Trong bài báo này, các tác giả thiết lập một số kết quả tương tự Định lý thứ hai của Ritt cho tích q-sai phân dạng f n f(qz+c) với f là hàm phân hình trên một trường không-Acsimet.
Khoa học Tự nhiên Định lý thứ hai Ritt vấn đề tích q-sai phân hàm phân hình trường khơng-Acsimet Phạm Ngọc Hoa*, Nguyễn Xuân Lai Khoa Toán, Trường Cao đẳng Hải Dương Ngày nhận 29/6/2018; ngày chuyển phản biện 2/7/2018; ngày nhận phản biện 1/8/2018; ngày chấp nhận đăng 14/8/2018 Tóm tắt: Trong báo này, tác giả thiết lập số kết tương tự Định lý thứ hai Ritt cho tích q-sai phân dạng fnf(qz+c) với f hàm phân hình trường khơng-Acsimet Từ khóa: Định lý Ritt, Giả thuyết Hayman, hàm phân hình, tốn tử sai phân, trường khơng-Acsimet Chỉ số phân loại: 1.1 Ritt’s second therorem and uniqueness problems for differential and q-difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field Ngoc Hoa Pham*, Xuan Lai Nguyen Department of Mathematics, Hai Duong College Received 29 June 2018; accepted 14 August 2018 Abstract: In this paper, the authors consider linear composition polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field of the form fnf(qz+c) and establish some versions of Ritt’s second theorem Keywords: difference operators, Hayman conjecture, meromorphic functions, non-Archimedean field, Ritt’s decomposition Classification number: 1.1 Mở đầu Định lý lý thuyết số phát biểu số nguyên n ≥ biểu diễn mk dạng tích số ngun tố có dạng n = pm pk , với k ≥ 1, thừa số nguyên tố p1 , , pk đôi phân biệt số mũ tương ứng m1 ≥ 1, , mk ≥ xác định cách theo n Ritt người xét tương tự định lý đa thức Để mô tả kết Ritt, ta ký hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) tập hàm phân hình (tương ứng, nguyên) C ký hiệu L(C) tập đa thức bậc Đặt E, F tập khác rỗng M(C), hàm phân hình F (z) gọi khơng phân tích F cách viết thành nhân tử F (z) = f ◦ g(z) với f (z) ∈ E g(z) ∈ F kéo theo f tuyến tính g tuyến tính Năm 1922, Ritt [1] chứng minh định lý sau Định lý A (Định lý thứ Ritt) Cho F tập khác rỗng C[z] \ L(C) Nếu đa thức F (z) có hai cách phân tích khác thành đa thức khơng phân tích F× F : F liên =ϕ ◦ ϕ2 ngochoa577@gmail.com ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , * Tác giả hệ:1 Email: r = s, bậc đa thức ψ với bậc đa thức ϕ khơng tính đến thứ tự xuất chúng 61(6) Cũng [1], Ritt đã6.2019 chứng minh định lý sau: Định lý B (Định lý thứ hai Ritt) Giả sử a, b, c, d ∈ C[x] \ C thỏa mãn a ◦ b = c ◦ d gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = Khi tồn hàm tuyến tính lj ∈ C[x] cho Để mô tả kết Ritt, ta ký hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) tập hàm phân hình (tương ứng, nguyên) C ký hiệu L(C) tập đa thức bậc Đặt E, F tập khác rỗng M(C), hàm phân hình F (z) gọi khơng phân tích F cách viết Khoathành học Tựnhân nhiêntử F (z) = f ◦ g(z) với f (z) ∈ E g(z) ∈ F kéo theo f tuyến tính g tuyến tính Năm 1922, Ritt [1] chứng minh định lý sau Định lý A (Định lý thứ Ritt) Cho F tập khác rỗng C[z] \ L(C) Nếu đa thức F (z) có hai cách phân tích khác thành đa thức khơng phân tích F× F : F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , r = s, bậc đa thức ψ với bậc đa thức ϕ khơng tính đến thứ tự xuất chúng Cũng [1], Ritt chứng minh định lý sau: Định lý B (Định lý thứ hai Ritt) Giả sử a, b, c, d ∈ C[x] \ C thỏa mãn a ◦ b = c ◦ d gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = Khi tồn hàm tuyến tính lj ∈ C[x] cho (l1 ◦ a ◦ l2 , l2−1 ◦ b ◦ l3 , l1 ◦ c ◦ l2 , l4−1 ◦ d ◦ l3 ) có dạng (Fn , Fm , Fm , Fn ) (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ), m, n > nguyên tố nhau, s > nguyên tố với n, h ∈ C[x] \ xC[x], lj−1 hàm ngược lj ; Fn , Fm đa thức Chebychev Ở đây, phép phân tích F (z) = f ◦ g(z) phép hợp thành F (z) = f (g(z)) Do đó, ta thấy Định lý thứ hai Ritt mơ tả nghiệm phương trình a(b) = c(d), a, b, c, d đa thức bậc đa thức nguyên tố Rõ ràng phương trình đa thức Ritt nghiên cứu trường hợp riêng phương trình hàm P (f ) = Q(g), P, Q đa thức f, g hàm phân hình Để ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề xác định hàm phân hình - ứng dụng lý thuyết phân bố giá trị Vấn đề xác định nghiên cứu lần R Nevanlinna Từ đó, vấn đề xác định nghiên cứu liên tục với nhiều hướng nghiên cứu nhận kết sâu sắc Hayman người khởi xướng hướng nghiên cứu ông xem xét tập xác định đa thức vi phân Năm 1967, Hayman chứng minh kết tiếng hàm phân hình f trường số phức C khơng nhận giá trị đạo hàm bậc k f , với k số nguyên dương, không nhận giá trị f hàm Hayman đưa giả thuyết sau: Giả thuyết Hayman [2] Nếu hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện f n (z)f (z) = với n số nguyên dương với z ∈ C f hàm Giả thuyết Hayman kiểm tra với n > Clunie kiểm tra với n ≥ Các kết vấn đề liên quan hình thành hướng nghiên cứu gọi lựa chọn Hayman Cơng trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu thuộc Yang-Hua [3], hai ông nghiên cứu vấn đề hàm phân hình đơn thức vi phân có dạng f n f Hai ông chứng minh rằng, với f g hai hàm phân hình khác hằng, n số nguyên, n ≥ 11 f n f g n g nhận giá trị phức a tính bội f, g sai khác bậc n + đơn vị, f, g tính theo cơng thức hàm mũ với hệ số thỏa mãn điều kiện Mục đích báo thiết lập kết vấn đề tích q -sai phân dạng n f f (qz + c) Vũ Hoài An - Phạm Ngọc Hoa [4], Vũ Hoài An - Phạm Ngọc Hoa - Hà Huy Khoái [5], Hà Huy Khối - Vũ Hồi An [6] Hà Huy Khối - Vũ Hồi An- Nguyễn Xn Lai [7] có kết theo hướng nghiên cứu Trong báo này, chứng minh kết sau: Định lý Cho f, g hai hàm phân hình khác K, n số nguyên dương với n ≥ 13, q, c ∈ l K, |q| = Giả sử f n f (qz + c) g n g(qz + c) nhận có tính bội Khi f = với ln+1 = 1, g f = hg với hn+1 = Định lý Cho f, g hai hàm phân hình khác K, n số nguyên dương với n ≥ 25, q, c ∈ l K, |q| = Giả sử f n f (qz + c) g n g(qz + c)1 nhận khơng tính bội Khi f = với ln+1 = 1, g f = hg với hn+1 = Vấn đề nhận giá trị tích sai phân hàm phân hình trường khơng-Acsimet Trước hết, chúng tơi trình bày số định nghĩa số kết liên quan Ký hiệu K trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu | | Định nghĩa 2.1 Cho f hàm phân hình khác K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n hai số nguyên dương Hàm phân hình K xác định cơng thức f n (z)f m (qz + c) với z ∈ K gọi tích 61(6) 6.2019 q -sai phân f Bổ đề 2.2 Cho f g hàm nguyên khác K F = ,G = , L = F − G nh lý f, gĐịnh làgĐịnh hai hàm phân hình K , hình n nguyên dương n nguyên ≥ q,dương cq,∈dương Định lý Cho làgkhác hai hàm phân hình khác nvới số nguyên dương vớivới 25, lý Cho Cho f,f, ggf,là hai làkhác hai hàm hàm phân phân hình khác trên KK , ,nK ,là nsố số nguyên nn≥≥ n25, ≥ 25, q,q,ccq, ∈∈c ∈ Định lý Cho Cho f, lý hai hàm phân hình Kkhác ,là n số làhằng số nguyên dương với n 25, ≥ 25, c ∈với l l l l n+1 n+1 lbội.lbội nn n c) + n tính n n+1 = sử f,n= f= + c) gvànrằng g(qz gvà khơng Khi f =ftính với =đó 1, n1 n+1 ,|q| |q| Giả sử (qz gn1nng(qz g(qz c) nhận khơng tính Khi f1, vớivới KK,rằng K |q| = Giả Giả sử ff+ (qz f+ (qz +nhận +nhận c) gkhông g(qz ++c) +bội nhận c) nhận 11Khi không khơng tính