Bất phương trình kiểu gronwall và ứng dụng đối với phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Văn Hưng BẤT PHƯƠNG TRÌNH KIỂU GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Văn Hưng BẤT PHƯƠNG TRÌNH KIỂU GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội – 2017 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô khoa Toán thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Tôi chân thành cảm ơn cá nhân tập thể Trường THPT Yên Phong số (huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh) tạo điều kiện thuận lợi để học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Hưng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng phương trình vi phân” kết trình tìm hiểu, nghiên cứu tác giả hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Hưng Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất phương trình tích phân kiểu Gronwall 1.2 Bất phương trình tích phân kiểu Gronwall với hạch Lipschitz 1.3 Phương trình tích phân Volterra 17 Ứng dụng phương trình vi phân 25 2.1 Ước lượng nghiệm toán Cauchy 25 2.2 Hệ phương trình vi phân qua xấp xỉ cấp 30 2.3 Điều kiện bị chặn 35 2.4 Sự ổn định 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Lí chọn đề tài Năm 1919, T H Gronwall ([7]) phát biểu chứng minh kết sau: Nếu u : [α; α + h] → R liên tục thỏa mãn: b ≤ u(t) ≤ [a + bu(s)]ds, ∀t ∈ [α; α + h], a u(t) ≤ ahebh , ∀t ∈ [α; α + h], a, b, h ≥ α > cho trước Từ bất phương trình xuất hiện, giành quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, nhiều khía cạnh khác như: mở rộng giả thiết, phát triển dạng bất phương trình, tìm ứng dụng chúng (xem [1]-[6], [8]-[9]) Các bất phương trình thuộc loại Gronwall cung cấp công cụ cần thiết để nghiên cứu tính chất định tính phương trình vi phân, phương trình tích phân Với mong muốn tìm hiểu sâu bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng chúng phương trình vi phân, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, chọn đề tài: “ Bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng phương trình vi phân” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu - Luận văn nghiên cứu số bất phương trình kiểu Gronwall MỤC LỤC - Ứng dụng kết vào nghiên cứu tính ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận nghiệm đồng không (hệ) phương trình vi phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu bất phương trình kiểu Gronwall; - Tính ổn định phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu số bất phương trình kiểu Gronwall hàm thực biến với hạch thỏa mãn điều kiện Lipschitz ứng dụng toán tính ổn định nghiệm tầm thường phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức Giải tích hàm, Phương trình vi phân - Thu thập tài liệu liên quan đến chủ đề - Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan Đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tốt chủ đề bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng phương trình vi phân Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương đề cập tới số bất phương trình tích phân kiểu Gronwall cụ thể với lớp bất phương trình tích phân kiểu Gronwall với hạch Lipschitz Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [5] [7] 1.1 Bất phương trình tích phân kiểu Gronwall Trong mục đề cập tới số bất phương trình tích phân kiểu Gronwall với hạch hàm cụ thể Trước hết số dạng cổ điển bất phương trình Gronwall Định lý 1.1 (Gronwall) Cho x, ψ χ hàm liên tục xác định [a; b], χ(t) ≥ với t ∈ [a; b] Giả sử đoạn [a; b] ta có bất phương trình: t x(t) ≤ Ψ(t) + χ(s)x(s)ds (1.1) a Khi t x(t) ≤ Ψ(t) + t χ(s)Ψ(s) exp a χ(u)du ds (1.2) a đoạn [a; b] t Chứng minh Xét hàm y(t) := χ(u)x(u)du, t ∈ [a; b] Khi ta có y(a) = a b y ′(t) = χ(t)x(t) ≤ χ(t)ψ(t) + χ(t) χ(s)x(s)ds a CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ≤ χ(t)ψ(t) + χ(t)y(t), t Nhân vế với exp − χ(s)ds t ∈ (a; b) > ta có a d dt t y(t) exp − t ≤ Ψ(u)χ(u) exp − χ(s)ds χ(s)ds a a Lấy tích phân [a; t] ta có t y(t) exp − t χ(s)ds a từ ta có ≤ t Ψ(u)χ(u) exp − a t y(t) ≤ χ(s)ds du a t Ψ(u)χ(u) exp χ(s)ds du, a t ∈ [a; b] a Vì x(t) ≤ ψ(t) + y(t) nên định lý chứng minh Từ Định lý 1.1 ta có số hệ sau Hệ 1.1 Nếu ψ khả vi từ (1.1) ta có t x(t) ≤ Ψ(a) t χ(u)du + t χ(u)du Ψ′ (s)ds exp a a (1.3) s với t ∈ [a; b] Hệ 1.2 Nếu ψ hàm từ t x(t) ≤ Ψ + (1.4) χ(s)x(s)ds a ta có t x(t) ≤ Ψ exp (1.5) χ(u)du a Dưới số mở rộng bất phương trình Gronwall: Định lý 1.2 Cho u(t) hàm không âm thỏa mãn bất phương trình tích phân sau t (a(s)u(s) + b(s)uα (s)) ds, u(t) ≤ c + t0 c ≥ 0, α ≥ 0, (1.6) CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ a(t) b(t) hàm liên tục không âm với t ≥ t0 Với ≤ α < 1, ta có t u(t) ≤ c 1−α exp (1 − α) a(s)ds t0 t +(1 − α) 1−α t b(s) exp (1 − α) t0 (1.7) a(r)dr ds s Với α = ta có t u(t) ≤ c exp (1.8) [a(s) + b(s)]ds t0 với α > giả thiết bổ sung α−1 t0 +h c< exp (1 − α) a(s)ds − α−1 t0 +h (α − 1) (1.9) b(s)ds t0 t0 ta có với t0 ≤ t ≤ t0 + h, với h > t u(t) ≤ c exp (1 − α) a(s)ds t0 t −c−1 (α − 1) α−1 t b(s) exp (1 − α) t0 a(r)dr ds (1.10) s Chứng minh Với a = ta có bất phương trình tuyến tính thông thường nên (1.7) thỏa mãn Giả sử < α < Kí hiệu v nghiệm phương trình tích phân t [a(s)v(s) + b(s)v α (s)]ds, v(t) = c + t ≥ t0 t0 Ở dạng khác, phương trình Bernoulli v ′ (t) = a(t)v(t) + b(t)v α (t), v(0) = c nên tích phân phương trình ta nhận v(t) vế phải (1.7) Với α > ta lại có phương trình Bernoulli chứng minh tương tự ta cần thêm điều kiện (1.9) điều kiện thỏa mãn khoảng bị chặn t0 ≤ t ≤ t0 +h CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 29 với t ∈ [t0 ; β) Nếu ta giả sử