Tính giải được đối với phương trình vi tích phân phân thứ nửa tuyến tính dạng Lattice

Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của toán tử giải thức sinh ra bởi một toán tử dạng lattice và nghiên cứu sự tồn tại cũng như tính duy nhất nghiệm của phương trình vi tích phân phân thứ dạng lattice bằng cách sử dụng nguyên lí điểm bất động Banach.

SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 TÍNH GIẢI ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN PHÂN THỨ NỬA TUYẾN TÍNH DẠNG LATTICE SOLVABILITY FOR FRACTIONAL SEMILINEAR LATTICE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION Nguyễn Như Quân TÓM TẮT Trong báo này, tác giả nghiên cứu dáng điệu tiệm cận toán tử giải thức sinh toán tử dạng lattice nghiên cứu tồn tính nghiệm phương trình vi tích phân phân thứ dạng lattice cách sử dụng nguyên lí điểm bất động Banach Từ khóa: Sự tồn nghiệm, tốn tử lattice, nguyên lí điểm bất động Banach ABSTRACT In this paper, author studies the behavior of α-resolvent operator generated by a lattice operator and the existence and unique of solution for fractional semilinear lattice integro-differential equation by using Banach fixed point theorem Keywords: The existence, lattice operator, Banach fixed point theorem nội dung chi tiết giới thiệu đến đọc giả cơng trình Hale [3] Để viết lại hệ phương trình (1) dạng tổng quát không gian  Với dãy u  (ui )i ,  , ta đặt: (Bu)i  ui1  ui ; (B*ui )  ui1  ui (A0u)i  ui1  2ui  ui1; (Au)i  ui1  2ui  ui1  μui , (2) với i  , μ   Ta thấy rằng: A = -A0 - µI; A0 = BB* = B*B; (B*u, v) = (u, Bv) với u, v   Trường Đại học Điện lực Email: quan2n@epu.edu.vn Ngày nhận bài: 05/9/2019 Ngày nhận sửa sau phản biện: 05/10/2019 Ngày chấp nhận đăng: 20/12/2019 Khi đó, hệ (1) tương đương hệ sau với u  (ui )i   : u(t)   t (t  s)α 2 Au(s)ds  f (t, u(t)), t  0, (α  1) (3) u0  u0 f (t, u(t))  fi (t, ui (t)) i ĐẶT VẤN ĐỀ   2 Trong không gian    (xi )i : (xi )  , với chuẩn   i (x i )i   (x ) i Chúng xét toán sau: i  (t s)α2 (Au)i (s)ds  fi (t, ui (t)), t [0, T], (α 1) ui (0)  u0i , i  , ui(t)   t (1) hàm chưa biết u(t)  (ui )(t)i   , α  (1,2) A toán tử dạng lattice định nghĩa phần sau, hàm phi tuyến f  C([0,  )   ; 2 ) Các hệ vi phân dạng lattice nghiên cứu có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật mà cấu trúc không gian có đặc tính rời rạc Có thể kể đến ví dụ tiêu biểu tốn xử lý hình ảnh [4, 5] toán nhận dạng [6] phản ứng hóa học [7, 8], kỹ thuật điện [2],… Mặt khác, hệ lattice phát sinh từ việc rời rạc không gian phương trình đạo hàm riêng Về vấn đề này, để tìm hiểu TỐN TỬ GIẢI THỨC VÀ NGUN LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Kí hiệu (X) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn X Sau số khái niệm kết toán tử giải thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu báo Định nghĩa 2.1: Cho A tốn tử tuyến tính, bị chặn với miền xác định D(A) không gian Banach X Ta nói rằng, A tốn tử sinh α-giải thức tồn  