bội Khi Khi == f =với l ln+1 ln+1 ==1,1, = 1, |q| = Giả Giả sử f(qz f (qz +sử c)rằng gfnfg(qz c)c)c) tính bội =fđó g= g với l g g g n+1 Khoa học Tự nhiên n+1 fặc=f hg với với hn+1 =hoặc 1f= n+1 f == hg vớivới = với hg hhn+1 hn+1 ==11= = hg hhoặc 1f.hg đề nhận giágiá trị tích saigiá phân hàm phân hình trường khơng-Acsimet Vấn đề nhận giá trị tích sai phân hàm phân hình trường không-Acsimet Vấn Vấn đề đề nhận nhận giá trị trị của tích tích sai sai phân phân của hàm hàm phân phân hình hình trên một trường trường không-Acsimet không-Acsimet n đề nhận trị tích sai phân hàm phân hình trường khơng-Acsimet ước hết, chúng tơi trình bày số định nghĩa số kết liên quan Ký hiệu K Trước hết, chúng tơi trình bày số định nghĩa số kết liên quan Ký hiệu một hết,hết, chúng chúng trình trình bày bày mộtvà sốmột định số số định nghĩa liên số kết số Ký kết quảhiệu liênK liên quan Ký Ký hiệu hiệu KK làK Trước hết, chúngTrước tơiTrước trình bày mộttôisốtôi định nghĩa kếtnghĩa quan quan | | gờng đóng đại số đặc số 0, đầy đủ giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu | | trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ giá trị tuyệt đối khơng-Acsimet ký hiệu trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu | | | | trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu đóng đại số đặc số 0, đầy đủ giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu | | nh nghĩa 2.1.2.1 Cho fĐịnh làfnghĩa hàm phân hình K,hình q, cq,∈khác , |q| =trên 1, m, n hai số Định nghĩa 2.1 Cho f làlà hàm phân hình khác K q,c,là cq, ,|q| |q|,nguyên =nguyên m, nlàlà hai sốnguyên nguyên Định 2.1 2.1 Cho Cho fkhác fkhác hàm hàm phân phân hình K K cKK ∈,hai K = |q| 1,1, =m, 1, nm, nhai hai số số nguyên Định nghĩa Cho lànghĩa hàm phân hình Kkhác ,m cK ∈hằng Khằng , |q| = 1,, ,q, m, n∈∈ số n n m n n m m n m ơng Hàm phân hình K xác định công thức f (z)f (qz c) với z ∈ K gọi tích nbởi m + dương Hàm phân hình K xác định cơng thức f (z)f (qz + c) với z ∈ K gọi tích dương dương Hàm Hàm phân phân hình hình trên K K xác xác định định công công thức thức f (z)f f (z)f (qz (qz + c) + với c) với z ∈ z K ∈ K gọi gọi tích tích Hàm phân hình K xác định công thức f (z)f (qz + c) với z ∈ K gọi tích phân f -sai phân củacủa q -sai phân phân ff f phân f q q-sai ổBổ đề đề 2.2.2.2 ChoCho f g hàm nguyên K Bổ đề 2.2 Cho gkhác hàm nguyên khác Bổ Bổ đề đề 2.2 2.2 Cho ff nguyên f gvà làlàgcác làhằng hàm hàm nguyên nguyên hằng trên KKvà K f g cácCho hàm khác Kkhác vàkhác 1 F111 G 11 F G F F G G F − G = , 1FL − 1G = F F, = = F = , ,GG− ,== G.Gg−1 = L F= − − ff −1 g−1 F f=−1f,−1 , G g−1 = g−1 L fF= , , LL,== F −1 −1fF−1G F F GG G G G g−1g−1 Nếu E (1) = E (1) L ≡ Nếu E (1) = E (1) L ≡ 1.g (1) Nếu Nếu EfLff(1) E≡f (1) = E=gg(1) L và≡L0≡thì gEg (1) Nếuf Ef (1) =g E 1 1 11 1 1 ) − log r + O(1), ) + N (r, g) + N (r, ) ≤ N (r, f ) + N (r, log O(1), ) + N (r, g) + N (r, T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N (r, 2 2 ) + N ))−−)log rr++rO(1), ) + (r, N g) (r, + g) N + (r, N (r, − log + O(1), T (r, T f (r, ) ≤ f N ≤ (r, N f (r, ) + f ) N + (r, N (r, 2 2 2 2 2 2 2 2 r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, gf g ) − log r + O(1), f f ) + N2 (r, g) + N ff2 (r, gg g ng có bất đẳng thức tương tự đối vớithức T thức (r, g) ; g)tự vàcũng cóbất bấtbất đẳng thức tương đốiđối vớivới (r, g); ;g); và có có đẳng đẳng tương tự với TT(r, Tg) (r, có bất đẳng thức tương tự T (r,tương ;tựđối Nếu E (1) = E (1) L ≡ ba trường hợp sau xảy ra: hợp Nếu E (1) = E (1) L ≡ bađây trường hợphợp sausau đâyđây xảyxảy ra:ra: Nếu E fL E≡f (1) = E=gg(1) E g (1) vàtrong Lvà≡Lba 0≡thì trong ba trường ba trường sau xảy ra: ff(1) gmột Nếuf E f (1) =g E gNếu (1) trường hợp sau xảy ra: 1 1 1 1 1 Ti) (r, + N + N g) + N ))N − r(r, (r, f))(r, N (r, f))+ N (r, N (r,1log g)++rg) +O(1), (r,1 (r, log O(1), 11(r, i)+ ++ ))−−)log rr++rO(1), T1 (r, fN (r, ≤ f≤)N ≤1)1(r, (r, f+)N +11(r, (r,)1)(r, +)1log N g) NN +1O(1), − log + O(1), 1(r, 1(r, 1N 1N 1− 1N T f(r,) ≤ f )N ≤1 (r, N1f(r,)i)i) fTT )(r, +11f(r, N + N + 1f (r, g) g f g f g f g f g ng có bất đẳng thức tương tự đối vớithức T thức (r, g) ; g)tự vàcũng cóbất bấtbất đẳng thức tương đốiđối vớivới (r, g); ;g); và có có đẳng đẳng tương tự với TT(r, Tg) (r, có bất đẳng thức tương tự T (r,tương ;tựđối f g ≡ 1; ii) f g ≡ 1; ii) fii) g≡ f g1;≡ 1; ii) f g ≡ 1; )iii) f ≡f g iii) f ≡ iii) iii) f ≡ fg.g ≡ g ≡ g ổBổ đề đề 2.3.2.3 ChoCho f làBổ hàm phân hình khác K hình n, kn, làk sốtrên nguyên > 2k Bổ đề 2.3 Cho hàm phân hình khác Kvà vàn, n,dương, số nguyên dương, 2k đề 2.3 2.3 Cho Cho f flàlà fmột hàm hàm phân phân hình hằng K K kkn,làdương, kcác làncác số số nguyên dương, dương, nn>> n2k > 2k f làBổ mộtđề hàm phân hình khác Kkhác vàkhác làtrên số nguyên nnguyên > 2k ó, có Khi đó, có Khi Khi đó, đó, có có i đó, có n−k n−k f n−k n−k ffn−k f n−k n (k) (k) f n )(k) (k) ) ≤ T (r, (f ) ) +(k) O(1); (n − 2k)T (r, f ) + kN (r, f ) + N (r, n (n − 2k)T (r, f ) + kN (r, f ) + N (r, )≤≤ (r, (fnnn(f O(1); 1.kN )+ )TT ≤(r, T(f (r, ))(k) ) ++)O(1); + O(1); (n − (n2k)T − f2k)T (r, ) (r, + f )nkN +(k)kN (r, f(r, )≤ + f )T N+ (r, N(f(r,n)nn(k) (n − 2k)T (r, f1.) + ) (r, ) O(1); (r, )(r, + fN (k) n (k) (k) (f (f ) n )(k) (f ) (f (f ) ) n−k n−k f n−k ffn−k f n−k f n−k ) ≤ kT (r, f ) + kN f)kT )kT O(1) N (r, (r, f))+ kN (r,1f(r, f))+ O(1) N (r, (r, ))≤≤ ≤+(r, kT f(r, f+)kN + 1kN f+)O(1) + O(1) N (r, N (r, 1(r, ) ≤ kT (r,(f f(f)nnn(f + kN N (r, (k) n (k) (f n(f )(k) n )(k) ))(k) )(k)1 (r, f ) + O(1) ổBổ đề đề 2.4.2.4 ChoCho f hàm phân hình khác K hình q, cq,hằng ∈hằng ,K |q| = Khi Bổ đề 2.4 Cho hàm phân hình khác q, cq, =1.1 KhiKhi đó Bổ Bổ đề đề 2.4 2.4 Cho Cho f flàlà fmột hàm hàm phân phân hình trên KK K cđó ∈∈đó cKK ∈, ,|q| K|q| ,= |q| =Khi f một hàm phân hình khác Kkhác vàkhác cK∈ , |q| =và 1.q, Khi f (qz + c) f (qz + c) f (qz f (qz + c) + c) f (qz + c)1.1.O(1); m(r, m(r, O(1); ))==)O(1); m(r, = O(1); m(r, f (z) ) = ) m(r, =1 O(1); (z) ff(z) f (z) f (z) f (z) (z) ff(z) f (z) f (z)) = m(r, O(1); m(r, O(1); ))==)O(1); 2.2 m(r, m(r, = O(1); m(r, ) = O(1); f (qz + c) (qz ff(qz ++c)c) f (qz + c) f (qz + c) T3.(r, + c)) =3.3 T=T(r, f(r, T(r, f(qz (r, f(z)) (z)) O(1); T f(z)) (r, f+ (qz ++O(1); c)) +O(1); c)) ==TT =(r, Tf(r, f (z)) ++O(1); + O(1); T f(r,(qz f (qz + c)) T(r, f(qz (z)) +c)) 111 1 1 1 )= N O(1); (r, N(r, (r, + O(1); =(r, N (r, ))++)O(1); ==)NN 4.4 N (r, N(r, (r, ) +)O(1); +))c) O(1); )N = N 4.(r, N (r, fff(z) f (qz + c) (z) (qz f (z) (qz + (qz ++c)c) ff(z) ff(z) f (qz + c) N + c)) =5.5.N (r, (z)) ++O(1) N f(qz c)) (r, f(z)) (z)) O(1) N5 (r, Nf(r, f(r, f(z)) (qz c)) +O(1) c)) ==NN =(r, Nf(r, f (z)) ++O(1) + O(1) 5.