ánh xạ f thỏa mãn điều kiện Lipschitz sau: t ∈ [α; β), x, y ∈ Rn f (t, x) − f (t, y) ≤ I(t, x − y ), (2.23) với I thỏa mãn điều kiện (1.30) ta có ước lượng sau t x(t, t0 , x0 ) − x0 ≤ t f (s, x0 ) ds + t0 s I(s, ( f (u, x0 ) du) t0 t × exp( s ∂I (u, ∂x (2.24) t0 t f (τ, x0 ) dτ )du))ds s với t ∈ [t0 ; β) Cuối cùng, giả thiết hàm f thỏa mãn điều kiện: f (t, x) − f (t, y) ≤ C(t)K( x − y ), t ∈ [α; β), x, y ∈ Rn (2.25) với K thỏa mãn điều kiện (1.33) ta có công thức t x(t, t0 , x0 ) − x0 ≤ t f (s, x0 ) ds + t0 t × exp( s ∂K ( ∂x s f (u, x0 ) du) C(s)K( t0 t (2.26) t0 f (τ, x0 ) dτ )C(u)du))ds t0 khoảng [t; β) Bây giờ, dùng Bổ đề 1.6 ta có kết sau Bổ đề 2.3 Nếu giả thiết hàm f thỏa mãn điều kiện f (t, x + y) − f (t, x) ≤ S(t, x ) y , t ∈ [α; β), x, y ∈ Rn (2.27) với S : [α; β) × R+ → R+ liên tục [α; β) × R+ , ta có ước lượng t x(t, t0 , x0 ) − x0 ≤ t0 với t ∈ [t0 ; β) t f (s, x0 ) exp( S(u, x0 du)ds s (2.28) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 30 Bổ đề có hệ dễ thấy, ánh xạ f có tính chất f (t, x + y) − f (t, x) ≤ C(t)R( x ) y , t ∈ [α; β), x, y ∈ Rn , (2.29) với C : [α; β) × R+ → R+ liên tục [α; β) × R+ , ta có t t f (s, x0 ) exp(R( x0 ))( x(t, t0 , x0 ) − x0 ≤ 2.2 C(u)du)ds, ∀t ∈ [t0 ; β) (2.30) s t0 Hệ phương trình vi phân qua xấp xỉ cấp Xét hệ phương trình vi phân không dx = A(t)x + f (t, x), dt (2.31) t ∈ [α; β) , với A : [α; β) → B (Rn ) , f : [α; β) × Rn → Rn liên tục Nếu C(t, t0 ) biểu thị ma trận nghiệm hệ phương trình tương ứng nghiệm toán Cauchy    dx = A(t)x + f (t, x), t ∈ [α; β) , dt  x(t0 ) = x0 , t0 ∈ [α; β) , x0 ∈ Rn (2.32) cho phương trình tích phân kiểu Volterra sau t C(t0 , s)f (s, x(s, t0 , x0 )) ds, x (t, t0 , x0 ) = C(t, t0 )x0 + C(t, t0 ) ∀t ∈ [α; β) (2.33) t0 Bổ đề 2.4 Giả sử hàm f thỏa mãn (2.3) Nếu x(·, t0 , x0 ) nghiệm toán Cauchy (A, f ; t0 , x0 ), ta có ước lượng t C(t0 , s) L(s, C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0 t × exp C(t0 , u) s C(u, t0) M(u, C(u, t0)x0 )du ds (2.34) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 31 với t ∈ [t0 ; β) Chứng minh Nếu x(·, t0 , x0 ) nghiệm hệ xác định (A, f ; t, x) x(·, t0 , x0 ) thỏa mãn (2.33) t Đặt y : [α; β) → Rn , y(t) := C(t0 , s)f (s, x(s, t0 , x0 )) ds Ta có y(t0 ) = t0 y ′ (t) = C(t0 , t)f (t, x(t, t0 , x0 )) = C(t0 , t)f (t, C(t, t0 )x0 + C(t, t0 )y(t)) Vì y ′(t) = C(t0 , t)f (t, C(t, t0 )x0 + C(t, t0 )y(t)) ≤ C(t0 , t) L (t, C(t, t0 )x0 ) + C(t, t0 ) y(t) ≤ C(t0 , t) L (t, C(t, t0 )x0 ) + C(t0 , t) M (t, C(t, t0 )x0 ) C(t, t0 ) y(t) Lấy tích phân hai vế t y ′(s) ds, y(t) ≤ α ta nhận t C(t0 , s) L (s, C(s, t0 )x0 ) ds y(t) ≤ t0 t + C(t0 , s) C(s, t0 ) M (s, C(s, t0 )x0 ) y(s) ds, ∀t ∈ [t0 ; β) t0 Áp dụng Hệ ta có t C(t0 , t) L (s, C(s, t0 )x0 ) y(t) ≤ t0  × exp  t C(t0 , u) s Từ ta có (2.34) Bổ đề chứng minh  C(u, t0) M (u, C(u, t0 )x0 )du ds CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 32 Bây giả sử hàm f nghiệm (2.5) Nếu x(·, t0 , x0 ) nghiệm toán Cauchy (A, f ; t0 , x0 ), ta có t C(t0 , s) G (s, C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0  × exp   t C(t0 , u) s (2.35) C(u, t0) N(u)du ds, với t ∈ [t0 , β) Nếu đồ thị f có tính chất (2.7) ta có ước lượng t C(t0 , s) C (s) H ( C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0   t × exp M C(t0 , u) s (2.36) C(u, t0 ) C(u)du ds, với t ∈ [t0 , β) Hơn nữa, ta giả sử x0 = Với giả thiết này, f thỏa mãn (2.9) ta có t C(t0 , s) D (s, C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0  × exp   t C(t0 , u) s C(u, t0) P (u, C(u, t0 )x0 ) du ds, t ∈ [t0 ; β) (2.37) Nếu f nghiệm (2.11) ta có đánh giá sau t C(t0 , s) I (s, C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0  × exp  t C(t0 , u) s C(u, t0)  ∂I (u, C(u, t0)x0 ) du ds, ∂x (2.38) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 33 với t ∈ [t0 ; β) Đặc biệt, đồ thị f thỏa mãn (1.33) t C(t0 , s) C(s)K ( C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0  × exp   t C(u, t0 ) C(u) C(t0 , u) s (2.39) dK ( C(u, t0 )x0 ) du ds dx Bổ đề 2.5 Giả sử f hàm thoả mãn (2.15) Nếu x(·, t0 , x0 ) nghiệm toán Cauchy (A, f ; t0 , x0 ) t C(t0 , s) L (s, k(s)) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ k(t) + C(t, t0 ) t0  × exp   t M (u, k(u)) C(t0 , u) s C(u, t0 ) du ds t C(t, s)f (s, C(s, t0 )x0 ) ds t ∈ [t0 ; β) k(t) := t0 Chứng minh Nếu x(·, t0 , x0 ) nghiệm toán Cauchy (A, f ; t0 , x0 ) t C(t, s)f (s, x(s, t0 , x0 )) ds, x(t, t0 , x0 ) = C(t, t0 )x0 + ∀t ∈ [α; β) t0 Đặt V (t, s, x) = C(t, s)f (s, x) , ta có V (t, s, x) − V (t, s, y) ≤ C(t, t0 ) ≤ C(t, t0 ) C(t0 , s) f (s, x) − f (s, y) C(t0 , s) L (s, x − y ) Lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 1.4 ta có điều cần chứng minh (2.40) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 34 Bây giờ, hàm f thỏa mãn (2.17), t C(t0 , s) G (s, k(s)) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ k(t) + C(t, t0 ) t0  × exp   t C(t0 , u) s (2.41) C(u, t0 ) N(u)du ds, ∀t ∈ [t0 ; β) Nếu f hàm thoả mãn tính chất (2.19) t C(t0 , s) C (s) H (k(s)) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ k(t) + C(t, t0 ) t0  × exp M  t C(t0 , u) s (2.42) C(u, t0 ) C(u)du ds, ∀t ∈ [t0 ; β) Nếu x0 = f thoả mãn (2.21) t C(t0 , s) D (s, k(s)) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ k(t) + C(t, t0 ) t0  × exp   t P (u, k(u)) C(t0 , u) s (2.43) C(u, t0) du ds, ∀t ∈ [t0 ; β) Nếu f hàm thoả mãn (2.23) t C(t0 , s) I (s, k(s)) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ k(t) + C(t, t0 ) t0  × exp  t ∂I (u, k(u)) C(t0 , u) ∂x s (2.44)  C(u, t0 ) du ds, ∀t ∈ [t0 ; β) Đặc biệt, f nghiệm (2.25) ta có t C(t0 , s) C(s)K (k(s)) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ k(t) + C(t, t0 ) t0 (2.45) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN  × exp   t dK (k(u)) C(u) C(t0 , u) dx s 35 C(u, t0 ) du ds, ∀t ∈ [t0 ; β) Bổ đề 2.6 Giả sử f hàm thoả mãn (2.27) Nếu x(·, t0 , x0 ) nghiệm toán Cauchy (A, f ; t0 , x0 ) t C(t0 , s)f (s, C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0  × exp   t S (u, C(u, t0 )x0 ) C(t0 , u) s C(u, t0 ) du ds, ∀t ∈ [t0 ; β) (2.46) Bổ đề chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 1.6 Nếu đồ thị f thoả mãn (2.29) t C(t0 , s)f (s, C(s, t0 )x0 ) x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ C(t, t0 ) t0  × exp  t C(u)R ( C(u, t0 )x0 ) C(t0 , u) s  C(u, t0 ) du ds (2.47) (2.48) với t ∈ [t0 ; β) 2.3 Điều kiện bị chặn Ta xét hệ phương trình vi phân có dạng sau dx = f (t, x), t ∈ [α; ∞) ; dt (2.49) f : [α; ∞) × Rn → Rn liên tục [α; ∞) × Rn Ta giả sử toán Cauchy    dx = f (t, x), t ∈ [α; ∞) ; dt   x(t0 ) = x0 ∈ Rn (f ; t0 , x0 ) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 36 có nghiệm x(·, t0 , x0 ) [α; β) t0 ≥ α x0 ∈ Rn Dưới số kết tính bị chặn nghiệm toán Cauchy Định lý 2.1 Nếu hàm f thỏa mãn (2.3) điều kiện sau đây: ∞ L (s, x0 ) ds ≤ M1 (t0 , x0 ) < ∞, (2.50) L (s, x0 ) ds ≤ M2 (t0 , x0 ) < ∞, (2.51) t0 ∞ t0 tồn M (t0 , x0 ) > cho x(t, t0 , x0 ) − x0 ≤ M (t0 , x0 ), ∀t ≥ t0 Chứng minh định lý dễ dàng suy từ Bổ đề 2.1 Định lý 2.2 Nếu hàm f thỏa mãn (2.15) điều kiện sau đây: ∞ f (s, x0 ) ds ≤ M1 (t0 , x0 ) < ∞, (2.52) L (s, M1 (t0 , x0 )) ds ≤ M2 (t0 , x0 ) < ∞, (2.53)  (2.54) t0 ∞ t0 ∞ t0  s M s, t0 f (τ, x0 ) dτ  ds ≤ M3 (t0 , x0 ) < ∞, tồn M (t0 , x0 ) > cho x(t, t0 , x0 ) − x0 ≤ M (t0 , x0 ), ∀t ≥ t0 Chứng minh định lý dễ dàng suy từ Bổ đề 2.2 Định lý 2.3 Nếu hàm f thỏa mãn (2.27) điều kiện sau đây: ∞ f (s, x0 ) ds ≤ M1 (t0 , x0 ) < ∞, (2.55) S (s, x0 ) ds ≤ M2 (t0 , x0 ) < ∞, (2.56) t0 ∞ t0 CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 37 tồn M (t0 , x0 ) > cho x(t, t0 , x0 ) − x0 ≤ M (t0 , x0 ), ∀t ≥ t0 Bây xét hệ phương trình vi phân có dạng dx = A(t)x + f (t, x), t ∈ [α; ∞) , dt (2.57) với A : [α; ∞) → B (Rn ) , f : [α; ∞) × Rn → Rn liên tục Ta giả sử toán Cauchy    dx = A(t)x + f (t, x), t ∈ [α; ∞) , dt   x(t0 ) = x0 , x0 ∈ Rn (2.58) có nghiệm [α; ∞) Định lý 2.4 Giả sử ánh xạ f thoả mãn (2.3) Nếu nghiệm tầm thường x ≡ hệ tương ứng ổn định, tức C(t, t0 ) ≤ µ(t0 ), ∀t ≥ t0 điều kiện ∞ C (t0 , s) L (s, µ(t0 ) x0 ) ds ≤ M1 (t0 , x0 ) < ∞, (2.59) C (t0 , s) M (s, C(s, t0 )x0 ) ds ≤ M2 (t0 , x0 ) < ∞, (2.60) t0 ∞ t0 thỏa mãn tồn M (t0 , x0 ) > cho x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ M(t0 , x0 ), ∀t ≥ t0 Định lý 2.5 Giả sử ánh xạ f thoả mãn (2.15) Nếu nghiệm tầm thường x ≡ hệ tương ứng ổn định, tức