PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH LOẠI TRUNG HÒA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Văn Thảo PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH LOẠI TRUNG HÒA Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa, người thầy tận tình bảo bước nghiên cứu suốt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy, cô tận tình giảng dạy suốt khóa học Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quí thầy, cô anh, chị làm công tác quản lý phòng sau đại học, người tạo điều kiện tốt để hoàn thành khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn An Ninh, quí thầy cô bạn đồng nghiệp khóa học bạn đồng nghiệp tạo điều kiện tốt để hoàn thành khóa học, đặc biệt thầy Trần Quang Huy Người viết Võ Văn Thảo MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài toán phương trình vi phân ,sự tồn nghiệm dạng tiệm cận nghiệm nhiều tác giả nghiên cứu ,đó lí để chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày lại toàn nội dung báo [1] [2], mà phần phương trình vi phân đối số lệch dạng tiệm cận nghiệm Đối tượng nội dung nghiên cứu Đối tượng bao gồm: Phương trình vi phân đối số lệch dạng tiệm cận nghiệm, không gian Banach Về nội dung nghiên cứu trình bày lại toàn nội dung báo [1] và[2] Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dạng tiệm cận nghiệm dùng để chứng minh phương trình trình vi có nghiệm phương trình vi phân công cụ ứng dụng nhiều vật lý Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành mục sau: Mở đầu, nêu lý chọn đề tài, mục đích, đối tượng nội dung nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1: Những khái niệm kết dùng chứng minh Chương 2: Các bổ đề định lí Chương 3: Dạng tiệm cận phương trình vi phân trung hòa Chương : NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ DÙNG TRONG CHỨNG MINH 1.1 Các kí hiệu  - R( , A)  ( I  A)1 e * x  e  x xác định sau:  e * x( )  (e  x)( )  e x với x  E ,   - BC ( R , X ) không gian Banach hàm liên tục, bị chặn từ R đến X - BUC ( R , X ) không gian đóng hàm liên tục, bị chặn - Nếu f : R  X tập tất tịnh tiến ,được gọi bao f H ( f ) :  f (  t ): t  R  - Một hàm f  BC ( R , X ) gọi tiệm cận cộng tuyến tuần hoàn nếu: H ( f ) compact tương đối BC ( R , X ) - x(t )  A(t ) x(t )  L(t ) xt  f (t ); xS   , t  s  (1.1) - x(t )  A(t ) x(t ) t  s Với x  s   x  E (1.2) 1.2 Định nghĩa Họ toán tử tuyến tính T (t )t 0 xác định không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh nếu: - T (s  t )  T (s)  T (t ) t , s  - T (0)  I - Mỗi x  X , T (.) x liên tục 0,    Ngoài t  T (t ) liên tục theo tôpô hội tụ ta gọi T (t )t 0 nửa nhóm liên tục 1.3 Định nghĩa T (t )t 0 nửa nhóm liên tục mạnh xác định X với h  , ta định nghĩa toán tử tuyến tính Ah xác định sau: Ah x  T (h) x  x , x X h