(r, N f(r,(qz f (qz + c)) = N(r, f(qz + ổBổ đề đề 2.5.2.5 ChoCho f Bổ làBổ hàm phân hình khác K,hình |q| =khác 1, n, m, d, k|q| làk= số đề 2.5 Cho f hàm phân hình khác K, |q| = vànguyên n,m, m, d,kkd,làlà sốnguyên nguyên Bổ đề đề 2.5 2.5 Cho Cho f f một hàm hàm phân phân hình khác hằng trên K, K, |q| =các 1, n, n, d, m, k số số nguyên f hàm phân hình khác K, |q| = 1, n, m, d, là1,1, số nguyên saosao chocho m> d, 1, >n 2k Khi dương cho m2k >d,d, dd,≥≥ 2k KhiKhi đó cho cho m > m > dđó d1,1, ≥nn1,>> n2k > 2k Khi ơng mdương >ddương d,≥dsao ≥nsao 1, > Khi m d mm m ddd(qz d + c)) + O(1); m (m − d)T (r, f ) ≤ T (r, f (z)f (qz + c)) + O(1); m d (m − d)T (r, f ) ≤ T (r, f (z)f 1.T (m − d)T (r, f(r, )(qz ≤ f )T+ ≤(r, Tf(r, fO(1); (z)f (qz (qz + c)) ++ c))O(1); + O(1); (m − d)T (r, f1 ) ≤(m (r, f− d)T (z)f c)) +(z)f m d mm m ddd(qz d + c))+ m(z)f m d+ (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, f (z)f (qz + c))+ (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, f (n − (n 2k)(m − 2k)(m − d)T − d)T (r, f (r, ) f ) kN + kN (r, f (r, (z)f f (z)f (qz (qz + c))+ + c))+ (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, f (z)f (qz + c))+ d n−k mm n−k m ddd(qz n−k m n−k (f m(f(z)f (qzd (qz + c)) m (fn−k (z)f c)) (f (f (z)f (z)f (qzd (qz ++ c)) +n−k c)) nm nd (k) nm nd (k) (z)f + c)) nm nm nd nd + c))(k) nd(qz (k))(k) nm nd (k) ) ≤ T (r, (f (z)f c)) )nm + O(1); N (r, )≤ ≤)(qz T (r, (f (z)f O(1); N (r, )(qz T+ ≤(r, T(f (r, (f (z)f (z)f (qz (qz + c)) + c)) ) ++)O(1); + O(1); (r, N (r, nd (qzN (k) N (r, ) ≤ T (r, (f (z)f + c)) ) + O(1); nm nd (k) nm nm nd nd (k) (k) nm nd (k) (f nm (z)f + c)) (f (z)f (qz + c)) (k) (z)f(z)f(qz (qz + c)) + c)) (f nm (z)f nd (qz +(fc))(f d n−k mm n−k m ddd(qz n−k m n−k (f m(f(z)f (qzd (qz + c)) m (fn−k (z)f c)) (f (f (z)f (z)f (qzd (qz ++c)) +n−k c)) (z)f + c)) N (r, ) ≤ k(m + d)T (r, f N (r, )≤ k(m d)T (r,f(r, f)+ )+ N (r, N (r, ))+ )k(m ≤ k(m ++d)T + d)T (r, f )+ nd (k) N (r, )≤ k(m + d)T (r, f≤ )+ nm nm nd (k) nm nd nd (qz (k) nd (k) (f nm + c)) (f (z)f (qz +c)) c)) nm (z)f(qz nd (qz (k) (f (z)f (z)f (qz + +(k) c)) (f(z)f +(f c))nm m d mm m≤dddk(m d + m(z)f m kNkN (z)f (qzd + c)) +1f(r, d++ (r,≤≤ f(r,)k(m + O(1) kN fO(1) (qz c)) + O(1) k(m 2)T (r,f(r, f))+ O(1) (r, f kN fO(1) (z)f (qz ++c)) + c)) O(1) +2)T O(1) ≤ ++O(1) dd+++d2)T + 2)T (r, f+)O(1) + O(1) 1(r, 1kN 1(r, c)) +(z)f ≤ (qz k(m d2)T + f )k(m + (r, f (z)f (qz + Bây giờ, cho f g hai hàm phân hình khác K thỏa mãn E f (1) = E g (1) Cho a không điểm f − với bội µ0f −1 (a), khơng điểm g − với bội µ0g−1 (a) Ta ký hiệu N1 (r, f −1 ; µ0f −1 (a) > µ0g−1 (a)) là2 hàm đếm khơng điểm f − 1, mà µ0f −1 (a) > µ0g−1 (a) 212 2 khơng điểm đếm với bội 1, ký hiệu N1,2 (r, f −1 ; µf −1 (a) = µ0g−1 (a)) hàm đếm không điểm f − 1, mà µ0f −1 (a) = µ0g−1 (a) ≥ 2, khơng 3điểm đếm với bội Bằng cách tương tự, 161(6) 06.2019 ta định nghĩa: N1 (r, g−1 ; µg−1 (a) > µ0f −1 (a)), N1,2 (r, f −1 ; µ0g−1 (a) = µ0f −1 (a)) Bổ đề 2.6 Cho f g hai hàm phân hình khác K Nếu E f (1) = E g (1), Khoa học Tự nhiên Bây Bây Bây Bây Bây giờ, giờ, giờ, giờ, giờ, cho cho cho cho ffcho fvà fvà vàvà là glà làhai hai giờ, hai hàm hàm hàm hàm cho hàm phân phân fphân phân phân vàphân hình hình gBây hình hình hình khác hai giờ, khác khác khác khác hàm cho hằng hằng fphân trên ghình K KK Bây thỏa K hai thỏa thỏa khác thỏa thỏa giờ, hàm mãn mãn mãn mãn cho mãn phân E EE (1) (1) (1) hình (1) = g=(1) =cho E = thỏa khác E = E (1) E (1) mãn (1) ghằng hàm (1) Cho Cho E phân Cho afCho aa(1) làlà alàK alà hình thỏa (1) mãn Cho E f (1) atr Bây fE g.Cho hai hàm phân hình kl Bây giờ, fggggBây ghai hai hàm hình khác K thỏa mãn E (1) a= làE gkhác ff fE fE fgiờ, f(1) g= ghai g(1) gE fK g.Cho 0000 0 0 000 0 0 0 một một không không không không không điểm điểm điểm điểm của của không điểm không điểm không điểm ffcủa ff−− f− − 1− 1f1với với 1với với bội bội bội µµbội µ µ µ (a) (a) f (a) (a) (a) , − , , , , và với là không không không bội không không µ điểm điểm điểm điểm f (a) − , của của với g g g − − g g − bội không − − với với µ với với với bội điểm bội bội (a) bội bội µ µ f , µ µ − µ (a) (a) (a) g (a) với − không (a) Ta Ta Ta bội Ta ký với ký Ta ký điểm µ ký hiệu bội hiệu ký hiệu hiệu (a) µ hiệu , (a) g − Ta không với ký bội hiệ không điểm f − với bội µ (a) , khơng điểm − 1bội với µ (a) , khơng điểm g − với bội µ (a) Ta ký hiệu g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 ff−1 f−1 f−1 −1 f −1f −1 f −1 f −1 f −1 g−1 f −1 g−1 1111 00 1 0000 10 0 0 000 00 10 00 000 0 0 10µ0(a) 0(a) NNN N (r, (r, (r, ; ; µ ; µ µ ; (a) (a) > > > > N µ > µ µ µ (r, µ (a)) (a)) (a)) (a)) ; µ là hàm hàm hàm hàm (a) hàm đếm đếm > N đếm đếm đếm µ (r, các các (a)) không không khơng ; khơng khơng µ điểm hàm điểm (a) điểm điểm điểm > đếm của µ N f f (r, f − (a)) − f − không 1, − 1, 1, mà 1, 1, mà ; mà µ hàm mà mà µ điểm µ µ (a) µ µ đếm (a) (a) (a) > (a) (a) > µ > f > µ > µ − > µ không (a)) µ 1, µ (a) (a) mà (a) (a) điểm (a) µ hàm những những (a) đếm f > − µ 1, khơng mà (a) µvà0fđiểm nhữn (a)kc N (r, ; µ (a) > (a)) hàm (r, ; µ (a) > µ (a)) hàm đếm không điểm f − 1, mà µ (a) > µ (a) 11(r, 1(r, 1N 1 1ff−1 1−1 g−1 g−1 g−1 g−1f −1 g−1 f −1 g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 đếm g−1 g−1 f−1 −1 f −1f −1 g−1 f −1 f −1 f−1 −1 fff−1 −1 −1 f−1 −1 f −1 g−1 f −1 g−1 fg−1 fff−1 f−1 −1 f −1ff−1 f −1 f −1 g−1 −1 111 11 0100 00 1 000 00 10 0 0 không không không không không điểm điểm điểm điểm điểm đó đóđó được được không đếm đếm đếm đếm đếm với với với điểm với bội bội bội bội đếm với điểm bội đếm khơng với điểm bội đếm với bội 11,1bội ,ký ,1được ký ký ,ký hiệu hiệu hiệu hiệu hiệu N NN N N (r, (r, (r, (r, (r, 1f;−1 ,;được µ;µ ký µ ;;f−1 µfµ−1 hiệu (a) (a) (a) = N == µ= µg−1 µ(r, µg−1 (a)) (a)) (a)) 1g−1 (a)) ,(a)) ;ký µ(a)) làlà hàm hiệu hàm hàm (a) hàm hàm N đếm = đếm đếm đếm µ(r, các các (a)) khơng khơng khơng ;đếm khơng 1µkhơng ,fkhơng ký điểm hàm điểm điểm (a) hiệu điểm điểm = đếm N µ11,2 (r, (a)) khơng là; µhàm điểm khơng điểm với bội ,các ký hiệu khơng điểm đếm với 1ký ,khơng ký hiệu N (r, µ = hàm đếm điểm 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 −1 f;f(a) −1 −1 fđược −1 −1 −1(( ff−1 f−1 f−1 −1ff−1 fµ−1 f −1các f −1 Nf1,2 f −1 (a) 000 0 000 0 0 0 00 fffcủa f− − − f−1, 1, − 1, 1, mà mà mà µµfµ (a) (a) (a) (a) == = f=µ= µ − µg−1 µ1,g−1 (a) (a) (a) (a) ≥≥ µ ≥ ≥2, 2, 2, 2,và 2, (a) và mỗi f= mỗi −µkhơng khơng khơng 1,khơng khơng mà (a) điểm điểm µ≥ điểm điểm 2,điểm (a) đóđó được = được µfg−1 khơng đếm − đếm đếm (a) 1, đếm đếm với mà với ≥ với điểm với với bội 2, µ bội bội bội bội 1.1.1 (a) Bằng Bằng Bằng = Bằng khơng Bằng µ đếm cách cách cách (a) cách với điểm tương tương tương ≥ tương bội 2, tự, tự, tự, Bằng tự, cách điểm bội tự đ của của của fvới − 1, mà µ (a) =tương µtự, (a) ≥không 2, với vàtương kh f1,mà − 1, mà µ = µmà ≥ 2, khơng đếm bội Bằng cách tương tự,đếm g−1 g−1 g−1 f−1 fµ −1 −1 −1 f(a) −1 f≥ −1 fđiểm −1 fvà −1 g−1 fcách −1 g−1 (a) f −1 (a)g−1 1111 01000 0 111 110 010010 0 11 0000 10 000 00 10 0 0 000 00 ta ta tađịnh định ta định định định nghĩa: nghĩa: nghĩa: nghĩa: nghĩa: ta định định ta định nghĩa: NNN N (r, (r, (r, ;;µ ;;µµg−1 ;g−1 µnghĩa: (a) (a) (a) >>> N µ> µ1fµµf(r, (a)) (a)) (a)) (a)) ,;,µN ,N ,g−1 N ,nghĩa: N N (r, (a) (r, (r, (r, (r, > N µ;(r, ;µ µ;−1 µ (a)) (a) µ,(a) = N == µ= = µ (a) µ−1 (a)) (a)) (a)) µ(a)) N (a)) µ (r, (a)) (a) ,N ;= µN µ(r, (a) >; ;µµµfg−1 (a)) µµf1,2−1 (r, (a)) ; µ0 nghĩa: (a)) (a)=,>N ta định nghĩa: (r, ;g−1 µ(a) > µ ,1,2 N (r, ;(a) µ;(a) (a) = µ 11(r, 1(r, 1N 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1(a)) 1f(r, 1g−1 1,2 g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 g−1 −1 fµ −1 fta −1 −1 f(a)) −1 f;µ fµ(r, f−1 fµ −1 f> fta −1 f;−1 −1f (a)) −1(a) f −1 g−1 (a) g−1 g−1 g−1 g−1 g−1g−1 g−1 ff−1 f−1 −1 ff1−1 −1 g−1 f−1 −1 g−1 1,2 −1 f −1, Ng1 f −1 (a)) fđịnh −1 g−1 g−1 f−1 Bổ Bổ Bổ Bổ Bổ đề đề đề đềđề 2.6 2.6 2.6 2.6 Cho Cho Cho Cho Cho fCho fffvà Bổ fvà vàvà gfggđề là glàhai 2.6 hai hai hàm hàm hàm hàm Cho hàm phân phân phân phân fphân Bổ hình hình hình gđề hình hình làkhác 2.6 khác hai khác khác khác hàm hằng Cho hằng phân ftrên K Bổ hình K gK.là K K Nếu Nếu đề Nếu hai khác Nếu Nếu 2.6 ENếu E hàm E (1) (1) (1) phân (1) = = E = fE= E hình (1) E (1) E (1) (1) gg,,Nếu (1) khác thì , ,thì hai E hàm (1) trong = phân Ehai (1) hình Nếu , thìkhác E tron = Bổ đề Cho fhằng gtrên hàm phân hình Bổ đề 2.6 ghai hai hàm phân hình khác K E (1) (1) ,một fhằng fE fE fCho f(1) g2.6 g= gK gE fmột gK f (1) f= g,thì các các hệ hệ hệ hệhệ thức thức thức thức thức sau sau sau sau xảy xảy xảy xảy ra: ra: ra: ra:ra:hệ ra: hệ thức sau xảy ra:các hệ thức sau hệ xảythức ra: sau xảy ra: hệ thức sau xảy ra:thức sau xảycác 11 1111 11 1 111 11 1 1 111 11 1 1 1.1.TT 1.g) TT(r, (r, (r, T(r,(r, ffT)f)(r, )f≤≤ )≤fN ≤ N (r, N (r, (r, (r, fff2)f1 )(r, )+ )f+ + + )TN + N (r, N (r, f2N (r, )f1f12)f≤ )(r, + )f++ N + )NN +N N (r, N (r, (r, (r, fN (r, g) )g) g) + + Tg) ++ N (r, N + N + N (r, (r, N )2(r, ≤ (r, ))+ N )+)+ )N 2(N + (r, 2(N +2(N (r, 2(N f11(r, )2(N g) + (r, (r, f+ N f1)fT)N + )f(r, + (r, + (r, + + N f(r, N )1N )(r, + (r, )≤ (r, + (r, N )) N 2(N )) + )) (r, + )) Ng) N +(r, N + f11(r, N + )1(r, N (r, f+ N (r, g) )1g) N (r, + (r, + + N (r, g) N + N (r, )+(r, N + (r, (r, N (r, ))N )(r, )(r, + − )2g− )(r, N − )g) − (r, ff)+ g) + (r, ))) +g+ 2( )N − Tf(r, N (r, )+ + (r, )+ +NN N (r,1g1(r, )N ≤ fN + )(r, + (r, g) + N fN N g) N 222 2(r, 2N 2)2(r, 2(r, 22N 2(r, 2+ 2g) 2f 2(r, 2(r, 1(r, 11 2))N 2)) 1≤ 21g) 1N 1) 1f2(N 1(r, 21(r, 2+ 2− 2N fgg2g(r, gg g2) + f1)1+ g 11 f1 f1f(r, f f1)) g 1f1f g1g1gN gg1) − fg) + f22222 2 222log log 2log log rr2rr+ + + r+O(1), O(1), +rO(1), O(1), log r + O(1), log r + O(1), log r + O(1), log + O(1), log r + O(1), và vàvà có có có cóvà bất có bất bất bất bất đẳng đẳng đẳng đẳng thức thức thức thức tương tương tương tương tương cótương tự bất tự tựđối tự đối đẳng đối với với với thức với TTTvới (r, T(r, T(r, (r, tương (r, g) g) g) có g) ;(r, ;g) ;;bất ;g) tự;đẳng thức T (r, tương g) và; cótựbất đốiđẳng với thức (r,bất g)tương ;đẳng tự đốitương với Ttự (r,đối g); với T (r, g); Tcó thức có bất đẳng thức tự đối T 2 2.2.f2 f g ≡ 1; f g ≡ 1; f g ≡ 1; f g ≡ 1; ffgfgg2 gf≡ ≡ g≡ ≡ 1; 1; 1; f1; g1;≡ 3 3.3.f3 fff≡ ≡ ≡ f ≡ g ≡ g g g f ≡ g f ≡ g f ≡ g f ≡ g f ≡ g Áp Áp Áp Áp Áp dụng dụng dụng dụng dụng các các bổ bổ bổ bổ đề đề đề đề đề trên, trên, trên, Áp trên, trên, dụng ta ta tachứng ta chứng chứng chứng chứng bổ minh minh minh minh đề minh Áp trên, được được dụng ta một một chứng kiểu kiểu kiểu kiểu bổ kiểu minh của đề của Định trên, Định Định Áp Định Định ta lýlý dụng lýthứ chứng lý lý thứ thứ thứ thứ kiểu hai hai hai minh hai hai bổ của của đề Ritt Định Ritt Ritt trên, Ritt Ritt như lý ta thứ sau: sau: chứng kiểu sau: sau: hai sau: của minh Định Ritt lý thứ sau: hai kiểu củ Áp dụng bổ đề trên, ta chứng minh Áp dụng bổ đề trên, ta chứng minh kiểu Định lý thứ hai Ritt sau: Bổ Bổ Bổ Bổ Bổ đề đề đề đềđề 2.7 2.7 2.7 2.7 Cho Cho Cho Cho Cho Cho Bổ đề Cho Bổ fCho fffBổ fvà vàvà glà glà2.7 hai hai hai hàm hàm hàm hàm hàm phân phân phân fphân phân vàphân hình hình ghình hình hình là2.7 khác khác hai khác khác khác hàm hằng hằng phân fhằng trên trên ghình K KK ,đề ,K K ,q,q, hai ,q, khác ,K c2.7 cq, q, c,∈∈ hàm cq, ∈ cBổ K ∈ K K ,Cho ,∈ K ,|q| phân K |q| ,|q| ,trên |q| = f|q| =|q| hình 1, = 1,= 1, K= cg1, ,c1, cCho = q, khác = c=c0, = hai 0, = ∈ 0, K hàm 0,0, cho ,cho cho |q| cho phân cho = K 1,hình ,hàm cq,=c khác 0, ∈ K và,hằn ch |q đề 2.7 f= gvà hai phân hì Bổ đề 2.7 fggđề ghai hai hàm hình khác c∈ K ,= 1, c0, cho m, m, m,m, nnnm, là nlàcác các các số số số nguyên số nguyên nguyên nguyên nguyên m, dương dương dương n dương dương thỏa thỏa thỏa thỏa số mãn mãn nguyên mãn mãn mãn điều m, điều điều điều điều n dương kiện kiện kiện kiện kiện n n thỏa n > n số > n > > m > m nguyên mãn m m m Khi Khi Khi Khi điều Khi m, dương đó kiện n thỏa n > mãn số m nguyên Khi điều kiện dương n > thỏa m mãn Khi điều kiện n > m Khi m, n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n > m Khi llnm l ll l n+m l nnn n nmm m mm m n nn n mmm mmm m n mm m n l m n+m n+m n+m n n+m i) i)i)i)Nếu Nếu i) Nếu Nếu Nếu i) Nếu i)+ Nếu i) ffNếu f(z)f f(z)f (z)f (qz (qz (qz (qz (qz ++ + + c).g + c).g c).g c).g (z)g f(z)g (z)g (z)f (qz (qz (qz (qz (qz (qz +++ + c) + c) c) c) = c) = c).g == 1c) = 11với 1nvới f1với (z)g với với mọi mọi (qz zzmọi (qz z∈∈ z+ ∈K ∈ K + c) K c).g = thì fNếu 1fnfthì = (z)g với = ff=f= với (z)f với (qz với zvới llNếu + ln+m ∈ (qz lc) lKn+m + = 1(z)f = 1c).g ,1= ,f,với l= 1l= 1,∈ lm ∈,1∈ l(z)g K KK K +K z.(qz l∈ K +n (z)g c) == 1fm , 1= l∈ vớiK c) l=n+m z 1∈ i)với f= (qz (qz +với i) f(z)f (z)f (qz +nn(z)g c).g (z)g (qz + = 1(z)f với zKthì ∈ K f= = với l= ,l∈ l.∈.với ∈ Kc).g ggg gg g g g nnn n nmm m mm m nn n m m mm m nn m n mn+m n+m mn+m n+m m n m n m n+m ii) ii) ii) ii)ii) Nếu Nếu Nếu Nếu Nếu ffNếu f(z)f f(z)f (z)f (qz (qz (qz (qz (qz + ii) + + + c) + c) Nếu c)= c) ==gc) = gfngnn(z)g g(z)g (z)f (z)g (z)g (z)g (qz (qz (qz (qz (qz (qz ii) ++ + + + c) + c) Nếu c) c)c) với c) với = với với fvới gmọi mọi (z)f (z)g mọi zzmọi zm∈ ∈ zz(qz ∈ (qz K ∈ K + K + thì ii) c) c) fff= Nếu = với = ff=glg = lg = lg (z)g fvới lg lg với với (z)f với zvới ll∈ (qz ln+m lK l(qz + = 1+ = 1,= 1f(z)f ,với c) ,l= 1l= 1,∈ l∈ = ,1∈ lmọi lg K K g(qz K K (z)g zK + ln+m K(qz =g+n1f(z)g ,c)= l với ∈lg K với +ln+m zc)∈ ii) Nếu fc) =thì (qz ii) f(z)f (z)f (qz + = g mm(z)g (qz + c) với zKthì ∈ K fnmọi = lg với l== ,l∈ l.∈.với ∈ K∈ c) Chứng Chứng Chứng Chứng Chứng minh: minh: minh: minh: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: nn n nmm m mm m n nn n mmm mmm m n mm n m n i) i) i) i).Từ i) Từ Từ Từ Từ i) Từ i) Từ i).1nTừ ffnfTừ (z)f f(z)f (z)f (qz (qz (qz (qz (qz ++ + + c).g + c).g c).g c).g (z)g f(z)g (z)g (z)f (qz (qz (qz (qz (qz (qz +++ + c) + c) + c) c) = c) = c).g = = 1c) = 11ta 1nta f1ta (z)g ta có ta (z)f cócó có(qz ++ c) c).g = ta (z)g fcónm(z)f (qz +Từ (qz c) f= + 1c).g tam có (z)g (qz c) =m1(qz ta +cóc) = i).m (z)f (qz + c).g+n (z)g i) f(z)f (z)f (qz +nn(z)g c).g (z)g (qz + = 1có ta có(qz nnn n n n mmm mm m n m m n m n m fff(z)g(z) f(z)g(z) (z)g(z) (z)g(z) f (z)g(z) f f (qz f (qz (qz (qz f (qz + + + + c)g(qz + c)g(qz f c)g(qz c)g(qz (z)g(z) c)g(qz + + + c) + c) c) c) f (qz = = = = 1.(1) = 1.(1) + 1.(1) 1.