C(t, t0 ) ≤ µ(t0 ), ∀t ≥ t0 điều kiện t C (t, s) f (s, C (s, t0 ) x0 ) ds ≤ M1 (t0 , x0 ) < ∞, lim t→∞ (2.61) t0 ∞ C (t0 , s) L (s, M1 (t0 , x0 )) ds ≤ M2 (t0 , x0 ) < ∞, t0 (2.62) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 38 ∞ M (s, k(s)) c(t0 , s) ds ≤ M3 (t0 , x0 ) < ∞, (2.63) t0 tồn M (t0 , x0 ) > cho x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ M (t0 , x0 ), ∀t ≥ t0 Chứng minh suy từ Bổ đề 2.5 Định lý 2.6 Giả sử hàm f thoả mãn (2.27) Nếu nghiệm tầm thường x ≡ hệ tương ứng ổn định, tức C(t, t0 ) ≤ µ(t0 ), ∀t ≥ t0 , thoả mãn điều kiện ∞ C (t0 , s) f (s, C(s, t0 )x0 ) ds ≤ M1 (t0 , x0 ) < ∞, (2.64) S (s, C(s, t0 )x0 ) C (t0 , s) ds ≤ M2 (t0 , x0 ) < ∞, (2.65) t0 ∞ t0 tồn M (t0 , x0 ) > cho x(t, t0 , x0 ) − C(t, t0 )x0 ≤ M(t0 , x0 ), ∀t ≥ t0 Chứng minh định lý suy từ Bổ đề 2.6 2.4 Sự ổn định Xét hệ phương trình vi phân dx = f (t, x), t ∈ [α; ∞) , dt (2.66) với f liên tục [α; ∞) × Rn f (t, 0) ≡ Trong mục trình bày số kết ổn định nghiệm tầm thường hệ phương trình Định lý 2.7 Nếu ánh xạ f thỏa mãn (2.3), L(t, 0) ≡ với t ∈ [α; ∞) tồn δ0 > cho ∞ ˜ M(s, δ)ds ≤ M α với ≤ δ ≤ δ0 , nghiệm tầm thường x ≡ (2.66) ổn định (2.67) CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 39 Chứng minh Đầu tiên, ta thấy L(t, u) ≤ M(t, 0)u, ∀t ∈ [α; ∞), u ≥ Từ suy ∞ ∞ L(s, u)ds ≤ u α ˜ u M(s, 0)ds ≤ M α Giả sử ε > x(·, t0 , x0 ) nghiệm toán Cauchy (f ; t0 , x0 ) với x0 thỏa mãn x0 < δ(ε) = ε ε , δ0 , ˜ exp M ˜ 2M Khi ta có x(t, t0 , x0 ) ≤ x0 + x(t, t0 , x0 ) − x0 t  L(s, x0 ) exp  ≤ x0 + t0  t s M(u, x0 )du ds ε ˜ exp M ˜ < ε + ε = ε, < + x0 M 2 ∀t ≥ t0 Chứng tỏ nghiệm tầm thường (2.66) ổn định Hệ 2.1 Nếu ánh xạ f thỏa mãn (2.5), G(t, 0) ≡ với t ∈ [α; ∞) ∞ N(s)ds < ∞ (2.68) α nghiệm tầm thường x ≡ (2.66) ổn định Hệ 2.2 Nếu hàm f thỏa mãn (2.7), H(0) ≡ với t ∈ [α; ∞) ∞ C(s)ds < ∞ (2.69) α nghiệm tầm thường x ≡ (2.66) ổn định Định lý 2.8 Nếu hàm f thỏa mãn (2.9), D(t, 0) ≡ với t ∈ [α; ∞), đồng thời tồn δ0 > cho ∞ D(s, δ0 )ds < M1 (2.70) α ∞ P (s, δ)ds < M2 với ≤ δ ≤ δ0 , nghiệm tầm thường x ≡ (2.66) α ổn định CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 40 Chứng minh Cho ε > Nếu D(t, 0) ≡ D liên tục tồn δ1 (ε) > δ0 ∞ ε x0 < δ1 (ε) Xét nghiệm x(·, t0 , x0 ) cho cho D (s, x0 ) ds < exp M2 α ε x0 < δ(ε) = , δ1 (ε) , ta có x(t, t0 , x0 ) ≤ x0 + x(t, t0 , x0 ) − x0 t  D(s, x0 ) exp  ≤ x0 + t0 ε ε exp M2 = ε, < + 2 exp M2 t s  P (u, x0 )du ds ∀t ≥ t0 Hệ 2.3 Nếu hàm f thỏa mãn (2.11), I(t, 0) ≡ với t ∈ [α; ∞), đồng thời tồn δ0 > cho ∞ I(s, δ0 )ds < M1 (2.71) α ∞ ∂I (s, δ)ds < M2 với ≤ δ ≤ δ0 , nghiệm tầm thường x ≡ (2.66) ∂x ổn định α Hệ 2.4 Nếu hàm f thỏa mãn (2.13), K(0) ≡ với t ∈ [α; ∞) , ∞ C(s)ds < ∞, (2.72) α tồn δ0 > cho (2.66) ổn định dK bị chặn (0, δ0 ) , nghiệm tầm thường x ≡ dx Định lý 