([0,b ]; X ) t[0,b ] (C.2) Với t [0, b], k k2 (1 k1 ) f :[0, ) P C X X (H3) Ánh xạ (i) hàm a2 :[0, ) [0, ) P C X thỏa mãn điều l1 , cho với kiện sau Tồn số 1/2 un | X Ii (i 1, 2, ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz sau Tồn số không âm di (i 1, 2, ) cho ‖ Ii ( ) Ii ( ) ‖ di ‖ ‖ , P C , ta có ‖ Ii (0) ‖ , với , P C t [a (t, s, ) a (t, s, |F (t )Q hội tụ (H6) Hàm xung t [0, b] , Với n 1 thỏa mãn điều kiện Lipschitz ‖ FQ 2 d )]ds l1 i 1 (ii) Với t [0, b] , tồn số l2 cho với j , j P C , j 1, i Định lí sau chứng minh tồn tính nghiệm hệ (1)-(3) nhờ vào giả thiết Đây kết báo Định lí 2.2.2 Nếu giả thiết (H1)-(H6) thỏa mãn với P C, b , hệ (1)-(3) có ‖ f (t , ,1 ) f (t, , 2 ) ‖ l2 ‖ ‖ ‖ 1 2 ‖ nghiệm tích phân [r , b] với điều kiện Ngoài ra, l : l2 (1 l1 ) , 3M ( di ) i 1 (1 k )2 l1 b sup ‖ a2 (t , s, 0) ‖ , l2 sup ‖ f (t , 0, 0) ‖ s t b t[0,b ] Ở ( A) g liên tục bậc hai Với j , j P C , j 1, , (H4) Hàm (7) k ‖ ( A) ‖ k Chứng minh Xét tập b : P C([r , b], L (, X )) , không gian Banach hàm liên tục từ lim E ‖ ( A) g (t , , 1 ) ( A) g ( s, , 2 ) ‖ t s [r , b] vào L2 (, X ) với chuẩn ‖ ‖ 2b sup (E ‖ ( s) ‖ ) b cố định s[ r ,b ] (H5) Hàm F :[0, ) L0Q (Y , X ) thỏa mãn Bây ta xét tập đóng t ‖ F (s) ‖ L0Q Với sở trực chuẩn đủ ds , t [0, b] {un }n Y , ta có b kí hiệu ˆ {x : x( ) ( ), [r,0] với b b chuẩn ‖ ‖ 2b Ta chuyển toán (1)-(3) thành toán điểm bất động Định nghĩa ˆ ˆ L : b b toán tử N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 t t 0 s (L x)(t ) T (t )[ (0) g (0, , 0)] g (t , xt , a1 (t , s, xs )ds ) AT (t s ) g ( s, xs , a1 ( s, , x )d )ds t s 0 T (t s ) f ( s, xs , a2 ( s, , x )d )ds T (t t ) I ( x(t i 0ti t i i )), t [0, b] t T (t s ) F ( s )dBQH ( s ), (L x)(t ) (t ), t [r,0] Để chứng minh tồn nghiệm toán (1)-(3) ta chứng minh tốn tử Trước tiên, chúng tơi t (L x)(t ) liên tục đoạn [0, b] Thật vậy, lấy ˆ ,0 t b x b L có điểm bất động để chứng minh tính ta sử dụng định lí điểm bất động Banach đủ nhỏ, ta có E ‖ (L x)(t ) (L x)(t ) ‖ 6E ‖ (T (t ) T (t ))[ (0) g (0, , 0)] ‖ 6 E ‖ Fj (t ) Fj (t ) ‖ j 1 Bằng cách sử dụng tính chất nửa nhóm, ta có E ‖ (T (t ) T (t ))[ (0) g (0, ,0)] ‖ E ‖ (T (t )T ( ) T (t ))[ (0) g (0, ,0)] ‖ Sử dụng giả thiết (H1) tính liên tục mạnh T (t ) , ta có E ‖ (T (t ) T (t ))[ (0) g (0, ,0)] ‖ 2M E ‖ (0) g (0, ,0) ‖ Nhờ định lí hội tụ trội Lebesgue với tính liên tục mạnh T (t ) , ta có lim E ‖ (T (t ) T (t ))[ (0) g (0, ,0)] ‖ 0 Do toán tử ( A) bị chặn nên tử giả thiết (H4) ta có lim E ‖ F1 (t ) F1 (t ) ‖ 0 Tiếp theo, sử dụng giả thiết (H1), (H2) bất đẳng thức Holder, ta có E ‖ F2 (t ) F2 (t ) ‖ t s 2E ‖ [(T ( ) I )( A)1 T (t s)( A) ]g ( s, xs , a1 ( s, , x )d )ds ‖ 0 2E ‖ t t s ( A)1 T (t s)( A) g (s, xs , a1 (s, , x )d ) ‖ Bây ta đánh giá thành phần vế phải bất đẳng thức s [(T ( ) I )( A)1 T (t s)( A) ]g (s, xs , a1 (s, , x )d )ds ‖ T ( ) I ‖ M 1 2(1 ) (t s) k2 (1 k1 ) ‖ xs ‖ k2 k1 k2 s ( A)1 T (t s)( A) g ( s, xs , a1 ( s, , x )d ) M 1 k2 (1 k1 ) ‖ xs ‖ k2 k1 k2 (t s)2(1 ) Sử dụng định lí hội tụ trội Lebesgue bất đẳng thức với tính liên tục mạnh T (t ) , ta có E ‖ F2 (t ) F2 (t ) ‖ N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 | | Lí tương tự E ‖ F3 (t ) F3 (t ) ‖ luận ta E ‖ F4 (t ) F4 (t ) ‖ | | (T ( ) I )T (t t ) I ( x(t 2E ‖ Sử dụng giả thiết (H1), (H6) ta có: có i 0ti t i i T (t t )I (x(t )) ‖ 2E ‖ i t ti t i i )) ‖ Mặt khác ta có: (T ( ) I )T (t ti ) I i ( x(ti )) ‖ T ( ) I ‖ M di ‖ x(ti ) ‖ T (t ti ) Ii ( x(ti )) M di ‖ x(ti ) ‖ Vì vậy, ta có E ‖ F4 (t ) F4 (t ) ‖ | | Hơn nữa, ta có t E ‖ F5 (t ) F5 (t ) ‖ 2E ‖ [(T ( ) I )T (t s)]F ( s)dBQH ( s) ‖ 2E ‖ t t T (t s) F ( s)dBQH ( s) ‖ : N1 N2 Sử dụng Bổ đề 2.1.4 (H1), ta có t N1 2cH (2 H 1)t H 1 ‖ [(T ( ) I )T (t s)]F ( s) ‖ 2L0 ds Q t 2cH (2 H 1)t H 1M ‖ (T ( ) I ) F ( s) ‖ 2L0 ds | | 0 Q Từ đó, với s cố định T ( ) F ( s) F ( s), ‖ T ( ) F ( s) ‖ L0 M ‖ F (s) ‖ L0 2 Q Q Sử dụng Bổ đề 2.1.4 lần nữa, ta nhận N2 2cH (2 H 1) H 1M t t Do ‖ F (s) ‖ 2L0 ds | | Q lim E ‖ F5 (t ) F5 (t ) ‖ 0 Các ước lượng dẫn đến lim E ‖ (L x)(t ) ( L x)(t) ‖ Cho nên, hàm t 0 (L x)(t ) liên tục đoạn [0, b] Tiếp theo, chứng minh ánh xạ ˆ với b b Để làm điều này, giả sử x, y ˆ L nén b1 b1 với t [0, b] cố định Sử dụng bất đẳng thức bản, ta có E ‖ (L x)(t ) (L y)(t ) ‖ (- A) k t s s ‖ (- A)1 T (t s)(- A) g (s, xs , a1 (s, , x )d ) g ( s, ys , a1 ( s, , y )d ) ds ‖ 0 1 k t s s ‖ T (t s) f (s, xs , a2 (s, , x )d ) f (s, ys , a2 (s, , y )d ) ds ‖ 0 1 k t t 0 ‖ (- A) g (t , xt , a1 (t , s, xs )ds) g (t , yt , a1 (t , s, ys )ds) ‖ ‖ T (t ti ) I i ( x(ti )) I i ( y (ti )) ‖ k 0ti t Sử dụng bất đẳng thức Holder tính Lipschitz ( A) g , f , Ii , i 1, 2, , ta có N.N.Quan/ No.21_Jun 2021|p.52-62 E ‖ (L x)(t ) (L y)(t ) ‖ k E ‖ xt yt ‖ t 1 t M12 k 0 E ‖ xs ys ‖ ds 1 k t 3 tM l E ‖ xs ys ‖ ds M di 1 k 1 k i 1 Do đó, ta có với lim E ‖ (L x)( s) ( L y)( s) ‖ (t ) sup E ‖ x( s) y( s) ‖ , s[ r ,t ] (t ) k s[ r ,t ] 3M12 k (1 k )(2 1) t 2 3M l 2 3M t di 1 k k i 1 M di 3M Nhờ (7), ta có (0) k di (1ik1)2 1 k i 1 Do tồn b1 b cho ˆ Vì (b1 ) toán tử L nén b1 [2] Dung, N.T (2014) Neutral stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion with impulsive effects and có điểm bất động đoạn varying-time delays, J Korean Statist Soc, 43: [0, b1 ] , nghiệm tích phân toán 599-608, Vietnam (1) – (3) Rõ ràng, nghiệm tiếp tục kéo dài khoảng thời gian liên tiếp q trình lặp lại toàn khoảng [−r, b] sau hữu hạn bước tương tự Định lí [3] Dung, N.T (2015) Stochastic Volterra integro-differential equations driven by fractional Brownian motion in a Hilbert space, Stochastics, 87: 142-159, Vietnam [4] Mishura, Y (2008) Stochastic Calculus for chứng minh Fractional Brownian Motion and Related Topics, Kết luận in: Lecture Notes in Mathematics, 1929 Trong báo sử dụng kiến thức liên quan đến lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên, chuyển động Brown bậc phân số, lí thuyết nửa nhóm… ngun lí điểm bất động để thu kết tính giải tính [5] Nualart, D (2006) The Malliavin Calculus and Related Topics, Second Edition, SpringerVerlag, Berlin [6] Pazy, A (1983) Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential nghiệm lớp phương trình vi tích Equations In: Applied Mathematical Sciences, 44 phân ngẫu nhiên trung tính có xung chuyển động Springer-Verlag, New York Brown bậc phân số chứa trễ hữu hạn, Định lí 2.2.2 Stochastic evolution equations with fractional REFERENCES [1] Caraballo, [7] Tindel, S., Tudor, C.A., Viens, F (2003) T., Garrido-Atienza, M.J., Taniguchi, T (2011).The existence and exponential behavior of solutions to stochastic delay evolution equations with a fractional Brownian motion, Nonlinear Analysis, 74: 3671-3684 Brownian motion, Probability Theory and Related Fields, 127: 186-204 [8] Yang, H., Jiang, F (2013) Exponential stability of mild solutions to impulsive stochastic neutral partial differential equations with memory, Advances in Difference Equations ... http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN TRUNG TÍNH CĨ XUNG VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN BẬC PHÂN SỐ Nguyễn Như Quân1,* Đại học Điện lực, Vi? ??t... ứng với xác tồn nghiệm tích phân phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính với chuyển động Brown bậc suất P Tốn tử khơng âm, tự liên hợp kí hiệu phân số hiệu ứng xung Phương trình vi tích phân. .. 3/5/2021 Từ khóa: Nghiệm tích phân, Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Chuyển động Brown bậc phân số, Tính giải Mở đầu Trong báo ta nghiên cứu lớp phương trình vi tích phân có xung sau: t t d [