Ký hiệu: D( A) tập tất x  X cho lim Ah x tồn tại, xác h0 định toán tử A D( A) sau: Ax  lim A x , h0 h x  D( A) Ta gọi toán tử A xác định toán tử sinh nửa nhóm T (t )t 0 Khi ta có kết sau: - D( A) trù mật X A toán tử tuyến tính đóng D( A) - Nửa nhóm liên tục mạnh T (t )t 0 có toán tử sinh bị chặn T (t )t 0 nửa nhóm liên tục 1.4 Định lí :(Hille-Yosida- Phillips) Cho A toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật Khi A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tồn số thực M  cho với R( , A)n  M (   )n với n     , ta có    ( A) * Trong : R( , A)  ( I  A)1 1.5 Định lí Cho T (t )t 0 nửa nhóm liên tục mạnh xác định X A toán tử sinh tương ứng Khi ta có kết sau: lim  R( , A) x  x , x  X   Chương : CÁC BỔ ĐỀ VÀ ĐỊNH LÍ 2.1 Bổ đề 2.1.1 Phát biểu Cho U (s, t )t s0 họ tiến hóa bị chặn X,  không gian đóng BUC ( R , X ) Giả sử ánh xạ : t  U (t  s, s) x thuộc  với t  x  X s  , Nếu h  L1( t  , X ) ánh xạ t   U ( s  t , s   )h( )d thuộc  với s  2.1.2 Chứng minh t Với s  ,đặt U s * f (t )   U ( s  t , s   ) f ( )d với f  L1 ( , X ) Khi : ánh xạ f  us * f tuyến tính, liên tục từ L1 ( , X ) vào BC ( R , X ) Thật Chứng minh us * f bị chặn: t Ta có: us * f (t )   u (t  s, s   ) f ( )d  M  f ( ) d  M f 0 L1 , t  Trong M  sup u (t , s) t s0 f Vậy L1   0 f ( ) d us * f (t ) bị chặn  Mặt khác với giả thiết: (t , s)  u (s, t ) liên tục mạnh (t , s)   :t  s Nên us * f liên tục  Vậy us * f  BC ( R , X ) - us * f tuyến tính (hiển nhiên) - us * f liên tục suy từ kết quả: us * f  M f Xét h  1   a ,b    Với x  a  b, với x 1   x(t )   a,b 0    Khi đó: , t   a, b  , t   a, b  L1 x X với t  Ta có: us * h(t  b)  t b 0 u (t  b  s, s   )h( )d b = a u(t  b  s, s   ) xd Mà u (t  b  s, s   )  u (t  b  s, b  s) u (b  s, s   )    a, b  b Vậy us * h(t  b)  u (t  b  s, b  s)  u (b  s, s   ) xd a Vì t  u (t  b  s, b  s) x thuộc  x  X , s  Nên us * h(  b)   dịch chuyển (“bi-invariant” nên us * h(.)  , s   Nếu h hàm đơn giản L1( , X ) kết vừa chứng minh tính tuyến tính tích phân nên us * h   Nếu h  L1(  + , X ) tập hàm đơn giản L1( trù mật L1( , X ) , X ) L Nên tồn dãy (hn ) hàm đơn giản hn  h f  us * f liên tục nên us * hn  us * h Mà Do  đóng nên : us * h  (điều phải chứng minh) 2.2 Chuỗi DYSON-PHILLIPS dáng điệu tiệm cận nghiệm trường hợp 2.2.1 Giới thiệu toán - Cho ( A(t ), D( A(t )))t 0 họ ổn định sinh họ tiến hóa (V (t , s))t s0 không gian Banach E thỏa: V (t , s)  M e (t  s) với  số M  - Cho họ ( L(t ))t 0 toán tử tuyến tính từ Cr L(.)  