2.9 Nếu hàm f thỏa mãn (2.27) tồn δ0 > cho ∞ ˜ S(u, δ)du ≤ M (2.73) α ≤ δ ≤ δ0 , nghiệm tầm thường x ≡ (2.66) ổn định Chứng minh Từ f (t, x) − f (t, x + y) ≤ S (t, x ) y , ∀x, y ∈ Rn , đặt y = −x ta CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN f (t, x) ≤ S (t, x ) x , ∀x ∈ Rn , ∀t ∈ [α; ∞) ε ε , δ0 , Giả sử ε > Nếu x0 < δ(ε) = ˜ exp M ˜ 2M x(t, t0 , x0 ) ≤ x0 + x(t, t0 , x0 ) − x0 t ≤ x0 + t0  f (s, x0 ) exp  ∞ ≤ x0 + x0 α ta có  t s S(u, x0 )du ds  S (u, x0 ) du exp  ε ε ˜ exp M ˜ = ε, < + M ˜ exp M ˜ 2M 41 ∞ α  S(u, x0 )du ∀t ≥ t0 Hệ 2.5 Nếu hàm f thỏa mãn (2.29)và tồn δ0 > cho R bị chặn (0, δ0 ) , ∞ C(s)ds < ∞ α nghiệm tầm thường x ≡ (2.1) ổn định (2.74) Kết luận Nội dung luận văn tìm hiểu Bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng phương trình vi phân Cụ thể: Chương tìm hiểu về: số bất phương trình kiểu Gronwall với hạch hàm cụ thể bất phương trình với hạch hàm tổng quát liên tục Lipschitz; vài ước lượng nghiệm phương trình tích phân Volterra Chương trình bày số vấn đề liên quan tới nghiệm toán Cauchy phương trình vi phân đánh giá nghiệm, tính ổn định ổn định nghiệm tầm thường Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế, luận văn tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến góp ý Quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Hưng 42 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gian Hà Nội, 2003 Tài liệu tiếng Anh [2] [R P Agarwal and E Thandapani (1981), Remarks on generalisations of Gronwall’s inequality, Chinese J Math., 9, 1-22 [3] P R Beesack, Gronwall inequalities Carleton Univ Math Notes, 11, 1975 [4] S S Dragomir (1992)„ On some nonlinear generalisations of Gronwall’s inequality, Contributions, Macedonian Acad Of Sci and Arts, 13 (2), 23-28 [5] S S Dragomir, Some Gronwall type inequalities and applications Nova Science Publishers, 2002 [6] T H Gronwall (1919), Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations, Ann Math., 20 (2), 293-296 [7] Yuming Quin, Integral and discrete inequalities and their applications, Vol I: Linear inequalities, Birkhauser, 2016 43 ... đề bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng phương trình vi phân Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương đề cập tới số bất phương trình tích phân kiểu Gronwall cụ thể với lớp bất phương trình. .. sâu bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng chúng phương trình vi phân, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, chọn đề tài: “ Bất phương trình kiểu Gronwall ứng dụng phương trình vi phân để thực luận văn... cứu bất phương trình kiểu Gronwall; - Tính ổn định phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu số bất phương trình kiểu Gronwall hàm thực biến với hạch thỏa mãn điều kiện Lipschitz ứng dụng