(1) 1.(1) f c)g(qz (z)g(z) + c) f (qz = + 1.(1) c)g(qz f (z)g(z) + c) = f (qz 1.(1) + c)g(qz + c) = 1.(1) f (z)g(z) f (qz + c)g(qz + c) = 1.(1) f (z)g(z) f (qz + c)g(qz + c) = 1.(1) Đặt Đặt Đặt Đặt lllĐặt = l= == l f= ffl(z)g(z) f(z)g(z) (z)g(z) f (z)g(z) Ta Ta Ta Ta Đặt Ta chứng chứng chứng chứng chứng l =chứng minh fminh minh (z)g(z) minh llllàlàllà làhằng Ta Đặt hằng chứng lGiả Giả = Giả Giả Giả fsử minh sử (z)g(z) sử sử trái sử trái trái trái trái l lại, lại, lại, Ta lại, lại, lllkhác chứng khác Đặt lkhác khác lkhác hằng = minh sử hằng f (z)g(z) trái Khi Khi lKhi Khi Khi lại, đó từ lTa từ từ khác (1) từ (1) chứng từ Giả (1) (1) ta (1) ta ta sửcó: ta có: minh ta có: trái có: Khi có: lại, l làl từ khác (1)hằng Giả ta sửhằng Khi tráiđó lại, từl Đặt lđó = fđó (z)g(z) Ta chứng minh l làcó: Giả = f (z)g(z) Ta minh lhằng Giả sử trái lại, lGiả Khi từ (1) ta có: 1 1 1 1 nn n n ,,lvới ,(z) llnnln(z) (z) (z) l(z) (z) == = m=m m ,,với với với với mọi = zzmọi z∈∈z∈K∈ K K K .K.,lnvới (z)mọi = zm ∈ K , vớilnmọi (z) = z ∈mKl.n (z) =, với z ∈, với K z ∈ K ,mọi l= (z) với zK ∈ llmm l (qz l(qz (qz (qz + + c) + c) c) c)c) lm (qz + c) l (qz + c) l (qz + c) lm (qz + c) l ++ (qz + c) Từ Từ Từ Từ đây đây và vàvà từ từ từvà Bổ từ Bổ Bổ Bổ đề đề đề đề đề 2.4 Từ 2.4 2.4 2.4 2.4 ta ta ta ta suy ta suy suy suy ra từ rara BổrađềTừ 2.4đây ta suy từ Bổ đề 2.4Từ tađây suy từ đềvà 2.4từtaBổ suy TừBổ đềra2.4 ta suy Từ từ Bổ đề 2.4 ta suy 11111 1n 1n 1 nnnn n n n n = = = mT = mT mT mT mT (r, (r, (r, (r, (r, l(qz l(qz l(qz l(qz + + + c)) + c)) c)) c)) c)) + + = + O(1) + O(1) + mT O(1) O(1) O(1) (r, = = = l(qz mT = mT = mT mT mT (r, + (r, (r, (r, l) c)) l) (r, l) + + l) = + l) O(1) + O(1) mT O(1) O(1) + O(1) O(1) (r, = l(qz mT + (r,c)) + O(1) O(1) = mT=(r,ml TTT(r, (r, (r, T(r,(r, llT ll)(r, )l)= =)= = nT nT (r, (r, (r, (r, (r, l)l) l) l)+ + l) + + TO(1) + O(1) (r, O(1) O(1) = )== =T= TTnT r, Tr,r, r,(r, l) + T (r, O(1) l ) = = T nT r, (r, l) + O(1) T (r, = l ) T = r, nT (r, l) + O(1) = T r, T (r, l ) = nT (r, l) + O(1) = Tl)r,+ = mT (r, l(qz + c)) + O(1) = mT (r, l) + O(1) lnT )nT = nT (r, l) +l O(1) = Tr, r, m m m m m m m m m m llll(qz l(qz (qz (qz (qz + c) + c)c)c) c) l (qz + c) l (qz + c) l (qz + c) l (qz + c) l +++ (qz + c) Điều Điều Điều Điều này này mâu mâu mâu mâu thuẫn thuẫn thuẫn thuẫn thuẫn Điều với với với với với giả giả giả giả giả thiết thiết thiết mâu thiết nnn thuẫn >> n> >m > m m m > m với .mnày giả mâu thuẫn n > mvới Điều giảnày thiếtmâu n >thuẫn m với thiếtvới n> Điều mâugiả thuẫn giảmthiết n > m Điều mâu thuẫn với giả thiết nĐiều thiết nnn n nmm m mm m nnnn n n mm m m mm m nn m m n n m m m n m n n ii) ii) ii) ii) ii) Từ Từ Từ Từ Từ ii) Từ ii) Từ fffTừ (z)f f(z)f (z)f (qz (qz (qz (qz (qz ++ + + c) + c) c)Từ = c) ==gc) = gfg(z)g g(z)g (z)f (z)g (z)g (z)g (qz (qz (qz (qz (qz (qz +ii) + + + + c) + c) c) c) c) ta c) ta = tata fcó ta có gcócó (z)f có (z)g (qz + + c) c) = ta gcó(z)g f (z)f (qzTừ (qz +fc) +(z)f ta c) = có g(qz(z)g c) tam (qz có + c) t ii) + c)(qz = g+(z)g ii) f(z)f (z)f (qz + = g (z)g (qz + c) ta có (qz n n n n m m m m m n m n m n m n m n m fff(z) f(z) (z) (z) f (z) f(qz (qz f (qz + + + c) + c) c) c)c) (z) f (qz + c) f (z) f (qz + c) f (z) f (qz + c) f (qz + c) f (z) f (z)ff(qz f+ (qz +fc) ===1.(2) = 1.(2) 1.(2) 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) g(z) g(z) g(z) g(z) g(z) g(qz g(qz g(qz + + + +c) + c) c) c)c) g(qz + c) g(z) g(qz + c) g(z) g(qz + c) g(qz + c) g(z) g(z)g(qz g(qz +g(z) c) ff(z) f(z) (z) f (z) f (z) ff(qz ff(qz (qz f(qz (qz + + c) + c)c)c) c) f (z) f (qz + c) f (z)fn(qz c)(z) 111 11 nf (qz + c) f1(qz +nc) f (z) f++ (qz + c) n nn+nf Đặt c) =.Từ + Từ ta =Từ l.Lập (z) Lập Đặt Đặt Đặt Đặt l(z) l(z) l(z) l(z) l(z) = = == = .Khi Khi Khi Khi Khi đó l(z) l(qz l(qz l(qz l(qz =++ +c) + c)c)= c) == = = Khi Đặt l(z) l(qz Từ Từ Từ c) đây = Khi vàvà (2) (2) Đặt (2) (2) ta ta l(qz ta l(z) nhận ta nhận nhận nhận + Từ nhận =nhận c) được = được l.llnKhi (z) (z) (2) l(z) l= (z) = = ta = =nhận l(qz +đây c)đóvà = Lập (2) Lập Lập ta =c) nhận đâyl Lậ (z Đặt l(z) l(qz + = Từ Đặt l(z) Khi l(qz + = Từ (2) l(z) (z) =.mKhi Lập m (qz g(z) g(z) g(z) g(z) g(z) g(qz g(qz g(qz g(qz g(qz + +++ c) + c)c)c)c) g(z) g(qz + c) g(z)g(qz + c) llmlmm (qz l(qz (qz lm(qz + (qz ++ c) + c)c) +c) g(qz + c)+ c) g(z) g(qz g(z) g(qz + c) lm (qz +c) c) + lc) luận luận luận luận tương tương tương tương tương tự tự tựnhư tự như chứng chứng chứng chứng luận chứng minh tương minh minh minh phần phần tự phần phần phần i)i)i)i)ta chứng luận i) ta ta tanhận ta nhận nhận tương nhận minh được được tự phần kết kết kết kết kết quả i)quả chứng quả tacủa luận nhận của minh ii) ii) ii) tương ii) ii).ii) phần tự kếtnhư i)quả tachứng nhận củatự ii) minh kết phần i) ta nhận ii) luận tương chứng minh phần i) ta kết nhận đ luận tương tự chứng minh phần i)nhận ta nhận kết Bổ Bổ Bổ Bổ Bổ đề đề đề đề đề 2.8 2.8 2.8 2.8 Cho Cho Cho Cho Cho Bổ đề 2.8 Cho Bổ đề 2.8 Cho Bổ đề 2.8 Cho f f f f f là một một hàm hàm hàm hàm phân phân phân phân phân hình f hình hình hình hình khác khác khác khác khác hàm hằng hằng phân trên trên f K hình K K , , q, K , q, q, , c khác c q, c ∈ ∈ c ∈ hàm K ∈ K ∈ K , , |q| K , K |q| |q| phân , , |q| = |q| = = 1, = 1, = 1, hình m, K 1, m, m, 1, f , m, n q, m, n khác n c n n ∈ hai hai hai K hai hàm , số hai số |q| số số nguyên nguyên = phân nguyên số nguyên 1, nguyên K m, hình , q, n c ∈ khác hai K , |q| số = nguyê 1, m Bổ đề 2.8 Cho f hàm phân hình Bổ đề 2.8 Cho f hàm phân hình khác K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n hai số nguyên nnn nmmm mm m n m n m m n m dương dương dương dương dương thỏa thỏa thỏa thỏa thỏa mãn mãn mãn mãn dương mãn dương thỏa mãn dương thỏa mãn nmãn nn≥≥ n ≥ ≥ m ≥ m m+ m + + +4m + 4thỏa Khi 4+ Khi Khi 4Khi đó đóđó ffnnffnđó (z)f ≥ f(z)f (z)f (z)f (z)f +(qz (qz (qz 4(qz (qz +Khi ++ + c) + c)c)c) nhận c) nhận nhận n nhận nhận f≥ (z)f mọi m mọi + giá giá giá (qz 4giá trị trị Khi trị + trị trị aac) ađó khác khác aakhác nhận khác fakhác không n (z)f không không ≥ không không m giá thuộc (qz thuộc + thuộc thuộc 4trị + thuộc thuộc Khi c) K aK K khác nhận m K K.+ giá thuộc (qz trịfa+ K khác c) nhận khôn dương thỏa mãn nK ≥ 4n (z)f Khi (z)f (qzm dương thỏa nm ≥ Khi fm (z)f (qz + c) nhận giá trị khác không fkhông nnn nn nmmmmmm n m Chứng Chứng Chứng Chứng Chứng minh minh minh minh Do Do Do Do Do f f f f khác khác f khác khác Chứng khác hằng hằng minh và và Bổ Bổ Do Bổ Bổ Bổ đề đề đề f đề đề 2.4 khác Chứng 2.4 2.4 2.4 2.4 ta ta ta ta có ta có minh có có f có f (qz f (qz f (qz f (qz (qz Do + Bổ + + c) + c) f đề c) khác c) khác khác 2.4 khác Chứng ta hằng hằng có hằng f minh Đặt Đặt (qz Đặt Bổ Đặt Đặt + F F F Do đề c) = F = F = khác 2.4 f = f = f khác (z)f f (z)f ta f (z)f (z)f có (z)f (qz f (qz (qz (qz Đặt (qz + (qz + + + c) + c) F Bổ c) c) + c) Ta = Ta khác c) đề Ta f Ta 2.4 Ta (z)f ta có (qz Đặt f (qz + F c) +.