BC (  , Ls (Cr , E )) vào E với , nghĩa : t  L(t ) hàm liên tục mạnh bị chặn - Phương trình vi phân đối số lệch biến không tự điều khiển: x(t )  A(t ) x(t )  L(t ) xt t  s (2.1) Với xs    cr : C ( r ,0 , E ) nhiều tác giả nghiên cứu 10,13,20,26 báo  I  , tác giả tồn nghiệm yếu (2 1) Nghĩa : hàm liên tục x thỏa x :  s  r ,    E x(t )  t  v(t , s) (0)  v(t , ) L( ) xd  s   ( s, t )  ts (2.2) sr t  s ( xt ) họ tiến hóa Cr Trong phần muốn : cách khác tồn nghiệm yếu (2.1) Chính xác họ nghiệm (2.1), biểu diễn dạng Chuỗi DYSON-PHILLIPS thỏa công thức biến thiên số Đồng thời nghiệm yếu (2.1) có dáng điệu tiệm cận với ánh xạ: t  v(t  s, s) x , s  , x  E , (t  ) Trong báo [2,5] rằng: họ nghiệm tiến hóa phương trình không dừng ( L(t )  0) cho bởi: v(t   , s) (0) u(t , s) ( )    (t    s) t   s s  r  t   s (*) với   Cr Kết (*) dùng nhiều chứng minh phần sau 2.2.2 Bổ đề a) Phát biểu : Cho g  C (  , E) t  Khi đó: lim  u (t , ).e * R( , A(0)) g ( )d   s tồn Cr tập compact (t , s): t  s  0. b) Chứng minh : Với   0  max ( ,0) (  số đánh giá họ v(t , s) chuổi Phillips) Và 0 s  t T ( T  cho trước) t Đặt W (t , s):  u(t , ) e* R( , A(0)) g ( )d s    r ,0  Với   t  s  r Ta có W (t , s)( )  t   u (t , ) e* R( , A(0)) g ( )( )d + s t  u (t , ) e* R( , A(0)) g ( )( )d t  Do (*) ta có W (t , s)( )  t   u(t   , ) R( , A(0)) g ( )d + s t  e (t   ) R( , A(0)) g ( )d  t  Do với  ,   0 ta có: W (t , s)( )  W (t , s)( )  t   v(t  , )[ R( , A(0)   R( , A(0))]g ( )d s t +  [ e (t   ) R( , A(0))   e (t   ) R( , A(0))]g ( )d t  Khi t    s t W (t, s)( )  W (t , s)( )   [ e (t   ) R( , A(0)   e (t   ) R( , A(0))]g ( )d s t    s Nhận xét: t  t  t  e(t   ) R( , A(0) g ( )d   e (t   ) R( , A(0) g d t  với g  sup g ( ) 0.T    n Q( s )ds , t  Lấy tích phân (3.19) ta thu :  y (t   )  (    )  n  t  Tn Thế vào (3.28) ta :  y '(t )  (    )Q(t )  n Q( s)ds ,  n  t  Tn t   1  A  p  max ,  2  Đặt A   B ,   p , (3.30)  p A < – 2p Chúng ta chứng minh : y (Tn )  A(    ) (3.31) Chúng ta xem xét có khả xảy T   Trường hợp :   p   n Q ( s )ds  1 n   Trong trường hợp lấy tích phân từ n  Tn (3.30) T  y (Tn )  (    )  n Q(t )  n Q( s)dsdt t  n  t T  t  (    )  n Q(t )   Q( s)ds   Q(s)ds  dt n n  t   T  t   (    )  n Q(t )  A  p   Q( s)ds  dt n n   2  Tn Tn    (    )  A  p   Q( s)ds    Q( s)ds   n  n     1   (    )  max  A  p,1   2   A(    ) T   Trường hợp :   p   n Q( s )ds  1 n   Chọn n   n ,Tn  để Đầu tiên lấy tích phân từ n Tn n Q(s)ds   n (3.29) từ n  Tn (3.30)  T  Ta có : y (Tn )        n Q(t )dt        n Q(t )  n Q( s)dsdt n n t   T   T          n Q(t )dt  n Q( s )ds   n Q(t )  n Q( s)dsdt  n n t   n  T         n Q(t )  n Q( s)dsdt t  n 2  Tn    Tn        A  p Q( s)ds   Q( s)ds   n  n        1      A  p   2   A     T  1 Trường hợp :   p   n Q( s )ds  B  n 4  Lấy tích phân từ n  Tn (3.30) Chúng ta có : T  y(Tn )        n Q(t )  n Q( s)dsdt n t  T  t t   (    )  n Q(t )   Q( s)ds   Q( s)ds  dt n n  t    T  t  (    )  n Q(t )  B   Q(s)ds  dt n n   2  Tn    Tn   (   ) B Q( s)ds   Q(s)ds   n  n        B (    )  A(   ) trường hợp cho thấy (3.31) Từ (3.31) ta có : Z (Tn)  ( A  p)(    ) cho n     Chúng ta thấy : M  lim sup z (Tn )  ( A  p)   (1  p)  n Nó trái với (3.25),   định lý chứng minh.