ω   hàm liên tục mạnh Sα :   (X) cho {λα : Reλ  ω}  ρ(A) λα 1(λα I  A)1 x    e  λt Sα (t)xdt, Reλ  ω, x  X Vấn đề nghiên cứu tồn α-giải thức thảo luận [1] Cụ thể, cho A tốn tử tuyến tính đóng xác định trù mật Giả sử rằng, A toán tử quạt π kiểu (ω, θ), nghĩa là, tồn ω  , θ  (0, ), M  cho giải thức nằm  \ ω, θ No 55.2019 ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 115 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ ‖( λI  A) 1‖ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 | u || f |  |  f ,u |  |   λI  A  u,u | M , λ   ω, θ , | λω|  |  λI  A  μI  u,u |  |  (λ  μ)I  A  u,u | ω,θ  {ω  λ : λ  ,| arg(λ)| θ}  | ( Re λ  μ) | u |2  | Bu |2 iImλ | u |2 | Trong trường hợp  θ  π(1 α / 2) , Sα(.) tồn có biễu diễn sau: Sα ( t )  2πi e tλ α 1 λ γ α ( λ I  A ) dλ, t  0, Vì vậy: Định lí 2.2 ([1, Theorem 1]) Cho A : D(A)  X  X toán tử quạt kiểu (ω, θ) với  θ  π(1  α / 2) Khi tồn C > độc lập với t cho: với t ≥ Một kết báo chứng minh tính chất liên quan đến dáng điệu Sα(.) sau: Mệnh đề 2.3: Cho A toán tử định nghĩa (2)  θ  π(1 α / 2) Khi đó, tồn C > độc lập với t cho:  μt α {λ   : Re λ μ}  ρ(A)  ( Re λ  μ) | x |2  |Bx |2 iImλ | x |2 Điều dấn đến ( Re λ  μ)| x |2  |Bx |2   x  Ker(λI  A)  {0} Vì vậy, λI - A đơn ánh λ  ρ(A) Tiếp theo, ta cần chứng minh tồn số M cho: M , λ  C, Re λ  μ | λ  ω| t S α ( t  s) f (s, u(s )) ds, (4) với t  [0, T ] Xét  : C([0, T ]; 2 )  C([0, T]; 2 ) , xác định t S α ( t  s ) f (s, u(s )) ds, t  [ 0, T ] (5) Khi đó, u nghiệm tích phân (1) điểm bất động tốn tử nghiệm  Định nghĩa 2.5 Cho (X, d) khơng gian metric Khi ánh xạ T: X → X gọi ánh xạ co X tồn q  [0,1) cho: Định lí 2.6 (Nguyên lí ánh xạ co Banach): Cho (X, d) không gian metric đủ T: X → X ánh xạ co Khi T có điểm bất động x* X (nghĩa T(x*) = x*) Hơn nữa, tìm x* sau: bắt đầu phần tử x  X định nghĩa dãy xn xn = T(xn-1), xn → x* SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Để nghiên cứu tồn nghiệm toán (1), tác giả đưa giả thiết sau: f :     thỏa mãn: ‖f (t, u)  f (t, v)‖  m(t)‖u  v‖2 với hàm m(t)  L1loc (  ) (F) Hàm phi tuyến Lấy λ  , Re λ μ Với u 2 tồn f   cho 116 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 55.2019 u( t )  S α ( t )u0  với x, y  X  (λI  A)x, x  (λI  A  μI)x, x Ta có: Định nghĩa 2.4: Hàm u  C([0, T ]; 2 ) gọi nghiệm tích phân tốn (1) đoạn [0, T] u(0) = u0 d(T (x), T (y))  qd(x, y ) , Lấy x  2 cho (λI  A)x  Ta có:  λI  A 1 f  u |f | |f|  | (λI  A)1 f | | λμ| | λ μ| ‖(λI  A)1‖ | λ μ|  (u)(t )  Sα ( t )u0  với t ≥ Chứng minh Lưu ý A toán tử bị chặn, tự liên hợp σ(A) tập giải A tập số thực compact Trước hết, ta chứng minh ‖(λI  A)1‖ | u|  Điều có nghĩa A tốn tử quạt kiểu (-µ, θ) Áp dụng Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh C (1 ωt α )e ω1/ α t , ω  0,  || Sα ( t ) ||  C , ω  0,  α  1 | ω | t C ( Re λ  μ  | u |2  | Bu |2 )2  (Imλ | u |2 )2  ( Re λ  μ)2  (Imλ)2 | u |2 | λ  μ || u |2 1 đây, γ đường cong thích hợp nằm ngồi  ω,θ || S α (t) ||  hàm