= c Chứng minh Do f khác Bổ đề 2.4 taT Chứng minh Do f khác Bổ đề 2.4 ta có f (qz + c) khác Đặt F = f (z)f (qz + c) Ta thấy thấy thấy thấy rằng rằng mọi mọi cực cực cực cực điểm điểm điểm điểm thấy điểm của của cực điểm thấy điểm thấy FFcủa Fhoặc Fhoặc làlà làcực cực cực cực cực điểm điểm điểm điểm điểm của Fcủa của ffcủa ,f,cực fhoặc ,fhoặc ,hoặc ,làfhoặc làlà cực điểm cực cực cực điểm điểm F điểm điểm điểm fcủa , fcực fcủa (qz fcực (qz (qz ffđiểm (qz (qz + điểm + cực c) + c)c) + ;của ;c) ;điểm c) mọi ;c) ;mọi F;mọi không fkhông không , không không fcủa điểm (qz điểm điểm làcực điểm cực điểm c) điểm ;điểm của không (qz điểm + thấy cực điểm F+ cựcf ,fđiểm c thấy cực điểm F cực điểm ,cực cực điểm f+ (qz + không điểm F FFcủa Fhoặc F hoặc làlàkhông không không không không điểm điểm điểm điểm điểm F điểm của ffcủa ,flà , ,fhoặc không ,hoặc làlà làkhông điểm không không không Flà không điểm điểm điểm điểm điểm flà,điểm không của của ffcủa (qz flà (qz f(qz điểm không (qz + c) F + c) c) c) c) điểm Áp Áp Áp f.c)Áp ,Áp dụng dụng dụng dụng không Định flà Định Định (qz Định không Định điểm + lýlýlý lý lý điểm Áp thứ fdụng thứ thứ ,điểm thứ hai thứ hai fthứ hai Định (qz hai và hai + không c) Áp điểm dụng hai Định fv( của của của Fdụng làc) không flývà ,vàchính làthứ khơng F khơng fhoặc , không f++ (qz + dụng Áp Định lý hai kết kết kết kết hợp hợp hợp hợp hợp với với với với với Bổ Bổ Bổ Bổ đề đề đề đề 2.5 2.5 2.5 2.5 kết 2.5 ta ta ta ta hợp nhận ta nhận nhận nhận nhận với được Bổ đề 2.5 kếttahợp nhận với Bổ đề 2.5 ta kếtnhận hợp với kết Bổ đề nhận hợp2.5 vớitaBổ đề 2.5 ta nhận kết hợp với Bổ đề 2.5 ta nhận 111 1n1 m 111 111 n 1n nnnnn nmmmm m m n m TTT(r, (r, (r, T(r,(r, ffT f)f)(r, )f= =)=f(n−m)T = (n−m)T (n−m)T (n−m)T (r, (r, (r, T(r,(r, fff)+O(1) )+O(1) )+O(1) f ))+O(1) (n−m)T ≤≤≤ ≤T≤ TT(r, T(r, T(r, (r, T (r, f(r, ff(r, f(r, (z)f f(z)f f(z)f f)+O(1) (z)f )= (qz (qz (qz (n−m)T (qz (qz +c)) +c)) ≤ +c)) +c)) +c)) T +c)) (r, ≤≤≤ (r, N ≤ fNN f1≤ (r, N (z)f )+O(1) (r, (r, F (r, F f1F)+N )(r, )+N F(qz F )+N =)+N )+N ≤ +c)) r, (r,r, ≤ N +N (r, +N (z)f +N +N f1+N (qz )+N r, +c)) ≤ −−(r, −N−1+N f− (r, F r,Tm(r, (qz1f+c)) r,(z)− (r, fr,f)r, = (n−m)T fT )+O(1) )(n−m)T = (n−m)T (r, f=)+O(1) ≤ T f(z)f (z)f (qz F(n−m)T +N r,(r, −(z)f 1T 1(r, 11N 1)+N 1T1T 1r, 1r, (r, ≤r, 1)+O(1) 1Fr, 1r, r, 1≤)+N 1 r, FFFFFF FFF− F −− Fa− aa−a−Faa F −a F F 11111 111 1 111 11 11 11 1 (r, (r, (r, (r, F FF1F)+N )+N )+N F)+N )+N (r, ff1(qz+c))+N f≤ (qz+c))+N (qz+c))+N f(qz+c))+N (qz+c))+N (r,log F )+N r, (r, r, +N +N (qz+c))+N +N +N +N (r, r, r,Fr, (r, f+N +N (qz+c))+N +N +N +N +N r,1r,r, (r, r, r,−log −log −log −log +N +N r+O(1) fr+O(1) r+O(1) (qz+c))+N r+O(1) r,r, ≤≤≤ r, +N r+O(1) +N log log log log r+O(1) r+O(1) r+O(1) r+O(1) r+O(1) ≤ ≤≤N ≤ NN N log r+O(1) Nf1(qz+c))+N r+O(1) ≤ N log ≤ N (r, F (r, f≤ (qz+c))+N log r+O(1) ≤ N (r, F1)+N (r, r, r,1r+O(1) r,1)+N −log r+O(1) log r+O(1) 11≤ 1(r, 1N 1(r, 1(r, (r, 1111r, 1r, 1r, 111+N 11r, 1r, 1111+N 1r, (r, 1r+O(1) 1)+N 1≤−log r, r, ≤ 1−log 1≤ f )+N 1r,F fffff f ff(qz f(qz f(qz (qz + c) + c)c) f c) c) c) FFfF− (qz F −F −a− a− a+a−c) af a fF(qz − a+ c) f F− f++ (qz + F 1111 1 1 1 4T 4T 4T(r, 4T (r, (r, (r, (r, fff)f))(r, )+ f+ ++ )N +N + (r, f− )+ ) +r + N r,r, −)log − log log log rNrr+ r+O(1); r, + O(1); O(1); O(1); logNr1 +r,O(1); 4T (r, − flog r, f ) + N1 −r,log r + O(1); 4T1O(1); (r, − log r + O(1); 4T fN )11N + N r, (r,−f− − log rO(1); +4TO(1); r, 1r, 1+ 4T FF F− F − − −a− aaa a− a F −a F −a F −a F −a F Suy Suy Suy Suy ra rara Suy Suy Suy Suy Suy 11111 1 1 (n (n (n (n− (n − −−m m − m m− m −−4)T − 4)T 4)T 4)T (r, (r, (r, (r, fff)f)(r, ))+ f(n + + + )log log − log rm rr≤ ≤ − r≤N ≤ N 4)T N (r, r, r,r, (n +− log− m −− r− log − log ≤ log log 4)T log rNrr+ rr+ (r, O(1) r, + + O(1) fO(1) )+ (n log− − rm ≤ logN −r14)T +(n r,O(1) (r, f )− +4)T log − log r ≤rf )+ N+ r, r ≤ N1 −r,log r + O −m (r, log (n − m −(r, 4)T f+ ) log + log rN N − log rO(1) + O(1) 11≤ 11r, 1r, 1+ 1O(1) 1f )r, FFFF− F −− a− aaaa− a F −a F −a F −a − F −a F 61(6) 6.2019 33333 3 3 F không điểm f , không điểm f (qz + c) Áp dụng Định lý thứ hai Trường hợp A.B = tức f n f (qz + c).g n g(qz + c) = kết hợp với Bổ đề 2.5 ta nhận 1 ln+1 = T (r, f ) = (n−m)T (r, f )+O(1) ≤ T (r, f n (z)f m (qz +c)) ≤ N1 (r, F )+N1 r, +N1 r, − F f n f (qz F+ − c) a = g n g(qz + c) Trường hợp A = B tức 1 Khoa học Tự nhiên +N +N1 r, −log r+O(1) ≤ log r+O(1) ≤ N1 (r, F )+N1 (r, f (qz+c))+N1 r, hn+1 r,= f f (qz + c) F −a Chứng minh Định lý m + suy ra4T N1(r,r,f ) + N r, khilog r rtiến ∞ Vậy f n (z)f m (qz + c) nhận giá trị a tiến 1ra ∞ − + O(1); Ta dùng ký hiệu Định lý F − a1 F −a minh định lý Áp dụng Bổ đề 3.6 [5] cho A, B ta cần xét trường hợ Suy 1 ng minh Định lý T (r, A) ≤ N (r, A) + N r, + N2 (r, B) + N Trường hợp (n − m − 4)T (r, f ) + log r ≤ N r, − log r + O(1) 2 A − ta a có trường hợp sau: = f n f (qz + c) B = g n g(qz + c) Áp dụng Bổ đề 3.2F[7] 1 11 1 N (r, B)1 + N r, − log r + O(1) m 1log mnTa n tiến n m m m m(qz + c) nhận ng hợp T (r, A)nTừ N (r, + N r, + N (r, B) + N r, r∞ +f O(1) có Từ n ≥ m + suy N−r1∞ r, r+ tiến Vậy f nn(z)f 2+ 2 Từ Từ Từ n≤ ≥ ≥ ≥nm m m≥ + +m 444A) suy + suy suy 4rasuy ra N2N N r, N r, r, r, tiến ∞ ∞ ∞ r khi ∞ tiến rra tiến tiến ra Vậy ∞ Vậy ∞ Vậy (z)f Vậy ff n(qz (z)f (z)f +(z)f c) (qz (qz nhận (qz + c) giá c)+ra nhận nhận trị c)∞.anhận giá giá trị giá trị aatrị a tiến tiến tiến ra Bf∞ 11 A 1 tiến Brkhi F − a F − F a − a F − F a − a n n Đánh giá tương tự , A) = N2 r,Chứng f fChứng (qz minh + c)minh ≤ N (r, định f lý ) +chính N2chính r, f (qz minh + c) ≤ 2N +N r, f (qz + c)trong ≤ Định lý ta có 2định Chứng định (r,lýf )chính Chứng Chứng minh minh các định định lý lý chính lý + T r, f (qz + c)Chứng +Chứng O(1) =minh 2T (r, fĐịnh ) lý + (r,1 f ) +Chứng O(1) =minh 3T (r,Định f ) + lý O(1); N1 ≤ 3T (r, f ) + O(1) (r, A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r, Chứng Chứng minh minh minh Định Định Định lý lý 1.T1 lý A nnn n n nn Đặt + c) B = g nng(qz + c) Áp dụng Bổ đề 3.2 [7]1ta có trường hợp sau: n A = f nnf(qz A A A= = =A fff= f(qz fff(qz (qzf+≤+ (qz + c)N c) c) và B c)B = B và= g=Bg(qz g= g=g(qz g(qz g+ c) + Áp c) c)+ dụng Áp Áp c) dụng Áp dụng Bổ dụng đềBổ Bổ 3.2đề đề Bổ [7] 3.2 đề ta có 3.2 [7] ta ta [7] trường có ta cór,fcác trường hợp trường trường sau: hợp hợpNhợp sau: sau: sau: ≤ 3T (r, f ) + O(1) Đặt Đặt ĐặtĐặt = N2 r, r, N r,+ ≤ 2N r,[7] =có Ncác r, 2+và g(qz 13.2 N (r, B) ≤ 3T (r, ) + O(1); r,≤ n n n n f f (qz + c) f f f1(qz 1+ f1 A c)1 11 1f1 f (qz + c)2 B Trường (r,N A) ≤2B) N (r, A) +N +rrlog N+ B)O(1) +Ta N22có r, có − log r + O(1) 22r,r, 22(r, Trường Trường Trường Trường hợp hợp hợp1.hợp 1.T T (r, T1 (r, (r, A) TA) A) (r, ≤≤ N ≤ A) (r, N≤ A) (r, N2A) + A) (r, N+ + A) N r,+ N r, r,2+1.r, NT2+ + (r, N B) + (r, + N N B) (r, + B) r, N N+ − r, r,N r− + − log O(1) log − + Ta rO(1) O(1) có + Ta có Ta 2N 22(r, N 22 hợp 22(r, 222+ 22có 2log + O(1) Mặt khác, ta B A A A A B B BA B nn n n = nn N n r, f nnf(qz + c) ≤ N (r, f nnn) + N r, f(qz + c) ≤ 2N (r, f) + N r, f( ự ta có N2 (r, (r, A) 22N 22r, 22+ 