■ Nếu p(t) không âm ta có định lý sau : 3.2.3 Định lý a) Phát biểu : N Giả sử  p(t )  p tồn số nguyên dương N thoả p  p     t 3  ( N 1) Q(s)ds  , t 2 p 1  p     t  to (3.32) nghiệm phương trình (3.1) hội tụ b) Chứng minh : Nếu p = định lý chứng minh [12] Dưới giả sử rằng: < p < Đặt   max{ , } ,   min{ , } Bây chọn số nguyên dương m cho : m   3  N  với   , đặt   (1  p) (1  p)(2 p  3)m   Chúng ta chứng minh với t  to ,   C t   , t  ,   ,  dẫn đến x(t) thoả (3.15)   Trong : x(t )  x t; t , biểu thị nghiệm phương trình (3.1) thoả   điều kiện đầu x s; t ,   (s) với s  t   , t  Đầu tiên tương tự chứng minh định lý (5), chứng minh (3.17) thỏa Hiển nhiên, (3.17) dẫn tới (3.15) thỏa với t  t  t  m Tiếp theo chứng minh (3.15) thỏa với t  t  m Bằng cách phản chứng : Chúng ta giả sử T  t  m , x(T )   x(t )   với t  t  T Không tính tổng quát giả sử x(T )    thế, (3.18) tồn To  t  m , T  nên z (To )  max  z (t ) : t  m  t  T  z (t )  z (To ) với t  m  t  To Bây có khả xảy ra: z (t )  với t  To  (3   N  1 ), To  hay tồn   To   3   N  1  , To  để z ( )  , z (t )  , t   ,To  Trong trường hợp đầu ta có :  x(t )  pi , t  To   3  ( N  i  , To  i  1,2, , N (3.33) z '(t )  Q(t )   z (t   )  p(t   ) x(t    )  Q(t )  z (t   )  p N   , t  To  2 , To   Đặt y(t )  z (t )  p N  , t  t  (3.34) Khi : y '(t )  z '(t )  Q(t ) x(t   ) , t  To  2 , To  (3.35) Tương tự chứng minh định lý (5) Từ (3.35) dễ dàng kết luận : y (To   )  Lưu ý : y(To )  z (T )  p N   (1  p  p N )  dẫn tới tồn   To   , To  để y ( )  từ (3.34) (3.35) có : y '(t )  Q(t ) p N  , t  To  2 ,To  (3.36) lấy tích phân (3.36) từ  đến To  ta :  y(t   )  p N   t  Q(s)ds , t  To   , To   vào (3.35) ta có : y '(t )  p N  Q(t ) t  Q( s)ds , t  To   , To  (3.37) Có trường hợp xảy :  T  Trường hợp :   o Q( s)ds   p     Lấy tích phân từ  đến To (3.37) T  Ta có : y (To )  p N   o Q(t )  Q( s)dsdt  t  T t  t   p N   o Q(t )   Q( s)ds   Q( s)ds  dt    t   T t  (1  p)(3  p)   p N   o Q(t )    Q( s)ds  dt     2    (1  p)(3  p) To  To N  p   Q(s)ds    Q(s)ds      (1  p)2 p N   (1  p  p N ) 2      T  Trường hợp :   o Q(s)ds   p     Chọn T1   , To  thoả To T1 Q(s)ds   p Khi lấy tích phân (3.36) từ  đến T1 (3.37) từ T1 đến T0 T T  y(To )  p N   Q(t )dt  p N   o Q(t )  Q(s)dsdt   t  T1 T1 T0   T0   p N   Q(t )dt Q( s)ds  Q(s)ds  Q(t ) Q(s)dsdt    T1 t   T1     T T    T   T  p N    Q(t ) Q(s)dsdt  p   Q(s)ds   Q(s)ds   T1 t   T1     p  N  T T  (1  p)(3  p) Q(s)ds   Q(s)ds     T1  T1      T0  (1  p)(3  p)  p   Q(s)ds   T1      1  p  p N   (1  p  p ). 