không giảm Định lí 3.1: Giả sử giả thiết (F) thỏa mãn Khi đó, tốn (1) có nghiệm u  C([0, T ]; 2 ) với điều kiện SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 t sup ‖S α (t  s)‖m(s)ds  t  (6) Nhận xét 3.2: Nhờ Mệnh đề 2.2, ta thấy điều kiện (6) thỏa mãn ta chọn hàm m(t) = Ntβ với α - β > Chứng minh Định lí 3.1 Ta thấy toán tử nghiệm  ánh xạ từ C([0, T ]; 2 ) vào Để áp dụng dụng nguyên lí ánh xạ co Banach ta chứng minh  ánh xạ co Nhắc lại rằng:  (u)(t )  Sα ( t )u0  t S α ( t  s ) f (s, u(s )) ds, t  [ 0, T ] Lấy u, v  C([0, T ]; 2 ) , nhờ giả thiết (F), ta có: ||  (u)(t)   (v)(t) ||||  t [5] L.O Chua, Y Yang, 1988 Cellular neural networks: theory, IEEE Trans Circuits Systems 35 1257–1272 [6] S.N Chow, J Mallet-Paret, E.S Van Vleck, 1996 Pattern formation and spatial chaos in spatially discrete evolution equations, Random Comput Dynam 4, 109–178 [7] R Kapval, 1991 Discrete models for chemically reacting systems, J Math Chem 6, 113–163 [8] T Erneux, G Nicolis, 1993 Propagating waves in discrete bistable reaction diffusion systems, Physica D 67, 237–244 AUTHOR INFORMATION Nguyen Nhu Quan Electric Power University Sα (t  s)f(s,u(s))  f(s, v(s))ds || t  || S (t  s) |||| f(s,u(s))  f(s, v(s)) || ds   || S (t  s) ||m(s) || u  v || ds  sup  || S (t  s) ||m(s)ds || u  v ||  t α 2 α t t 0 α 2 Do vậy: ||  (u)   (v) ||  k || u  v || , đây: t k  sup ‖S (t  s)‖m(s)ds  t0  Vậy,  ánh xạ co Áp dụng Nguyên lí ánh xạ co Banach suy tốn tử nghiệm  có điểm bất động u* Từ ta kết luận tốn (1) có nghiệm KẾT LUẬN Kết báo chứng minh tính chất liên quan đến dáng điệu tiệm cận toán tử giải thức Sα(t) sinh toán tử dạng lattice A Từ đó, áp dụng ngun lí điểm bất động Banach để chứng minh tồn nghiệm toán (1) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Cuesta, 2007 Asymptotic behaviour of the solutions of fractional integro-differential equations and some time discretizations, Discrete Contin Dyn Syst (Supplement) 277-285 [2] T.L Carrol, L.M Pecora, 1990 Synchronization in chaotic systems, Phys Rev Lett 64 821–824 [3] J.K Hale, 1994 Numerical dynamics, Chaotic Numerics, Contemporary Mathematics, vol 172, American Mathematical Society, Providence, RI, , pp 1– 30 [4] L.O Chua, T Roska, 1993 The CNN paradigm, IEEE Trans Circuits Systems 40 147–156 No 55.2019 ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 117 ... kết luận tốn (1) có nghiệm KẾT LUẬN Kết báo chứng minh tính chất liên quan đến dáng điệu tiệm cận toán tử giải thức Sα(t) sinh toán tử dạng lattice A Từ đó, áp dụng ngun lí điểm bất động Banach...  m(t)‖u  v‖2 với hàm m(t)  L1loc (  ) (F) Hàm phi tuyến Lấy λ  , Re λ μ Với u 2 tồn f   cho 116 Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ● Số 55.2019 u( t )  S α ( t )u0  với x, y  X  (λI... Theorem 1]) Cho A : D(A)  X  X toán tử quạt kiểu (ω, θ) với  θ  π(1  α / 2) Khi tồn C > độc lập với t cho: với t ≥ Một kết báo chứng minh tính chất liên quan đến dáng điệu Sα(.) sau: Mệnh đề