111 (r,≤ A)c) ≤1c) N (r, ) 1f+ r,++ fr, (qz =+Nc) f ) + N1 r, N N222(r, (r, (r, NA) A) A) (r,== A) =NN N r, r, f n2fff(qz r,fff(qz (qz +f c) (qz + + c) c) ≤ +N c) ≤ ≤ N ≤2f2(r, (r, N ) 2f+ f(r, N ))f2+ + )N Nf(qz + r, r,2f+ fN(qz (qz r, c) f (qz + + ≤ c) 2N + ≤ (r, ≤2212N f) 2N ≤+ (r, (r, N f(r, r,))N f(qz + f1 )N N r, N c)ff(qz (qz r,+ ≤fc) (qz + + c) c) ≤ ≤ f (r, 2= 22r,N 22 N 1f 12N , B) ≤ 3T (r, 2T f2T ) + O(1); 2T (r, f) + T r, f(qz + c) + O(1) = 2T (r, f) + T (r, f) + O(1) = 3T (r, f) + O(1); Tf(r, fO(1) )(r, + T3T r,(r, f f(qz + c)+ O(1); + O(1) = T (r, f ) + T (r, f ) + O(1) 2T(r, (r, 2Tf) ff(r, ))++ + fTT )T+ Tff(qz r,r, r,f(qz (qz r, + f+ (qz + c)c) c)+ ++ O(1) c) + O(1) O(1) +=O(1) 2T = =(r, 2T 2T =f) (r, (r, 2T +ff(r, T))(r, + + fT )f) T+ (r, (r, +TfO(1) f≤ (r, )) + + O(1) )= O(1) +3T = =f) 3T =+ (r, 3T O(1); f(r, )) + f O(1); )O(1); 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 11 1 1 1 r, ≤ 3T (r, f )N + O(1) NN222= r,r,N ≤ ≤ 2N r,≤ 221 1r,r, 212 1r, 22 N ≤ +N N 2T11(r,r,f )≤ N N =NN N r, r,2n nr, ≤ N≤ ≤ N r, r,2==nr, = N= r, r,12 r, r, ≤NN 2N ≤ ≤ r,nn2N 2N ≤= 2N r, r, N r,r,= = N N= r, N r, nr, ≤+=O ≤ r, r,2 r,== 2= 22r,N 22 N 2n N 11= 222 r, n n B n n n n n n n n n n n n n +ffc) A (qz + AA A A f fff(qz fff(qz (qz +fc) + (qz + c) c)+ c) A f ff f ff f(qz f(qz c) (qzf + (qz + c) c)+ c)fff c)fff(qz (qzf + (qz + c) c)+ fc) ff++ffc) f(qz ff ffff(qz bất đẳng thức Bổ đề 2.5 ta nhận 3T (r, f) + O(1) 3T 3T 3Tf) ff(r, ))++ fO(1) O(1) )O(1) + O(1) 3T(r, (r, + Tương tự, ta có 1)T (r, f ) ≤ T (r, A) + O(1) ≤ T (r, f ) + T (r, g) −tựlog Tương ta rcó+ O(1); Tương Tương Tương Tương tự tự tựta ta ta tự cócó có ta có N1 (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N1 r, ≤ 2T (r, f ) + O(1) 1)T (r, g) ≤ T (r,N B) + O(1) ≤ T (r, f ) + T (r, g) − log r + O(1) N222(r, (r, (r, NB) B) B) (r,≤≤ B) ≤3T 3T 3T ≤ (r,(r, (r, 3T f)ff(r, + )) + O(1); + f O(1); )O(1); + O(1); N22(r, B) ≤ 3T (r, f) + O(1); B ó Từ bất đẳng thức trên, ta có 111 N22 r, ≤ 3T (r, f) + O(1) N N22g) N r, r,2≤ r, ≤ ≤ ≤3T 3T 3T ≤ (r,(r, (r, 3T f)Tff+ (r, )) + O(1) + fB) O(1) )O(1) ++O(1) r, 1) T (r, f ) + T (r, T (r, A) + (r, O(1) ≤ 12 T (r, f ) + T (r,(ng)− − (r, logfr)+≤O(1); 1)T 14T (r, f ) + 10T (r, g) − log r + O(1), B BB B B Từ bất đẳng thứcđược (n − Bổ1)T đề (r, 2.5 g) ta ≤ nhận Từ Từ Từ Từ cácg) bất bất bất+ đẳng bất đẳng đẳng thức thức thức trên vàtrên và BổBổ Bổ đề đề 2.5 đề Bổ2.5 ta 2.5 đềnhận ta 2.5 ta nhận nhận ta nhận được 14Tđược (r, f ) + 10T (r, g) − log r + O(1) 13) T (r, f ) + T (r, logđẳng rthức ≤ O(1) (n − 1)T (r, f) ≤ T (r, A) + O(1) ≤ T (r, f) + (n (n− − − (n 1)T 1)T 1)T −(r, (r, 1)T (r,f)ff(r, )≤ )≤ ≤ fT )(r, TT≤ (r, (r, A) TA) A) (r, + O(1) + + A)O(1) O(1) +≤O(1) 6≤ ≤T6(r, 6≤TTf) 6(r, (r, + TffT (r, ))(r, + + f g) T )T+ (r, (r, −Tg) g) log (r, g) r−+log log − O(1); rrlog + +rO(1); O(1); + O(1); T (r, g) − log r + O(1); Do − 13 nên ta gặp mâu thuẫn (r, g) ≤ (r, B) O(1) ≤ T f)l + T (r, g) − log r + O(1) (n (n− − − (n 1)T 1)T 1)T −(r, (r, 1)T (r,g)g) g) (r, ≤≤ ≤ Tg)(r, TT≤ (r, (r, B) TB) B) (r, + O(1) + + B)O(1) O(1) +≤O(1) 6(n ≤ ≤T− 6(r, 6≤1)T 6(r, TTf) (r, + TffT (r, ))(r, + + f g) T )TT+ (r, (r, −Tg) g) log (r,+ − g) r−+ log log − O(1) rrlog + +6rO(1) O(1) +(r, O(1) với ng hợp A.B = tức f n f (qz + c).g n g(qz + c) = Theo Bổ đề 2.7i) suy f = Do đó, có g Do Do Do đó, đó, Do đó,có có đó, có có − 1) T+ (r, f) ++ TO(1) g)≤ Tf)(r, A) Tg) B) + ≤ 12 T+(r, f)O(1); + T (r, g) − log (n (n− − − (n 1) 1) 1)−TTT1) (r, (r, (r,f) Tff(r, )+ )+ + Tf (r, T )T+ (r, (r, g)Tg) g) (r, ≤ T≤ g) ≤(r, TT≤ A) (r, (r,(n T+ A) A) (r, T+ (r, + A)TTB) (r, (r, + TB) B) (r, O(1) B) O(1) ≤(r, +12O(1) ≤ T≤ (r, 12 12 ≤ TT 12 + (r, (r, TTf(r, f+ (r, )) + + f(r, T )T− + (r, (r, 2Tg) log g) (r,O(1) r− g) −+22O(1); − log log 2rrlog + rO(1); O(1); + n n ng hợp A = (n B tức làT13) f(r, ff) =g) g(qz c) Theo 2.7ii) = hg với − TO(1) (r, Bổ f) +đềT (r, g) +suy logra r ≤f O(1) (n− − − (n 13) 13) 13) − TT (r, (r, T(qz ff(r, + )) + + T+ f(r, T )Tc) + (r, (r, g)T g) (r, +glog + g) + log log r+ ≤(n r+ rlog O(1) ≤ ≤ r13) O(1) O(1) ≤ Do n ≥ 13 nên ta gặp mâu thuẫn Do Do Do nDo n≥ ≥ ≥n13 13 13 ≥nên nên nên 13tanên ta tagặp gặp gặp tamâu gặp mâu mâu thuẫn mâu thuẫn thuẫn thuẫn ng minh Định lý ll l nn n hợp nA.Bn = tức f nnf(qz + c).g nng(qz + c) l= Theo A.B A.B A.B = = tức 11=tức tức ftức f(qz ffTrường fff(qz + (qz fc).g (qz + +nc).g c).g g(qz +2 nc).g g(qz + g(qz c)g(qz + = + c) 1c).+Theo = = c)11= Bổ Theo Theo 1.đềTheo 2.7i) Bổ Bổ đề Bổ đề suy2.7i) 2.7i) đềra 2.7i) fsuy suy = suy ravới ffra= =f =Bổ với vớiđề với2.7i) suy Trường Trường Trường hợp hợp hợp2.hợp 2.A.B = dùng ký hiệuTrường Định lý gg g g n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 = 1.hợp sau: dụng Bổ đề 3.6 [5] lln+1 l= = =cho 1 1.=A, B ta cần xét ltrường n n nnTrường nn= B n tức f nnf(qz + c) 1A 1suy hợp = g(qz c).fvới Theo Bổvới đề với 2.7ii) suy Trường Trường Trường Trường hợp hợp hợp hợp 3 AN A A3 == = B A B B tức = tức tức B N tức flà (r, f(qz fflàB) fff(qz (qz +n+fc)N (qz + += c) c)+ g n= = g(qz c) gg= g(qz + g(qz g2c) g(qz + + Theo c) c) +A) Bổ Theo c) Theo đề Theo Bổ 2.7ii) Bổr,đề Bổ đề 2.7ii) 2.7ii) đềg+ ran2.7ii) fsuy suy =+suy hg fra = =f hg hg = hg với A) ≤ N (r, A) + r, + r, (r, + N ờng hợp T (r,n+1 + N 2 2 1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 = h A B A hh h= = =111 = 1 Chứng Chứng Chứng Chứng minh minh minh Định Định Định Định lýlý lý 2 lý Chứng minh Định lý ) + N1 r, − log r +minh O(1) B Ta1 dùng Ta Tadùng dùng Ta dùng cáckýcác ký hiệu hiệu kýtrong hiệu Định Định lýĐịnh 1.lý lý lý ký hiệu Định lý Ta dùng ký hiệu Định tương tự Định lý ta có Áp dụng đềtrường 3.6 [5]hợp cho A, Bhợp ta cần xét trường hợp sau: Áp dụng Bổ A, B ta cần xét trường hợp sau: Áp Ápdụng Áp dụng dụng Bổ Bổđềđề đề Bổ 3.6 đề [5][5] 3.6 [5] chocho cho [5] A, cho B A,ta B A, ta Bchỉ cần ta xét cầnBổ cần xét xét trường trường sau: hợp sau: sau: 13.63.6 , A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r, ≤ 3T (r, f ) + O(1) 11 1 11 1 111 T(r, (r, +N hợp 1.2+ N11(r, A)+N 2r, 22N1r, 221(r, 22N Trường hợp (r, T1 (r, (r, A) TA) A) (r, ≤≤ N ≤ A) (r, N≤ A)+N (r, N2A) A) (r,Trường + + N N r,+ r, r,2+N r, +(r, N N B)+N + (r, (r, N≤ B) B) (r, + N N+ r, r,22 r, (r,22A)+N (r, A) A) (r, r,B)+N + + A) N N+ r, r,r,1 r, + + +2 + Trường Trường Trường hợp hợp1.hợp 1.TAT + + + +N N211(r, N 2N 22(r, 2A) 22 N 22A) 2N+ 2B) 2A)+N N 11+ B A B A A A A A B B BA A A , B) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r,1 11 ≤ 1 3T (r, f ) + O(1) B B) + N11 r, − log r + O(1) 11(r, N N N11(r, NB) − − − log 22− log log r 2+rrlog O(1) + +rN O(1) O(1) + O(1) (r, B) B) (r, + + + B) N N N + r, N r, r, r, 1 11 B BB B B c, ta có giá n Đánh Đánh giá giá1tương tương giá tương tựtự tự+ như tựtrong trong Định Định lýĐánh Định 1lý lýta11có lý ta ta1tương có có ta cótự Định lý ta có , A) ≤ N1 (r, Đánh fĐánh ) +giá N r, f tương (qz c) = NĐịnh (r, f ) + N1 r, f (qz + c) 1 11 N A) ≤ 3T (r,ffO(1) f) O(1); N22 r, ≤ 3T (r, f) + O(1) ) + T r, f (qz + N c) + O(1) = T(r, (r,ff(r, f)) )+ T fNr,)22+N = 2T (r, +f+O(1) N222(r, (r, (r, NA) A) A) (r,≤≤ ≤ A) 3T 3T 3T ≤ (r, (r, 3T f) + O(1); + f+O(1); )O(1); +(r, NO(1); r, r,O(1) ≤r,3T ≤ ≤(r, 3T 3T ≤ f) (r, 3T + (r, )) + )O(1); O(1) + O(1) 2N 222(r, A A A A A 1 1 11 O(1) r, ≤ N1 r, N + N r,3T ≤ 2T (r, f1N )222+ 1≤ N (r, B) ≤3T 3T (r,ffO(1) f) + O(1); N22 r, ≤ 3T (r, f) + O(1) N N ≤ 3T ≤ ≤ (r, 3T ≤ f) (r, (r, 3T + (r, ) ) + + f O(1) ) O(1) + O(1) (r, (r, (r, B) B) B) (r, ≤ B) ≤ 3T 3T ≤ (r, (r, (r, 3T f) f f (r, + ) ) + O(1); + f O(1); ) O(1); + N O(1); N N r, r, r, r, n 2 2 2 A f f (qz + c) B B B B B Mặt khác, ta có ự, ta có Mặt Mặt MặtMặt khác, khác, khác, khác, ta ta tacócó có ta có nn n nn n Nfc)11+ (r,= A) f(qz 111(r, N N11O(1); (r, (r, NA) A) A) (r, ≤≤ ≤ A) NN N (r, (r, N f 1ff)(r, f+ N +1N )(r, Nr, + f(qz N r, r, f(qz (qz r, + (qz + c) c) +N= c) =(r,N Nf) = (r, (r, N +f1fN f(r, ))1)+ + r, fN )N f(qz + N r, r,+ c) (qz r, f++ (qz +c)c) c)+=c)N11(r, f) + N11 r, f(qz + c) 1(r, 1≤ 11(r, 11f 1≤ 1111 r, 1ff(qz , B) ≤ 2T (r, f ) + N ≤+))2T ) 1f+ O(1) r, B ≤O(1) r, f(qz ++2T O(1) = (r, (r,O(1); f) + O(1) = 2T (r, f) + O(1); ≤ ≤ ≤ TT≤ (r, (r, (r,Tf) ff(r, ))++ + fTT )T+ r,r, r, f(qz Tff(qz (qz r,+ f+ (qz + c) c) c)+ + O(1) + c) + O(1) O(1) += TT= = (r, (r,TTf) f) = (r, (r,+ T +ff(r, T)T)(r, + + fT )f) T + (r, (r, +TfO(1) f+ (r, ))c) + + f O(1) )= O(1) O(1) (r, = =f) 2T 2T =T+(r, (r, 2T O(1); fff) (r, )) + +f T O(1); )O(1); + bất đẳng thức trên, ta có 1 111 1 11 1 11 1 N r,(r, ≤ 2T (r, f) + O(1) 11 r, 112T 11 +r,O(1) N N r, r, r,)1+r,10T ≤≤ ≤N(r, N N r, r,− r,+ N + +1rN N r, + N r, r,1Nr, ≤ ≤2T≤ ≤ (r, 2T f) ≤ (r, + 2TO(1) ff(r, ))++ + fNO(1) )O(1) 1)T (r, f ) ≤ 14TN (r, g)N log + 111 f 1≤ 11r, 11 O(1), A c) f nn f(qz + c) A A (qzfc)+ (qz + c)+ c) AA f nffnn f n f(qzff(qz + 1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) − log r + O(1) Tương tự, ta có Tương Tương Tương Tương tự, tự, tự,ta ta tự, tacócó có ta có 1 11 N B) ≤2T 2T (r,ffO(1) f) + O(1); N11 r, ≤ 2T (r, f) + O(1) 11(r, N N111(r, (r, (r, NB) B) B) (r,≤≤ B) ≤2T 2T 2T ≤ (r,(r, (r, 2T f)ff(r, + ) ) + O(1); + f O(1); ) O(1); + N O(1); N N r, N r, r, ≤ r, 2T ≤ ≤ (r, 2T ≤ f) (r, (r, 2T + (r, ) ) + + f O(1) ) O(1) + O(1) 1 1 61(6) 6.2019 B B B B B Từ Từ Từ các Từ cácbất bất bấtđẳng bất đẳng đẳng đẳng thức thức thức trên, thức trên, trên, ta trên, ta có ta có có taTừ có bất đẳng thức trên, ta có 1)T (r, f) ≤ 14T (r,O(1), f) + 10T (r, g) − log r + O(1), (n (n− − − (n 1)T 1)T 1)T −(r, (r, 1)T (r,f)ff(r, )≤ )≤ ≤ f14T )14T 14T ≤(r,14T (r, (r, f) f+ f(r, )4)10T + + f 10T )10T (r, +(n g) 10T (r, (r,− −g) g) (r, 2− log −g) 22r− log log +2O(1), rrlog + + rO(1), O(1), + Đánh giá tương tự Định lý 1ta có N N22 (r, (r, A) A) ≤ ≤ 3T 3T (r, (r, ff )) + + O(1); O(1); N N22 r, r, A ≤ ≤ 3T 3T (r, (r, ff )) + + O(1) O(1) A 11 N N22 (r, (r, B) B) ≤ ≤ 3T 3T (r, (r, ff )) + + O(1); O(1); N N22 r, r, B ≤ ≤ 3T 3T (r, (r, ff )) + + O(1) O(1) B Khoa học Tự nhiên Mặt khác, ta có Mặt khác, ta có n N N11 (r, (r, A) A) ≤ ≤N N11 (r, (r, ff n )) + +N N11 r, r, ff (qz (qz + + c) c) = =N N11 (r, (r, ff )) + +N N11 r, r, ff (qz (qz + + c) c) ≤ T (r, f ) + T r, f (qz + c) + O(1) = T (r, f ) + T (r, f ) + O(1) = 2T (r, ≤ T (r, f ) + T r, f (qz + c) + O(1) = T (r, f ) + T (r, f ) + O(1) = 2T (r, ff )) + + O(1); O(1); 11 11 11 N1 r, ≤ N1 r, + N +N N11 r, r, f (qz + c) ≤ ≤ 2T 2T (r, (r, ff )) + + O(1) O(1) r, A ≤ N1 r, f n A fn f (qz + c) Tương Tương tự, tự, ta ta có có 11 N (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N r, 1 N1 (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N1 r, B ≤ ≤ 2T 2T (r, (r, ff )) + + O(1) O(1) B Từ bất đẳng thức trên, ta có Từ bất đẳng thức trên, ta có (n (n − − 1)T 1)T (r, (r, ff )) ≤ ≤ 14T 14T (r, (r, ff )) + + 10T 10T (r, (r, g) g) − − 22 log log rr + + O(1), O(1), (n − 1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) − log r + O(1) (n − 1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) − log r + O(1) Do Do đó (n − 25) T (r, f ) + T (r, g) + log r ≤ O(1) Mà n ≥ 25 nên trường hợp không xảy 44 l n n với Trường hợp A.B = tức f f (qz + c).g g(qz + c) = Theo Bổ đề 2.7i) suy f = g ln+1 = Trường hợp A = B tức f n f (qz +c) = g n g(qz +c) Theo Bổ đề 2.7ii) suy f = hg với hn+1 = TÀI TÀI LIỆU LIỆU THAM THAMKHẢO KHẢO [1]J J (1922), "Prime andpolynomials”, compositeTrans polynomials", Trans Amer Math [1] RittRitt (1922), “Prime and composite Amer Math Soc., 23(1), pp.51-66 Soc., 23(1), pp.51-66 [2] W.K Hayman (1967), Research problems in Function Theory, The Athlone Press University of [2] W.K Hayman (1967), Research problems in Function Theory, The Athlone Press University of London, London London, [3] C.C London Yang, X.H Hua (1997), “Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions”, Ann Acad Sci Fenn Math., 22, pp.395-406 [3] C.C Yang, X.H Hua (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann [4] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials, Interactions Acad real Sci.andFenn Math., between complex analysis,22, Sci pp.395-406 Technics Publ House, Hanoi, pp.152-161 [4] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several vari[5] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), “Value sharing problems for differential and difference polynomials of ables difference Interractions between real andAnalysis complex analysis, Sci Technics Publ.House, meromorphic functionspolynomials", in a non-Archimedean field”, Adic Numbers, Ultrametric and Applications, 9(1), pp.1-14 Hanoi, pp.152-161 [6] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), “Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials”, J., 64(2), [5] Vu Hoai An,Ukranian PhamMath Ngoc Hoa,pp.147-164 and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and[7]difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean p-Adic Numbers, UlHa Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), “Value sharing problem and Uniquenessfield", for p-adic meromorphic functions”, Ann Univ Sci.Analysis Budapest., Sect 38, pp.71-92 trametric andComp., Applications, 9(1), pp.1–14 [6] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), "Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math J., 64(2), pp.147-164 [7] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Ann Univ Sci Budapest., Sect Comp., 38, pp.71-92 61(6) 6.2019 ... minh của đề của Định trên, Định Định Áp Định Định ta l lý dụng l thứ chứng lý lý thứ thứ thứ thứ kiểu hai hai hai minh hai hai bổ của của đề Ritt Định Ritt Ritt trên, Ritt Ritt như lý ta thứ sau:... khơng-Acsimet Vấn đề nhận giá trị tích sai phân hàm phân hình trường khơng-Acsimet Vấn Vấn đề đề nhận nhận giá trị trị của tích tích sai sai phân phân của hàm hàm phân phân hình hình trên một trường trường... Cho Bổ đề Cho Bổ fCho fffBổ fvà v và glà glà2.7 hai hai hai hàm hàm hàm hàm hàm phân phân phân fphân phân v phân hình hình ghình hình hình là2.7 khác khác hai khác khác khác hàm hằng hằng phân