2 trường hợp cho thấy rằng: y(To )  (1  p  p N ) (3.38) trái với y(To )  y(T )  (1  p  p N ) Ta có : z '(t )  Q(t ). , t  t  To z '(t )   Q(t )[ p    t (3  ( N 1) ) (3.39) Q( s)]ds ,   t  To Có trường hợp xảy sau :  To  Trường hợp :   Q(s)ds   p     Lấy tích phân từ  đến To (3.37)   To  Ta có : z (To )    Q(t )  p   Q(s)ds  dt  t 3 ( N 1)     (3.40) To  t   t 3 ( N 1) To       Q(t )  p      Q(t )  p    3 p     t    Q(s)ds   Q(s)ds  dt  (1 p)(3  p) t   Q(s)ds  dt   p To ( )  To Q(s)ds  Q s ds       2      (1 p)  To  Trường hợp :   Q(s)ds  1 p       Chọn T2   ,To  cho To T2 Q(s)ds  1 p Khi : Lấy tích phân từ  đến T2 (3.39) từ T2 đến To (3.40) Chúng ta có   T To  : z (To )    Q(t )dt    Q(t )  p   Q(s)ds  dt T2 t 3 ( N 1)       T T T T0  T    T2 t 3 ( N 1)     Q(t )dt  Q(s)ds  p  Q(s)ds   Q(t )  To     Q(t ) t 3 ( N 1)  T2    (1     T2  To    Q(s)dsdt   Q(s)dsdt  p  Q(s)ds    p)(3  p) To  To (1  p)(3  p)   p Q ( s ) ds  Q ( s ) ds  T2  2  T2     (1 p) Cả trường hợp cho thấy z (To )  (1  p) (3.41) Trái với z (To )  z (T )  (1  p). định lý (chứng minh)■ Nhận xét : N Nếu :  p(t )  p tồn số nguyên dương N để p  p  Nếu (3.3) (3.11) thỏa, Tương tự định lý (6), (7) ứng dụng hệ (6.4.1) từ [8] dễ dàng suy nghiệm phương trình (3.1) tiến đến t   3.3 Định lý với p(t) số Định lý a) Phát biểu : Giả sử p(t )  p , tồn số nguyên dương N Thoả : 4p N  tt  ( N 1) Q(s)ds   p N 1 p N   (1  p) , t  to (3.42) Khi nghiệm phương trình (1.1) ổn định b) Chứng minh : Nếu p = định lý chứng minh [13] Giả sử  p N  Đặt   max  ,  ,    ,  Bây chọn số nguyên dương m thoả mãn : m  2(  N ) với   , đặt   (1  p) (1  p)(2 p  3)m Chúng ta chứng minh :   Với t  to ,   C t   , t  ,   ,  để x(t) thoả (3.15)   Trong : x(t )  x t; t , biểu thị nghiệm phương trình (3.1) thoả   điều kiện đầu : x s; t ,   ( s) với s  t   , t  Tương tự chứng minh định lý (5) chứng minh (3.17) thỏa Tiếp theo chứng minh (3.15) Bằng phản chứng giả sử (3.15) không Khi :(3.17) phải có T  t  m để x(T )   x(t )   với t  t  T Không tính tổng quát ta giả sử x(T )    Như (3.18) tồn To  t  m , T  để z (To )  max  z (t ) : t  m  t  T  z (t )  z (To ) với t  m  t  To đặt y(t )  z (t )  1 p N p  , t  t 1 p N (3.43) N 1 Khi đó:  x(t   )    pi z (t    i )  p N x(t    N ) i 0 N 1    pi y(t    i ) , To    ( N 1)  t  To i 0 từ (3.1) (3.43) ta có : y '(t )  z '(t )  Q(t ).x(t   ) , t  t (3.44) N 1 y '(t )  Q(t )  pi y(t    i ) , To    ( N 1)  t  To (3.45) i 0 để thấy : y(To )  z (T )   (1  p) p N  p N   (1  p) 1   0   p N  1 p N Tiếp theo chứng minh tồn j  {0 , 1, , N – 1} thoả : y(To    i )  nữa: y(To    i )  , i = , , , N – Như có lân cận (To    i  h, To    i ) , h > (To    i ) Để y(t) > (To    i  h, To    i ) Và y(t    i )  (To  h, To ) i = , , , N – từ (3.45) thấy y(t) không tăng (To  h, To ) , điều trái ngược với định nghĩa To y(To    i )  với j  {0 , 1, , N – 1} từ tồn   (To    ( N 1) , To ) để y( )  y(t )  , t  ( ,To ) từ (3.44) có : y '(t )  Q(t ). , t  t  To (3.46) t    i   với t  To    ( N 1) , To  Khi lấy tích phân (3.46) Ta có :  y  t    i      t  ( N 1) Q( s)ds , t    i     t    i  To với t  To    ( N 1) , To   Q( s)ds ,   t    i  To Khi :  y  t    i      t  ( N 1) Thế vào (3.45) có : y '(t )    1 p N Q(t )  Q( s)ds ,   t  To t  ( N 1) 1 p Có trường hợp xảy sau : Trường hợp :  p N To Q( s)ds  1  p  Ta lấy tích phân từ  đến To (3.47) (3.47) y(To )    p N To   Q(t ) Q( s)dsdt t  ( N 1) 1 p   t  t   p N To   Q(t )   Q( s)ds   Q(s)ds  dt  1 p   t  ( N 1)   3 pN  t  p N To   (1  p)   Q(s)ds  dt  Q(t )   p   2(1  p N )     2   T  1 p N   p N 1 T  (1  p)  o Q( s)ds    o Q(s)ds      p  2(1  p N ) 2     1 p N  (1  p). 1 p N Trường hợp :  p N To Q( s)ds  1  p  Chọn T1   , To  thoả p N To Q( s)ds  1  p  1 Khi đó: lấy tích phân từ  đến T1 (3.46) từ T1 đến To (3.47) T Ta : y(To )    Q(t )dt      p N To   Q(t ) Q( s)dsdt t  ( N 1)  p T1 T  p N To   Q(t )dt  Q(s)ds  1 p    p N To   Q(t )  Q( s)dsdt t   ( N 1)  p T1  T  p N To   Q(t ) Q( s)dsdt t   ( N 1)  p T1 1 pN  1 p  2  N   p (1  p) To Q( s)ds   To Q( s)ds      2(1  p N ) T1  T1       1 p N (1  p). 1 p N Từ trường hợp kết luận : y(To )  1 p N (1  p). 1 p N (3.48) trái ngược với y(To )  y (T )  1 p N (1  p) (định lý 1 p N chứng minh)■ Nhận xét : N Nếu p(t )  p , có số nguyên dương N thoả 4p  1, Nếu (3.3) (3.12) thỏa, hoàn toàn tương tự định lý (6) (8) ứng dụng hệ 6.4.2 [8], dễ dàng suy : nghiệm phương trình vi phân (3.1) tiến tới t   KẾT LUẬN Trong suốt trình làm đề tài phấn khởi tâm đắc với đề tài chọn, hội tốt để vận dụng kiến thức học vào đề tài cụ thể, đồng thời bước tập làm quen với việc nghiên cứu, cách tìm tài liệu, với nhận thức cố gắng dẫn dắt Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa hoàn thành đề tài thu số kết sau: Tôi trình chi tiết nội dung mà báo [1] nêu, cụ thể bổ đề (1) {bài báo không chứng minh}.định lí (2), định lí (4) bổ đề (3),(4),(5) chứng minh lại chi tiết chí mở rộng so với kết báo [1] Trong chương trình lại toàn nội dung báo [2] Một lần xin trân trọng gởi lời cảm ơn đến Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa tận tình diu dắt bước đường nghiên cứu khoa học Tôi xin gởi lời cảm ơn đến thầy, cô hội đồng bảo vệ luận văn dành thời gian để đọc luận văn cho nhiều ý kiến đóng góp quí báu Tôi xin gởi lời cảm ơn đến thầy, cô anh, chị làm phòng KHCN-SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM giúp hoàn tất thủ tục trình luận văn Cuối cảm ơn tất bạn bè đồng nghiệp gia đình người đứng sau lưng ủng hộ đường nghiên cứu khoa học TÀI LIỆU THAM KHẢO W.Desch, G.Guhring and I Gyori (2000), Stability of nonautonomous delay equations with a positive fundamental, solutions, Tubingerberichte zur Funktionalanalysis G.Guhring and F.Rabiger (1999), Asymptotic properties of mild solution of evolutions with applications to retarded differential equations, Abstr Apl.Anal 4, 169-194 G.Guhring and F.Rabiger, and R.Schnaubelt (2002), A characteristic equation for non-autonomous partial Functional differential equations, J Differential Equations, 181, 439-462 Nguyên Thanh Lan (1998), Nonautonomous operators Matrices, Ph.DThesis Tubingen R.Schnaubelt, Parabolic evolution equations with asymptotically autonomous delay, preprint G.Gao (1993), on 3/2 asymptotic stability of one-dimensional functional differential equations with unbounded delay Kexue Tongbao 33, 683-686 (in Chinese) K Gopalsamy (1992), stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics (Kluwer Academic, Boston) I Gyori and G Ladas (1991), Oscillation theory of delay differential equations with applications (Clarendon, Oxford) V.B.Kolmanovskii, L.Torelli and R.Vermiglio (1994), stability of some test equations with delay, Siam J Math Analysis 25,948-961 10 G.Ladas and Y.G.Sficas (1988), asymptotic behavior of oscillatory solutions, Hiroshima Math J.18, 351-359 11 J.W.H.So, J.S.Yu and M.P.Chen (1996), asymptotic stability for scalar delay differential equations, Funkcial Ekvac 39, 1-17 12 J.Wu and J.S.Yu (1995), convergence in nonautonomous scalar nautral equations, Dyn Syst Applic 279-290 13 T.Yoneyyama (1987), on the 3/2 stability theorem for one-dimensional delay differential equations, J.Math Analysis Applic 125, 161-173 14 J.S.Yu (1996), asymptotic stability for nonautonomous scalar nautral differential equations, J.Math Analysis Applic 203, 850-860 [...]... Chương 3 : DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HOÀ 3.1 Giới thiệu Phương trình vi phân trung hoà lệch : [x(t) – p(t)x(t - )]’ + Q(t).x(t - ) = 0 , t  to với ,   (0, ), p  C([to, ), (3.1) ) và Q  C([to, ), [0, )) Khi p(t)  0 (3 1) trở thành : x’(t) + Q(t)x(t - ) = 0, t  to (3.2) Nghiệm ổn định đã được nghiên cứu tổng quát [6, 7, 9 , 14] Kết quả đã được biết đối với chúng ta gọi là...  s  so , t  0 ,   Cr ta có thể vi t uL (t  so  s, s) (0)  uL (t  so  s, so  s) uL (so  s, s) (0) vì s  so  so nên: Ta suy ra: t  uL (t  so  s, s) Do  thuần nhất nên t  uL (t  s, s) (0)  (Định lí được chứng minh)■ 2.3 Trường hợp không thuần nhất:công thức biến thiên hằng số và dạng tiệm cận 2.3.1 Giới thiệu bài toán Phương trình vi phân lệch không thuần nhất x(t )  A(t )... định nghĩa bởi: u (t )(0) x(t )    (t  s) ts rst  s t uL (t ,  )e    Với u (t ) : uL (t , s)  lim *  R( , A(0)) f ( )d ts s Là một nghiệm yếu của phương trình (2.7) Đảo lại nếu x Là một nghiệm yếu của phương trình (2.7) thì t xt  uL (t , s)  lim  uL (t ,  )e*  R ( , A(0)) f ( )d   ts (2.10) s b) Chứng minh : Cho    r ,0  với t    s áp dụng công thức... yếu duy nhất của (2.1) (ii) được chứng minh ■ Bây giờ chúng ta xem xét tính bền của dáng điệu tiệm cận của phương trình (1.2) Cụ thể hơn chúng ta giả sử hàm t  v(t  s, s) x s  0, x  E nằm trong một không gian con đóng thuần nhất  nào đó của BUC ( R , E )  1 0  q  Và sự tồn tại các hằng số  M s  0  o   thỏa L(t  s)u (  s, s) d  q  (2.6) 0 Với    Cr , s  so Ta có kết quả chính... số, M  1 )  L(.)  BC (  , Ls (Cr , E )) và f  Lloc1(  , E ) 2.3.2 Định nghĩa Một hàm liên tục x : x(., s, ):  r ,    E được gọi là nghịêm yếu của (2.7) nếu: x(t )  t  v(t , s) (0)  v(t , )[ L( ) x    s   (t  s)   f ( )]d ts (2.8) sr t  s Sự tồn tại nghiệm yếu của (2.7) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả [3,5] Ở đây chúng ta muốn chỉ ra nghiệm yếu của phương trình. .. 1 nghiệm của 2 phương trình (3.2) Cũng như áp dụng kết quả trên dễ dàng có: t lim sup t   t  3 Q( s )ds  (1  p ) 2 (3.5) Khi đó : mọi nghiệm của (1.1) tiến tới 0 (khi t  ) với p(t)  p  (0, 1) và  = 0 Khi P(t)  0, nó được chỉ ra trong [10] rằng nếu (3.3) được thoả và t p(t )  p và 2p + lim sup t   Q( s) ds  1 (3.6) t  Khi đó mọi nghiệm của (3.1) tiến tới 0 khi t   Đối với trường... (1  1 p )  lim sup 4 t  t  t  (3  ( N 1) ) Q( s )ds  3 2 (3.11) N Với N là 1 số nguyên dương cũng như p  3 p 2  1 và t 3  4 pN lim sup  Q( s )ds  (1  p ) N t (  ( N 1) ) t  2(1  p ) (3.12) Với N là số nguyên dương cũng như 4p N  1 Ý chính của những chứng minh của (3.11) và (3.12) là giảm số hạng đầu 2p  2 – p  bằng cách tăng về khoảng cách của t t  Q(s)ds trong (3.8) Cái... có: [lim      (t , ) e * R( , A(0)) f ( )d ](0) bị chặn với t  0 0 Nên V (t) Vt (0)  uL(t,0)P(0)(0) [ lim bị chặn với t  0    0  (t, )e * R(, A(0)) f ( )d ](0) Vậy phương trình (2.7) có duy nhất nghiệm yếu bị chặn Nếu f  C0 ( R , E ) thì v  C0 ( R , E ) Thật vậy Ta đã có: U L (t ,0) P(0) (0)  N e t  (0) Suy ra lim uL (t ,0) P(0) (0)  0   (vì   0 )... với p(t) không là hằng số 3.2.1 Định lý 5 a) Phát biểu : Giả sử p  t   p p t  1 3 và 2 p   Q( s )ds  , t t 2 4 hay t  1 1 Q( s )ds  2(1  2 p ) , t  to  p  và  t 4 2  to Thì nghiệm 0 của (3.1) là ổn định đều b) Chứng minh : Nếu p = 0 , định lý đã được chứng minh trong [13] Giả sử 0  p  Đặt 1 2   max{ , }   min{ , } t Chọn m  z sao cho : m  3 Đối với mỗi  > 0 định nghĩa... (2.7) 2.4.1 Định nghĩa Một họ tiến hóa (u(t , s))t  s 0 được gọi là có tính chất “SemiExponential dichotomy” Nếu hàm p : R  L( X ) sao cho hàm p(.) x liên tục và bị chặn với mỗi x  X và các hằng số   0, N  N ( )  1 sao cho: i P(t )u (t , s)  u (t , s)Q(s) ii u (t , s) P( s)  Ne (t  s) và uQ (s, t )Q(t )  Ne (t  s) với t , s Î  và t  s Trong đó: Q(.): I  P(.) và uQ (t , s) là